开学自我检测三（难）-2024年高考数学一轮复习提升卷

开学自我检测03(难)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设全集U=R,集合/=卜1=j2-x},5==2*,xe/},则/口2=()

A.B.[2,+00)C.[2,4]D.(0,2]

【答案】D

【分析】由函数定义域求法可求得集合A；根据指数函数值域求法可求得集合3;根据交集定义可得结果.

【详解】由2-xNO得XV2,则/=(-叫2]；

当x42时，0<21<4,所以8=(0,4]；所以/门8=(0,2].

故选：D.

,,

2.已知复数4=加+(1-疗)i,(meR),z2=cos6+(2+sin6)i,(2,6»eR),并且z,=马，则几的取值范

围为()

A.-1<A<1B.--<A<0C.0<2<2D.--<2<2

44

【答案】D

【分析】利用复数相等的性质与三角函数的平方关系得到4关于sin。的关系式，再根据sin。的范围，结合

二次函数图像与性质即可得解.

,l

【详解】因为4=机+(1-疗)i,z2=cos6+(2+sin6)i,=z2,

[m=cosd

所以2i.q，消去加，得l-cos2e=/l+sin。，

[1-m=A+sm0

贝|几=5由28—5山6=卜116—；]一;

因为-1Wsin"l,

所以当sin。=1时，4取得最小值为当sin”-1时，4取得最大值为2,

24

所以

4

故选：D.

3.已知函数/⑺及其导数/'（x）满足/（力=/+2旷（2）,则/（X）的图象在点（2,/（2））处的切线斜率为

（）

A.4B.-4C.12D.-12

【答案】D

【分析】由导数的四则运算求/（X）,将工=2代入即可得对应点斜率.

【详解】由题设/'（x）=3/+2/⑵，则洋⑵=12+2/（2）,可得解⑵=-12,

故〃x）的图象在点（2,〃2））处的切线斜率为一⑵

故选：D

-

V5Vio兀3一

4.若sin2。=--,sin(/?-cr)=---，且。£_4,71_,匹兀，一兀,贝!|。+夕=（)

510L2_

7兀9兀-4iT-5兀

A.——B.—一D.——

4433

【答案】A

【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，3（。+夕）=8$[2。+（/?-0],根据三角函

数值确定。+尸的值.

【详角牟】sin2a=2sinacosa>0/.sina,cosa符号相同,

一71

又ae-,7iae2ae-,7i

42

可得cosla=一^^~

由sin2a=

55

.q「3兀10(7i5兀],、V10

又BG兀,〒,P-ae—,sin(/-a)=--->0,

[2」124」*J10

所以，/.cos(/?-6Z)=-^^-,

cos(a+/?)=cos[2a+(/-a)]=cos2acos(尸一a)-sin2asin-a)

2A/53VTOV5V10V2

=----x----------x----=---,

5105102

由ae私密，得a+4e字,2兀],:.a+(3=—,

_42jL2JL4)4

故选：A.

5.木楔子在传统木工中运用广泛，它使得梯卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用

于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的

正方形，且△4DE,△3CV均为正三角形，EFHCD,EF=2,则该木楔子的体积为（）

【答案】D

【分析】如图，分别过点/,8作E尸的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,C〃，取的中点O,连接

GO,求出SWG=SBCH="，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.

【详解】如图，分别过点/,3作E尸的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,C〃，

则由题意等腰梯形ABEF全等于等腰梯形CDEF,

取40的中点。，连接GO,因为/G=GD,所以GOJ.4D,

贝UGO=

•c_c_1V2,_V2

••LOG=3ABCH彳

因为AB//EF,AG1EF,所以因为四边形4BCD为正方形,

所以又因为40。4G=4,4D,/Gu平面4DG,所以48工平面NOG,

所以防」平面4G。，同理可证斯［平面5cH,

多面体的体积厂=嚏棱锥E—4DG+嚏棱锥尸一8cH+修棱柱4G。—=2嚏棱锥后―ZQG+丫三棱型GD—BHC

1V2

—x-----、2+g1=正

34243

故选：D.

6.已知直线y=&x+l与抛物线/=4了交于45两点，与圆，+（了-1）2=1交于C,。两点，4C在＞轴的同

侧，则就.丽=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】由已知联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示k.丽，并求其值.

【详解】由已知抛物线C的焦点厂的坐标为（0,1）,

直线48的方程为了=怎+1,

x2=4y

联立厂，消了得/-4百%-4=0,

y=v3x+l

设/（项,必）,矶龙2，%），则占+乂2=4右,而尤2=-4,

22

所以必％哈义宁=1,

圆/+3-1）2=1的圆心坐标为（0,1）,半径为I,

由已知可得|c刊=|。同=1,

所以就屈=园.网=（网一WM同一同）

=（网-1卜（网-1）=（M+1-11（％+1-1）=弘％=1

71—

7.记AA8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且C=§,c=2,则就•益的最大值为（）

A,正B.空+1C.述D.逑+2

3333

【答案】D

8

【分析】利用数量积的定义与正弦定理可得芯.而=Fsin8cos”,再利用两角和与差的正弦公式以及三

角函数的有界性求解即可.

IT

【详解】AA8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且C=1,c=2,

4。451cos/=2|T4C|COS^4=2bcosA,

bc24=6=%in8

由正弦定理可得sin6sinC百百

2

8

所以就.方=2bcos4=^sin5cos，,

sinBcosA-cos5sin/=sin（B—A）

由

sinBcosA+cos5sin/=sin伊+4）

可得sinBcos力=；［sin（8+/）+sin（5一4）］

=—1sing+sin（8-/）=J-B+sing.2/<V31

222

当且仅当年-2N=],即/=J时等号成立，

竽+2

所以NC45W+—

故选：D.

8.已知/(x)=21nx-x,g(x)=-^tx2+2tx,ZeR,则下列说法正确的是()

A.当f<ln2-l时，函数/(x)的图象和函数g(x)的图象有两个公共点

B.当ln2-l<t<0时，函数/(x)的图象和函数g(x)的图象只有一个公共点

C.当K-g或此0时，函数“X)的图象和函数g(x)的图象没有公共点

D.当-;</<ln2-l时，函数/(幻的图象和函数g(x)的图象只有一个公共点

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造函数以x)=/(x)-g(x),把两个函数图象公共点个数转化为函数力(X)零点个数

求解.

【详解】令〃(X)=/(x)-g(x)=2InX-X+；仪2-2/x,X>0,因此函数//(x)零点个数即为函数/(«)和g(x)的图

象公共点个数，

21.

求导得〃'(%)=—1+Zx—2/=(x—2)(/—),当，<0时，由〃'(x)>0,得0<x<2,由〃'(%)<0,得x〉2,

xx

则函数力(X)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，当％=2时，心)111axi⑵=2(ln2—l)—2/,

2

由/(x)=21nx7求导得:/(%)=—1,当、>2时，f\x)<0,函数/⑴递减，

x

/(x)<f(2)=21n2-2<0,

因此当x>2时，h(x)<^tx2-2tx,而当f<0,x>2时，函数y=g/x?-2笈递减，取值集合是(-8,-2/),

则当/<0,x>2时,函数心)取值集合为(-8,2(ln2-1)-2。，

当/<0,0<x<2时，h(x)=21nx+-^tx2-2tx-x,二次函数夕(无)=；扇-2比-x图象开口向下，

当0<x<2时，0(x)>min{夕(0),夕(2)}(min{”,6}表示数a,6中最小的)，

函数y=21nx在0cx<2上的取值集合为(-»,21n2),

于是当f<0,0<x<2时，函数人(x)取值集合为(-8,2(ln2-l)-2f),

从而当f<0时，函数“(X)的值域为S2(ln2-1)-24,

由2(ln2-l)-2f>0,得/<ln2-l,函数以x)有两个零点，A正确；

而ln2>ln八=[,即-]<ln2T,显然当"二或二<t<ln2-l时，函数以对有两个零点，CD错误；

2222

当ln2-l〈/<0时，2(ln2-l)-2r<0,函数力(x)无零点,B错误.

故选：A

【点睛】思路点睛：涉及两个函数图象交点问题，构造这两个函数的差函数，转化为求函数零点问题即可.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.

社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017-2022年我国社会物流总费用

与GDP的比率统计，则()

2017-2022々物流总切用与GDP的

A.2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多

B.2017-2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为14.9万亿元

C.2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.3%

D.2022年我国的GDP超过了121万亿元

【答案】AD

【分析】由图表逐项判断可得答案.

【详解】由图表可知，2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为

16.7-14.9=1.8万亿元，故A正确；

因为6x70%=4.2,则70%分位数为第5个，即为16.7,所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为

16.7万亿元，故B错误；

由图表可知，2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%，故C错

误；

由图表可知，2022年我国的GDP为17.8+14.7%引21.1万亿元，故D正确.

故选：AD.

10.已知在数列｛%｝中，%=1,a„-a„_,=r（A^0,n>2）,则下列说法正确的是（）

A.a2=2+lB.｛叫可能是等差数列

C.%+1D.若2>0,则｛2｝是递增数列

【答案】BD

【分析】令77=2即可判断A,当4=1时，利用等差数列的定义即可判断B,令〃=1即可验证C,利用数列

单调性的定义证明即可判断D.

【详解】选项A,令〃=2时，。2-%=外，即％=力+1,故选项A错误；

选项B,当2=1时，a„-a„_1=l(«＞2),由此可知数列｛《｝为首项为1,公差为1的等差数列，故选项B正

确；

选项C,当〃=1时，％=生二。+1=2+1(几/0),与已知条件q=1矛盾，故选项C错误；

选项D,由选项B可知，2=1时数列｛%｝是递增数列，

当X>0且4W1时，。2-%=,。3一。2=分，。4一〃3=,…，〃〃一〃及=4",

将这个n-1式子叠加得“2+人…+3J(T-T)

〃11-2

即，JOH)+『二-二+1，

"1-A2-12-1

2"+1(2-1)

————)-="用>0

2-1

所以%所以当2＞。且2"时，数列｛%｝是递增数列,

即几＞0,则｛%｝是递增数列，故选项D正确;

故选：BD.

满足〃0)=g〃x)W/71

11.已知函数/(x)=sin2coxcos(p+cos2a)xsin^lo<<y<2,O<^<^,则下列

结论正确的是()

A.。二2

B.=

C./(x+g)为偶函数

D.曲线y=/(x)在x=0处的切线斜率为罕

【答案】BCD

【分析】利用三角恒等变换化简/■(x)=sin(2ox+e),由已知条件可求得。和0的值，从而判断A；可得Ax)

解析式，计算即可判断B；计算/t+已)即可判断C；利用导数的几何意义即可判断D.

【详解】由题，/(%)=sin2a)xcos。+cos2a)xsin(p=sin(2©x+(p),

贝l]/(O)=sin0=:，又0＜。＜5,所以。=2,

2，6

JT

则/(%)=sin(20x+—),

6

由〃x)W/管[知，是函数的最大值，

所以2°x工+巴=2kn+—,kGZ,

962

3

角军得①=9k+—,kGZ,

,3

又0＜G42,所以取左=0,得G=2，故A错误；

所以〃x)=sin(3x+B),

6

miz1(5兀)•,5兀o兀、.J1兀-、

贝」/[@一1J=sm(§—3x+%)=sin(——3x)

jrjr

—sin(2兀———3x)=—sin(3x+—)二—f(x),故B正确；

66

^(x+?}=sin^3x+i+?}=sin^3x+i}=cos3x,显然为偶函数，故c正确；

/'(x)=3cos(3x+g)J'(o)=3cosm=挛，

o62

即曲线y=/(x)在x=0处的切线斜率为毛，故D正确.

故选：BCD.

22

12.已知椭圆C:5+右=1(。＞6＞0)的左、右焦点分别为耳，8且闺闻=2,点尸(1,1)在椭圆内部，点。

ab

在椭圆上，则以下说法正确的是()

A.|勿|+|。口的最小值为2.-1

B.椭圆C的短轴长可能为2

C.椭圆C的离心率的取值范围为(0,V^—5-C

I2)

D.若图=殖，则椭圆。的长半轴长为石+a7

【答案】AC

【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点尸在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点0的坐标，列

出方程计算判断D作答.

【详解】对于A,由闺周=2,得耳(一1,0),言(1,0),|尸闾=1,则|。耳|+|。尸|=2"|0闾+|°尸］

=2a-（\QF2\-\QP［）>2a-\PF2\^2a-l,当。,耳,尸三点共线时取等号，A正确;

对于B,由点P（U）在椭圆内部，得则，<1,有6>1,椭圆C的短轴长大于2,B错误；

对于C,因为二+上<1,且。2一/=1,于是即/_3/+1>0,

解得J>21=（1+右r,即°>1±2自，因此e=_L<1二L,椭圆C的离心率的取值范围为（0,1二1）,

242a22

C正确；

----------/、Q1

对于D,由期=片0,得片为线段尸。的中点，即。（一3,-1）,则又/一62=1,

即/_11/+9=0,解得\=11+屈=（遥+旧）2,则”=立力叵，椭圆。的长半轴长为县姮，D

2422

错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体

现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决；（2）代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数

关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若q,02是两个单位向量，且q在e?上的投影向量为;e?,则a=q-3e2与3=q+302的夹角的余弦值

为-.

【答案】-逅

3

【分析】根据投影向量的定义可得根据数量积的运算律求［了间荆，进而可求向量夹角.

【详解】由题意可知：同=同=1,

（一一、

因为［在e,上的投影向量为皂3e2=（ex-e2je2=^-e2,所以e「e2=1,

Ie2J3

—8y/6

2丘2百一行

故答案为：-半.

14.在]x3+g：(”eN*)的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的〃的值是.

【答案】4(答案不唯一，满足〃=4研eN*)即可)

【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0,根据"”的范围即可求解.

【详解】卜+J(〃eN*)展开式的通项公式为&|=C：(xy(J=C：/f/=0,1,2,…,〃

令3"—4r=0,得r=—(r=0,1,)，故，z=4k(keN,)

令左=1,贝卜z=4,

故答案为：4.

15.已知二面角-尸的大小为120。，该二面角内一点尸到，的距离分别为2和3,则尸至I]/的距离

为.

【答案】拽1/2回

33

【分析】设点尸在平面尸内的射影为分别为A、B,过点A在平面，内作/IC，/,垂足为点C,连接

PAPB

BC、PC,分析可知二面角a-/一尸的平面角为44c8=120°,设N4cp=。，根据/C=

sin//CP—sinNBCP

结合同角三角函数的平方关系求出sin。的值，可求得PC的长，即为所求.

【详解】设点尸在平面。、尸内的射影为分别为A、B,

过点A在平面a内作/C，/,垂足为点C,连接8C、PC,

由题意可知P/=2,PB=3,因为尸/lc,lea,贝

因为/C_L/,PAC\AC=A,PA、/Cu平面尸NC,所以，//平面P/C,

因为尸Cu平面尸/C,则/J_PC,

因为尸8,尸，lu/3,贝

又因为RBcPC=P,PB、尸Cu平面A?C,所以，平面PBC,

因为过点尸的平面中有且只有一个平面与直线/垂直，故尸、A、C、8四点共面,

因为3Cu平面P8C,所以，ILBC,

故二面角a一/-Q的平面角为44cB=120°,设44cp=。，贝U/BCP=120°-6,

因为尸/lc,ACuct,则尸/_L/C,同理尸3J_2C,

PAPR23

贝Ij/c=-------------=--------------,即一^=•/[”。力

sinZACPsin/5c尸sin<9sin(120-6)

即2sin(120°=3sin。，即百cos8+sin6=3sin夕，所以，2sin夕二百cos8，

2sin8=6cose

半，故尸。=高=2；巫

所以，sin2^+cos2^=l,解得sin8=

V213

sin8〉0

即点尸到直线/的距离为厚.

故答案为：第.

16.数列｛氏｝中的所有项排成如下数阵:

%

。2"3"4

%。6a7a8a9

已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数%,出，生，…成等差数列，且。2="须=10,从

第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以I■为公比的等比数列.

①％=1;

②生。22在第85歹U；

③。〃2＜。,2+1；

④％"(3”-2)其产2.

以上正确结论的序号是.

【答案】①③④

【分析】根据已知条件，按照行和列的顺序分别推理，可判断①②，③可利用行和列的通项，判断单调性,

求解出对应的最大最小值，比较即可判断，④利用等差等比的通项公式推导可判断.

【详解】解：对①，・•・第一列数％,。2，生，…成等差数列，且。2=4,«|0=10,

:.d=2%=10?4=3,故％=电一1=4-3=1,.•.①正确；

对②，・••第一行共有1项，第二行共有3项，第三行共有5项，……，第〃行共有(2〃-1)项，

所以前一行共有F项，前二行共有2。项，前三行共有32项，…，前〃行共有二项，

.•.前44行共有44?=1936项，而2022-1936=86,

出。22位于第45行86列，②错误；

对④，••・第一列数所组成的等差数列第〃行的第一项为：1+("-1)"=3〃-2,

且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以1为公比的等比数列，

第"行的数构成以(3〃-2)为首项，公比为g的等比数列，

.■(=(3”2).§严2,..旗正确；

对③，,•・第一列数所组成的等差数列第〃行的第一项为：1+("-1)"=3〃-2,

・'•=3〃+1,令〃〃)=(3"_2)L(neN*),

.../(«+1)-/(«)=(3«+1).(1)2--(3«-2).(1)2"-2=(9-9〃)•§)2"0,

当〃22时，/⑺单调递减，又41)=/⑵=1,.•./(〃)皿=1,

令g5）=3〃+3（〃eN*）,在〃eN*上单调递增，

g（"）min=g（1）=6,二%2＜。,2+]成立,.,.③正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点定睛：解题的关键点是类比推理，数阵行、列的规律总结、类比出等差、等比数列及项数.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.已知数列｛。“｝为等差数歹!J,数列也｝为等比数歹!J,且％eN*,若％=4=2,%+%+%=4+4+&+&=匕.

⑴求数列｛%｝,｛"｝的通项公式；

⑵设由｛《,｝,｛，｝的公共项构成的新数列记为k,｝,求数列｛g｝的前5项之和$5.

【答案】⑴。,=3〃-l,"=2i

（2）682

【分析】（1）设数列｛《｝的公差为d，数列｛"｝的公比为上然后根据题意结合等差数列和等比数列的通项

公式列方程组可求出％,"也应，从而可求出数列｛七｝,｛"｝的通项公式；

（2）设数列｛%｝的第％项与数列也｝的第〃项相等，则可得3加-1=2"一，m,"eN*,得加=幺产，然

后可列举数列｛%｝的前5项，从而可求得结果.

【详解】（1）设数列｛6｝的公差为d,数列｛"｝的公比为4,

因为％=2,〃1+〃2+〃3=15

I—2=2

则。-71V解得；o'

[2。]+3d=13[d=3

所以〃“=%+（〃一l）d=2+3（〃-1）二3〃一1,

因为d=2,4+b2+b3+b4=15,

[hq=22°

所以小方+如i'则2/+2i+2=0,

所以(q_2)(2/+6q_l)=0,

因为»eN*,所以q=2,"=1,

所以“=2—

(2)设数列｛a,,｝的第m项与数列也,｝的第n项相等，

a

则m=b“n3刃-1=2"一,m,〃eN*,

2〃T+1

所以机=------,m,〃EN*,

3

因为加，〃£N*,

25

所以当〃=1时，m=—N*,当〃=2时，m=l,则Q=2,当〃=3时，加=一eN*,

33

17

当〃=4时，m=3,则6=8,当〃=5时，m=—^N*,

„65*

当〃=6时，加=11,则q=32,当〃=7时，m=—

257

当〃=8时，冽=43,则。4=128,当修=9时，加=—^―eN*

当〃=10时，m=171,则。5=512,

故｛c“｝的前5项之和Ss=2+8+32+128+512=682.

18.已知在锐角。BC中，角C所对应的边分别为c.在下列三个条件：

@m=siM,一等］拓=（2cos2/,2coJ）,且比〃力；

②2acsinB=6伊+c?-/）；

③cos23+cos2C=cos2/+l_sinBsinC中任选一个，回答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个

解答计分）

⑴求角A；

⑵若5.次=66,BC=6,求。3C内切圆的半径.

7T

【答案】（1）选择见解析，I

⑵3-G

【分析】（1）选择条件①，根据向量平行的坐标公式结合三角恒等变换化简即可；选择条件②③，根据正

余弦定理结合三角恒等变换化简求解即可；

(2)根据三角形面积公式可得防=24,结合余弦定理可得6+c=6百，进而根据等面积法可求内切圆半径.

【详解】(1)选择条件①，

(百

因为玩=sirU,----，元=(2cos242cos4),且成〃为，

I2)

所以siib4•2cos/+x2cos2/=0,即sin2/=-Qcos2/，

2

所以tan24=—，

由为锐角三角形可知0<%<5，则0<24<兀，

故2/=，，可得4=最

选择条件②，

因为2acsinB=6[b2+，-,

由余弦定理可得2qcsin5=V^x26ccos4,

由正弦定理可得2siii4sinCsin5=2y/3sinBsinCcosA，

在三角形48。中，可知sin5wO,sinC。0,

则sirU=JJcos/,即tarU=百，

因为三角形45。中，可知0<4<兀，故，=].

选择条件③，

因为cos25+cos2c=cos2^+1-sinBsinC,

所以1-SMB+l-sin2C=1-sin'4+1-sinSsinC，

即sin25+sin2C-sin27!=sin5sinC,

由正弦定理可得〃+/_a2=bc,

序,2_2i

根据余弦定理可得COS/=D十。—Q=

2bc2

TT

由。3c中，0</<兀，故/=于

(2)因为/=38ABC=—bcsin^=be=65/3，

所以儿二24,

由余弦定理可得6?=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be

=(b+c)2-3bc=(b+cP-3x24,

解得b+c-6^/3，

设“BC内切圆的半径为「，

因为5=3(0+6+C).厂=9(6+6胡卜=6百，

所以厂=3-即“BC内切圆的半径为3-.

19.已知双曲线。：2--/=2与点尸(1,2).

(1)求过点尸的弦使得N3的中点为尸；

(2)在(1)的前提下，如果线段48的垂直平分线与双曲线交于C、。两点，证明：A、B、C、。四点共

圆.

【答案】⑴y=x+i

(2)证明见解析

【分析】(1)利用点差法求解；

(2)利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.

2

【详解】(1)双曲线的标准方程为/-2=1,所以1=1，加=2,

2

设存在过点P的弦45,使得45的中点为尸，

22

设“(再,为),8(巧,为),=x；-今=1,

两式相减得匚生-匕*=勺，即心/工=乙，得：h2=2,;.k=l,

x{-x2x1+x2a1a

经检验，存在这样的弦48,方程为y=x+l；

(2)设CD直线方程为x+y+〃?=O,则点尸(1,2)在直线CD上，

贝1|7〃=一3,所以直线。的方程为x+y-3=0,

22

设。冈％),。的中点为。(2。)，X；*=1,+券=1，

两式相减得上8・为=［，则T•比=2,贝幼。=-2%,

x0axQ

又因为0(%,%)在直线。。上有％+%-3=0,解得。(-3,6),

y+1—0

C22,，解得N(T,O),8(3,4),

\2x—y=2

fx+y-3=0\X.+XA=-61---,i—

{22_o整理得炉+6%-11=0,则1_贝【J|CZ)|=+左"一”=，

1ny—/iX3.X4—11

由距离公式得IQA\=\QB|=|QC\=\QD\=2际,

所以A、B、C、。四点共圆.

20.已知函数〃x)=x2-2alnx.

⑴若/(x)20在(1,+8)恒成立，求。的取值范围；

⑵若a=-l,求证：函数/'(x)的图象在函数g(x)=g尤3图象的下方.

【答案】(l)a«e

(2)证明见解析

Y2

【分析】(1)分离参数，构造函数MX)=L,(X>1),利用导数求出函数最小值即可求解；

Inx

(2)构造*x)=g(x)-〃x)=gx3-21nx-x2,利用导数法求出函数?(无)的最小值大于零，即可得证.

【详解】(1)当x>l时，lnx>0,因为/(x)=x2-2alnxN0在(l,+oo)恒成立，

22

所以2aW工在(1,+8)恒成立，记加(x)=三一,(x>l),贝l|2aV“7(x)3,

InxInx

加(x)=D,令机'(x)=0,贝l]x=C，

当x>八时，m(x)>0,当1<X<加时，m'(x)<0,

所以函数制x)在(五,+可上单调递增，在(0,加)上单调递减，

所以工=五时，函数双x)取得最小值加(&)=^^=2e,所以2aW2e,即a〈e；

(2)当a=-1时，/(x)=x2+21nx,定义域为(0,+的，

4

令方(x)=g(x)-/(x)=—x3-21nx-x2,

则F(x)=4/二一2A2(21-1)=2(l)―+x+l)

XXX

令尸'(x)=0,则x=l,当x>l时，P'(x)>0,当0<x<l时，<0,

所以函数/(x)在(1,+«0上单调递增，在(0,1)上单调递减,

41

所以x=1时，函数尸(x)取得最小值F(l)=--l=->0,

所以尸(x)=g(x)-/(x)>0在(0,+司上恒成立,即g(x)>/(x)在(0,+。)上恒成立,

所以函数“X）的图象在函数g（无）=gd图象的下方，得证.

21.如图，在三棱柱48C-44a中，底面是边长为2的等边三角形，CG=2,。,E分别是线段/C,CG的

中点，G在平面/3C内的射影为。.

⑴求证：4c，平面跳）£；

（2）若点F为棱的中点，求点尸到平面BDE的距离；

（3）若点尸为线段3G上的动点（不包括端点），求锐二面角尸-8D-E的余弦值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；

法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0,可证从而得证；

法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面威里的一个法向量，证明其与4c平行，从而得证;

（2）利用空间向量法求点到面的距离；

（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.

【详解】（1）法一：连结因为为等边三角形，。为/C中点，

S

又平面Z3C,J8。u平面/3C,.,.G。，■。

ACnCQ=D,AC,CQu平面AAXCAC

BD±平面AA^C,又u平面AA^C,：.BD1Af,

由题设知四边形/4G。为菱形，

D,E分别为AC,CQ中点,DE//AQ,4c1DE,

又BDcDE=D,BDCDE=D,BD,OEu平面5DE,，&C，平面BDE.

法二：由G。，平面奶。，BD,人（3匚平面43。，，。。，8。，QD1AC,

又AA8C为等边三角形，。为/C中点，ADL/C,则以。为坐标原点，万瓦方3,西所在直线为x,y,z

轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则

£）（0,0,0）,5（V3,0,0）,C（0,-l,0）,C1（0,0,V3）,£f0,-1,^K1（V3,lV3），4（0,2,V3）,

I22）

...丽=（6,0,0）,反=卜,一；岑,4C=（0,-3,-V3）

DBlfi=0,DE-A^=0BD±A,C,DE1AXC

又BDcDE=D,BDCDE=D,BD,u平面5DE,r.4C，平面BDE.

法三：（同法二建系）设平面石的一个法向量为加=（x/,z）

不妨取z=l,则y=VL则浣=（0,百,1）

所以平面出出的一个法向量为五=（0,/1）

:4。=（0,—3,—4。=—^而，.•.&C//：无，；.4。_L平面J5Z）E

（2）由（1）坐标法得尸也,平面BZ里的一个法向量为»=（0,6,1）（或成=田1=（0,3,代卜

-：~DF=

■■■点至ljF到平面BDE的距离=回竺［=I"+〉=巫

\m\24

(3)OX=(V3,1,0),C4；=(0,3,V3)

设歹乎=2*(0<2<1),则k，y,z-6)=(收,40),

x=粗九,y=A,z=W>,:.F卜回九，九，也)，：.DF=；

由(1)知：&C，平面BDE,;.平面80E的一个法向量应=MI=(0,3,6)

(或者由(1)中待定系数法求出法向量)；

设平面尸AD的法向量万=(a,6,c),

贝叶—.1-广,令6=6，则a=0,c=-X,.,.万=(0,6,一,

。尸•亢=j32a+46+J3c=0、

同.司网3一口4口一川」

\m\-\n\2必飞3+开243+方2

令3T=/e（2,3）,则八3T；・际伍«）|=|

+t22