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文档简介
柯西不等式与权方和不等式2025高考数学专项复习含答案
轲曲不等式与收方布系等大
目录
题型一二维形式下的柯西不等式.........................................................1
题型二三维形式下的柯西不等式..........................................................2
题型三权方和不等式....................................................................3
题型练习................................................................................5
题型综述
题型一
【解题规律•提分快招】
1.二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,R,当且仅当ad=be时,等号成立)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)Va2+b2-Vc2+d2>\ac-\-bd\(a,b,c,dER,当且仅当ad=be时,等号成立)
(2)Va2+62•Vc2+d2\ac\+\bd\(a,b,c,R,当且仅当ad=be时,等号成立)
(3)(a+b)(c+d)>(Vac+Vbd)2(a,b,c,d>0,当且仅当ad=be时,等号成立)
【典例训练】
一、单选题
1.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量尢=(0,%)/=(g,纺),由\a-b\
&|a||fe|得到(gg+幼纺)V(/+*)(潺+漏),当且仅当知/2=c2%时取等号.现已知a>0,b>0,a+
b=5,则0E+J中的最大值为()
A.18B.9C.2V3D.3A/3
2.若实数a,b,c,d满足ab+be+cd+da=1,则a?+262+3c2+4d2的最小值为()
A.1B.2C.3D.以上答案都不对
3.(2024・浙江・一模)若近11'+85『+5山口+7)=2,则311]\的最小值是()
A.0B.2—V3C.3—V7D.
二、多选题
4.(2024高三上.新疆・期中)已知X>0,y>0,且不等式4+1)+[(『+】)-2网守之0恒成立,则
加的取值可能是()
A.—4B.—2C.2D.4
三、填空题
5.(23-24高三上•安徽•阶段练习)为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设
了《数学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上,学生甲运用平面向量的数量积
知识证明了著名的柯西不等式(二维);当向量.(工时,有阿明礼即
;
(国以+jv:r<iv+r;l|r+匚当且仅当2、=xj时等号成立;学生乙从这个结论出发.作一个代
数变换,得到了一个新不等式:Ek-FJJ.工:一7门;7力,当且仅当V>=LI时等号成立,并取
12
名为“类柯西不等式”.根据前面的结论可知:当:veR时,2r7T-7TT的最小值是.
题型二三维形式下的柯西不等式
。¥题规律•提分快招】
柯西不等式的扩展:储+a;+a;+…+。;耨+方;+6;+…+片)N(岫+与4+%&+••,+a/),
当且仅当外:许=%也=…=/:&时,等号成立.
注:有条件要用;没有条件,创造条件也要用.比如,对/+6:+C),并不是不等式的形状,但变成
1・r+F+12)・(,
,就可以用柯西不等式了.
【典例训练】
一、填空题
6.(2024高三下•浙江•阶段练习)若24+39+z=7,则d+靖+z2的最小值为.
7.2024高三下•浙江•阶段练习)已知炉+靖+z2=l,<1+36+祈0=16,则(1-。「+11一°「+(二-。「的
最小值为.
8.(24-25高三上•陕西西安•阶段练习)存在正数",二,使得不等式《+廊+匠2M+J+二成立,
则加的最大值是.
9.已知]+[+[=。,且同小卜叶1,实数XJ二满足X+/+二・1,且114K,则
恤+J*引的最小值是.•••
二、解答题
10.(24-25高三上•辽宁•阶段练习)我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式:V。力eR,
a+b:>2ab,当且仅当。=匕时,等号成立.我们从不等式a:+b:22演出发,可以得到一个非常优美的
不等式一一柯西不等式,柯西不等式的一般形式为:vqq,。力.力「力YR,且也
3+运+-+可)(r+因+-+汇)2(44+。。+-+。也)',当且仅当]-7-时,等号成立.
⑴若x+》+上=3招,求/+「+二:的最小值;
(2)求6+J3x-32+7-1的最大值;
⑶若。>3,b>3,不等式a'+V-3a:-劲途”a-3)。-3)恒成立,求m的取值范围.
11.(23-24高三下.黑龙江佳木斯.期中)在中,NR,一3,N。对应的边分别为〃,0,c,
2sinXsinBsinC-73|sin5+sn:C-sin:力]
⑴求A;
⑵若“为BC边中点,比・仃,求⑷/的最大值;
⑶奥古斯丁潞易斯•柯西(Aitgast而LouisCauc切,1789年-1857年),.法国著名数学家,柯西在
数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公
式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在,在(1)的条件下,若
a-2,P是」BC内一点,过P作/瓦BC,4。垂线,垂足分别为。,E,斤,借助于三维分式型柯西
£+五+二之曳*宜土=土=二
不等式:J,J:,J\eR',「月兀-Ji+4+几,当且仅当「J:J,时等号成立.求
5国+西+四
PD\网\PF的最小值.
题型三权方和不等式
。¥题规律•提分快招】
a1bz、(a+Z>)3ab
----+,->-------------■
权方和不等式:若4,6,第丁>0,则、了—v+r,当且仅当x1y时,等号成立.
证明1:-a,b,x,y>0
a—+b)’
要证xyx+y
ya2+xb2>(a+Z>)2
只需证-TVX+.V
即证邛乜,+j,2a2+x2b2+耳上*Nqu?+2x)^5+^b2
故只要证>2x)'ab
(ya-xb)2N0
当且仅当J'。-=0时,等号成立
a3b1(a+6)3a_b
---------------------
即x,v-x+丁,当且仅当X丁时,等号成立.
,a2b2a2b2(a+b)2
(一+—)(x+j)>(a+b)2J—+—>-----
证明2:对柯西不等式变形,易得x)1在。也”>°时,就有了xrx+J当
ab
x'j'时,等号成立.
三时,等号成立.
推广1:Xr二K+J+二当xy
式+五+…+42(。1+々2+-+々尸
推广:2:若4>0,4>0,则仄瓦bt4+0+…+么,当%=劝》时,等号成立.
.+11a,+i八a+%++%)-
H---r
m
推广3:若火>0,4>0,m>0,则b,(久+4+…+.J,当/=电时,等号
成立.
【典例训绘】
一、填空题
18
12.已知正实数X、丁且满足、+J-1,求丁.丁的最小值.
13.(2024高三・全国・专题练习),2snfx+3+5cos:K+6的最小值为.
a+1d+1
14.(2024.河南信阳.模拟预测)已知正数3满足"+"五TVW,则a+b的最小值为.
题型练习
一、单选题
15.实数小夕满足#+4r=12,则二=入+&,的最小值是()
•M
A.-5B.-6C.3D.4
16.若实数K+-y+3二=i,则、:+/+二;的最小值为()
ii
A.14B.14C.29D.29
17.已知X>0,J€R,且广+V-T+5j,-30,则万7+J30-31的最大值为()
A.B.46C.D.3把
二、多选题
(1Y/2(3丫27
x+-+Cr+1),+:+—--
18.设非负实数,二满足I9IV4,则K+J+二的()
Vr-3炉-137
A.最小值为-2-B.最小值为-2-C.最大值为ID.最大值为I
19.(24—25高三上•新疆•期中)已知:v>O,J>0,且不等式小+9"恒成立,
则加的取值可能是()
A.-4B.-2C.2D.4
三、填空题
18
20.已知正实数X、F且满足K+J-1,求二十尸的最小值.
21.(2024高三・全国・专题练习)已知X+为+上+包+5,=30,求:V+2,V+3:+知+5/的最小值为
111
22.(2024高三・全国・专题练习)已知a,b,c为正实数,且满足a+4b+9c-4,PIl|a+l+d+l+c+l的最小
值为.
23.(23-24高三下.全国.强基计划)已知'」+.「+二1,则'+;、上+3的取值范围是.
四、解答题
24.(23—24高三下•山东•期中)在_ABC中,NANB,NC对应的边分别为
a,b,c,b^nA+ntaivlcosB-2asinC.
⑴求A;•M
(2)奥古斯丁・路易斯•柯西,法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公
式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问
题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式:K&+川1si+j'I";+.
2
Vr;r;(X1+x2+xjX,_r2_X.
I.,IT,I,tIX.,-----T------十-----二----------------------------------------------
②已知三维分式型柯西不等式:‘.一/y:y,■+八+J,,当且仅当储y:入时等
号成立.若。・3,p是_ABC内一点,过P作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D.E.F,求
T_\AB\+9^C\+\AC_
\PD\\PE\附的最小值.
相曲不号式鸟叔方伞茶书武
目录
题型一二堆形式下的村西不等式..........................................................1
题型二三雉移式下的村西不等式..........................................................4
题型三权方和不等式....................................................................9
题型练习...............................................................................12
题型综述
题型一|二维形式下的柯西不等式
【解题规律•提分快招]
1.二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(Q,b,c,dRR,当且仅当ad=be时,等号成立)
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)Va2+b2,Vc2+d2\ac+bd\(a,b,c,de凡当且仅当ad=be时,等号成立)
(2)Va2+b2-Vc2+d2>\ac\+|bd|(a,b,c,dG凡当且仅当ad=be时,等号成立)
(3)(a+b)(c+d)>(Vac+Vbd)2(a,b,c,d>0,当且仅当ad=be时,等号成立)
【典例训练】
一、单选题
1.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量日=(刈,%),1=(g,纺),由\a-b\
W向网得到(宓便2+%纺)2W("+*)(涕+居),当且仅当*〃2=久2nl时取等号.现已知a>O,b>O,a+
b=5,则与有+后忑的最大值为()
A.18B.9C.2V3D.3V3
【答案】O
【分析】根据(2何2+统统)2w(。2+资)(诧+或),令g=蓼,%=1,22=Va+1,y2—Jb+3代入公式,结合
已知条件a>0,b>0,a+b=5即可得到结果.
【详解】因为(工通2+3%)24(d+洸)(退+弱),
=
令,1=鱼,?/i=1,T2=Va+1,?/2Vb+3,又a>0,b>0,a+b=5,
所以(〃2a+2+V6+3)=(V2•〃a+l+1,V6+3)2[(A/2)2+12],(a+1+6+3)—27,
当且仅当V2•Jb+3=1•Va+1即a=5,6=0时等号成立,
即,\/2a-+2++343A/3
故选:D.•••
2.若实数Q,b,c,d满足ab-\-bc+cd+da=1,则a2+2b2+3c2+4d2的最小值为()
A.1B.2C.3D.以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.
【详解】根据题意,有ab+bc+cd+da=l^=>(a+c)(b+d)=1,
而(Q2+3C2)(1+2_)>(a+c)2,当且仅从a=3c时等号成立.
同理(2〃+4d2岛+?)>(b+d)2,当且仅当2b=4d式等号成立,
记题中代数式为“,于是M=(a2+3c2)+(2〃+4d2)
(a+c>,e+d)
4---1-十一I—I—34
1+J2+4■/+»+淤+*2(4+。)0+")=2
a+c_4
等号当G+d3时取得,因此所求代数式的最小值为2.
故选:E.
an
3.(2024•浙江•一模)若'+c°sJ+smi\+「l=?,则anv的最小值是()
A.0B.2—73C.3—V7D.
【答案】。
【分析】先把已知整理成?7巾\・(加\+1](:叼+<20$1:01]」的形式,再把等式的右边利用柯西不等式进行
放缩,得到关于an.v的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知向x+cosr+nnvcojy+cosxsinr-2整理得
2-sinr=(sinx+1)cosj+cosrsinj
由柯西不等式得
(sinr+1)cosj+cosxany<1+anxf+cos2xJss'j+sin:J=j2+2sinx
当(sinr+lisnj=cosrcosx时取等号,
所以("sin、।--+-anvsin;x-6sin.v+2<0,
解得3-JTSsinx,所以sin、的最小值为3-".
故选:C.
二、多选题
4.(2024高三上.新疆•期中)已知r>0,J>0,且不等式x(V+n+J(•)'+1「H裙-2M口2°恒成立,则
•••
>n的取值可能是()
A.-4B.-2C.2D.4
【答案】ECD
.cJx+l)'(j+l)2(x+l)'(J+1)2
in--2»i4----L+2TL2---L+li—L
【分析】将不等式变为yx,利用柯西不等式和基本不等式可求得Jv
的最小值,进而构造不等式求得加的取值范围,从而得到结果.
2222
,,、“,<X(X+1)J(J+1)_(X+1)(J+1)
【详解】由X(X+1「+J(J+1「一(犷一加)920得:加T”一F-+—1+1―,
[(8'+(五)[比X+l)+(J+l)7X+1J+1
(当且仅当yx,即\时取等号),
..如+02(-F+2J(K+"+4("W+4JL+4>2层,),+4=8
yxx+rx+r*x+j丫x+j(当
且仅当K=J=1时取等号),
X(X+1/J(J+l「|
即当X=J=1时,LM'9Jm.,
nr'-2)M<8,解得:-24打44,:.汾可能的取值为一二24.
故选:BCD.
三、填空黑
5.(23-24高三上•安徽•阶段练习)为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设
了《数学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上,学生甲运用平面向量的数量积
知识证明了著名的柯西不等式(二维);当向量。=(\JM=(工,J:)时,有卜邛印「付,即
田&+rr<>t:+1-lir+J;),当且仅当xj,=4厂时等号成立;学生乙从这个结论出发.作一个代
数变换,得到了一个新不等式:JJJ?门一「“';7力,当且仅当V;-工丁时等号成立,并取
12
名为“类柯西不等式”.根据前面的结论可知:当:V€R时,3771-m的最小值是.
【答案】-1
【分析】根据不等式构造不等式左侧
•M
=.V2x:+1-=-Z+2)=1
WW+1力x:+2),
i______ol_____
-===「JW+2=-=^=,J2x'+1
当且仅当J2/+1V2x-+2,即T=。时,等号成立,
f77-j--T^rj[(2r+l)-(2x:+2)]<l-f7777-^^7]^1
J______2______J_______
所以W+l7+T2x'+l2x"+2,最小值为_1,此时
故答案为:_1.
题型二三维形式下的柯西不等式
【解题规律•提分快招】
柯西不等式的扩展:(4+d+d+…+4耨+片+6“…+b血(砧i+a向+*+...+*),,
当且仅当为:4=:&=…=&:4时,等号成立.
注:有条件要用;没有条件,创造条件也要用.比如,对/+/+”,并不是不等式的形状,但变成
1・伊+尸+12).田+/+1)
3'''就可以用柯西不等式了.
【典例训练】
一、填空题
6.(2024高三下•浙江•阶段练习)若2/+39+z=7,则d+靖+z2的最小值为
【答案】.
【分析】利用柯西不等式(〃+靖+婷),(22+32+12)>(2z+3y+zy可直接求得结果.
【详解】由柯西不等式得:(d+城+z2)•(22+3?+12)>(2x+3y+zf,
即14(d+必+z2)>49,.•.炉+炉+22>](当且仅当号=卷=z时取等号),
.•.C2+靖+z2的最小值为日.
故答案为:[■.
7.2024高三下•浙江•阶段练习)已知x2+y2+z2=l,a+3b+VGc=16,则+1r-。「+(二-。「的
最小值为.
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
[详解]..a+弘+技=]64+3:+(《「yja:+b:+c:=4^a:+b:+c:
・•・++d24,当且仅当1$后时等号成立,即4=1,。=3,c=而,
..(x-ar+ir-br+|二一cr=w+益+c二i+a:+2r+c1
i1-2y/x:+j,2+r*-jcr+d:+c:+a:.加+c:-l・2jd+b:+/+〃‘+b+c:
____..2a_b_c]3-J6
=|Ja-+b:+c--1|",当且仅当x丁二时等号成立,可取'=7)=了~=彳
故答案为:9
8.(24-25高三上•陕西西安•阶段练习)存在正数'J;,使得不等式6+&+阮-C+J+二成立,
则加的最大值是.
【答案】3
【分析】运用柯西不等式计算即可.
(1+3+5XX+J+二)2(用历+图:技+凭
【详解】解:由柯西不等式可知/+『+二
由-6+F+F能成立=>加43,*「3
故答案为:3.
9,已知?+«Z+«I-6,且同=同=印1,实数X./.-满足X+J+5-1,且W产a,则
M+j1+可的最小值是.
【答案】3/0-25
4
【分析】在平面直角坐标系中,令°・(L°),由此求出°二与L的坐标,再用x,y表示出M+E+二巩然后
借助柯西不等式求解作答.
【详解】在平面直角坐标系中,令3=(1,0),设1=(cosd,sm穴则£=(-1-85a一2份,
|钎=2+28®1,解得c"T则而6・;4,依题意,不妨令”-(4-2>5-C4,2\
而―产DG$43+舟-亭,有।行+为+在「・
d“打+淖X+舟_鸟2=点(-Ay+3'][(^x-+gx+后y-当)
2点(-扬嘉-;)+3(。1+舟・4)『・£(37^-&):
X1————A1I,
3」旦+所且,,
333v,-)11
当且仅当三片3,即2x+r=1时取“=",而°"v-y--r"1,贝"("-1)-2彳,当且仅当
•••
v-—1
”2时取
___.11iii
因此,『2/)—1)之正,当且仅当2x+.r=[且J=三,即、=彳且J=1时取“=",
丫_1”_1-.1I一—-I1
所以当彳,J=亍,~了时,K+"+狙|取得最小值.
i_
故答案为:z
【点睛】思路点睛:已知几个向量的模,探求向量问题,可以在平面直角坐标系中,借助向量的坐标表示,利
用代数方法解决.
二、解答题
10.(24-25高三上•辽宁•阶段练习)我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式:V。力eR,
a:+b:>2ab,当且仅当。・。时,等号成立.我们从不等式a:+b:"而出发,可以得到一个非常优美的
不等式一一柯西不等式,柯西不等式的一般形式为:旦力;也,力YR,且浊b
q_%_a*
(q:+a;+…+a:)(b;+W+…+b;)2(a1a+a也+…+a也丫,当且仅当个一]一…一口时,等号成立.
(1)若x+厅+上=30,求/+「+二:的最小值;
(2)求6+J3、-3?+7-\的最大值;
⑶若。>3,力>3,不等式a-如N*3)。-3)恒成立,求m的取值范围.
【答案】⑴3
(2)9
(3)m<24
【分析】(1)构造应用柯西不等式计算即可;
(2)构造应用柯西不等式计算即可;
a:b:1_£_+,)=?4
(3)先化简得出b-3a-3~,再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算16-3a-3)即可求
解;
【详解】⑴因为柯西不等式可得!厂+厂+二1(1+,+丁)之(*+?J+'),
又因为'+》+*=3百,
所以M+J'+::肘+>+>以3厨,即得''+尸+二'23.
u走.___2一
当且仅当‘-于J取最小值3;
[x+3r-32+4(17-x)]P+J+得2(《+757^5+717^7)’
(2)因为柯西不等式可得[」•,M
又因为K+3K3—+4(]7x)36,
3612+12+|1|>(Vr+V3r-32+
所以[⑵」,
___________二
即得("+'3x-32+481,化简得JT+J3X-31+J17-xS9,
当且仅当1=16取最大值9;
(3)因为"—3a♦—3)。-3),
a2b1
所以标(。一3)+^。一32械。一3。一3,所以君+口一’”,
v"加)
加£----+----
所以g-3a-3兀,
|—+-^—|(i-3+a-3)^(a+2,)2
因为柯西不等式可得2-3a-3),
又因为a>3,b>3,所以a+b>6,令,・。+。一6,
£+421^=叱=「+竺+12“jf3+12=24
所以U—3a—3)a+b—6ttVt
f、-5X
[aro-”
---+----=24
即得(b-3a-3),当且仅当a=。=6取最小值24;
所以m的取值范围是由<24.
【点睛】关键点点睛:化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点.
11.(23—24高三下.黑龙江佳木斯.期中)在一幺质?中,对应的边分别为〃,方,c,
2sin月sinBanC=^3isin:B+an:C-sin:Aj
⑴求A;
⑵若“为BC边中点,8・并,求期的最大值;
⑶奥古斯丁潞易斯•柯西(August班LouEsCauchy,1789^—1857^),.法国著名数学家,柯西在
数学领域有非常高的造诣,很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公
式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在,在(1)的条件下,若
a=2,P是一月BC内一点,过P作AB,8aAe垂线,垂足分别为。,及斤,借助于三维分式型柯西
E+匕彳*+-+xj,_X?_Xj
不等式::,匚,j'vR'元’77J;另+为+儿,当且仅当Jr.一时等号成立.求
T回4因\AC
'PDC阀门口的最小值.
兀
【答案】⑴M
••
3
⑵I
3273
(3)丁
【分析】(1)先用正弦定理角化边,然后结合余弦定理可以解出A.
AM=—\~AB+~^\
(2)利用余弦定理及基本不等式求出“43,再由.2将两边平方,根据数量积的运算律求
出山|的最大值;
(3)将7■构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式,然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.
[详解](1)因为"inRsinBsinC■B+sin;C-sin月]
由正弦定理得
由余弦定理k=d*+c:-2hccoi4,
所以2bcsiii4=JJx2加cosA,即siM=JJcos月,
若cos4・0,等式不成立,则C0Si4^0,可得tan4=有,
因为乂€1°”),所以'"I.
⑵
由余弦定理a'=d:+c:-2bccoi4,即3=2f+c'-加,所以/=3+dc22bc,当且仅当b=c时取等号,
所以三3,当且仅当。=。=J)时取等号,
(
因为A/为B“C边中点,所以AM~2-1AB+AC\1,
所以说二=l(AS+^4Cf=^\AB:+2ABAC^AC:|=+加+6)
■±13,+2加-4、乙9
44,
所以I।2,当且仅当。=。=时取等号,
2
所以HAf的最大值为2.
网4困陷=,4…_14*/
⑶\PD\\PE\\PF\\PD\\PE\\PF\c\PD\a\PE\b\PF\
qs-x上|PD|,L*=阿⑸,+S"+=S.必
火111
所以cpq+a附收冏=2S”.
_c24x2*b1、(力+c+412(b+c+41
T=-------+-------+-------2-------------=---------------
由三维分式型柯西不等式有c\PD\a\PE\b\PF\~2S_®®c
12.1
当且仅当1pq附附I即附=2/=?冏时等号成立.
由余弦定理a・b+c-2bcco・4得4・力'+C’一6,
(d+cf-4T2''b+4'.■5/^*I,"+‘+4’
所以(b+c)一4=珈即''3,则®c(b+c>一4
2®__273
丁22・1Ae
(r-4)-4k-£+i
令/・2+。+4,则rt
(b+c「-4
bc=-------------<
3
因为b+c>a=2,解得2<b+c44,当且仅当匕=c时等号成立.
2_<i2_
所以6<f48.则可一t6.
1」1也
当即b=c=2时,J有最大值正,此时T有最小值3
题型三权方和不等式
«¥题规律•提分快招】
a1b2(a+b)‘a_b
权方和不等式:若°石,工,丁>°,则.\,vx+y,当且仅当xr时,等号成立.
证明1:■.■a,b.\,y>0
a2b2(a+b)2
----r----r------------
要证X.vx+j,•••
ya2+xb2>[a+Z>)3
只需证-TVX+.V
即证邛乜,+j,2a2+x2b2+耳上*Nqu?+2x)^5+^b2
故只要证丁之
(jca-xb)2N0
当且仅当】口-xb=0时,等号成立
21(fl+6)3
-a----b-------------a-_-b-
即x,v-x+丁,当且仅当X丁时,等号成立.
、/、、/八25d3(a+d)2
(一+b—*)(x+j)>(a+b)J—+—>-----
证明2:对柯西不等式变形,易得x)1^在。也”>°时,就有了xrx+J当
ab
时,等号成立.
2222
a+d+c^(a+d+c)abc
推广i:7T三x+j+二’当:一了一二时,等号成立.
ai,ai,":、+-+%)'
--I---I**'I--±---------------
推广:2:若%>°,4>0,则济&bt~4+&+…+可,当%=时,等号成立.
^w+l〃㈱+1一次+1(K_LrI1X.、双+1
为上的,上%>(。1+知+…+4)
推广3:若4>°,4>0,加>0,则蚌二b海(d+3+…+"广,当公=瑟时,等号
成立.
【典例训绘】
一、填空题
18
12.已知正实数X、丁且满足、+J-1,求丁.丁的最小值
【答案「7
【分析】设'=cos;a,V
【详解】设:v=cos:a,J
27
由权方和不等式,可知
1_2v1v2
当且仅当cos:asin'a,即“3?3时取等号,
•M
1s
-r+~~
所以厂厂的最小值为27.
故答案为:27
13.(2024高三・全国・专题练习)'2sin'x+3+5cos:K+6的最小值为.
81
【答案】37/-37
〃、5S5241
/(x)=---------------I--------------------------------------1--------------------
【分析】’、?wnr+35cosr+65(2sin'+3)2(5cos、+6),进而利用权方和不等式可求最小
值.
〃、58
/(r)------:-------+-------;-------
【详解】2sin-x+35cos-x+6
=52T42>(5+4/________s1
5(2sin;x+3)2(5cos2r+6)10(sin2r+cos2r)+2737
5_4爷2
当且仅当5(2sin%+3)=半8s、+6),即51ng土下,cosx=士不时取等号,
〃、58S1
/(x)----------------+-------;----—
所以'''2an*x+35cos.K+6的最小值为37・
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