解答压轴题型：函数综合题（汇编）（解析版）-初中数学

解答压轴函数综合题

一、解答题

1.（2024•广东深圳•统考中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺

垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小

组选择不同位置测量数据如下表所示，设£口的读数为x,00读数为y,抛物线的顶点为C.

①②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

（II）描点：请将表格中的।।描在图2中；

（III）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与尤的关系式；

（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线=S的顶点为C,该数学兴趣小组用水平

和竖直直尺测量其水平跨度为45,竖直跨度为CO,且=CD~U,为了求出该抛物线的开口大

小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数=方「十无平移，使得顶点C与原点。重合，此时抛物线解析式为卜=a、’.

①此时点B'的坐标为；

②将点3‘坐标代入】•二a「中，解得“=；（用含，”，〃的式子表示）

方案二：设C点坐标为

①此时点B的坐标为；

②将点8坐标代入1rf）'+上中解得.=;（用含如w的式子表示）

（3）【应用】如图4,已知平面直角坐标系「6'中有A,B两点,AB=4,且-必丁轴，二次函数

，3.3

。1』=1口+入）+上和+5都经过A,2两点，且C和g的顶点尸，0距线段43的

距离之和为10,若45】轴且从8-4,求4的值.

12

y=7x

【答案】（1）图见解析，4；

（I•力-T*

（2）方案一：①A②用’；方案二：①I-4②加"；

L.1

（3）a的值为2或J.

【解析】

【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形写出点8'或点2的坐标，再代入求解即可；

（3）先求得即-A+2S+力），c断点坐标为P-力」），再求得C顶点距线段.46

的距离为卜+“广七|二,得到'的顶点距线段46的距离为10-5:2,得到Q的顶点坐标为

Q（-M10+上）或。（-儿6+上），再分类求解即可.

【小问1详解】

解：描点，连线，函数图象如图所示，

设抛物线的解析式为丁=a—+b工+c,

c=0

4a+»+c=1

由题意得16a4-46+c=4

1

a=­

4

<6=0

c=0

解得-

与X的关系式为41；

【小问2详解】

解:方案一：①•.，超=桁,CD-n,

D'B,=-m

,•一，

fl-m.n\

此时点的坐标为1-

仕风力

故答案勺：V-A

1-ma=n

②由题意得<2),

_An

解得mJ,

An

故答案为：m7；

方案二：①：c点坐标为(力AB=m,CD^n,

DB=

・・.2,

(1,>

hL+--m,k+n

此时点B的坐标为'

%上+力）

|A+—

故答案勺：1

上+力=《i（方+；a—方）+k

②由题意得

_4〃

解得。一,

An

故答案为：加’；

【小问3详解】

解：根据题意°和0'的对称轴为'=一〃,

则a—.S+h,3i+C的顶点坐标为尸i」），

G顶点距线段.45的距离为伊+*）-*1=8,

，的顶点距线段.43的距离为10-S=2,

.•.。1的顶点坐标为。（-41°+上）或。（-儿6+上）,

当°）的顶点坐标为Of0+“）时，J'LaC+A1+10+上，

将‘4（一力一'S+*'代入得4a+10+七=8+七，解得"-2；

当G的顶点坐标为Q.M+*）时，乃"（"％）'+6”,

_2

将4（・'・38+”）代入得4a+6+t=8+t,解得02；

1-1

综上，a的值为3■或2.

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关

键.

2.（2023.广东深圳.统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人

们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，

这样就形成了一个温室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形声（;二和抛物线，超。构成，其

中,45=3m,BC=4m,取30中点o,过点o作线段30的垂直平分线交抛物线怒口于点区

若以。点为原点，8（?所在直线为％轴，°E为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

请回答下列问题：

（1）如图，抛物线碗。的顶点求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LRGT,以曲，若

FZ=A«=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长;

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为双，求身：的长.

【答案】（1）

（2）05m

97

—m

（3）12

【解析】

【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为】•二[''+4,求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式

即可；

（2）求出-‘5时对应的自变量的值，得至U斤N的长，再减去两个正方形的边长即可得解；

3

（3）求出直线工。的解析式，进而设出过点攵的光线解析式为4，利用光线与抛物线相切,

求出";的值，进而求出K点坐标，即可得出8,1的长.

【小问1详解】

解：•.•抛物线花。的顶点氐（"〜,

设抛物线的解析式为】•=c-+4,

•.•四边形.此。为矩形，OR为B「的中垂线，

,必=BC-4iu,03-Jm,

,?.45-3m,

.•.点AU),代入.】•二—+4,得：

3=加+4,

1

一=一彳

1，,

y=--x+4

抛物线的解析式为.4；

【小问2详解】

•.•四边形IFGT,四边形均为正方形，FZ=A^?=0.75m,

:.MG=FN=FL=NR=075m,

延长LF交BC于点月，延长凡M交BC于点J,则四边形尸凡ZM,四边形48尸月均为矩形,

：.FH=AB=3m,FN=HJ

,.HL=HF+FL=375m,

,解得：1=±1,

.•H(-LO)，〃L0)，

•.FN=HJ=M,

­.GM=FN-FG-^=G5m.

【小问3详解】

.4SC=4m,Off垂直平分BC,

•.08=。。=%,

.5(-2,0I,C|2,0I

设直线4C的解析式为r=Q+°,

户+6=0

则：l-"+b=3,解得:

•.•太阳光为平行光，

3

“■一r=-r

设过点K平行于/r的光线的解析式为“4,

r---r

由题意，得：.4与抛物线相切，

1。

y---x+4

<

5

y=—i+m

联立I4,整理得：I-3x4-4m-16=0,

3_73

则：A=（T-4（4吁16）=0解得：一密;

37373

4-16,当J=0时，12,

.喉。）

•，

【点睛】本题考查二次函数的实际应用.读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想,

进行求解，是解题的关键.

3.（2022.广东深圳.统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆。，凡9为直径，半圆。上点C处有个吊灯

EF,EF“AB,COLdB,EF的中点为D,Q4=4

图①图②

(1)如图①，C”为一条拉线，〃在。3上，''：必=〔求。二'：长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆。相切，，为切点，”为。■上一点，为入射光线，为反射光

8HM=XOHN=A50.tm4C0H=二.八.

线，4求8'的长度.

(3)如图③，M是线段8上的动点，A仍'为入射光线，口加="°印『为反射光线交圆。于点

在M从。运动到E的过程中，求"点的运动路径长.

八“-0

ON=—

【答案】(1)2(2)

,】6

4+月

(3)9

【解析】

【分析】(1)由D尸=08Q“=16D9〃0B,可得出。尸为£0。”的中位线，可得出。为CO中

点，即可得出「口的长度；

tanZCOZ/=-

(2)过N点作ND'OH,交0E于点、D,可得出一八月。为等腰直角三角形，根据4,可

八~ND3

tanZ^NOD==一

得出CD4,设ND=3x=DH,则0D=4x,根据。D+DH=0H,即可求得

7,再根据勾股定理即可得出答案;

(3)依题意得出点N路径长为：08+Sr,推导得出-6C?=£0°,即可计算给出即可得出答

案.

【小问1详解】

•.•DF=OSCM=1£DFCB

二。射为LCOM的中位线

二。为。。的中点

\'C0=AO=4

■CD~2

【小问2详解】

过N点作即交。占于点D,

•…HN=W,

.•.一M/D为等腰直角三角形，即ND=ZW,

2

tanZ.COH=—

又•:4,

tanZ2J0D=—

4,

tanZJVi2Z)=—=-

ODA,

/.ND:OD=3:4,

设ND=3x=DH,则0D=4x,

-.-OD+DH^OH,

：.3T+4x=4,

_4

解得「，

ND导严吟,

*病询=鸩+闺=卫

.•.在RAJVQD中，{7J7;

【小问3详解】

如图，当点M与点。重合时，点N也与点O重合.当点〃运动至点A时，点N运动至点T,故点N路

径长为：OB+嚏.

HH

•...=.M子LTHC=.MHC.

：.£OHA^AOAH=65°.

•••一TH。=2一TOH=50。

."”=80。，

CA80016

j=1"x4x------=-K

:.r360°9,

,,16

i/-=4+—n

••.N点的运动路径长为：OB+*9,

,16

4+—x

故答案为：9.

【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以

上知识，并能灵活运用是解题的关键.

4.(2024・广东深圳•盐田区一模)【项目式学习】

项目主题：车轮的形状

项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮

制作成圆形的相关原理.

【合作探究】

(1)探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变.另外圆形车

轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的.如图1,圆形车轮半径为4cm,其车轮最高点到地面

的距离始终为cm；

(2)探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化.如图2,正方形车轮的轴心为°,

若正方形的边长为6cm,车轮轴心。距离地面的最高点与最低点的高度差为cm；

(3)探究。组：如图3,有一个正三角形车轮，边长为6cm,车轮轴心为°(三边垂直平分线的交

点)，车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点。经过的路径长.

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动.

【拓展延伸】

如图4,分别以正三角形的三个顶点A,B,。为圆心，以正三角形的边长为半径作63°圆弧，这样形成

的曲线图形叫做“莱洛三角形”.“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物

体也能够保持平衡，但其车轴中心。并不稳定.

(4)探究D组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动.在滚动过程中，其“最高

点”

和“车轮轴心，。”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮

轴心°”所形成的图形按上、下放置，应大致为.

Anrn

【答案】8；-3；4&；A

【解析】

【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题

意并画出图形是解题的关键.

(1)利用正方形的性质解答即可；

(2)画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案；

(3)分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；

(4)由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论.

【详解】解：(1)；圆形车轮与地面始终相切，

车轮轴心。到地面的距离始终等于圆的直径，

•.•圆形车轮半径为4cm,

故车轮最高点到地面的距离始终为Smi,

故答案为：8；

(2)如图所示，‘二人’为正方形车轮的轴心「移动的部分轨迹，

点D为车轮轴心。的最高点，点0为车轮轴心。的最低点，

由题意得车轮轴心。距离地面的最低高度为,肛'=G4=?井门口

车轮轴心二距离地面的最高点与最低点的高度差为'：应-5cm,

故答案为：(3卢-笏；

■▲

(3)点。的运动轨迹为圆，以点0为圆心，3为半径，

运动距离为二万‘:仆二」

故答案为：4岳；

(4)由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持

平衡，

故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是“A,

故答案为：A.

5.(2024・广东深圳•福田区三模)背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物

体的成像差异，来计算距离的方法.它在“A/”领域有着广泛的应用.

材料一：基本介绍

如图1,是双目视觉测距的平面图.两个相机的投影中心4,G的连线叫做基线，距离为。基线与左、

右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距了,两投影面的长均为/。，/,1是同型号双目相机中，内置

的不变参数)，两投影中心0；分别在左、右投影面的中心垂直线上.根据光的直线传播原理，可以

确定目标点p在左、右相机的成像点，分别用点2，彳表示.w分别是左、右成像点到各投影面左

端的距离.

长度为，长度为，

图1图2

材料二：重要定义

①视差——点尸在左、右相机的视差定义为”=口1一内1.

②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面

上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2,阴影区域是盲区之一）.

③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区.

材料三：公式推导片段

以下是小明学习笔记的一部分：

如图3,显然，一-P。冉，一。看尸一尸。冉，可得二Q.HOrH,

/二即+FR

所以，:GH+GH（依据）…

图3图4

任务：

（1）请在图2中（A,B,C,。是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区.

（2）填空：材料三中的依据是指；已知某双目相机的基线长为200mm,焦距/'为4mm,则位于感

应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为.

（3）如图4,小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正

好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感

应区时，4=005mm,当M刚好经过点。.的正上方时，视差d=00」mm,在整个成像过程中，d呈

1

现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述4的3时，开始变大.

①小明以水平基线为X轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛

物线的表达式为(友情提示：注意横、纵轴上的单位：Im=1000mm)；

②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度.

_800

【答案】(1)见解析(2)等比性质；

134s

V-------X+—x+40

(3)①'50

【解析】

【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键.

(1)利用盲区的定义作图即可；

(2)根据待定系数法求出反比例函数解析式；

(3)①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；

②由盲区的定义可知当M在直线°。的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可.

【小问工详解】

如图3所示：

【小问2详解】

材料三中的依据是指等比性质；

*■

二二--

设“d,由双目相机的基线长为200mm,焦距/为4mm,可得:

200x4=800,

800

【小问3详解】

①解：如图4,A/刚好进入感应区时，4=°.05..2=0,此时”=-「劣=°.05.

z=-^^-=16000(mm)=16(m).

此时，005

因CD=10mm,了=4mm,

4

可得，OP所在直线解析式为：‘一

令3=16,得x=-20,即尸(-2°，16)

=40000(mm)=40lmI.

当“经过点。，的正上方时，视差d=002,此时,002

即，抛物线与J轴交点的坐标为(°4°),

1

当b减小到上述W的3时，二=3.16=之后“开始变大，：开始变小,

即，抛物线顶点的纵坐标为黄.

设抛物线解析式为-v=a^+bx+cm*0)

将(-20,16).(0,40)等代入得，

图4

=.4也=——12

解得，55,

因为,a<0,对称轴在J.轴右侧，

所以，八0.

故5,

=__1_

此时50,

1,4皿

v=---x+-x+40

所以，抛物线解析式为.505,

=4

②由C7?=：0mm,J=可得直线0口的解析式为.5,

||4

F

14..

v-----x23+—x+40

得「505,

解得，*1=2。6弓=-203（舍）

此时，】'=166m.

【初步探究】

6.（2024.广东深圳-33校联考二模）【项目式学习】

项目主题：设计落地窗的遮阳篷

项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度,45=1m,为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬

的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.

方案1：直角形遮阳篷

如图1,小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷5CD，点c在.45的延长线上CE1

图1

(1)若EC=0.5m,CD=lm,则支撑杆BD=m.

（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2,他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平

「

tana=—1tanu=—4

面的最小夹角为a,最大夹角为小小明查阅资料，计算出丁,3,为了让遮阳篷既能最

大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与RD平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与

AD平行）.请求出图2中3CD的长度.

方案2：抛物线形遮阳篷

（3）如图3,为了美观及实用性，小明在（2）的基础上将CD边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点尸为抛

物线的顶点，［F段可伸缩），且一「尸。=9尸，BC,<?二的长保持不变.若以c为原点，CD方向为

X轴，30方向为y轴.

①求该二次函数的表达式.

_的5=二

②若某时刻太阳光与水平地面夹角r的正切值3使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点。上升

的高度最小值（即点。到CD的距离）

【答案】（1）:

3(?=二m

(2)3,CD=2m

f2jlO2、

9

(3)19)

【解析】

【分析】(1)利用勾股定理求3口即可;

(2)由题意得到=-OH"=产P.t_「RD

由题意得：CD//AM,BDRAE,ZC=ZCXA/=90°,

Z.CDB—/RAM-aZ.CDB-AEAM=a,BC=,x.CD=3x；在RtZiCRD中，利用正切定义求出

BC_=lAC4x+2_4j=2

CD~3,在Rt-dCD中，利用正切定义求出访一§,得到方程一本一一5,则有一3则BCCD

的长度可求.

(3)①由题意，JCD为等腰直角三角形，从而有尸(LD,设二次函数为：代入

尸求出函数关系式即可；

②B。'光线与水平方向的夹角为0,过。作X轴的垂线交尤轴于点E,过B作y轴的垂线，两条垂线交于

tan^=—°"、D'[3m.2m--|_v2

点H,gp3=BH,设DH==贝g点(代入J一、+2、求出

X即可.

【小问1详解】

在Rt一「初中，_(?=兜。，

BD=JBC3+CD3=V05J+1J=与

昱

故答案为：二；

【小问2详解】

由题意得：CD//AM,BDffAE,ZC=ZC4M=90°,

vCDAM

:公DA=£DAM=B

.•.BD/'/AE，

:.Z^DA=Z£AD,

:.ZCDA-ZBDA=ADAM-Z£AD,

:.乙CDB=_EAM=a,

在Rt-。应)中，ZC=90°,

BC1

Ism乙CDB=tzuiex=­=—

・・・CD3,

..设BC=XCD=3T

在P」_4CD中，ZC=90°,

tanZ.CDA=tanP==—

CD3,

x+24

-

..“3,

解得"3.

BC=■—m___

3,CD=2m.

【小问3详解】

①由尸为抛物线顶点，可知尸「=阳，

vZCFZ)=90°,

为等腰直角三角形

由二次函数对称性可知，F,111

设二次函数为：-v=a”,一门，代入kil■■得

1=解得al,

.力关于x的关系式为：》■一“(,-加一/+X,

②光线与水平方向的夹角为仇过。作x轴的垂线交x轴于点E,

q2D,H

tane=---------

过3作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即3=BH,

代入"Ell得加3吁2）,

化简得二'7E：一1:力-二'=0,

"屈2-反

解得，々=9，巾：>=9（答案不合理，舍去）

2^02

：.D,E=99,

------m

遮阳蓬点。上升的高度最小值为I99>.

【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的

实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

7.（2024・广东深圳•33校联考一模）如图1,一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口，离地竖直高度为〃=11

米.建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图

象，把绿化带横截面抽象为矩形QERG,其水平宽度Z）E=：!米，竖直高度£F=°丁米，下边缘抛物线

是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4

米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米.

（3）若d=32米，灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带.

【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程℃'为6m；

⑵职工。）

（3）不能.

【解析】

【分析】（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；

（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；

（3）根据题意，求得点尸的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点尸即可；

【小问1详解】

解：由题意可得：42J6）

且上边缘抛物线的顶点为A,故设抛物线解析式为：-二「+16

1

将代入可得：a=一⑪

v=---（x-2）J+1.6

即上边缘的抛物线为：一10

n-T-+16=0

将’二0代入可得：10

解得：（舍去）或％=6

即久1=61n

上边缘抛物线喷出水最大射程为6m；

【小问2详解】

由（1）可得，""J1J'

y--）+1.6

上边缘抛物线为：10,可得对称轴为：

点片关于对称轴对称的点为:(4.12)

下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移4个单位，得到下边缘抛物

1j

r=——（x+2）+16

线，即下边缘的抛物线解析式为：.10

3

__(,+2)+1,6=0

将r-°代入可得:10''

解得："二-'（舍去）或1=?

即点叩网;

【小问3详解】

v2<32<6,

绿化带的左边部分可以灌溉到，

由题意可得：死（5.2.0.7）

1,B1,C

），=__（-2f+l6）,=・—（5.2-2）+16=0576<07

将丁=5二代入至『10x可得：,10

因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带.

【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，与丁轴交点等问题，解题的关键是理

解题意，正确求得解析式.

8.（2024・广东深圳・南山区一模）已知一次函数「二的图象与二次函数一寸"，■"的

图象相交于点4L"*）,，卜2"）.

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

kx^b<—（x+2）a—2

（2）根据函数图象，直接写出不等式2的解集；

y=_（x+、）'■♦

（3）当时，抛物线.2-与直线.「=”只有一个交点，求〃的取值范围；

v=—（x+2）s-2—（x-m）J-2

（4）把二次函数.2的图象左右平移得到抛物线G：.二，直接写出当抛物

线G与线段.43只有一个交点时3的取值范围.

V=—1+I

【答案】(1)一次函数的表达式为,2,图象见解析

(2)一］或1>1

--<nS"—

(3)22或力=--

——smv-

(4)4或-2〈附04

【解析】

【分析】(1)将43点坐标代入二次函数中求":，*的值，进而可得48点坐标，然后将43点坐

标代入一次函数解析式中求七5的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可；

(2)根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的'的取值范围求解即可；

335

V=——J'u——>=一

(3)求1=-3时的二次函数的函数值为.2,然后结合图象，可知在顶点以及.二上方，.

下方时，只有一个交点，确定取值范围即可；

(x-wi)J-2v=—(x-m)3-2v=—(x-w)3-2

(4)分①当.2过点A时，②当•2过点5时，③当.2与

直线,43只有一个交点时，三种情况求解沔的值，然后结合图象确定取值范围即可.

【小问1详解】

w=—(1+2)J-2

\mr=—(x+2)3-2»=—

解：将山Lmm,阳-川，代入-2得，I

・「一次函数」=云+"**°)的图象过A点和9点,

上+6=当

：.4，

-2k+b=-2

&=1

解得

一次函数的表达式为J

描点作图如下:

【小问2详解】

kx+b<—(JT+2)3-2

解：由(1)中的图象可知，不等式-的解集为：或、>1；

【小问3详解】

工代入得一V,

由图象可知，当-3三101时，直线--2'~"与直线】•="只有一个交点，则"的取值范围是

2或％=一2；

【小问4详解】

解：由题意知，分三种情况求解：

»,»—(x-m)1-24(1-m)J-2=—

①当.2过点A时，即：！

解得";一」或m=-2,

当切=一1时，抛物线与原二次函数重合，与线段.45有两个交点A,B,故舍去,

w=4；

v=—（x——2—（—2—加尸-2=-2

②当.2过点B时，即2,

解得f=F="（舍去）;

r=—（r-w）a-2

③当,2■与直线只有一个交点时，

整理得：、jA+3）+/-6=0,

A=[-l2m+3|]I-4|mJ-6>=4w3+l>n+9-W+24=12m4-33=0

则ni|，

11

ffl----------

解得：4,

11Q

——4tn<一.

综上，4或-2<m&4.

【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数图象的平移，二次函数综合等知

识.解题的关键在于数形结合.

9.（2024・广东深圳・罗湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，已知4（1°）、将

QC绕/的中点旋转180。，点。落到点2的位置，抛物线赤、经过点A,点。是抛物线

的顶点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断点B是否在抛物线上；

（3）若点P是线段上的点，且一45'0一-C4R,求点尸的坐标；

（4）若点尸是x轴上的点，以尸、A、D为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一

个顶点在y轴上，请直接写出点尸的坐标.

尸停°）

（2）点8在抛物线上（3）13）

（4）户（7。）或（IM或（3。）

【解析】

【分析】（1）将4二°）代入'=ai一久6T即可得到答案；

（2）先证明四边形0nBe是平行四边形，由平移的性质可得：2的坐标为小再检验即可；

⑶作轴于E,D尸，】轴于R如图，利用顶点式】'=6门-11一耳，得到则

可求出一二」『一。，XD=2,OB=6,再求出43的长和tanN80E=",N30R=6O°,则可判

断然后利用相似比求出儿P,从而可得到p点坐标；

（4）设尸点坐标为‘久山，另一个顶点为。，坐标为TJX,分三种情况讨论，根据平行四边形对角线互

相平分，则两条对角线的中点相同，利用中点坐标公式建立方程求出。即可得到P点坐标.

【小问1详解】

解：将4（20代入「山？-入舟，得

0=4a-473,解得a=/.

抛物线的表达式为J=招，”品.

【小问2详解】

•.•将绕47的中点旋转180°.

:.0A=BC,0C=M,

四边形。月是平行四边形，

:,BC//0A.

..#.0）,CQ.羽,

...由平移的性质可得：B的坐标为＜4-S,

把X=3代入A=后”后,得J=

.••3在抛物线上.

【小问3详解】

作3E—、轴于E,二RJ.J轴于R如图1,

..v=Vs.r-2=61X-1)'-4

•,

.z)ii.-V3i

••9

:3=拒,OF=AF=\,

...tanZDAF=5AD=>lAF'+DF2=2,

.-.ZZ)AF=60o,

/Ci

总=/+(3拘'=2"

BE=343,OE-3,OB=JOE，+BE,=6,

tan—5。目-y/3,

.­.Z5C£=6C°,

...Z£OA-/DAP.

•：3D:£CAB,

：.J^AD^>^ACB,

APADAP2

二〔14=一t,即2=6,

"=二

【小问4详解】

设尸点坐标为‘a。’，另一个顶点为。，坐标为,分三种情况讨论:

由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得,

a+1=1+口，解得

••.P点坐标为'-1'叫

•••P点坐标为工°1

③如图，当4D、为对角线时,

同理可得？+l=O+a,解得a=3

二.尸点坐标为(*°)

综上可得P点坐标为(-L0)或(1.0)或口0)

【点睛】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，旋转与平移的性质，相似三角形的判定与性质，锐

角三角函数的应用，坐标系中构成平行四边形的问题，熟练掌握平行四边形的性质，分类讨论，利用中点

坐标公式建立方程是解题的关键.

10.(2024广东深圳•宝安区三模)根据以下素材，探索完成任务.

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？

图1中有一座拱桥，图2是其抛物

线形桥拱的示意图，某时测得水

素

材面宽20m,拱顶离水面5m.据

1调查，该河段水位在此基础上再

涨1Sm达到最高.miW2

为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥

拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.

为了安全，灯笼底部距离水面不

素

小于；为了实效，相邻两盏灯/安全距离：

材

/:最高

2笼悬挂点的水平间距均为16m；

为了美观，要求在符合条件处都

挂上灯笼，且挂满后成轴对称分图3

布.

问题解决

任务确定桥拱

在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.

1形状

任务探究悬挂在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐

2范围标的取值范围.

任务拟定设计给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一

3方案盏灯笼悬挂点的横坐标.

X

【答案】任务一：见解析，,-0；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是-18；-6sx<6;任务

三：两种方案，见解析

【解析】

【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求

解；

任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标〕'之一'+13+1-04=-13,进而代入函数解析式即可求得横

坐标的范围；

任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂

灯笼；方案二：如图3,从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为03m,根据题意

求得任意一种方案即可求解.

【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，

图I

则顶点为■且经过点（】。■一5上

设该抛物线函数表达式为二6jCM。），

则一5=100口,

0-

20,

该抛物线的函数表达式是.20.

任务二：•.•水位再上涨】Sm达到最高，灯笼底部距离水面至少1m,灯笼长04m,

...悬挂点的纵坐标>>^-5+18+1+04=-18）

悬挂点的纵坐标的最小值是一18.

J

8=--LX

当卜=-18时，-20,解得$=6或与=-6,

••・悬挂点的横坐标的取值范围是一60106.

任务三：有两种设计方案

方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼.

-648016

图2

v12A<6,相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为】6m