简谐运动的回复力和能量【五大题型】（原卷版）-2024-2025学年高二物理（人教版选择性必修第一册）

简谐运动的回复力和能量【五大题型】

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目录

知识点1:简谐运动的回复力......................................................................1

【题型1简谐运动的回复力】....................................................................2

知识点2:简谐运动的能量........................................................................3

【题型2简谐运动的能量】......................................................................4

知识点3:简谐运动的特征及判断方法..............................................................5

【题型3判断物体是否做简谐运动】..............................................................6

【题型4简谐运动与力学结合问题】..............................................................8

【题型5简谐运动中功和能量问题】.............................................................10

►举一反三

知识点1：简谐运动的回复力

一、定义：振动物体偏离平衡位置后受到的使它回到平衡位置的力。

二、表达式：回复力的大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反，表示为R=-丘O

式中“一"号表示尸与x反向。

三、对回复力的理解

回复力不能在受力分析中单独分析。它是根据力的作用效果命名的，可以是一个力，也可以是多个力的合

力，还可以是某个力的分力。如下图所示：

AOB

弹笛的弹力和重力的水平方向的弹簧振子，B随A一起振动，

合力提供回复力弹簧弹力充当回复力B所受的静摩擦力提供回复力

【题型1简谐运动的回复力】

【例1】如图所示，对做简谐运动的弹簧振子M的受力情况分析正确的是（）

B0A

A,重力、支持力、弹簧的弹力

B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力

C.重力、支持力、回复力、摩擦力

D,重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力

【变式1-1】如图所示，斜面体固定在水平地面上，滑块和弹簧组成弹簧振子，滑块在光滑斜面上的/、B

两点之间做往复运动，。为平衡位置，下列说法正确的是（）

A.滑块运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用

B.滑块运动到O点时，弹簧的弹力为0

C.滑块由/向。运动过程中，弹簧弹性势能一直在减小

D.滑块由。向8运动过程中，滑块的机械能一直在增大

【变式1-2］如图所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受

力的说法中正确的是（

A.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力

B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力

C.物块A受重力、支持力及B对它的回复力

D.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力

【变式1-3］如图，一圆柱形木头漂浮在水中，M、。、N为木头上的三个点。当木头静止时，水面恰好过。

点。用手将木头向下压，使M点到达水面，松手后，木头上下做简谐运动，上升到最高处时，N点到达水

面。木头做简谐运动的过程中，下列说法正确的是（）

•M

________O

A.M点到达水面时，木头的速度最大

B.N点到达水面时，木头所受回复力最小

C.。点到达水面时，木头的速度最大

D.木头自下而上上升到最高处时，其速度一直在增大

知识点2：简谐运动的能量

一、定义：简谐运动过程中任意位置，系统的动能与势能之和。

二、振动系统的状态与能量的关系

1、振子的速度与动能：速度v增大，动能月增大。

2、弹簧形变量与势能：弹簧形变量增大，势能E.增大。

三、简谐运动的系统的能量变化规律

弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒。

1、在最大位移处，势能最大，动能为零。

2、在平衡位置处，动能最大，势能最小。

四、决定能量大小的因素

振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅

越小，振动越弱，系统的机械能越小。

【题型2简谐运动的能量】

【例2】如图所示，竖直轻弹簧上端与一个质量为加的小球相连，下端固定在地面上，用力向下压小球并

从静止释放，小球在竖直方向上做振幅为/的简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好恢复原长，重力加速度

为g,弹簧在弹性限度内，则小球在振动过程中弹簧的最大弹性势能为，小球在最低点时所受弹簧的

弹力大小为OQ

S

///////////

【变式2-1】如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从/点由静止释放，。点为振动的平衡位置，振动物体

在/、2两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（）

A.振动物体在。点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0

B.在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力

C.振动物体在2点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在N点时的大

D.振动物体从/向2运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同

【变式2-2］（多选）如图所示，质量均为羽的四个小球A、B、C、D,通过轻绳或轻弹簧互相连接，悬挂

于。点，处于静止状态，重力加速度为g,两根弹簧的劲度系数均为上不计空气阻力。下列说法正确的是

“

A

B

c

D

A.若将B、C间的细线剪断，此后A、B间弹簧始终处于拉伸状态

B.若将B、C间的细线剪断，此后B的加速度最大值为2g

C.若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统机械能守恒

22

D.若将C、D间的弹簧剪断，此后C的最大动能为艺£

4k

【变式2-3］（多选）如图甲所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离/后由

静止释放（不计空气阻力）并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为7,图乙为其振动图像。则

()

甲乙

A.整个过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒

7A

B.在。〜;时间内，小球从最低点向上运动的距离小于耳

3

C.在二T时刻，小球动能最小

D.在］时刻，弹簧弹性势能最大

4

知识点3：简谐运动的特征及判断方法

一、特征

（1）动力学特征：

①回复力：F=-kxo

Fk

②加速度：a=—=%。

mm

（2）运动学特征：x=Asin（3/+。）。

（3）能量特征：振动物体的机械能跟振幅有关，振幅越大，振动物体的机械能越大。

二、简谐运动的判断方法

（1）运动学方法判断（不常用）

找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图像G—/图像）是一条正弦曲

线，就可以判定此振动为简谐运动。

（2）动力学方法判断（常用）

k

找出回复力与位移的关系，若满足尸=_日或a=__x,就可以判定此振动为简谐运动。

m

①质点静止时的位置即平衡位置，规定正方向；

②在振动过程中任选一位置（偏离平衡位置的位移为X）,对质点进行受力分析；

③把力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合力，即回复力；

④判定回复力与位移的关系是否符合尸=一米。

【题型3判断物体是否做简谐运动】

【例3】（1）两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为尤、k2,它们与一个质量为用的小球组成的弹簧

振子如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。

、/

XO

X/

\/

7V

图1

（2）如图2所示，弹簧劲度系数为质，试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。

图2

【变式3-1】如图甲所示，一个劲度系数为人的轻弹簧一端固定在桌面上，使其直立，另一端上下叠放着物

块A、B,两物块质量分别为3加和“。当弹簧和两物块组成的系统静止时，从上方拿走物块B,物块A开

始做竖直方向上的运动，如图乙所示。已知重力加速度大小为g。

（1）证明：当拿走物体B后，物块A在竖直方向上做简谐运动；

（2）求A做简谐运动的最大加速度和振幅；

（3）求A上升到最高点时，桌面受到弹簧给的弹力大小和方向。

【变式3-2】1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其中一颗卫星P

做振幅为/、周期为T的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫

星尸运动的示意图，在xQy平面内，质量为加的卫星尸绕坐标原点。做匀速圆周运动。若认为木星位于坐

标原点0,求：

(1)卫星P做圆周运动的向心力大小；

(2)物体做简谐运动时，回复力应满足尸=-丘。试证明：卫星尸绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影

是简谐运动。

【变式3-3】如图所示，底面积为S、高为5/的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上，静止时浮筒水面以下部分

的长度为3/,已知水的密度为。，重力加速度为g,将浮筒竖直往下按压长度x(小于2/)后由静止释放,

浮筒开始上下振动，忽略水对浮筒的粘滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动，分析回答以下问题:

(1)由哪些力提供浮筒振动的回复力？

(2)浮筒是否做简谐运动？并进行证明;

(3)若按压长度x值减小，浮筒的振动频率怎么改变?

【题型4简谐运动与力学结合问题】

【例4】（多选）如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量

为〃z,弹簧劲度系数为左，底座质量为0.5加。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在

竖直方向上做简谐运动。重力加速度为g,当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹

簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是（）

A.公仔头部做简谐运动的振幅为等

B.公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为g

C.公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长

D.公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为3加g

【变式4-1】如图所示，在倾角为6的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B,它们的质量

均为加，弹簧的劲度系数为七C为一固定的挡板，现将一个质量也为根的物体D从距A为工的位置由静

止释放，D和A相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对C的最小

3

弹力为:加gsin。，则以下说法正确的是（)

A.简谐运动的振幅为

2k

mgsin0

B.简谐运动的振幅为

2k

llmgsin0

C.B对C的最大弹力

2

lOmgsin^

D.B对C的最大弹力

2

【变式4-2］（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P,P和Q通过细绳

绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置将滑块P向左推至弹簧原长的位置4

点后由静止释放，P物体将在4点和右侧的某位置（图中未画出）之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹

簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为加，弹簧的劲度系数为七重力加速度为g,不计一切摩擦，则

（）

、1;P

^^7W\/\AAAAZV-[TI-------------

II

AO

A.刚释放瞬间，P的加速度为g

B.P做简谐运动的振幅为等

k

C.绳上最大拉力为2加g

2m202

D.弹簧的最大弹性势能为也互

【变式4-3】如图所示，一质量不计的轻质弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子A放在倾角为，=30。的

光滑固定斜面上，下端固定在斜面上。盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方

体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧劲度系数为Q100N/m,盒子A和金属圆球B质量均为

m=O.5kg»将A沿斜面向上提起，使弹簧从原长伸长5cm,从静止释放盒子A,A和B一起在斜面上做简谐

振动，g取10m/s2,求：

（1）盒子A的振幅；

（2）盒子运动到最低点时，盒子A对金属圆球B沿斜面方向的作用力大小。

【题型5简谐运动中功和能量问题】

【例5】如图，劲度系数为2N/cm,竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在产Ocm处,

此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且

始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为综=；履，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（）

A

0

5cmB

20cm

A.A向下运动到y=5cm后保持静止

B.存在某一时刻A与B会分离

C.A最大能运动到y=20cm处

D.当A运动到y=5cm处时,A的动能达到最大值

【变式5-1】如图所示，在