第2章基础知识

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝第2章基础知识＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝电子通信系统通过某种电子或电气物理量来传输信息，如电流、电压、电磁波等，其数学模型是时间的函数，统称为信号。2.1确知信号2.2随机信号2.3高斯分布与高斯信号2.4信号通过线性时不变系统2.5白噪声2.6噪声中的信号处理2.7带通信号2.8带通随机信号与噪声2.9数字信号及其脉冲调幅信号＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝确知信号＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝信号及其MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h基MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h本MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r2\h参数信号——某个随时间变化的电子或电气物理量，如或，也常常称为波形。实际物理波形的特点：1）实的、连续的、峰值有限的2）有限的时间段内3）频谱主要集中在某个频带中＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝周期信号：直流分量：周期为的周期信号，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝功率：“归一化功率”，令（欧姆），功率：能量：信号有两种类型：功率信号：为有限值，而为无穷大；能量信号：，而为有限值；＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝均方根值：幅度的一种度量，例如：直流，，则；正弦波，，则，。基于计算功率：。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分贝：采用10为底的对数度量功率的相对比值功率增益：输入与负载阻值为与，则实际增益为，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝信号与噪声的功率比基于某个参考电平值来度量某绝对电平比如，，，。符号中的m指以1mW作为参考。相似地，以1W为参考，以1kW为参考。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝傅里叶变换与信号的频谱密度简记为或或者，称为频谱密度。它通常是复数，。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝能量谱密度与功率谱密度能量谱密度：能量信号，自相关函数：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝功率谱密度：功率信号，反映频率为的单频信号所占的密度。自相关函数：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝求的频谱与功率谱。解：频谱,因此，自相关函数所以,＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝信号的频带与带宽基带信号或低通信号——主要能量或功率集中在零频率附近；频带信号、带通信号——主要能量或功率集中在某一非零频率附近。大量的传输信号是频带信号，比如长途与无线通信中的传输信号。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝信号带宽——信号能量或功率的主要部分所占的频率范围绝对带宽；等效矩形带宽，便于计算信号功率，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝零点带宽；带宽99%功率（或能量）带宽限定功率谱带宽＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝随机信号＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝概念与定义实际应用中的物理量大都具有不确定性。噪声电压信号：随机正弦信号：，其中，与是确定量，服从的均匀分布。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝随机信号（随机过程）——样本空间上的每个样本点定义一个函数。也可以是离散的，表示为或。随机信号是二元函数，实数域,:（1）固定时，是t的确定函数——样本函数（2）t固定时，是一随机变量。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝二元数字信号：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝基本特性概率分布与密度函数一阶（概率）分布函数(CDF)与密度函数(PDF)：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝高阶（概率）分布与密度函数，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝基本数字特征均值：方差：自相关函数(Auto-correlation)：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝平稳随机过程严格平稳与广义平稳过程严格平稳（或强平稳）（SSS）过程：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝广义平稳（或弱、宽平稳）（WSS）过程：广义平稳过程只关注一、二阶矩的“时移不变性”。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝相关函数的性质是实偶函数：；在原点处最大：；周期信号，也是周期的；对于非周期信号，一般。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝协方差函数：相关系数：相关时间：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝各态历经性各态历经性（或遍历性）——信号的任何一个样本函数的时间平均，从概率意义上等于它的统计平均。物理含义：只要观测的时间足够长，信号的每个样本函数都彷佛遍历了信号的各个状态，因此，从它可以计算出统计平均值。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝广义各态历经性：均值各态历经性：；自相关函数各态历经性：。具有均值各态历经性时，一定是平稳的。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝两个信号的联合特性联合概率分布函数，互相关函数：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝联合广义平稳信号：互相关函数互协方差函数互相关系数＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三种关系：正交：。线性无关：，即，独立：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝联合平稳随机信号X(t)与Y(t)的合成信号为，其中与是确定量。解：如果X(t)与Y(t)正交，则，。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝*复随机信号复随机信号由实部与虚部两个实随机信号组成，形如：。平稳复信号的性质：（1）；（2）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝功率谱密度功率谱密度与维纳—辛钦定理功率谱密度（PSD）：维纳—辛钦定理：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝正弦信号，其中A是常量，，求它的功率谱。解：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝它是平稳的，功率谱是确知函数，明确有效地说明随机信号中各频率成份的含量。对比，随机信号的频谱函数，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝*单边功率谱功率谱总是正的实函数，实信号的功率谱必定是偶函数单边功率谱——只使用正频率部分＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝*互功率谱联合平稳信号的互功率谱密度，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝高斯分布与高斯信号MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝高斯分布许多随机信号由大量相互独立的随机因素综合影响而形成，其中每一个别因素的影响是微小的，这类随机信号大都近似地服从高斯分布。高斯分布，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝二维高斯分布，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝常用函数标准正态分布的分布函数，一般的正态分布，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝其他几种函数：误差函数：补误差函数：函数：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝高斯随机信号高斯信号——任意个随机变量具有联合高斯分布。性质：所有特性完全由其均值函数和协方差函数决定；是独立信号的充要条件：；通过任意线性系统后也仍然是高斯信号；广义平稳=严格平稳；＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例如：平稳高斯信号，均值与相关函数，，概率特性：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝信号通过线性时不变系统＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝确知信号通过系统给定冲激响应为的LTI系统，输入信号，输出：频谱：频响函数——功率：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无失真传输条件无失真传输结果只产生时延与线性缩放，即因此，无失真传输条件：幅度特性：（实常数）相位特性：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝群时延，无失真传输要求：（常数）。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝平稳随机信号通过系统平稳信号输入系统，与是联合平稳的。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝输出的概率特性如果是高斯过程，则也是高斯过程。如果系统的带宽足够宽，则与具有相似的概率特性。如果系统带宽足够窄，从信号中过滤出窄带信号通常趋于高斯信号。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝输出的均值、相关函数与功率谱平稳过程通过系统后，输出过程满足：（1）（2）（3）（4）其中，，是系统的直流增益。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝功率谱与互功率谱关系如下：（1）（2）（3）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝某线性系统的冲激响应为，，输入是零均值平稳信号，其自相关函数是。解：采用频域分析方法，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝由功率谱之间的关系有，因此，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝白噪声＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝白噪声平稳白噪声——或白噪声信号的功率为无穷大，而在不同时刻上彼此间无关。白噪声序列：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝低通白噪声带宽Hz的低通（或带限）白噪声：，，与带宽成反比＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝高斯白噪声与热噪声高斯白噪声——服从高斯分布的白噪声。低通高斯白噪声，按每秒2B样点采样后得到序列。解：显然，。采样后的序列有，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝可见，是平稳高斯白噪声序列，也是独立序列。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝热噪声——电阻等固态器件产生的噪声，具有平稳性并呈高斯分布。功率谱值：，（）在使用带宽为的电压表测量电阻器两端的开路噪声电压。解：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝系统的等效噪声带宽白噪声通过系统的输出功率谱与功率：其中，。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝等效噪声带宽——满足的Hz。（为系统的中心功率增益），于是，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝试求RC积分电路的等效噪声带宽。解：首先，于是，而与，于是，。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝噪声中的信号处理＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝平滑滤波典型情况：信号受到加性白噪声的污染，形成希望通过对滤波尽量保留信号、消除噪声。滤波器输出：误差：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝合理设计：滤波器在让信号尽量完整通过的前提下，最大限度地滤除噪声。即，以Hz为截至频率，使得和。于是，和＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝匹配滤波器典型情况：在噪声中检测出某有限时长的已知信号是否存在。希望通过滤波，使在某时刻能够有效地“认出”，这时并不在乎信号是否畸变。目标设定：使中的信号与噪声之比最大化。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝匹配滤波器——处理带有噪声的信号，使时刻的输出信噪比最大化的滤波器：，（与为任意非零实常数）证明：时刻的信噪比，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝因此，利用许瓦兹不等式,在时取等号。令，或＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝取得最大值：其中，——信号能量。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝结论：匹配滤波器的冲激响应实际上是信号的反转平移形式，最大输出信噪比与信号的具体形状没有关系。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝两个确定信号如图。求（1）匹配滤波器与（2）判定是哪一个的方案。解：（1）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝，于是，。（2）当，则中包含，否则，包含。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝带通信号MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝希尔伯特变换希尔伯特（Hilbert）变换——是LTI系统，频响为：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝基本性质如下：希尔伯特逆变换：希尔伯特滤波器是相移的全通滤波器。于是，若是带限的信号，则＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝平稳随机信号时，，正交变换：；。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝假定是平稳随机信号，试证明：上面性质（3）与（4）。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝解析信号解析信号或信号预包络——解析信号的频谱：解析信号的功率谱：由解析信号求原信号：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝带通信号及其分量信号带通信号（Bandpasssignal）——只在某个有限的区间上非零。中心频率（通信载波频率）；带宽窄带信号：的带通信号。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝的复包络信号：同相与正交分量：与；包络与相位分量：与。它们之间的关系是：与＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝带通信号主体上是正弦波，包络随缓慢波动，相位随缓慢“抖动”。带通信号本质含两个要素：复包络与载频＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝频谱搬移频带通信中，低频分量与对应于基带消息信号，带通信号对应于信道传输信号。频带通信核心是频谱搬移。（1）发送过程——由低频分量形成（2）接收过程——由带通信号取出与＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调制：解调：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝基本调制/解调中只有一路消息信号（令）：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝解调原理说明：因为,与＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝频域的过程＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝带通系统带通系统——处理带通信号的系统，冲激响应也是带通的。应该与信号有着相同的中心频率与相近的带宽。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝等效在它们的低频信号上：频带传输的无失真条件：实质上，消息信号能够无失真传输＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝带通随机信号与噪声MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\h＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝平稳带通随机信号平稳带通随机信号——功率谱集中在附近的随机信号基本结论：、与都是零均值的，且功率相同：与正交：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝相关函数之间的关系为，功率谱之间的关系为，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝带通高斯信号与噪声平稳的带通高斯信号（令方差为），则分量与具有相同的高斯分布，且在同一时刻上彼此独立；包络和相位分别服从瑞利(Rayleigh)分布与均匀分布，即，，且在同一时刻上也彼此独立；＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝零均值带通高斯白噪声：试求:分量的功率谱、概率密度函数与联合密度函数。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝解：功率谱：与都是带宽为Hz、（双边）功率谱为的低通白高斯噪声。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝又。因此，与彼此无关，进而独立，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝高斯噪声中的带通信号带通信号与高斯噪声的合成信号常见的带通信号是随相正弦信号，，合成信号的同相与正交分量合成信号的包络与相位，＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝合成信号的基本概率分布考虑给定的条件下，可以证明：同相分量与正交分量是具有不同均值、相同方差的高斯分布；且它们在同一时刻