江苏省某中学2024-2025学年高二年级上册第四次检测数学试题

江苏省启东中学2024-2025学年高二上学期第四次检测数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若将直线/沿X轴正方向平移2个单位，再沿》轴负方向平移3个单位，又回到了原来

的位置，则/的斜率是（）

3322

A.B.C.D.

2233

2.己知向量瓦瓦J满足同=1,网=2,同=3,〈或B〉=〈1+Re〉=；,则“在。方向上的投

影向量为（）

A.垃己B.—cC.五己D.-c

3366

3.北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工

程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶

段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约

为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形

轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离

心率约为（）

A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68

4.焦距为20,并且截直线、=2xT所得弦的中点的横坐标是g的椭圆的标准方程为

试卷第11页，共33页

A./+且=1B.X2+3J?=1c.《+区=1D,丁+片句或

34123

2

X21

—+y=1

3

5.设空间两个单位向量次=（加，〃⑼，丽=（°，"，M与向量双=（1，U）的夹角都等于生,则

4

cosZAOB=（）

A.2—s/3B.2+V3c.2-'或2+D2_'或2+

424422

6.若圆/+/=]上总存在两个点到点g,0的距离为2,则实数。的取值范围是（）

A.（-2V2,0）U（0,272）B.卜2万2匈0㈠⑼〃。」）

7.已知直线/：x+y_2a=0，圆「f+j?=户（厂＞0）,若直线/上存在两点42，圆「上

存在点C，使得|/同=2，且//C8=90]贝旷的取值范围是（）

AB

-[1,3]-[2,3]C.[1,+⑹D,[2,+00）

二、多选题

8.空间四个点。，A,B,C,厉，砺，反为空间的一个基底，则下列说法正确的是（

）

A.O,A,B,C四点不共线

B.O,A,B,C四点共面，但不共线

试卷第21页，共33页

c.O,A,B,c四点中任意三点不共线

D.O,A,B,C四点不共面

9.已知直线/：2x+y+3=0，下列结论正确的是（）

A.向量.是直线/的一个方向向量

B.过点尸（0,2）且与直线/平行的直线为2x+y-2=0

C.过点尸（0,2）且与直线I垂直的直线为x+2〉-4=0

D.点尸（0,2）关于直线/对称的点的坐标为（一4,0）

10.已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面

上的动点，则下列结论不正确的是（）

A.若BM=1，则M的轨迹长度为工

24

B.若8乂=叵，则"到直线耳。的距离的最小值为走

24

C若B、N[AC、，则NwCA，且直线5户〃平面48。

D.若Me/Q,则与M与平面4m所成角正弦的最小值为也

3

三、填空题

1L过Z（川+2,.-3）,3（3-吁川,2m）两点的直线/的倾斜角为45。，求加的值为一.

12.如图，"PA轴，垂足为〃，点河在。尸的延长线上，且回1=3,当点,在圆

|。尸|2

试卷第31页，共33页

/+/=4上运动时，点M的轨迹方程为___.

13.如图，在四棱锥尸_/夙处中，平面尸C£）_1_平面48C7），底面/台四是矩形，

AB=2BC=6,PC工PD，PC=P。，点。是C。的中点，则线段尸&上的动点E到直线

A0的距离的最小值为一.

四、解答题

14.已知圆刈到+（了+1）2=4-

（1）求过点/（3,-3）且与圆C相切的直线方程；

⑵求圆心在直线2x-y=0上，且经过圆C与圆0：（x_2>+（y-1>=4的交点的圆的方程.

⑶已知/（_2,-2）,3（-2,6）4（4,-2）三点，点尸在圆。上运动，求1PH?+网2+囱「的最大

值和最小值.

15.如图，在棱长为1的正方体OZ8C_O4夕U中，E，尸分别是棱/瓦2c上的动点，

试卷第41页，共33页

且

AE=BF•

(1)求证：A'F±C'E;

（2）当三棱锥g—BEp的体积取得最大值时，求平面5,即与平面尸的夹角的正弦值.

16.已知椭圆《+g_=i（q>6>o）的左.右焦点分别为耳外，短轴两个端点为“'A且四边

ab1

形6/g8的边长为2的正方形.

（I）求椭圆的方程；

（II）若c£），分别是椭圆长轴的左，右端点，动点v满足j_C/），连结CM，交椭圆于点P,

证明：尔.赤的定值；

（III）在（II）的条件下，试问x轴上是否存在异于点°,的定点0，使得以九曲为直径的圆恒

过直线的交点，若存在,求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案ACDACACACDABDBD

1.A

【分析】设/(a,6),写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可.

【详解】解：设省凡»是直线/上任意一点，则平移后得点4(“+2,6-3)，

1

则直线的斜率k=kAA,=b±b=-l.

Q+2—Q2

故选:A.

2.C

【分析】利用投影向量的定义计算即可求得z+B在乙方向上的投影向量.

【详解】因为同=1,|5|=2,|c|=3,♦万,1，

所以卜+.=62+2限B+庐=jl2+2xix2xcos(+22=5,

所以在方向上的投影向量为一+彼)々e同Y3行近

同.同一|c|29x26

故选：C.

3.D

【分析】根据题意直接求解出椭圆的实半轴长和半焦距，进而求解.

【详解】由题意可知椭圆实轴长2a=200+8600+2x1740=12280'所以a=6140'

焦距2c=24-(200+1740)x2=12280-3880=8400,所以c=4200，

所以椭圆的离心率e=£=幽。0.68,

a6140

答案第11页，共22页

故选：D.

4.A

【分析】设椭圆方程为且+Jl,且相>°，">°，加及交点

mn

N曾Xi/4/曾X2，%（J，将两点代入椭圆方程可得

。+々）（占一%）=（乂+/）（%-%）.

mn

根据弦中点坐标关系可得人』=殳，结合直线方程得〃=3"，再由椭圆的焦距求得机

X]-x23m

的值，即可得椭圆标准方程.

【详解】解：设椭圆方程为巨+匚1,且O°，w

mn

设直线”2X-1与椭圆相交的两点坐标为/鼾1，％0，5龈2，、20,由题意可知

X+x24

:27=于即Pm玉+/=亍,

46

所以必+%=（2再一1）+（24—1）=2（玉+x?）-2=2乂-2=-吃

（22

9+工=1

又A目4,以0,83%2，%0在椭圆上，可得：.，加〃，两式相减得

22

互+互=1

、mn

222

再f।必一0,

mn

答案第21页，共22页

整理得：（再+'2）（八一工2）=（歹1+%）（歹1一%）.则3.』一工2=@.必一%,所以

m~n、7加7〃

必一＞2_2〃

---------——,

$-x23m

又直线＞=2x-l的斜率为2,所以2=&，即"=3加，所以”＞加

3m

椭圆的焦距为2也，所以c=昆则片=〃+c2=〃+2,

mn

故可得：（〃=加+2解得（〃=3,故椭圆的标准方程为：/+片=＞

[n=3m[m=l3

故选：A.

5.C

【分析】首先根据方为单位向量得到毋+〃』，再利用刀与无的夹角等丐，得

[2mn

m+n*,联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.

2

【详解】因为空间两个单位向量刀=（加,%0）,赤=（0,%0与向量区=0,1,1）的夹角都等

ZAOC=NBOC=e,因=6

易知场.反=cos/NOC=当

答案第31页，共22页

又OA•OC=m+n,:.m+n=

2

又OA为单位向量，所以渥+〃2=1，

屉2-V3

m+n=—m2

联立2，得4或＜4

m2+n2=12-V32+6

n2n2

44

又OA=0）,05=（0,%p），

04052±V3

cosZAOB==n2

CM0眩4

故选：c.

6.A

【分析】将问题转化为圆（x_a）2+（y_］）2=4与x2+V=1相交，从而可得

2-1＜7?717＜2+1，进而可求出实数0的取值范围•

【详解】到点（0,1）的距离为2的点在圆a_幻2+（了一1）2=4上，

所以问题等价于圆（x_q）2+（了-1）2=4上总存在两个点也在圆+y2=1上,

即两圆相交，故2.1＜而不＜2+1，

解得-2a＜。＜0或。＜。＜2后，

所以实数"的取值范围为卜20,0）U（0,20）,

故选：A.

7.C

答案第41页，共22页

【分析】由题意将原问题等价转换为圆心在直线i：x+y-2母=0上且半径为四=1的动

2

圆与圆「：/+/=/*>0)有交点，分直线与圆的位置关系讨论，利用圆心到直线的距离

即可得解.

【详解】若直线/上存在两点43,圆r上存在点C，使得|4司=2,且N/CB=90。，

则条件等价于圆心(设为。)在直线/：x+N-2后=°上且半径为回=i的动圆与圆

2

r：x2+y2=r2(r>0)有父点，

圆「x2+y2=r2(r>0)的圆心为0(0,0),

0(0,0)/:x+y-2后=0|_2用

到直线的距离1=七」=2,

222

当圆「x+y=r(r>0)与直线相离时，即0<厂<2时，

则圆「x2+y2=r\r>0)上的动点C到直线的最小距离为2-r，

此时只需满足2-41即可，所以北1；

当「22时，圆「/+/=改「>0)与直线有交点，此时圆「和直线上一定分别存在点C,。,

使得|CD|=1，符合题意.

综上，r>r

故选：C.

8.ACD

【分析】由空间基底的概念逐项判断即可.

答案第51页，共22页

【详解】因为次，无，反为空间的一个基底，所以。，A,B,C四点中任意三点不共线,

且四点不共面，

若O,A,B,C四点共面，则而，砺，反为共面向量，不可能构成空间基底，

所以选项B错误，ACD正确.

故选：ACD

9.ABD

【分析】由直线的方向向量，直线的位置关系，点关于直线的对称点对选项逐一判断，

【详解】对于A,直线/的斜率为一2,贝匕=(i厂2)是直线/的一个方向向量，故A正确，

对于B,过尸(0,2)且与直线/平行的直线为y=-2x+2，即2x+y-2=0,故B正确，

对于C,过尸(°，)且与直线/垂直的直线为了=；x+2,即*-2'+4=°,故c错误，

对于D,过尸(0,2)且与直线/垂直的直线x-2y+4=0与直线/的交点为“(-2,1),

则点P(0,2)关于直线/对称的点的坐标为(-4,0)，故D正确,

故选：ABD

10.BD

【分析】分析初点轨迹，求出轨迹长度，可判断A的真假；根据直线与圆上的点的距离范

围可判断B的真假；根据面面平行，可证线面平行，判断C的真假；根据线面角的概念求

线面角正弦的最小值判断D.

【详解】如图：

答案第61页，共22页

对于A：因为5河=1，所以M在以'为球心，好为半径的球上，

22

又因为M为侧面44QQ上的点，所以又在球被平面44QQ截得的交线上,

因为/2_L平面44QQ,/Mu平面44QQ,故

因为"―1,BM=立,所以AM=JBM?-BA2=J*_]=L

2V42

即初点的轨迹是在平面内，以人为圆心，以《为半径的圆的;弧，

故新的轨迹长度为：2TIXL”—,故A正确；

244

对于B：由A知：〃点的轨迹是在平面/DD/]内，以A为圆心,

以《为半径的圆的一部分，且点入到直线4。的距离为型=也,

/22

所以“到直线4。的距离的最小值为,故B错误;

22

对于C：如图,

因为441_L平面BRu平面43c1。，所以Ml|_LBR

因为4月。2为正方形，所以"D|_L4G，441U平面441G，4£u平面441G，

答案第71页，共22页

/4c4G=4，所以8a，平面44|C]，又因为4C]U平面44£，

所以4Al.4Cj同理可证：qc_LNG，

42u平面4cA，B\Cu平面耳CQ'BQ\CB\C=B\'所以/£_!_平面802,

又因为qe平面gCA，ACX1BXN，

所以Ne平面耳CD/所以B]Nu平面81cz)|，

因为BDHBQ、，8。＜=平面4a)，B。0平面AC'，所以配＞〃平面BCR，

同理可证：//〃平面gen，

BDC4B=B，5£)U平面4助，42u平面

所以平面A.BDII平面BQR，又B、Nu平面Bg，

所以21N〃平面45。.故C正确；

对D：设片到平面48。的距离为〃，则七一=^，加九

因为，4=1,BBI=1,NA国B=90。，所以$星©1.1星,

A/I]OD|22

又%-4即=%＞-4网阴,

答案第81页，共22页

因为s…去©等所以昌解得*

B、MAXBD0V3

设与平面所成角为，则.〃hT

sin”=------=--—

B】MB】M

又B、MOBQHx/FHfHfg,所以sin。2,故D错误.

3

故选：BD

【点睛】方法点睛：立体几何线面角求解方法：

（1）作出辅助线，找到线面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.

【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值.

【详解】解：因为直线的倾斜角为45。，

所以直线的斜率rtan45』，

（加2-3j-2mm2+3m+2=0

又（加之+2）_（3■-加—加之）,整理得

解得…1或相=一2，

当加=一1时，（苏+2）一（3-%一/）=0，不符合，

当机=一2时，（加2+2）_（3—加一加2）=5#0，符合，

综上：m=-2-

故答案为：.

答案第91页，共22页

12.土+匕=1（尸0）

49v7

M（xj）尸（x。,%）X=XP

Q，根据点在圆上即可求出.

【分析】设点的坐标为，点，可得3°

y=2y°

【详解】解：设点”的坐标为（xj）,点P（//o），由题意可知盟wO,

X=XQx0=x

则由题可得3，即＜2

=y

y2°yQ=-y

丁点尸在圆=4上运动，

序]=4,（"0），

即点乂的轨迹方程为；+]=1,（了/0）.

故答案为：:卷川"。）

13.V6

【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次

函数分析运算即可得解.

【详解】解：

答案第101页，共22页

如上图，取的中点为o，.连接p0、ay、AE.

,:PC=PD，点。是CD的中点，PO1CD-

又：平面尸CD_L平面48CZT平面PCDpI平面48CD=CD，尸Ou平面PC。，

PO1平面ABCD,又OO'u平面ABCD-PO±00''

又：底面4BCD是矩形，0、。，是CD、中点，六。。」。。-

1・以点0为原点，00，、QQ>o尸所在直线分别为X轴、y轴、Z轴

建立空间直角坐标系如图所小，由尸C_LPZT=CD=AB=IBC=6,

得PO=OC=OD=3,AD=BC=3,

•••4（3,-3,0），8（3,3,0），尸（0,0,3），则打=（-3,3,0），丽=（一3,-3,3），

设丽=4而（04441），则E（3-3；l,3-3；l,3；l），近=（-32,6-34,32），

圈=^（-32）2+（6-32）2+（32）2=427万-362+36,

V\AO\=J（-3）2+32+（）2=3亚，

AO-4111cl

.•响量的单位方向向量、=团=「万万，

贝1亚；=（_3；L）x卜七］

+（6-32）X-^+32X0=3V2，

因此点至IJ直线的距禺网2_（次可=,27万-362+18=卜（"：］+6，

答案第111页，共22页

当2=2时，”取最小值班，

3

线段尸B上的动点£到直线A0的距离的最小值为娓.

故答案为：而■

【点睛】向量法求点到直线距离的步骤：

1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量力

2.在直线上任取一点〃（可选择特殊便于计算的点），计算点M与直线外的点N的方向

向量点MN，

3.点z到直线的距禺"=《MN?-（MN.v）•

14.（l）y+3=0或12尤+5了-21=0

⑵（x+l）2+（y+2）2=w.

（3）最大值为107,最小值为67

【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可求解，

（2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求

解；

（3）设尸於，尺，利用两点间的距离公式得到为「+阀2+因「=3/+3/-4尸68,

再由点尸在圆V+/=4上运动，化简为3d+3/_4y+68=Ty+80求解.

【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为左，则切线方程为了+3=兀@_3），即

kx—y—3k—3—0

,圆心C（°，T）到切线的距离等于半径2匕土3=2解得上=°或左=-二.

g5

答案第121页，共22页

因此，所求切线方程为y+3=0，或12x+5y-21=0.

当直线无斜率时，则丫一a，此时直线与圆不相切，不满足题意，

故切线方程为夕+3=0，或12x+5y-21=0.

./+(夕+1)2=4卜=0jx=2

⑵联立"(二)="=】或J。

•••圆C与圆。的交点为4(0,1),5(2,-1),

线段的垂直平分线为x-y-l=0,设所求圆的圆心为Mg,与，半径为

由[2a-6=0,解得”=一1,所以圆心为M(T,-2)/=|M4]=痴.

[a-b-l^Q[b=-2

因此，所求圆的方程为(工+1)2+(y+2)2=]0

(3)设尸卜歹。,因为4(-2,-2),5(-2,6),C(4,-2)三点，

所以|PN「+|PS|2+|PC|2=(无+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(j-6)2+(x-4)2+(y+2)2'

=3f+3/-4了+68，

因为点尸在圆/+3+1)2=4上运动，则一3WyWl，所以3x2+3y2-4y+68=-10y+77，

当尸一3时，眼2+网2+因『取的最大值107,

当y=1时，L+归8「+因「取的最小值67•

15.(1)证明见解析

⑵

3

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式进行运算证明即

答案第131页，共22页

可；

（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】（1）...co、CB、cc两两垂直，

，以。为原点，CO、CB、CC为x,gz轴建立空间直角坐标系,

则C（0,0,0），5（0,1,0）-^（1,1,0）-00,0,0），C（0,0,1）-"（0,1,1），^（1,1,1）10,（1,0,1）;

由于=设CF=a,则尸（0,a,0），其中OWaWl，

则E（a,l,0），

所以,=（a/,T），

则赤•近=一〃+。一1+1=0,故/N'C'E-

（2）要使三棱锥B，_8跖的体积取得最大值，只要斯的面积最大即可，

1

由题意知s=-BE-BF=-a+-

228

1/\RFF

当时'即瓦口别为私8C中点时的面积最大,

则尸（o,g1,o］，设平面的法向量为n^lx,y,z\

2

答案第141页，共22页

又而=,；,一别,丽

11八

——x——y=0y=-x

EF•元=022

则__»=>1

£5,•五=0