空间向量的概念与运算-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第01讲空间向量的概念与运算

【人教A版2019】

1.空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量。的起点是A,终点是B,也可记作赢，其模记为同

或丽I.

(4)几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量。长度相等而方向相反的向量，称为〃的相反向量，记为一Q

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么

(平行向量)这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:对于任意向量a,都有0〃a

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

2.空间向量的线性运算

加法a+b=OA+AB=0B

空间向减法a-b=OA~OC=CA0aA

量的线

当A>0时，Xa=XOA=PQ；

性运算*/。r

数乘//Aa(A>0)/Aa(A<0)

当A<0时，Xa=XOA=MN；a

0P，N

当丸=0时，4a=0

交换律：a+b=b+a；

运算律

结合律：a+S+c)=(a+5)+c,如。)=(加)4；

分配律：2(〃+5)=%〃+劝.

3.共线向量

(1)空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量。，&S#o),“〃8的充要条件是存在实数九使。=助.

(2)直线的方向向量

在直线/上取非零向量a,我们把与向量”平行的非零向量称为直线/的方向向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a,都有0//a.

(3)共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；

②证明三点共线.

【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共

线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直

接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.

4.共面向量

(1)共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段而所在的直线0A与直线I平行或重合，那么称向量a平行于直线

/.如果直线。4平行于平面a或在平面a内，那么称向量。平行于平面a.平行于同一个平面的向量，叫做共

面向量.

oA

(2)向量共面的充要条件

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,》共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),

使p—xa+yb.

(3)共面向量定理的用途：

①证明四点共面；

②证明线面平行.

►题型归纳

【题型1空间向量的线性运算及其含参问题】

【例1.1](23-24高二上•贵州•阶段练习)如图，在四面体4BCD中，E,F分别为BC,4E的中点，G为△4CD的

重心，则而=()

A.--AB+—AC+-AD

3124

B.--AB+—AC+-AD

4123

C.-AB--AC+-AD

4123

D.-AB+—AC--AD

3124

【解题思路】根据空间向量的线性运算，将同用荏，前,而表示即可.

【解答过程】因为分别为BC,AE的中点，所以而=]版=[(布+前).

因为G为的重心，所以左=：(!?+而)，

所以闲=AG-AF=^（AC+AD"）-^（AB+AC"）=-^AB+-^AC+14D.

故选：B.

【例1.2］(23-24高二上.河南洛阳•阶段练习)在四面体4BCD中，点E满足丽=4反，尸为BE的中点,

且标=工屈+工就+工而，则实数4=()

236

A.—B.—C.-

432

【解题思路】由空间向量线性和基本定理运算可解.

【解答过程】由F为2E的中点，得Q=］布+］版,

又族=-AB+-AC+-AD,

236

所以版=|左+［前，由屁=2沆，

得族一前=A(AC-AD),

即荏=AXC+(1-A)AD,所以2=|.

故选：D.

【变式1.1］(23-24高二上•河南开封•期末)已知四面体ABC。，E,尸分别是5C,C。的中点，则加=(

A.式而一硝B.1(DC-5C)

C.AF-1(AB+It)D.AB+|(BD+BC)

【解题思路】根据空间向量的线性运算逐项判断即可.

【解答过程】对于A,因为£,尸分别是BC,O)的中点，所以而=1而=)葡-屈)，正确；

对于B,£T=jRD=j(BC+CD)=|(BC-oc),错误；

对于C,EF=AF-AE=AF-^(AB+AC),正确；

对于D,EF=AF-^(AB+AC)=AB+JF-^(AB+AC)=AB+^(BD+BC)-1(AB+AC),错误.

故选：AC.

A

【变式1.2］（22-23高二上•广西防城港•期末）如图，设。为平行四边形力BCD所在平面外任意一点，E为0C

的中点，若无=微命+x瓦？+y而，贝卜+y的值是（）

【解题思路】根据向量的线性运算的几何表示，得出荏=2砺+（赤-［成，结合条件即可得出答案.

【解答过程】为0C的中点，

O£=|OC=|（OC+DC）,

•••四边形4BCD为平行四边形，.•.反=荏，

OE=-COD+荏）=-COD+OBJ-ox）=-OD+-OB--OA.

2、72v222

—〔T—>—>

OE=-OD+xOA+yOB,

11

••・％=-,y=——，

2J2

•,•%+y=0,

故选：B.

【题型2向量共线的判定及应用】

【例2.1］（23-24高二上.辽宁•期中）设向量可，瓦，耳不共面，已知前=—3瓦—记+2瓦，血=前+2孩—6号,

CD=4e7+2e2+8e^,若三点共线，贝!M=（）

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】把A、C、。三点共线转化为满足方=y配，列方程组，求出2即可.

[解答过程]因为=-3q—e?+263,BC=4+2电—63，CD=4cl+2e2+8c3，

所以24c=AB+BC=-2耳+(4—1)62—463,

因为三点共线，所以存在唯一的y，使得加=y前，

即4宙+福+8及=y(-2宙+(A-1)N-4瓦),

4=_2y_

即2=y(2—1),解得：，”°

8=-4y[y~~2

故选：A.

【例2.2](23-24高二上•辽宁大连•期末)在四面体/BCD中，E为ZD的中点，G为平面BCD的重心.若ZG与

平面8CE交于点F,则瞿=()

14Gl

1234

A.-B.-C.-D.-

2345

【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.

【解答过程】如图：连接QG交BC于H,则〃为BC中点，连接4口,EH,4G,

因为力Gu平面4HD,EHc^\^AHD,设4GC£7/=K,则KeEH,Ke4G,

又EHu平面BCE,所以Ke平面BCE,故K为4G与平面BCE的交点，

又因为4G与平面BCE交于点尸，所以尸与K重合，

又E为4D的中点，G为平面BCD的重心，

因为点A,F,G三点共线，则而=巾而=m(而+而)=巾(而+|丽)

(—,2OB+~DC\「—,1,―>―,―>―>、]

=m1AD+-x——-——I=m\AD+-X(4B-AD+AC-AD)\

1__»__»__»

=-m{AD+AB+4C)

又因为点E,F,H三点共线，则衣宿+y版,(x+y=l),

AF=xAH+yAE=/而+硝+^AD,

(三=三

I32

所以<x+y=l,解得巾=：,即衣=故瞿=[.

4

my4MG|4

I5=5

故选：c.

A

【变式2.1］（23-24高二.湖南.课后作业）已知向量2,b,0不共面，屈=42+5坂+3*左=22+33+落

AD=6a+7b+5c.求证：B,C,。三点共线.

［解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.

【解答过程】因为南=4a+5h+3c,AC^2a+3b+c,AD6a+7b+5c,

所以BC=AC-AB2a+3b+c—（4a+5b+3c）—2a—2b—2c,

BD=AD—AB=6a+7b+5c—（4a+5b+3c）=2a+2b+2c,

所以丽=-BD,

所以阮〃丽，又8为公共点，

所以8,C,。三点共线.

【变式2.2］（23-24高二上•广东深圳•阶段练习）如图，在正方体2BCD-中，E在力道】上，且举=

2而］尸在对角线A/C上，且而=［而.若屈=匕同=3,瓦1=3.

（1）用a,下表示丽.

（2）求证：E,F,8三点共线.

【解题思路】（1）由已知得丽=瓦彳+也?+丽=|瓦再+中+而，由此可得答案;

（2）由已知得而由此可得证.

【解答过程】解：（1）因为碇=2而］AB=a,AD-b.AA^-c,

所以丽=瓦［+中+荏=|瓦4*+不+四=-1b-c+a,

所以丽=a-|b-c；

(2)卡=|丽.

__>___>_______>2____________>

FB=FA-y~\~A^A~\'AB=~C

2

=-西+而+M)+中+荏

="(—b——c4~fl

3T27*3f3->27*八3777?

=-a--b--c=-z(a--b—c)=~EB,

乂丽与丽相交于3,所以E,F,5三点共线.

【题型3向量共面的判定及应用】

—>—>—>

【例3.1］（23-24高二上.江西九江.期末）对于空间任一点。和不共线的三点4B,C,有。P=;c02+y08+

—>

zOC,贝h+y+z=l是P,A,B,C四点共面的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解题思路】根据共面向量定理判断点P满足加=久瓦？+y4+z反，且久+y+z=l,向量而，AB,AC

共面，得到P,A,B,C四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案.

【解答过程】解：若x+y+z=l,则赤=（l-y-z）市+y加+zU?,即屁=y南+z*，

由共面定理可知向量Q,AB,前共面，所以P,A,B,。四点共面；

反之，若P,A,B,C四点共面，当。与四个点中的一个仕匕如4点）重合时，

0^4=0,%可取任意值，不一定有x+y+z=l,

所以x+y+z=l是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件.

故选：B.

【例3.2］（23-24高二上•山东聊城•期中）在四面体04BC中，空间的一点M满足丽=工瓦I+工赤+2反，

26

若加，MB,流共面，贝(U=()

1157

A.-B.-C.—D.—

231212

【解题思路】根据向量共面定理求解.

【解答过程】由题意为？=~OA-~OM=-0A--OB-XOC,MB=0B-0M=--OA+-OB-WC,MC=

2626

OC-OM+

26

'：MA,MB,标共面，

.,•存在实数唯一实数对(mm),使得加=mMB+nMC,

^OA-^OB-MC++n[-|0X-i0B+(1-2)OC],

,1

m=——

3

2

5m_ln=_l,解得〈n=——.

6663

—mA+n(l—2)=—AA=-

.3

故选:B.

【变式3.1](23-24高二.湖南.课后作业)如图，四边形A8CD是平行四边形，过平面AC外一点0作射线

OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使芸=釜=器=彤=k.求证：E,F,

lz/1CzDL/CUU

G,”四点共面.

【解题思路】利用共面向量定理证明，由丽=丽+丽可得四点共面.

【解答过程】证明：因为从团4BCD所在平面外一点。作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点

E,F,G,H,且满足些=竺=竺="=匕则有向量市=k市，OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD,

0AOB0COD

而在13aBe。中，有否=说+而，所以

EG=OG-OE=k(0C-OX)=kAC=k(AB+AD)=k(0B-OA+OD-0X)

1

=k(OB+0D-20A)=kOF+1OH-IOEOF-OE+OH-OE

k

=EF+EH,

故E,F,G,"四点共面，证毕.

【变式3.2](23-24高二•全国裸后作业)如图，已知。，2,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且布=kOA,

OF—kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k丰0,m0.

（1）求证：A,B,C,。四点共面，E,F,G,H四点共面；

（2）求证：平面A8CD〃平面£TCH；

⑶求证：0G=kOC.

【解题思路】（1）利用空间向量共面定理即可求证；

（2）由空间向量线性运算可得诟=k左，由空间向量共线定理可证明左〃前，再由线面平行的判定定理

可得EG〃平面4BCD,同理可证明〃平面4BCD,由面面平行的判定定理即可求证；

（3）由（2）知前=k前，再利用空间向量的线性运算即可求证.

【解答过程】（1）因为衣=而+小屈，m0,

所以尼，AD,荏共面，即4B,C,。四点共面.

因为说=丽+6丽，m0,

所以的，EH,而共面，即E,F,G,"四点共面.

（2）连接HF,BD,EG=EH+mEF=OH-OE+m（0F-OE）=k（0D-fll）+km（0B-ol）

=kAD+kmAB=k(AD+m画=kAC,所以前〃前，

又因为EGC平面4BCD,4Cu平面4BCD,所以EG〃平面4BCD.

因为前=丽一碇=k(砺一砺)=k而，所以而〃而，

又FHC平面4BCD,BDu平面4BCD,所以FH//平面力BCD,

因为EG与FH相交，所以平面48。。〃平面石尸6”.

(3)由(2)知丽=k左，所以南=丽+丽=卜函+々前=々(市+左)=々反.

►知识梳理

1.空间向量的夹角

(1)定义：己知两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作位=a,OB=b,则NA08叫做向量a,5的

夹角，记作〈a,b).

ObB

(2)范围：OW〈a,b〉WTL

特别地，当〈a,b)=鄂寸，a±b.

2.空间向量的数量积

已知两个非零向量a,b,则|a|忸|cos〈a,b)叫做a,8的数量积，记作〃力.

定义即a协=|〃||例cos〈a,b).

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

①a_L力0a♦5=0

性质

②加〃=。2=|0|2

@^a)-b=A(a-b),AeR.

运算律

②a0="a(交换律).

③°Q+c）=a心+℃（分配律）.

3.空间向量夹角的计算

-»->

求两个向量的夹角：利用公式cos(a1)=丁，।■求cos〈a,1〉，进而确定〈凡刃).

HH

4.空间向量数量积的计算

求空间向量数量积的步骤：

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.

(3)代入4.6=同,卜05〈〃,»求解.

►题型归纳

【题型4求空间向量数量积及其最值】

【例4.1］（23-24高二上•安徽蚌埠・期末）在三棱锥。-ABC中，^AOB=zXOC=Z.BOC=60",OB=OC

204=2,E为OC的中点，则荏•就等于（）

A.-1B.0C.1D.3

【解题思路】由题意可得标=［方-成，前=方-），再由数量积的运算律代入求解即可.

【解答过程】因为N40B=4Aoe=乙BOC=60°,OB=0C=20A=2,

所以反~OB=\OC\-|OB|cos60°=2x2xj=2,

OA-~OB=\0A\'|OB|cos60°=1X2X|=1,

OAOC\0A\•|OC|cos60°=lx2x：=l,

因为版=（方一示，阮=瓦一而，

~AE-~BC=g反-可.（0C-OB）=|oc2-|flC-OB-OAOC+OA~OB

=-x4--x2-l+l=2-l-l+l=l.

22

故选：c.

o

【例4.2](23-24高二下・江苏常州•期中)已知棱长为2的正方体4BCD内有一内切球。，点P在

球。的表面上运动，则方•无的取值范围为()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,4]D.[0,4]

【解题思路】建立空间直角坐标系，设出点P(x,y,z),可知方•而=(x—l)2+(y-l)2+z2—2,所以

(X-I)2+。—1)2+z2表示点p(x,y,z)与点之间距离的平方，分析求解即可.

【解答过程】以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以或=(2-X,-y,-z),PC=(-%,2-y,-z),

所以PA■PC=-x(2—%)—y(2—y)+z2=x2—2x+y2—2y+z2=(x—I)2+(y—I)2+z2-2,

因为(x-I)2+(y-l)2+z2表示点P(x,y,z)与点M(l,1,0)之间距离的平方，

所以当点P的坐标为P(l,l,2)时，PA■玩取得最大值为22-2=2,

当P与点重合时，西•而取得最小值-2,

所以港•瓦的取值范围为：[—2,2].

故选：A.

【变式4.1](23-24高二上.河南•阶段练习)正四面体的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任

意2个点之间的线段称为球的弦)，P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM•前的最大值为()

【解题思路】求出正四面体内切球的半径，确定弦MN最长时，MN为内切球直径，它的中点是球心。，由数

量积运算律得丽.丽=丽2一丽2,从而可得P与正四面体四顶点重合时，取得最大值.

【解答过程】如图，正四面体4BCD中，是四面体的高，力H与底面上直线CH垂直，

由对称性知其内切球球心。必在高2”上，

利用体积法（四面体4BCD的体积等于四个三棱锥。-ABC,。-4BD,。-BC。,。-"。的体积和）可得

OH=-AH,

4

而CH=2X如=AH=忸_（吗2=

3237v373

所以。“=工力”=在，即内切球半径为渔，AO=AH-0H

466362

弦MN最长时，MN为内切球直径，它的中点是球心0,

PM-PN=（P。+0M）•（P。+ON）=（P0+0M）•（P。-0M）=P02-0M2=\P0\-a

易知当P是正四面体4BCD的四个顶点时，|丽|最大，

所以两■两的最大值是簿）2W.

Z63

故选：B.

【变式4.2]（23-24高三上•浙江杭州•阶段练习）已知长方体4BCC中,AB=4,BC=3,441=2,

空间中存在一动点P满足|瓦耳=1,记。=荏•而，I2^AD-AP,与二宿•布，贝U（）.

A.存在点P,使得人=/2B.存在点P,使得人=/3

C.对任意的点P,有人>/2D.对任意的点P,有/2>/3

【解题思路】建立空间直角坐标系，由题意可得各顶点的坐标，由|帝|=1,设P的坐标为（x,y,z）,可得无、

y、z的取值范围都为[-1,1],求出数量积，由P的坐标的范围可得答案.

【解答过程】以当4为x轴，BiG为y轴，为z轴，/为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,2),4(4,0,2)、。(4,3,2),Q(0,3,0),设点P(x,y,z),

所以说=(一4,0,0),AP=(x-4,y,z-2),AD=(0,3,0),宿=(-4,3,-2),B^P=(x,y,z),

因为忸iP|=l,所以，%2+y2+z2=1,<'•xG[-1,1],yE[—1,1]?zG[—1,1],

lr=AB-AP=-4(x-4),l2=AD-AP=3y,

I3=ACl-AP=-4(%-4)+3y-2(z-2),

/i-/2=-4(%-4)-3y=16-4%-3y>。恒成立，故C正确，A不正确；

—13=—3y+2(z—2)=-4—3y+2z,令»则y=~~~,

I-----------------------------------------I-------------------------------------------------------------------14X13X16-162

丽=J%2+y2+z2="+Z2=+13Z。尸62丫遗了优?J黄=言>1,

矛盾，所以B不正确；

I2-I3=4(x-4)+2(z-2)=-20+4x+2z<0恒成立，所以D不正确.

故选：C.

【题型5空间向量的夹角、垂直问题】

【例5.1］（23-24高二下•江苏连云港•期中）已知平行六面体4BCD-久%的/中，4%=2,BD=3,

友-福•前=4,则cos（京，画=（）

【解题思路】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求布,丽，结合向量夹角公式可求结论.

【解答过程】因为砧-DC-AB^-BC=（AD+丽）-AB-（AB+标）•AD

^AD-AB+标-AB-ABAD-京-AD=京-（AB-AD）=瓯•丽=4

所以丽＞.丽=-4,

AA^-^D_-42

cos(AA,BD)=

1|Z47|-|BD|-2X33

故选：B.

【例5.2](23-24高二上.浙江湖州•期中)设空间两个单位向量力？=(m,n,0),OB=(O,n,p)与向量3=

(1,1,1)的夹角都等于?，则COSNAOB=(

A.守B.萼

C.上正或社空D.等或等

44

【解题思路】首先根据而为单位向量得到小+n2=l,再利用市与方的夹角等于％得m+n=咚联立方

42

程求解出zn与n的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.

【解答过程】••・空间两个单位向量6？=(m,n,0),OB=(0,n,p)与向量瓦=(1,1,1)的夹角都等于9

4

ZXOC=Z.BOC=J,\OC\=A/3,

■.■OA-OC^\OA\­|OC|■coszXOC=浮

又。

4-OC=m+n,m+n=2

又瓦?为单位向量，m2+n2=1,

(,V6

联立加+n=万

^m2+n2=1

,:OA=(m,n,0),OB=(0,n,p)，

ACC72±V3

•••cos乙AOB==——.

4

故选：c.

【变式5.1](2024高二・全国・专题练习)如图，正方体/8。。-418修1。1的棱长是口，和。的相交于点。.

⑴求E.丽；

(2)求刀与方的夹角的余弦值

(3)判断而与E是否垂直.

【解题思路】

(1)利用数量积的公式可得；

(2)先用荏，而，亚表示前，利用数量积运算律可得而•而、|同|进而利用公式可得而与方的夹角的余

弦值.

(3)利用数量积运算律得而­鬲=0,进而可得同与E是否垂直.

【解答过程】(1)正方体aBCO—A/iGA中，CD1=&a,(近，加)=]

故C£)i•CD=V2aXaXcos-=a2.

4

(2)由题意知，AB-AD=0,AB-AA^=0,AA^-AD=0,

AO^AD+D0=AD+^(AB+丽)，

|而|=J所+|(屈+两『=J而2+[乐2+]丽2=学，

故而•CB=-AO-AD=-^AD+^(AB+4^)]-AD=-a2,

(3)由题意，AB-AD=0,AB-AAi=O.AAl-AD=0,

AO-CDl=[AD+|(AB+矶)]­(AA^-AB)

=三丽2--AB2=0,

212

故而与E垂直.

【变式5.2](23-24高二上•山东枣庄•期中)如图，在底面4BCD为菱形的平行六面体4BCD-41&C也中,

M,N分别在棱A4i，CCi上，且=]a&,CN=[CQ,=^ArAB=ADAB=60".

(1)求证：共面;

(2)当絮为何值时，4C11&B.

【解题思路】(1)根据空间向量线性运算的几何表示可得丽=祈瓦，进而即得；

(2)设44］=泊AD=b,AB=a,然后利用2,石，不表示出4c八A±B,再利用向量的夹角公式可得答案.

【解答过程】(1)在平行六面体4BCD中，连接M。、DN、NB［、B±M,

1-1

因为=：A4i，CN=：CG，

所以］^==(亚+=巳咫+荏，

DN=DC+CN=A1B1+^CC1=^AA±+AB,

所以丽=西，即。N=MB1且DN〃MB「所以四边形0M4N为平行四边形，即D,MB1,N共面；

(2)当管=1时，4cli&B,理由如下，

设瓯=3AD=b,AB=a,且/与左3与d、另与2的夹角均为60。，

因为底面4BCD为菱形，所以间=|却

-*---*---»----»---->---»—

ACr=AAr+ArCr=y41B1+A1D1+AAr=a+c+b,

ArB=ArA+AB=a—c,

若4G_LAiB,则宿_1硕，即

22

A•ArB=(a+c+S)(a—c)=(a)—(c)+d-b—c-b=0,

即|2|2—\c\2+|a|•|b|cos60°—\c\•|K|COS60°=|a|2—\c\2+1|a|2—||c|-|a|=0,

解得同=同或3同+2\c\=0舍去，

即q=1时，AQLArB.

【题型6利用空间向量的数量积求模】

【例6.1］（23-24高二上.湖北荆门•期末）已知平面a和平面£的夹角为60。，=I,已知A,B两点在

棱上，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知2B=4,AC=BD=6,则CD

A.2V13B.2V31C.6V2D.2旧或2同

【解题思路】由题意可得二面角的大小为60。或120。，贝可襦,丽）=60。或120。，将加用襦,屈，丽，结合

空间向量数量积的运算律即可得解.

【解答过程】平面a和平面0的夹角为60。，则二面角的大小为60。或120。，

因为力C114B,所以（刀，丽）=60°或120°,

由题可知而=CA+AB+BD,

2

•••CD2=（CA+AB+BD）=CA2+AB2+BD2+2CA-AB+2AB-JD+2CA-BD

=36+16+36+0+0+2x6x6x（±1）,

故而2=52或加2=124,

|CD|=2g或画=2VH.

故选：D.

【例6.2］（23-24高三下•北京.开学考试）正方体ABC。的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点

P在平面41816必上，且4P，平面线段4P长度的取值范围是（）

A.[1,V2]B.偿，网C.黑闾D.将+8)

【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.

【解答过程】

以0为坐标原点，以石?，反,可分别为x,y,z轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设P(a,b,l)，M(O,l,t)(O<t<l),

则4(1,0,0),8(1,1,0),A(0,0,1),则族=(a-1,6,1),西==(0,-1,1-t),

因为力Pl平面所以AP1B£)i，4P1

即"吐lii+…，解得｛：=；+；，

IAP-MD]=—b+l—t=0lb=1-t

所以Q=(t,1-t,1),所以|而|二Vt2+(l-t)2+l=，2(t—y+£

又OWtWl,所以当t=3时，即M是Ct：1的中点时，|布|取得最小值日，

当t=0或1,即M与点C或G重合时，|都|取得最大值VL

所以线段力P长度的取值范围为[当,夜].

故选：C.

【变式6.1](2024高二・全国・专题练习)如图，正四面体(四个面都是正三角形)0ABe的棱长为1,M是

棱BC的中点，点N满足标=2丽，点P满足方=|就

o

（1）用向量6?，OB,反表示赤；

（2）求|函.

【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；

（2）先计算加2=6市+：而+5而丫，再开方即可求解.

【解答过程】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足前=2而，点P满足衣=三丽.

4

所以况=OA+AP=OA+-AN=0A+-（0N-~0A\=-~0A+-ON=-OA+-X-OM=-OA+-X

44v74444342

-（OB+0C）=-OA+-OB+-0C；

217444

（2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1,

所以ImI=\0B\=\oc\=1,AAOB=〃0C=4B0C=p

所以市OB=OB-OC=OA-OC=lxlx^^,

所以加2=Ca+；砺+：方J

111111111

=—OA2+—OB2+TTOC2+2----OA-OB+2----OB-OC+2----OA-OC

161616444444

1,1,1.11,13

--1----1----1----1----1--=一，所以I函=*

1616161616168

【变式6.2］（23-24高二上.重庆.期末）如图，在平行六面体43。。一4/16。1中，乙4遇。=%乙41aB=%

/.BAD=pAB=6,AD=4,44]=3VLAC与BD相交于点0.

⑴求屈•前;

⑵求4。的长.

【解题思路】⑴根据荏•丽=\AB\-\AD\-cos(屈，而)，代入数值直接求得结果;

(2)化简可得|砧|=*荏+3前-河I，然后采用先平方再开方的方法求解出|兀方|,则久。的长可知.

【解答过程】（1）AB-AD^|AB|■\AD\■cos（AB,AD）=6x4xcos^=12.

（2）因为初^AO-AA^^-A42=|（AB+XO）-A4t=|AB+1AD-AA^,

所以|兀可=|j^F+|AD-AB+lAD-AA^f

1।-----»121।----->12*------->>21----->----->-----»------->------->----->

4M司+,|皿+M&I+-AB-AD-AB-AAt-AAr-AD

111n

-x36+-xl6+18+-x6x4xcos-—6x3A/2xcos——3,\/2x4xcos~

442344

=V9+4+18+6-18-12=V7,

所以4。的长为夕.

1.空间向量的坐标

在空间直角坐标系。孙Z中，给定向量e作QA=〃.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,

z),使〃=xi+)y+zA.有序实数组(x,y,z)叫做。在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a=(x,y,

z)・

2.空间向量的坐标运算

设〃=(〃1，〃2，的)，b=(bl，/?2>仇)，有

向量运算向量表示坐标表示

加法a~\~b〃+)=(。1+仇，念+岳，的+加)

减法a-ba—b=(a\—bi9a2一岳,的一加)

数乘AaAct=（Xu1,2。2，%。3），%£R

数量积ab。仍=。仍1+〃2。2+〃3%

►题型归纳

【题型7空间向量平行、垂直的坐标运算】

【例7.1](2024高二上•全国・专题练习)已知五=(2+14,22)5=(6,2m-1,2).

(1)若2IIb,分别求X与m的值;

(2)若⑷=逐，且与0=(2,—24,—2)垂直，求2.

【解题思路】(1)利用向量平行的条件即可求解；

(2)利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解.

【解答过程】(1)因为日||「

所以设(4+1,1,22)=fc(6,2m-1,2),

所以1=fc(2m-1),解得F=fc=5,

,22=2kIm=3

所以2=I，m=3.

(2)因为同=面,且与「=(2,-2九一4)垂直,

所以12Mq充1-AX£t。，化简得色浮;，解得，=-1.

故,=(0,1,-2).

【例7.2](23-24高二上•安徽宿州•期中)已知空间向量,=(2,-1,3),3=(皿4,荏).

(1)若，〃落且2・8=28,求而勺坐标；

(2)若汇13,且zn>0,几>0,求nm的最大值.

【解题思路】(1)直接由向量共线定理、数量积的坐标公式运算即可求解.

(2)首先由向量垂直的坐标表示得到条件等式，结合基本不等式即可求解，注意取等条件是否成立.

【解答过程】(1)由题意=优，五=(2,-1,3)。6,所以不妨设=2落

又五•c=28,

从而五-c=Aa2=A|a|2=AX[22+(—I)2+32]=28,

解得2=2,所以1=Ad=2d=(4,—2,6).

(2)由题意d1b,所以五•b=2m—4+3n=0,即27n+3n=4,

又因为m>0fn>0,

所以由基本不等式可得27n+3n=4>276mn,等号成立当且仅当TH=l,n=|,

解得nm<I，

所以当且仅当m=1,九=|时，nm的最大值为|.

【变式7.1](23-24高二下•江苏盐城•阶段练习)已知向量五=(-2,-1,2)5=(一1,1,2)1=(%2,2).

(1)求。-2b\；

⑵当n=2/时，若向量公+3与，垂直，求实数x和k的值；

(3)若向量，与向量亦另共面向量，求久的值.

【解题思路】(1)根据空间向量的模长公式求解即可.

(2)根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.

(3)根据向量共面定理，建立向量m与向量a1之间的表示，可得方程组，求解即可.

【解答过程】(1)•.-a=(-2,-l,2),b=(-1,1,2),

o-2b(-2,-1,2)—2(—1,1,2)=(0,-3,一2),

•••|a-2b\=V9T4=V13.

(2)因为用=2V2,

所以-/+22+22=2a,解得x=0,

因为k2+3=(―2k—1,1—k,2k+2),且向量kN+3与^垂直，

所以(而+1)1=0c=(0,2,2)

即2—2k+4k+4=2k+6=0,

•••k=-3.

所以实数X和k的值分别为0和-3；

(3)解：设｝=