柯西不等式与权方和不等式-2025高考数学专项复习（含答案）

柯西不等式与权方和不等式2025高考数学专项复习含答案

轲曲不等式与收方布系等大

目录

题型一二维形式下的柯西不等式.........................................................1

题型二三维形式下的柯西不等式..........................................................2

题型三权方和不等式....................................................................3

题型练习................................................................................5

题型综述

题型一

【解题规律•提分快招】

1.二维形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,R,当且仅当ad=be时，等号成立)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va2+b2-Vc2+d2>\ac-\-bd\(a,b,c,dER,当且仅当ad=be时，等号成立)

(2)Va2+62•Vc2+d2\ac\+\bd\(a,b,c,R,当且仅当ad=be时，等号成立)

(3)(a+b)(c+d)>(Vac+Vbd)2(a,b,c,d>0,当且仅当ad=be时，等号成立)

【典例训练】

一、单选题

1.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯

西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量尢=(0,%)/=(g,纺)，由\a-b\

&|a||fe|得到(gg+幼纺)V(/+*)(潺+漏)，当且仅当知/2=c2%时取等号.现已知a>0,b>0,a+

b=5,则0E+J中的最大值为()

A.18B.9C.2V3D.3A/3

2.若实数a,b,c,d满足ab+be+cd+da=1,则a?+262+3c2+4d2的最小值为()

A.1B.2C.3D.以上答案都不对

3.(2024・浙江・一模)若近11'+85『+5山口+7)=2,则311]\的最小值是()

A.0B.2—V3C.3—V7D.

二、多选题

4.（2024高三上.新疆・期中）已知X>0,y>0,且不等式4+1）+[（『+】）-2网守之0恒成立，则

加的取值可能是（）

A.—4B.—2C.2D.4

三、填空题

5.（23-24高三上•安徽•阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设

了《数学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积

知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量.（工时，有阿明礼即

;

（国以+jv：r<iv+r;l|r+匚当且仅当2、=xj时等号成立;学生乙从这个结论出发.作一个代

数变换，得到了一个新不等式：Ek-FJJ.工：一7门;7力，当且仅当V>=LI时等号成立，并取

12

名为“类柯西不等式”.根据前面的结论可知：当：veR时，2r7T-7TT的最小值是.

题型二三维形式下的柯西不等式

。¥题规律•提分快招】

柯西不等式的扩展：储+a；+a；+…+。；耨+方；+6；+…+片）N（岫+与4+%&+••,+a/）,

当且仅当外：许=%也=…=/：&时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对/+6：+C），并不是不等式的形状，但变成

1・r+F+12)・(,

,就可以用柯西不等式了.

【典例训练】

一、填空题

6.（2024高三下•浙江•阶段练习）若24+39+z=7,则d+靖+z2的最小值为.

7.2024高三下•浙江•阶段练习）已知炉+靖+z2=l,<1+36+祈0=16,则（1-。「+11一°「+（二-。「的

最小值为.

8.（24-25高三上•陕西西安•阶段练习）存在正数"，二,使得不等式《+廊+匠2M+J+二成立,

则加的最大值是.

9.已知]+[+[=。，且同小卜叶1,实数XJ二满足X+/+二・1,且114K,则

恤+J*引的最小值是.•••

二、解答题

10.（24-25高三上•辽宁•阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：V。力eR,

a+b:>2ab，当且仅当。=匕时，等号成立.我们从不等式a：+b:22演出发，可以得到一个非常优美的

不等式一一柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：vqq，。力.力「力YR,且也

3+运+-+可）（r+因+-+汇）2（44+。。+-+。也）'，当且仅当］-7-时，等号成立.

⑴若x+》+上=3招，求/+「+二:的最小值；

（2）求6+J3x-32+7-1的最大值；

⑶若。>3,b>3,不等式a'+V-3a：-劲途”a-3）。-3）恒成立,求m的取值范围.

11.（23-24高三下.黑龙江佳木斯.期中）在中，NR,一3,N。对应的边分别为〃,0,c,

2sinXsinBsinC-73|sin5+sn:C-sin：力］

⑴求A；

⑵若“为BC边中点，比・仃，求⑷/的最大值；

⑶奥古斯丁潞易斯•柯西（Aitgast而LouisCauc切，1789年-1857年），.法国著名数学家，柯西在

数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公

式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若

a-2,P是」BC内一点，过P作/瓦BC,4。垂线，垂足分别为。，E,斤，借助于三维分式型柯西

£+五+二之曳*宜土=土=二

不等式：J,J：,J\eR',「月兀-Ji+4+几，当且仅当「J：J，时等号成立.求

5国+西+四

PD\网\PF的最小值.

题型三权方和不等式

。¥题规律•提分快招】

a1bz、（a+Z>）3ab

----+，->-------------■

权方和不等式：若4,6，第丁>0,则、了—v+r，当且仅当x1y时，等号成立.

证明1：-a,b,x,y>0

a—+b）’

要证xyx+y

ya2+xb2>(a+Z>)2

只需证-TVX+.V

即证邛乜，+j,2a2+x2b2+耳上*Nqu?+2x)^5+^b2

故只要证>2x)'ab

(ya-xb)2N0

当且仅当J'。-=0时，等号成立

a3b1(a+6)3a_b

---------------------

即x,v-x+丁，当且仅当X丁时，等号成立.

,a2b2a2b2(a+b)2

(一+—)(x+j)>(a+b)2J—+—>-----

证明2：对柯西不等式变形，易得x)1在。也”>°时,就有了xrx+J当

ab

x'j'时，等号成立.

三时，等号成立.

推广1：Xr二K+J+二当xy

式+五+…+42（。1+々2+-+々尸

推广:2：若4>0,4>0,则仄瓦bt4+0+…+么，当％=劝》时，等号成立.

.+11a,+i八a+%++%）-

H---r

m

推广3：若火>0,4>0,m>0,则b，（久+4+…+.J，当/=电时，等号

成立.

【典例训绘】

一、填空题

18

12.已知正实数X、丁且满足、+J-1，求丁.丁的最小值.

13.（2024高三・全国・专题练习）,2snfx+3+5cos：K+6的最小值为.

a+1d+1

14.（2024.河南信阳.模拟预测）已知正数3满足"+"五TVW,则a+b的最小值为.

题型练习

一、单选题

15.实数小夕满足#+4r=12,则二=入+&，的最小值是（）

•M

A.-5B.-6C.3D.4

16.若实数K+-y+3二=i,则、：+/+二;的最小值为（)

ii

A.14B.14C.29D.29

17.已知X>0,J€R，且广+V-T+5j,-30,则万7+J30-31的最大值为（）

A.B.46C.D.3把

二、多选题

（1Y/2（3丫27

x+-+Cr+1）,+：+—--

18.设非负实数，二满足I9IV4,则K+J+二的（）

Vr-3炉-137

A.最小值为-2-B.最小值为-2-C.最大值为ID.最大值为I

19.（24—25高三上•新疆•期中）已知:v>O，J>0,且不等式小+9"恒成立,

则加的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

三、填空题

18

20.已知正实数X、F且满足K+J-1，求二十尸的最小值.

21.（2024高三・全国・专题练习）已知X+为+上+包+5,=30，求：V+2,V+3:+知+5/的最小值为

111

22.（2024高三・全国・专题练习）已知a,b,c为正实数，且满足a+4b+9c-4,PIl|a+l+d+l+c+l的最小

值为.

23.（23-24高三下.全国.强基计划）已知'」+.「+二1,则'+；、上+3的取值范围是.

四、解答题

24.（23—24高三下•山东•期中）在_ABC中，NANB,NC对应的边分别为

a,b,c,b^nA+ntaivlcosB-2asinC.

⑴求A；•M

（2）奥古斯丁・路易斯•柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公

式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问

题中有着广泛的应用.

①用向量证明二维柯西不等式：K&+川1si+j'I"；+.

2

Vr;r;（X1+x2+xjX,_r2_X.

I.,IT,I,tIX.,-----T------十-----二----------------------------------------------

②已知三维分式型柯西不等式:‘.一/y：y,■+八+J,,当且仅当储y：入时等

号成立.若。・3,p是_ABC内一点，过P作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D.E.F,求

T_\AB\+9^C\+\AC_

\PD\\PE\附的最小值.

相曲不号式鸟叔方伞茶书武

目录

题型一二堆形式下的村西不等式..........................................................1

题型二三雉移式下的村西不等式..........................................................4

题型三权方和不等式....................................................................9

题型练习...............................................................................12

题型综述

题型一|二维形式下的柯西不等式

【解题规律•提分快招]

1.二维形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(Q,b,c,dRR,当且仅当ad=be时，等号成立)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)Va2+b2,Vc2+d2\ac+bd\(a,b,c,de凡当且仅当ad=be时，等号成立)

(2)Va2+b2-Vc2+d2>\ac\+|bd|(a,b,c,dG凡当且仅当ad=be时，等号成立)

(3)(a+b)(c+d)>(Vac+Vbd)2(a,b,c,d>0,当且仅当ad=be时，等号成立)

【典例训练】

一、单选题

1.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯

西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量日=(刈,%),1=(g,纺)，由\a-b\

W向网得到(宓便2+%纺)2W("+*)(涕+居)，当且仅当*〃2=久2nl时取等号.现已知a>O,b>O,a+

b=5,则与有+后忑的最大值为()

A.18B.9C.2V3D.3V3

【答案】O

【分析】根据(2何2+统统)2w(。2+资)(诧+或)，令g=蓼，％=1,22=Va+1,y2—Jb+3代入公式，结合

已知条件a>0,b>0,a+b=5即可得到结果.

【详解】因为(工通2+3%)24(d+洸)(退+弱)，

=

令，1=鱼，?/i=1,T2=Va+1,?/2Vb+3,又a>0,b>0,a+b=5,

所以(〃2a+2+V6+3)=(V2•〃a+l+1,V6+3)2[(A/2)2+12],(a+1+6+3)—27,

当且仅当V2•Jb+3=1•Va+1即a=5,6=0时等号成立，

即,\/2a-+2++343A/3

故选:D.•••

2.若实数Q,b,c,d满足ab-\-bc+cd+da=1,则a2+2b2+3c2+4d2的最小值为()

A.1B.2C.3D.以上答案都不对

【答案】B

【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.

【详解】根据题意，有ab+bc+cd+da=l^=>(a+c)(b+d)=1,

而(Q2+3C2)(1+2_)>(a+c)2,当且仅从a=3c时等号成立.

同理(2〃+4d2岛+?)>(b+d)2,当且仅当2b=4d式等号成立,

记题中代数式为“，于是M=(a2+3c2)+(2〃+4d2)

(a+c>,e+d)

4---1-十一I—I—34

1+J2+4■/+»+淤+*2(4+。)0+")=2

a+c_4

等号当G+d3时取得，因此所求代数式的最小值为2.

故选：E.

an

3.(2024•浙江•一模)若'+c°sJ+smi\+「l=?,则anv的最小值是()

A.0B.2—73C.3—V7D.

【答案】。

【分析】先把已知整理成？7巾\・(加\+1](：叼+<20$1:01]」的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行

放缩,得到关于an.v的一元二次不等式进行求解.

【详解】由已知向x+cosr+nnvcojy+cosxsinr-2整理得

2-sinr=(sinx+1)cosj+cosrsinj

由柯西不等式得

(sinr+1)cosj+cosxany<1+anxf+cos2xJss'j+sin：J=j2+2sinx

当(sinr+lisnj=cosrcosx时取等号,

所以("sin、।--+-anvsin;x-6sin.v+2<0,

解得3-JTSsinx，所以sin、的最小值为3-".

故选：C.

二、多选题

4.(2024高三上.新疆•期中)已知r>0,J>0,且不等式x(V+n+J(•)'+1「H裙-2M口2°恒成立，则

•••

>n的取值可能是()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】ECD

.cJx+l)'(j+l)2(x+l)'(J+1)2

in--2»i4----L+2TL2---L+li—L

【分析】将不等式变为yx，利用柯西不等式和基本不等式可求得Jv

的最小值，进而构造不等式求得加的取值范围，从而得到结果.

2222

,,、“，<X(X+1)J(J+1)_(X+1)(J+1)

【详解】由X(X+1「+J(J+1「一(犷一加)920得：加T”一F-+—1+1―,

[(8'+(五)[比X+l)+(J+l)7X+1J+1

(当且仅当yx，即\时取等号)，

..如+02(-F+2J(K+"+4("W+4JL+4>2层，)，+4=8

yxx+rx+r*x+j丫x+j(当

且仅当K=J=1时取等号)，

X(X+1/J(J+l「|

即当X=J=1时,LM'9Jm.,

nr'-2)M<8，解得：-24打44,：.汾可能的取值为一二24.

故选：BCD.

三、填空黑

5.(23-24高三上•安徽•阶段练习)为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设

了《数学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积

知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量。=(\JM=(工，J：)时，有卜邛印「付，即

田&+rr<>t:+1-lir+J；),当且仅当xj,=4厂时等号成立;学生乙从这个结论出发.作一个代

数变换，得到了一个新不等式：JJJ?门一「“'；7力，当且仅当V；-工丁时等号成立，并取

12

名为“类柯西不等式”.根据前面的结论可知：当：V€R时，3771-m的最小值是.

【答案】-1

【分析】根据不等式构造不等式左侧

•M

=.V2x:+1-=-Z+2)=1

WW+1力x：+2),

i______ol_____

-===「JW+2=-=^=，J2x'+1

当且仅当J2/+1V2x-+2，即T=。时，等号成立，

f77-j--T^rj[(2r+l)-(2x:+2)]<l-f7777-^^7]^1

J______2______J_______

所以W+l7+T2x'+l2x"+2，最小值为_1,此时

故答案为：_1.

题型二三维形式下的柯西不等式

【解题规律•提分快招】

柯西不等式的扩展：（4+d+d+…+4耨+片+6“…+b血（砧i+a向+*+...+*），,

当且仅当为：4=：&=…=&：4时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对/+/+”，并不是不等式的形状，但变成

1・伊+尸+12）.田+/+1）

3'''就可以用柯西不等式了.

【典例训练】

一、填空题

6.（2024高三下•浙江•阶段练习）若2/+39+z=7,则d+靖+z2的最小值为

【答案】.

【分析】利用柯西不等式（〃+靖+婷）,（22+32+12）>（2z+3y+zy可直接求得结果.

【详解】由柯西不等式得：（d+城+z2）•（22+3?+12）>（2x+3y+zf,

即14（d+必+z2）>49,.•.炉+炉+22>］（当且仅当号=卷=z时取等号），

.•.C2+靖+z2的最小值为日.

故答案为：［■.

7.2024高三下•浙江•阶段练习）已知x2+y2+z2=l,a+3b+VGc=16,则+1r-。「+（二-。「的

最小值为.

【答案】9

【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.

［详解］..a+弘+技=］64+3：+（《「yja:+b:+c:=4^a:+b:+c:

・•・++d24,当且仅当1$后时等号成立，即4=1,。=3,c=而，

..（x-ar+ir-br+|二一cr=w+益+c二i+a:+2r+c1

i1-2y/x:+j,2+r*-jcr+d:+c:+a:.加+c:-l・2jd+b：+/+〃‘+b+c：

____..2a_b_c]3-J6

=|Ja-+b：+c--1|"，当且仅当x丁二时等号成立，可取'=7）=了~=彳

故答案为：9

8.（24-25高三上•陕西西安•阶段练习）存在正数'J；，使得不等式6+&+阮-C+J+二成立，

则加的最大值是.

【答案】3

【分析】运用柯西不等式计算即可.

（1+3+5XX+J+二）2（用历+图:技+凭

【详解】解：由柯西不等式可知/+『+二

由-6+F+F能成立=>加43，*「3

故答案为：3.

9,已知?+«Z+«I-6,且同=同=印1,实数X./.-满足X+J+5-1,且W产a,则

M+j1+可的最小值是.

【答案】3/0-25

4

【分析】在平面直角坐标系中，令°・（L°）,由此求出°二与L的坐标，再用x,y表示出M+E+二巩然后

借助柯西不等式求解作答.

【详解】在平面直角坐标系中，令3=（1，0）,设1=（cosd,sm穴则£=（-1-85a一2份，

|钎=2+28®1，解得c"T则而6・;4,依题意，不妨令”-（4-2>5-C4,2\

而―产DG$43+舟-亭，有।行+为+在「・

d“打+淖X+舟_鸟2=点（-Ay+3'][（^x-+gx+后y-当）

2点（-扬嘉-；）+3（。1+舟・4）『・£（37^-&）：

X1————A1I,

3」旦+所且,,

333v，-）11

当且仅当三片3,即2x+r=1时取“="，而°"v-y--r"1,贝"（"-1）-2彳，当且仅当

•••

v-—1

”2时取

___.11iii

因此，『2/)—1)之正，当且仅当2x+.r=[且J=三，即、=彳且J=1时取“="，

丫_1”_1-.1I一—-I1

所以当彳,J=亍,~了时，K+"+狙|取得最小值.

i_

故答案为：z

【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利

用代数方法解决.

二、解答题

10.(24-25高三上•辽宁•阶段练习)我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：V。力eR,

a:+b:>2ab,当且仅当。・。时，等号成立.我们从不等式a：+b："而出发，可以得到一个非常优美的

不等式一一柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：旦力；也，力YR,且浊b

q_%_a*

(q：+a；+…+a：)(b；+W+…+b；)2(a1a+a也+…+a也丫，当且仅当个一]一…一口时，等号成立.

(1)若x+厅+上=30，求/+「+二：的最小值；

(2)求6+J3、-3?+7-\的最大值；

⑶若。>3,力>3,不等式a-如N*3)。-3)恒成立,求m的取值范围.

【答案】⑴3

(2)9

(3)m<24

【分析】(1)构造应用柯西不等式计算即可；

(2)构造应用柯西不等式计算即可；

a:b:1_£_+，)=?4

(3)先化简得出b-3a-3~，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算16-3a-3)即可求

解；

【详解】⑴因为柯西不等式可得!厂+厂+二1(1+,+丁)之(*+?J+'),

又因为'+》+*=3百，

所以M+J'+::肘+>+>以3厨，即得''+尸+二'23.

u走.___2一

当且仅当‘-于J取最小值3；

[x+3r-32+4(17-x)]P+J+得2(《+757^5+717^7)’

(2)因为柯西不等式可得[」•，M

又因为K+3K3—+4(]7x)36,

3612+12+|1|>(Vr+V3r-32+

所以[⑵」，

___________二

即得("+'3x-32+481，化简得JT+J3X-31+J17-xS9,

当且仅当1=16取最大值9；

(3)因为"—3a♦—3)。-3),

a2b1

所以标(。一3)+^。一32械。一3。一3,所以君+口一’”，

v"加)

加£----+----

所以g-3a-3兀，

|—+-^—|(i-3+a-3)^(a+2,)2

因为柯西不等式可得2-3a-3),

又因为a>3,b>3,所以a+b>6,令，・。+。一6,

£+421^=叱=「+竺+12“jf3+12=24

所以U—3a—3)a+b—6ttVt

f、-5X

[aro-”

---+----=24

即得(b-3a-3)，当且仅当a=。=6取最小值24；

所以m的取值范围是由<24.

【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点.

11.(23—24高三下.黑龙江佳木斯.期中)在一幺质？中，对应的边分别为〃，方,c,

2sin月sinBanC=^3isin：B+an:C-sin：Aj

⑴求A；

⑵若“为BC边中点，8・并，求期的最大值；

⑶奥古斯丁潞易斯•柯西(August班LouEsCauchy,1789^—1857^),.法国著名数学家,柯西在

数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公

式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在(1)的条件下，若

a=2,P是一月BC内一点，过P作AB,8aAe垂线，垂足分别为。，及斤，借助于三维分式型柯西

E+匕彳*+-+xj，_X?_Xj

不等式：:，匚，j'vR'元’77J；另+为+儿，当且仅当Jr.一时等号成立.求

T回4因\AC

'PDC阀门口的最小值.

兀

【答案】⑴M

••

3

⑵I

3273

(3)丁

【分析】(1)先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出A.

AM=—\~AB+~^\

(2)利用余弦定理及基本不等式求出“43,再由.2将两边平方，根据数量积的运算律求

出山|的最大值；

(3)将7■构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.

［详解］(1)因为"inRsinBsinC■B+sin;C-sin月］

由正弦定理得

由余弦定理k=d*+c:-2hccoi4,

所以2bcsiii4=JJx2加cosA,即siM=JJcos月，

若cos4・0，等式不成立，则C0Si4^0,可得tan4=有，

因为乂€1°”)，所以'"I.

⑵

由余弦定理a'=d:+c:-2bccoi4，即3=2f+c'-加，所以/=3+dc22bc,当且仅当b=c时取等号,

所以三3,当且仅当。=。=J)时取等号，

(

因为A/为B“C边中点，所以AM~2-1AB+AC\1,

所以说二=l(AS+^4Cf=^\AB：+2ABAC^AC：|=+加+6)

■±13,+2加-4、乙9

44,

所以I।2，当且仅当。=。=时取等号，

2

所以HAf的最大值为2.

网4困陷=,4…_14*/

⑶\PD\\PE\\PF\\PD\\PE\\PF\c\PD\a\PE\b\PF\

qs-x上|PD|，L*=阿⑸,+S"+=S.必

火111

所以cpq+a附收冏=2S”.

_c24x2*b1、（力+c+412（b+c+41

T=-------+-------+-------2-------------=---------------

由三维分式型柯西不等式有c\PD\a\PE\b\PF\~2S_®®c

12.1

当且仅当1pq附附I即附=2/=?冏时等号成立.

由余弦定理a・b+c-2bcco・4得4・力'+C’一6,

（d+cf-4T2''b+4'.■5/^*I,"+‘+4’

所以（b+c）一4=珈即''3，则®c（b+c>一4

2®__273

丁22・1Ae

（r-4）-4k-£+i

令/・2+。+4,则rt

（b+c「-4

bc=-------------<

3

因为b+c>a=2，解得2<b+c44,当且仅当匕=c时等号成立.

2_<i2_

所以6<f48.则可一t6.

1」1也

当即b=c=2时,J有最大值正，此时T有最小值3

题型三权方和不等式

«¥题规律•提分快招】

a1b2(a+b)‘a_b

权方和不等式：若°石，工，丁>°,则.\,vx+y，当且仅当xr时，等号成立.

证明1：■.■a,b.\,y>0

a2b2(a+b)2

----r----r------------

要证X.vx+j，•••

ya2+xb2>[a+Z>)3

只需证-TVX+.V

即证邛乜，+j,2a2+x2b2+耳上*Nqu?+2x)^5+^b2

故只要证丁之

(jca-xb)2N0

当且仅当】口-xb=0时，等号成立

21(fl+6)3

-a----b-------------a-_-b-

即x,v-x+丁，当且仅当X丁时，等号成立.

、/、、/八25d3(a+d)2

(一+b—*)(x+j)>(a+b)J—+—>-----

证明2：对柯西不等式变形，易得x)1^在。也”>°时,就有了xrx+J当

ab

时，等号成立.

2222

a+d+c^(a+d+c)abc

推广i：7T三x+j+二’当：一了一二时，等号成立.

ai,ai,":、+-+%)'

--I---I**'I--±---------------

推广：2：若％>°，4>0,则济&bt~4+&+…+可，当％=时，等号成立.

^w+l〃㈱+1一次+1(K_LrI1X.、双+1

为上的,上%>(。1+知+…+4)

推广3：若4>°，4>0,加>0,则蚌二b海(d+3+…+"广，当公=瑟时，等号

成立.

【典例训绘】

一、填空题

18

12.已知正实数X、丁且满足、+J-1，求丁.丁的最小值

【答案「7

【分析】设'=cos;a,V

【详解】设:v=cos：a,J

27

由权方和不等式，可知

1_2v1v2

当且仅当cos：asin'a,即“3?3时取等号,

•M

1s

-r+~~

所以厂厂的最小值为27.

故答案为：27

13.(2024高三・全国・专题练习)'2sin'x+3+5cos：K+6的最小值为.

81

【答案】37/-37

〃、5S5241

/(x)=---------------I--------------------------------------1--------------------

【分析】’、？wnr+35cosr+65(2sin'+3)2(5cos、+6),进而利用权方和不等式可求最小

值.

〃、58

/(r)------：-------+-------；-------

【详解】2sin-x+35cos-x+6

=52T42>(5+4/________s1

5(2sin;x+3)2(5cos2r+6)10(sin2r+cos2r)+2737

5_4爷2

当且仅当5(2sin%+3)=半8s、+6),即51ng土下，cosx=士不时取等号,

〃、58S1

/(x)----------------+-------；----—

所以'''2an*x+35cos.K+6的最小值为37・