江苏省苏州市2024-2025高三年级上册期中调研数学试卷及答案

2024〜2025学年第一学期高三期中调研试卷

数学2024.11

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题〜第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题

〜第14题）、解答题（第15题〜第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，

请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定

位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫

米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.在复平面内，若i是虚数单位，复数z与3关于虚轴对称，则z=（）

1-1

A.1+iB.-1-i

C.-1+iD.1-i

2.若对于任意的实数xeR都有cos（x-6）=sinxcos6+cosxsine成立，则。的值可能是（）

3.下列说法中不正确的是（）

A.是的必要不充分条件

B.命题“VxeR,，+2x+2〉0”的否定是“eR,x2+2x+2<05,

C.“若a,l>eR,a+b<8,则a<4且b<4”是假命题

D.设见〃eR,则“a=0或〃=0"是''加〃=0"的充要条件

4.在数列｛&“｝中，an+an+1=2n,则数列｛a“｝前24项和品的值为（）

A.144B.312

高三数学期中试卷第1页共6页

C.288D.156

3xx2

5.已知实数x>y>0,则二+—^的最小值为()

j^y-y

A.12B.9

C.6D.3

6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱

的底面半径与圆锥的底面半径的比值为()

£

A.B.V2

4~T

j_

C.D.旦

2~2

7.已知oeR,函数/(x)=(x—4»sin(ox),若存在常数aeR,使得y=/(x+a)为偶函

数，则实数0的值可以为()

3兀71

A.—B.一

83

71兀

C.—D.-

42

已知函数be*>0),若则^―^最大值为()

8.

a

A.e-2B.e-1

C.eD.e2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知向量a=(x,2-x),b=(-l,-x),则()

A.若aJ_6，则x=0或-3

B.若贝Ux=—2或1

C.若同=忖，则x=l或3

D.若x=—1,则向量Z，B夹角的余弦值为1

10.已知AA5C的内角4SC所对的边分别为a,"c,下列四个命题中正确的是()

高三数学期中试卷第2页共6页

A.若A4BC为锐角三角形，则sin5>cos/

B.若8=60°万=双，则A4BC是直角三角形

C.若bcosC+ccosB=6,则AA8C是等腰三角形

D.若AA8C为钝角三角形，且45=3,AC=5,cosC=—,则A4BC的面积为经也

144

11.己知£,/?(a片⑶是函数=/+办2+6x+l,(a,6eR)两个不同的零点，且a,£=l,占，x2

是函数/(x)两个极值点，则()

A.a=b

B.tz>3或。<一2

C.C+0-2)2值可能为11

D.使得/储)+/(上)=。的“的值有且只有1个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/(x)=2sin］ox+：｝ft>〉0)在区间［0,1］上的值域为［加,〃］,且"—加=3,则0

的值为▲.

13.如图，边长为1的正△ZBC,P是以Z为圆心，以ZC为半径的圆弧北上除点3以外的

任一点，记△尸48外接圆圆心为O,则就.标=▲.

第13题图匕

14.若存在实常数4和6,使得函数/⑴和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足

/(x)N履+6Ng(x)恒成立，则称直线》=履+6为/(x)和g(x)的“媒介直线”.已知函数

/(x)=x2(xeA),g(x)=—(x<0),若/(x)和g(x)之间存在"媒介直线"y=kx+b,则实数6的

x

范围是▲.

高三数学期中试卷第3页共6页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知数列｛%｝是公差大于1的等差数列，02=3,且为+1，。3-1，R-3成等比数列，若数列也,｝

前〃项和为S。，并满足Sn=264+〃，neN*.

(1)求数列5｝,血｝的通项公式.

(2)若c“=(an-l)(bn-1),求数列｛c“｝前〃项的和..

▲▲▲

16.(15分)

已知向量a=(sinx,cosx),^=(^3cosx,cosx),f(x)=2a-b-\.

(1)求函数/(x)解析式，写出函数/(x)的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.

(2)试用五点作图法作出函数/(x)在一个周期上的简图(要求列表，描点，连线画图).

(3)根据(2)中的图象写出函数y=/(xXxeA)的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x值

的集合.

解：⑴

(3)

▲▲▲

高三数学期中试卷第4页共6页

17.（15分）

如图①，在平面四边形/BCD中，CB=CD=2V3,tanZCDB=41,。为对角线8。中点，F为BC

中点，£为线段上一点，且CO=AB,ABLBD.

（1）求/£的长.

（2）从下面【I】与【II】中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.

【I】在平面四边形/BCD中，以AD为轴将ABCD向上折起，如图②，当面CAD_L面48。时，

求异面直线OF与BE所成角的余弦值.

【II】在平面四边形4SCD中，以AD为轴将A5CD向上折起，如图③，当NCOE=60°时，求三

棱锥C-的体积.

高三数学期中试卷第5页共6页

18.(17分)

已知函数/(x)=aln(x-l),g(x)=x2一2%.

(1)如果函数/(%)在(2,/⑵)处的切线，也是g(x)的切线，求实数〃的值.

(2)若方(%)=8(%)-/(%)在-+1,e+1存在极小值方宿)，试求尸(%)的范围.

e

(3)是否存在实数0,使得函数6(》)=/6+1)-2步?有3个零点，若存在，求出所有实数。的

(x+11

取值集合，若不存在，请说明理由.

19.(17分)

对于任意几EN*,向量列,｝满足%-4=d.

(1)若［=(0,—3),7=(1,1),求的最小值及此时的

(2)若玛=(%〃/〃)，d=(s,”其中,若对任意〃eN*,西+电+…’0，

设函数/(X)=MH，记网")=/(*)+/(x2)+―-+/(x"),试判断网〃)的符号并证明你的结论.

(3)记％=(0,0),cn=\an\,对于任意冽EN*,记S(m)=°i+s+Q…+4，若存在实

数c=1和2,使得等式S(rn)=cx+Q…+。=忖一。|+匕2-。|+b3-…+卜加一。|成立,且有

S(m)=507成立，试求机的最小值.

高三数学期中试卷第6页共6页

2024〜2025学年第一学期高三期中调研试卷

数学（参考答案）2024.11

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案CABCB1)AA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

题号q1011

答案BCACACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.—13.-14.[-4,0]

122L」

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.（13分）

解：（1）设等差数列｛册｝公差为d,由题意知

由。2=3,a｝+1»—1»。6-3成等比得,

a1+d=3

(%+2d-iy=(%+lX%+5d-3)'消去可整理品5/T2d+4=0,

2

解得d=2或d=M，因为d>l,所以d=2,代入可得q=l,

所以有=1+2(〃-1)=2〃-1；

又因为数列也,｝前〃项和为Sn，且满足Sn=26“+〃

所以当〃时有Sn』=2"T+〃-l....................

0•②得bn=2bn_x-\(neN\n>2),.........................

在Sn=2〃+〃中，令〃=1得”=T,

山bn=2bn_x-l(neN\n>2)得，6n-I=2(力“_|一1)(〃eN*,n>2),

又由4-1=-2知"TwO，

所以数列h-l｝是以-2为首项，以2为公比的等比数列，即4-1=-2・2”T=-2”。

W

综上知：。“=2〃一1；bn=1-2o

rtW

(2)cn=k-lX/>„-1)=(2n-2)(-2)=-l(n-1)2,

23

则Tn=-2((1-1)2'+(2-1)2+(3-l)2+•••+(〃-1)2")....................'

高三数学期中试卷参考答案第1页共8页

贝」I27；=-2((1-1)22+(2-1)23+(3-1)24+•••+(〃-2)2"+(n-l)2n+,)................④,

③・④化简整理得7；=(2-〃)2*2_8；

所以7；=(2-〃)2"+2一8。13分

16.(15分)

解：(1)1*1a=(sinx,cosx\b=(VJcosx,cosx)，f(x)=2ab-\,

JVftA/(^)=2a-b-\=2V3sinxcosx+2cos2x-1=VJsin2x+cos2x=2sin2x+—

即/(x)=2sin(2x+?)xeR

2分

函数/(x)最小正周期为几，3分

对称轴方程x=9+竺,AcZ

4分

对称中心(一］+当，。),"wZ............................................................................................5分

(2)1.列表：(注：不在所给表格中列出数据，不在所给坐标系中画图的不得分)

c乃n3乃

2x+—0n21

6~2T

乃7t5万2乃\\7U

X

12777T~V2

y=2sin2」020-20

8分

2.描点、连线，画图得

10分

高三数学期中试卷参考答案第2页共8页

(3)函数/(x)=2sin(2x+^

,xeR的单调增区间为ku---4—,kwZ；••••••|2分

36

最小值为一2；..................................................................13分

取得最小值时x值的集合卜卜=今+%乃｝,%€2。...............................15分

注：单调区间为开区间，半开半闭区间均正确，所有需要注明％cZ的地方，没有标注〃wZ

者不得分。

17.（15分）

解：（1）在AC6。中，由CB=CD=26,tan/CDB=五，

。为6。中点可知，CO上BD,cosZCDB=—,sinZCDB=—

33f

所以在H/ACOD中，有OD=2,CO=2g,.....................................2分

于是30=2,BD=4,AB=2日,

由45_L知'AB?+BD?=J8+16=276,

AO=』BO2+AB?=>/4+8=2石，.........................................4分

法一：

因为6EJ./O,ABLBD,所以ZABE=ZAOB,因为sin乙4。6=坐=名旦=巫，所以

OA2后3

sinZABE=—f又sin/BAD=吧=工=旦,在等腰A^E,由正弦定理得

3AD2763

ABAE0|12VIAE2拉2及r-

sinZ.AEBsinAABEsin2ZABEsinZ.ABE2cosAABE273

亍

（也可利用MBE为等腰三角形求解）

故有AE=^6....................................

法二：由法一知N/IBE=NB4E,于是有BE=4E,

同理可得N4O8=NO/18=NQ8E,于是有BE=DE

所以E为AD中点，又AD二痴故AE二痴.

（也可利用MBO〜^DBA结合BELAO求解）

法三：因所以可以B为坐标原点，

旅，而为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

高三数学期中试卷参考答案第3页共8页

设族=/1诟（/LC[0,1D，由靛.刀=0,解得/1=，（下略）

C

（2）若选【I】取AC中点G,连结GE,BG,7

因。为80中点，尸为8c中点，

所以在MC0中，布OFIICD,O产①；

由（1）知E为AD中点，BE=、AD=K，又G为AC中点，

2图②

所以在A4CO中，有GEHCD,GE=-CD@；

2

由①@知。尸〃GE,GE=C,所以N8EG或其补角为异面直线。b与5E所成的角。

....................................................................................................................................10分

又因为面。6。_1面46。，AB1BD,45u面46。,面BCDc面45。=6。，

所以48_1面5。。，又8Cu面5CO,所以48_L8C,又G为AC中点，所以有5G=1/C.

2

而4C=〃炉+叱=2氐所以6G二石，在MGE中，由余弦定理得:

BE?+GE?-BG?6+3-5_V2

cosZ.BEG=15分

2BEGE2n忑一3'

（建立空间直角坐标系的方法也参照上述标准评分）

若选【II】如图③，由（1）知，在ACOE中，CO=2V2,OE=LAB=亚，又NCOE=60。

2

由余弦定理得CE=VEh五弄二=[8+2-2•2痣•人」=痴

V2c

由OE1+CE2=CO2知C£_LOE③；

型DLOC,BDA.AB,AB〃OE,所以80_LOE,

又OCQE是平面COE内两条相交直线，所以8。，面。。七，B

而CEu面CEO,所以8O_LC£④，

又OE,BD是平面ABD内两相交直线⑤，

由③④⑤知CE_L面/8。o...............................................................................-:-10分

（也可以由三角形CEO与三角形CED均为直角三角形证）（还可以直接过C作OE的垂

线，证并求出高）

又Sm=-ABBD=-242-4=442,

i^nDU22

所以三棱锥C-48。的体积g”D=gsA^・CE=g・4Vm=g石。........15分

高三数学期中试卷参考答案第4页共8页

(注：第17题第2问在答题卡中要求画出图形，不画图扣2分，只画图无解答不得分)

18.(17分)

解：(1)函数/(x)=aln(x-l)定义域为(1,+8),/'(2)=。,/(2)=0,

x-}

所以函数/(x)=aln(x-l)在(2,/⑵)处的切线方程为=a(x-2),...............2分

又因为/:y=a(x-2)也是g(x)=W-2x的切线,故有

卜=/-2x,消去y整理得，*2-1+2卜+2a=0,

[y=ax-2a

[t]A=(a+2)2-8a=(a-2)2=0»得a=2......................................4分

(2)因为/(x)=aln(x-l)g(x)=x2一2%，所以

尸(6=g(x)-f(x)=x2-2x-flln(x-l),(x>l),

尸'(x)=2x-2---,............................................5分

x-\x-\

因为x>l,所以x-l>0,ifip(x)=2(x-1)2-a,

由F(x)=g(x)-/(x)在，+1,e+1]存在极小值得：

e

2

7-a<°,解得...............................8分

o(e+l)>02e2-a>0e

2

此时存在/e—+1,e+l»2(x0-1)-a=0,

e

当，+l<XVXo时，/(x)vO,产(x)单调递减；

当Xo〈x<e+1时，尸(x)>0,尸(x)单调递增;..............................9分

于是有尸(x)有极小值为：

\2c.(.\a../«aa.a.2_7

斤(%)=与-2x0-aln(x0-l)=--l-alnJ-=---ln--Lp-<a<2e,

2

令f=]"€(A,e2),iBF(x0)=y-ylny-l=^(/)=/-/ln/-l,-v</<e»

qr(t)=-\nt,当，时，q'")=-ln/>0,g«)单调递增，所以•-1,0；

高三数学期中试卷参考答案第5页共8页

当fe。")时,^(z)=-lnr<0,则单调递减，所以g(f)w(-e2-i,o)；

综上可得产(X。)范围为夕(小(—/TO].......................................11分

(3)G(x)=f(x+1)-2+=aInx-——=alnx+—---2,x>0,......12分

(x+lfx+1x+1

4a(x+1)2-4x_av2+(2a-4卜+a

G，(x)=13分

r(^7xfx+l)2Mx+1)2

令〃（x）=ar2+（2a-4）r4-a（x>0）,

当aVO时，A（x）<0,则G'（x）<0,G（x）在（0,+8）上单调递减，不满足题意，舍去；

当a>0时，因为G（1）=O,记々=1，则G（x）除1外还有两个零点，则G（x）不单调，所以

〃（x）存在两个不同的零点，所以有卜=（2a-4y-4a2>0,解得0<a<[,

a>0

当0<a<1时，设〃（》）的两个零点为孙〃（加<〃），

4

贝!Jm+〃=2>0,mn-1>所以Ov/nvlv〃，

a

当xe(0,m)时，A(x)>0,Gr(x)>0,则G(x)单调递增；

当〃)时，h(x)<0,G*(x)<0,则G(x)单调递减；

当xe(〃,+oo)时，〃(x)>0,G'(x)>0,则G(x)单调递增；........................15分

又G(1)=O,所以G(m)>O,G(〃)vO,

而Ge"]=-4+―Y—=--<0»He®<I,又G(/w)>0,

I)e°+\+1

"2\.2

Gea=——>0,且e">l,又G(〃)<0,

【)/+1

所以存在X|CXjC卜ej,使得G(xJ=6(与)=0,

即G(x滴三个零点，国,西,为，

综上，实数a的范围为(0,1)..................................................17分

高三数学期中试卷参考答案第6页共8页

19.(17分)

解：(1)因为品+[-%=d对任意成立,

所以有%-q=d

ay—a2=d

aad

n-n-\=

将上述各式相加得W=[+(〃-lB，又因为[=(0,-3)2=(1,1),

所以册=a]+(〃-l)t/=(0,-3)+(n-1,/J-1)=(n-l,n-4)»..........................1分

所以有卜/=一l)2+(〃-4)2=一10〃+17=J1”一g)，又neN*,....2分

所以当〃=2或〃=3时，=V5,此时£=(1,一2)或1二(2,-1)...............4分

Imin

(2)可判定F(")>0...........................................................5分

(i)因为"eN*,$+.+…+x“x0所以数列卜“｝不可能是各项均为0的常数列；

...............................................................................6分

(ii)当数列卜.｝为非零常数列时，任意“eN*,x.=x尸0

若小>0,则.(")=/&)+/&)+…+/(%)=屋=为>0,

X|+x2+'-'+xnnx]

若苞<0,则.(")=/(XJ+/&)+…+/(x")=二^=_再>0,

X[+必+…+/叫

故当数列卜“