江西省南昌市2024-2025学年高三年级上册数学复习训练题：立体几何（二）

南昌市2024-2025学年度高三数学第一轮复习训练题（六）

立体几何（二）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设々，夕是两个不重合的平面，加，”是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若根ua,〃u尸，m±n,则aJ■分

B.若ml/a,"ua,IJllJm//n

C.若〃?」口,"Ua,则MZ±n

D.若ua,nua,ml//3,nil0,则all(3

2.已知三条直线。，4c,满足：a与6平行，a与c异面，贝伊与c（）.

A.一定异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

3.正方体ABCD-ABC2中，点E,F,G分别在棱A综上运动（不含端点），角ZEFG

不可能的取值为（）

4.已知.ABC是边长为1的正三角形，那么_MC平面直观图A'B'C的面积为（）

A.—B.逅C.—D.逅

881616

14LL

5.已知正四棱台的体积为了，上、下底面边长分别为夜,2夜，其顶点都在同一球面上,

则该球的表面积为（）.

A.20〃B.25nC.36乃D.50%

6.平行六面体A5CD-A4cA中，底面ABCD为正方形，

==AA1=AB=I,E为G2的中点，则异面直线BE和

DC所成角的余弦值为（）

A.0B.且C.ID.立

224

7.如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞。,

知必:DA=SE:EB=CF:FS=3:1,设该容器的体积为匕，该容

的水的体积为力,则上（）

B

55

A29R2731

A.—B-Mc—D.

33・3235

8.已知正方体A3CO-A冉GA的棱长为1,及尸分别为的中点，下列说法错误的是（）

A.直线与平面2E/平行

B.直线所与平面ABC。所成的角为45

C.异面直线AG与3。所成角的余弦值为受

2

D.若点G是该正方体表面及其内部的一个动点，且AG「平面BOQ,则线段CG的长的取值

范围是［与-，血

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.

9.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，彳、

北方叫作“冰参（gd）”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的/vy\

倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3,将其放倒/\V\

在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转V________A

回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周.下列说法正确的是（）

A.圆锥的母线长为§27；B.圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为120。；C.圆锥的表

面积为36兀；D.圆锥的体积为12岳.

10.如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积

为V）.固定容器底面一边于地面上，BC=l,再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面

四个结论，其中正确的是（）

A.水面EFG〃所在四边形的面积为定值

B.没有水的部分始终呈棱柱形

C.棱4〃一定与平面EFGH平行

D.当容器倾斜如图所示时，BEBF=2V（定值）

11.三棱锥A-BCD中，一ACD为边长为2的等边三角形，..ABD、一ABC为等腰直角三角

形，则点3到面ACD距离可能为（）.

A.乎B.76C.2D.176

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥A-3CD,当该三棱锥体积

最大时，线段AC的长为.

13.如图，棱长为2正方体ABC。-A4G2中，，点/在侧面41内B内，若2MLCP,

则点M的轨迹长为.

14.将长为3,宽为1的矩形纸条按如图所示虚线折叠，围成一个几何体称为“菱角”，如图所

示，则该几何体的体积为1

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.一木块如图所示，所有棱长都等于10cm,点P为三角形K4c的

中心，过点尸将木块锯开，截面平行于直线侬和AC.

(I)请在图中作出截面图形并说明理由；

(II)求截面面积.

A

16.如图1,在矩形ABC。中，已知A3=2应，BC=2,E为A3的中点，将AADE沿OE向上翻

折，得到四棱锥a-BCDE(图2).

AEBEB

（图1）（图2）

(I)求证：平面4ACL平面BCDE；

(II)在翻折过程中，当惧=。,时，求四棱锥A-BCDE的体积.

17.如图，圆台。。2的轴截面为等腰梯形ABCD,AD=4,BC=8,该圆台的侧面积为12蓬兀,

点M为A3中点，点E为BC中点.D/C

(I)求点A到平面CEM的距离；

(II)求直线。声与平面CEM所成角的正弦值.

18.如图，AABM在平面ABC。上的投影为AA的0,。为平面ABM

与平面ABCD的夹角.

(I)证明：S^BM-COSO=SAABM

(II)若功侬一“加^^,平面ABCD是边长为3的正方形，

MB=2,求二面角2-MC-O的正弦值.

19.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又

认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到

1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量,

发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地

球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面

222

「：0+与+W=l(a＞。力，这说明椭球完全包含在由平面x=±a,y=±6,z=±c所围成的长

abc

方体内，其中“也C按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面

z=0的截痕是椭圆E:；+y2=i.

22

(I)已知椭圆卞+%=l(a>b>0)在其上一点。伍,为)处的切线方程为置+旨=1.过椭圆E

的左焦点耳作直线/与椭圆E相交于两点，过点A8分别作椭圆的切线，两切线交于点M,

求面积的最小值.

(II)我国南北朝时期的伟大科学家祖晅于5世纪末提出了祖晅原理：“嘉势既同，则积不容

异”.祖晅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个

平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当

b=c时，椭球面「围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖晅原理求该椭

球的体积.

参考解析

一'单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.设a,4是两个不重合的平面，加，〃是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若“zu。，“u尸，mln,则aJ■力

B.若血/a,“ucc,则疯历

C.若加J_a,“ucc,则加

D.若"zu。，"uoc,mlI[3,nlip,则allfi

【答案】C

【分析】对于ABC：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D：根据线面垂直的性质分析判断.

【详解】对于正方体44GA，且M,N分别为AB,CZ）的中点，

对于选项A：例如ASu平面ABC。，AAu平面a4GR，

但平面ABCD〃平面44GA，故A错误；

对于选项B：例如42〃平面ABC。，ABu平面ABCD，但故B错误;

对于选项C：若加la,“ucc,由线面垂直的性质可知加_L〃，故正确；

对于选项D：例如AD,MNu平面ABCD,且ADMV均与平面平行，

但平面ABCDc平面BB£C=BC,

故D错误；

故选：C.

2.已知三条直线。也。，满足：。与。平行，"与。异面，贝必与。.

A.一定异面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

【答案】C

【解析】若046||c,则a「c,而a与C异面，矛盾，故选C

3.正方体中，点E,F,G分别在棱A4，AR，AA上运动（不含端点），角NEFG

不可能的取值为（）

7171

A.—C—D.

6,3~2

【答案】D

【解析】用一个平面去截正方体，不可能截出直角三角形.

4.已知是边长为1的正三角形，那么平面直观图二48匕的面积为（）

A.@B.理C.—D.正

881616

【答案】D

【分析】根据题意作出的直观图进行求解.

过C作CD1A?于则CD'=~O'C=-x^-a=^-a,

2248

所以一的面积为Lzx逅〃=逅/.

2816

故选：D

5.已知正四棱台的体积为1,上、下底面边长分别为6,2加,其顶点都在同一球面上,

则该球的表面积为（）.

A.20%B.25〃C.36〃D.507r

L14

【答案】A解析：在正四棱台ABC。-A4G。中，AB=2①,44=及，体积为了,

BD=,（2可+（20）=4,BR=＜（何+（@2=2,

连接m、AC相交于点石，BQ、4G相交于点厂，

设外接球的球心为O,

①若O在台体外，设O到底面ABC。的距离为/?

则半径为R=VfiF+F=血尸+(l+/i)2,

即“7庐=，17(17后，解得白=1

②若。在台体内，设O到底面ABCD的距离为//

则半径为R=，防2+为=病产+(1叫2，

即“+/?=Jl+(l-/z)2，解得h——l,舍去，

综上所述，h=l,故火=石，所以4万尺2=20万

故选：A

6.平行六面体A5CD-A4GJ中，底面ABCD为正方形,

JT_

==AAi=AB=l,E为CQ的中点，则异

BE和DC所成角的余弦值为()

A.0B.走C.；D.正

224

【答案】A

【分析】由此女=肉+40-；4山2求解即可.

兀I

【详解】解：由题意，AAi^AB=AAi^AD=lxlxcos-=-fABAD=0?

XDC=AB,BE=AE-AB=A\+AiDl+DiE-AB=AAi+AD-^AB,

所以B?OC=[AA+AD-gAB)A3=g+0-g=0,即有潴,笳，

故选：A.

7.如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D,E,F,经

测量知SQ：4=sa£s=B:尸s=3：i,设该容器的体积为匕，该容器最

多能盛的水的体积为匕，则》=()

A29R552731

A.石B.正C.-D.-

【答案】B

【分析】分别求两个三棱锥的底面积和高之比，即可得体积之比.

【详解】如图:

s

连接£）£,DF，EF,当三点在水平面时，该容器盛水最多.

因为：SD:DA=SE:EB=3:1,所以三些

q

uSAB

又因为：CF:比=3:1,所以C,尸到平面&4B的距离之比为：4:1,

所以*所以＞1一:55

64­

故选：B

8.已知正方体A5CO-44G2的棱长为1,E,F分别为3综BC的中点，下列说法错误的是（）

A.直线A。与平面AE尸平行

B.直线E尸与平面ABCD所成的角为45

C.异面直线HG与即所成角的余弦值为正

2

D.若点G是该正方体表面及其内部的一个动点，且AG，平面8DG,则线段CG的长的取

值范围是，步,也

【答案】c

【分析】根据线面平行的判定定理判断A；根据线面角定义判断B；结合线面垂直的判定来判断C；根据

面面平行确定G点位置，再结合三棱锥体积求高判断D.

【详解】对于A,连接4。，由于E,尸分别为84,的中点，则所〃4C,

由于=即四边形448为平行四边形，则a〃〃4C,

故E尸〃AD,而即u平面RE尸，ADU平面AE尸，故4。//平面AE广，A正确；

对于B,由于34_L平面ABCD,故班1_L平面ABCD，

则NKFB即为直线石尸与平面ABC。所成的角，

而EB=BF，故NEEB=45,B正确；

对于C,连接AC,则AC/BD,

又cc—平面ABCD,应）u平面43CD,则ccjs。，

CCXAC=C,CG,ACu平面ACC],故.平面ACG,

A£u平面ACC一故8。LAC1，

则异面直线Ag与用）所成角为90,余弦值为0,C错误；

对于D,连接Ag,旦Q,A£\,

由于84〃OR,=OR,,即四边形ABQQ为平行四边形，

故%）U平面8DG,420平面。漆尸，故回自//平面8。6，

同理AB//平面BDCX,而BQCAB】=Bl,B,Dl,ABlu平面A4R,

故平面A4R//平面5£>a,而AG平面8DC,

故G点落在三角形A4R（含边界）上，

当G点位于A,耳2时，CG最长为上；

当CGL平面A4R时，CG最短，即为三棱锥C-A42的高h,

由于%.阴2=§SvA4“，=1-49.ABC，^3^X-^X（^）-^=l-4x—x-xlxlxl,

解得力=毡，故线段CG的长的取值范围是芈，夜，D正确，

3L3

故选：C

【点睛】关键点睛：解答立体几何类题目的关键是要发挥空间想象能力，明确空间的点线面的位置关系,

比如本题D的判断，要明确G点位置，进而求解范围问题.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.

9.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，彳、

北方叫作“冰狼（go”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的/yy\

倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3,将其放倒/\V\

在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点s滚动，当圆锥在平面内转V_________A

回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周.下列说法正确的是（）

A.圆锥的母线长为2胃7；B.圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为120。；C.圆锥的表

面积为36兀；D.圆锥的体积为12后无.

【答案】BC

【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，S4为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根

据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为

圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解.

【详解】解：设圆锥的母线长为/,以S为圆心，S4为半径的圆的面积为小,

圆锥的侧面积为兀H=3兀/，

当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，

则/=94，所以圆锥的母线长为/=9,故A错误；

圆锥的底面圆周长为2兀*3=6兀，设圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为《rad,

2兀

则6兀=9a,解得a=3-,即a=120。，故B正确；

圆锥的表面积3兀乂9+兀*32=36兀，故C正确;

圆锥的高/?=J/2—/£92-32=60，

所以圆锥的体积为故D错误.

33

故答案为：BC.

10.如图，向透明塑料制成的长方体容器AB8-A4G2内灌进一些水，水是定量的（定体积

为V）.固定容器底面一边加于地面上，BC=1,再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四

个结论，其中正确的是（）

A.水面EFGH所在四边形的面积为定值

B.没有水的部分始终呈棱柱形

C.棱42一定与平面EFGH平行

D.当容器倾斜如图所示时，BEBF=2V（定值）

【答案】BCD

【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义判断A,B,C,再根据柱体的体

积公式判断D.

【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形,

图1图2图3

对于A：水面EFGH是矩形，线段FG的长一定，从图1到图2,再到图3的过程中，线段行长逐渐增大,

则水面EFGH所在四边形的面积逐渐增大，故A错误；

对于B：依题意，BC//水面EFGH,而平面see由、平面EFGH=FG,BCu平面5CG4,则BC//FG,

同理3C//EH,而8C//AD,BC=FG=EH=AD,又平面AB4A,平面A84A〃平面C">c，

因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确;

对于C：因为ADJ/BCHFG,FGu平面EFGH,4RU平面EFGH,因此AR〃平面EFGH,

即棱AA一定与平面EFGH平行，故C正确；

对于D:当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为BC=1,体积为V,

12V

又SBEF=—BE-BF,V=SBEF-BC,所以=—=2V,故D正确.

2BC

故选：BCD

IL三棱锥A-5co中，..AGO为边长为2的等边三角形，ABD，ABC为等腰直角三角

形，则点6到面AC。距离可能为（）,

A.巫B.V6C.2D.-V6

33

【答案】ACD

【详解】ABD，ABC,共有一个公共边A5

中，A5长可能为&,2,2万

①|=拒，则3。=&,3C=&

AB±BD,AB±BCBDBC=B

AB±面5cZ)

=>h-——

3

②|=2,则5。=272,BC=272

AB±AD,AB±ACAD\AC=A

AB±面ACD

:.h=\B^=2

③I阴=20

AD_LBD,AC±BC

取8中点Af,CD±AM,CD±BMCDJ_面ABW

面ACD_LABM,根据面面垂直的性质

一2,\/2-1,

8到AM的距离=/z=2—―=-4b

2•百3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知边长为2的正方形A3CD,沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD,当该三棱锥体积

最大时，线段AC的长为.

【答案】2

【分析】取BD的中点0,连接49、OC,当平面A5Q1平面BCD时三棱锥A-BCD的体积取得

最大值，由面面垂直的性质得到4。，平面BCD,从而得到A。，。。，再由勾股定理计算可得.

【详解】取BD的中点0,连接49、OC,则AO1B。、OCLBD,AO=OC=；亚百=也,

当平面ABQ1平面BCD时，三棱锥A-BCD的体积取得最大值，

又平面ASQc平面AOu平面,，所以491平面BCD,

又OCu平面BCD,所以A。，。。，

所以AC=J（可+（可=2,

所以当该三棱锥体积最大时，线段AC的长为2.

故答案为：2

13.如图，棱长为2正方体-中，"=必，点心在侧面

948内，若则点2的轨迹长为.

【答案】J

【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求点的轨迹.

【详解】如图建立空间直角坐标系，棱长为2,尸（2,0,1）,C（O,2,0）,叔R（0,0,2）,

v（2,y,z）,D}M=（2,y,z-2）,CP=（2,-2,1）,

D,M-CP=4-2j+(z-2)=0,整理为：2-2y+z=0,

点AZ的轨迹方程是关于乂Z的二元一次方程，所以轨迹是平面A54A平面内，直线2-2y+z=0内的一段

线段.

点须在平面AB44内，线段上任一点的坐标可设为M（3,y,2y-2）,

fo<y<2

又[o[2；-2W2即1""（3/，。）%（3,2,2）

222

则轨迹长为\MXM^=^/（3-3）+（2-1）+（2-0）=V5.

14.将长为3,宽为1的矩形纸条按如图所示虚线折叠，围成一个几何体称为“菱角”，如图所

示，则该几何体的体积为.

【答案】；

【详解】依题意，PABCM为两个全等的三棱锥底面重合拼接而成，

JT

且在三棱锥尸―ABC中，ZAPC=ZCPB=ZBPA=-,PA=PB=PC=1,

2

则LBCM=2%=2x-x-xlxlxl=-.

/、YrWoCTWr-ABC323

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.一木块如图所示，所有棱长都等于10cm，点？为三角形以。的

中心，过点尸将木块锯开，截面平行于直线VB和AC.

（I）请在图中作出截面图形并说明理由；

（II）求截面面积.

【答案】（1）略（2）—

9

【分析】取AC的中点。，连接VD,BD，过点？作HG//4C交后、VC于点衣、G,取刚、BC的三等分

E、F（靠近A、C）,连接HE、EF、FG,即可得到四边形EFGH即为所求截面，再证明AC,平面烟）,

即可得到”GLGP,从而求出截面面积.

vp2

【详解】（I）取AC的中点。，连接VD,BD，贝^在肛＞上且而=1

过点户作HG/MC交出、VC于点衣、G,则衣、G为女、VC的三等分点（靠近A、C）,

取胡、BC的三等分E、F(靠近A、C),连接HE、EF、FG,

220220

则HGI/ACS.HG=-AC=—,EF//ACMEF=~AC=—,

3333

HE//VB且HE=LVB=2,GF//VBMGF=-VB=—,

3333

所以EF//HG且EF=HG,GF//HE且GF=HE,

所以四边形EFG”即为所求截面,

(II)VD1AC,BD1AC,VDIBD=D,V<D,3Z)u平面VBD,

所以AC,平面烟入又VBu平面VBD,所以AC1VB,

所以HG1GF,所以四边形EFGH为矩形,

……2010200

所以截面面积为二-X：-=-^-cm2

339

皿3士、，200

故答案为：—^―

V

16.如图1,在矩形ABCD中，已知A8=2&,BC=2,E为AB的中点，将MDE沿向上翻

折，得到四棱锥4-88石（图2）.

（I）求证：平面AACJ■平面BCDE；

（II）在翻折过程中，当AA=C4时，求四棱锥的体积.

【答案】（I）证明见解析

（II）72

【分析】（I）在矩形ABCD中，可证明DELAC,则在翻折过程中）?，4月，从而可证明

平面AFC,从而可证明结论.

（II）取AC中点0,则A。，尸c,垂足为0,根据勾股定理即可求高，即可求体积.

【详解】（I）如图1,连接AC交。尸于尸.

D

因为AB=2s/2,且£为AB的中点，

AE=应,

在矩形ABCD中，因为AD=2,所以

至萼二日

ADAB

所以一E4Q一CB4,所以4㈤E=/班。，

所以ZAFD+/朋。=ZAED+ZADE=90。，

即ZAFE=180。一（ZAEO+ZG4B）=90°,gpDEIAC.

由题意可知。E，4尸，DE，尸C,4尸।FC=F,4下,尸。＜=平面44。，

所以。£1平面AAC,因为QEu平面3CDE,所以平面及刀石,平面4人。.

（II）如图2,取AC中点0,连口C接

A0.\

因为AA=c%所以AO1AC/

因为平面BCDE_1_平面AAC,AEBEB

（图1）（图2）

平面5CDE平面4AC=AC,4Ou平

面AAC,^01AC.

所以A。，平面8CDE.

由勾股定理可得AC=26，

由（1）可得4尸=芋，从而可得A/」巫,所以尸0=3,

33

所以4。=1,

所以四棱锥A-B8E的体积gsBEDc・AO=-x-（V2+2V2）x2xl=V2.

32

17.如图，圆台GQ的轴截面为等腰梯形ABCD,心,=4,BC=8,该圆台的侧面积为1

收为A8中点，点E为BC中点.

（I）求点A到平面CEM的距离；/.J

（II）求直线QE与平面CEM所成角的正弦值.

【答案】（T）I，扃.（2）封巫.

57114二_____I》

【详解】（I）由心=4,BC=8,圆台。02的侧面积为126兀

E

可得兀（2+4）AB=12有兀,

所以A3=2百，

所以002=加-产

«2同一2?=4,

连接诊，。/，点府为AB中点，点板到平面BCE的距离为2,

因为BC=8,点£为BC中点，所以BEIGE,BE=CE=4母,

的面积S[=；x(4〃『=16.

CN7

过点以作平面BCE的垂线，垂足为N,则点N在BC上，且——=-,

BC8

过点N作成的平行线，与CE交于点F，则”，s,MFX.CE,

>AfF=-BE=—,

82

所以MFAMN'NF?=’+

所以_CEM的面积邑=3'(?£^儿行=；乂40乂空4=2后.

设点A到平面CEM的距离为h,则点B到平面CEM的距离为h,

2St_32_16^

由%-BCE=VB-MCE得3XS]X2=§XS2X/l,所以八

及一2用一57

所以点A到平面CEM的距离为心豆.

57

(2)由题知，O2E,O2B,。2。1两两垂直,

以点。2为坐标原点，以。2石，O2B,QQ所在直线分别为x轴，》轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系.

则q（0,0,0）,q（0,0,4）,。（0,7,0）,£（4,0,0）,M（0,3,2）,

所以0产=（4,0,-4）,CE=（4,4,0）,CM=（0,7,2）,

设平面CEM的法向量为〃=（x,y,z）,则有，

n-CM=0

J4x+4y=°

付[7y+2z=0，

取y=-2,得平面CEM的一个法向量八=(2,-2,7),

设直线QE与平面CEM所成角为依

小in”RQ〃L|4x2+0x(-2)+(-4)x7|_5x/114

En

\°i\\\^42+02+(-4)2^22+(-2)2+72114

所以直线QE与平面CEM所成角的正弦值为年|4.

18.如图，AAW在平面ABCD上的投影为。为平面ABM

与平面ABCD的夹角.

SCOS0=S

(I)证明：^ABM-&ABM

(II)若/MBA=/M3C=],平面ABCD是边长为3的正方形，

MB=2,求二面角B-MC-。的正弦值。

【答案】(I)略(II)

3

【解析】(I)证明：过点M作ME垂直于AB，垂足为E，连接M'E.

依题意，“'M_L平面ABCD则

又；AB1ME,MMME=M平面M'ME

，AB1平面MME,

:.AB1ME,.....................................................3分

即NA/'£M=6,A/Z=ME•cos6

11,

又：^M=--AB-ME,S^BM=--AB-ME

ABM£COS0=5

即：=7--AABM-COS^.................................6分

jr

(II)平面ABCD是边长为3的正方形，且N"&4=N"3C=§,

二点M在底面ABCD的投影M在即上，

又,MB=2,MB=y/2,M'M=也..............................8分

由MM,平面ABCD及平面ABCD是边长为3的正方形，以AC与即的交点M为坐标原点，OB,OC为

儿丁轴，过0作、。。W,以OO'为z轴建立空、间直角坐标系。

’30(3历、

则3,0,0,C0,^-,0,M,0,V2,D芈,。,。9分

72J1

设平面BMC的法向量为机=(x,y,z),BC=「芈,半,o],8M=卜0,0,a)

\22)

一述X+述y-0

<22令X=1,则y=z=l,即冽..........................11分

—\[2,x+A/^Z=0

设平面MCD的法向量为"=(M，K，ZJ,=(-272,0,72)

---M+---y=0/、

:212，令玉=1,则y=—l,z=2,即〃=(1,—1,2)13分

-+>/^Z]=0

设二面角8—为仇

2前二则si"[...............................15分

19.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又

认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到

1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，

发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地

球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面

222

「：=+与+彳=1(。>0,6>0,。>0),这说明椭球完全包含在由平面尤=±a，V=土瓦z=±c所围成的长

abc

方体内，其中。，氏。按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面

z=0的截痕是椭圆E:^-+y2=1.

(I)已知椭圆"白1("6>0)在其上一点。(2)处的切线方程为管+*=1.过椭圆E

的左焦点片作直线/与椭圆£相交于A3两点，过点A3分别作椭圆的切线，两切线交于点反,

求面积的最小值.

(II)我国南北朝时期的伟大科学家祖晅于5世纪末提出了祖晅原理：“嘉势既同，则积不容

异”.祖晅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个