沪教版上海六年级数学暑假课讲义：图形与面积+口奥4（解析版）

第09讲图形与面积专题+口奥4

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学习目标

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掌握平面图形的周长和面积

掌握立体图形的基本知识

完成口奥知识的训练

||豳基础知识^

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模块一：平面图形的周长与面积

1、周长

几个重要的解题思想

(1)平移

在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算.其

中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，

所以图形面积是保持不变的.利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有

新意.

(2)割补

割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算

术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理.这个原理的内容是几何图形

经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变.

(3)旋转

在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的

图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变.利用这种新的图形结构可以帮我们解决

面积的计算问题.

(4)对称

平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形.轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧

可以完全重合.也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积.熟

悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助.

(5)代换

在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧.

小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形

转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、害I补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学

生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力.

2、面积

平面图形所围成的平面的大小叫做平面图形的面积，常见的几种规则图形的面积公式有：

(1)三角形：S^-ah,其中表示三角形一条底边”上的高；

2

(2)正方形：S=a2,

(3)长方形：S=ab

(4)平行四边形：S=ah

(5)梯形：S=；(a+6)/z

3、圆

(1)、圆和圆周长

1)圆的几个要素：圆心O、半径r，直径d.

2)圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长.计算公式：C=7td,也可表示为

C=2".

(2)、弧与弧长

1)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号"”表示，如以A,B为两端点的弧，

记作AB，读作弧A3,如图中的又称作半圆•

2)圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图中的NAOB称为圆心角.

w

3）弧长计算公式：/=——x2〃r=r2iTr.r

360180

(3)、圆的面积计算公式：S=7T，=!不

4

(4)、扇形

1)扇形概念：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，图中的扇形记

作扇形OAB.

2）扇形的面积公式一：3=/一兀户=二二（理解记忆：逛=」。）

360360S圆360

公式二：S=-lr（其中/为扇形的弧长，r为扇形的半径）

2

模块二：立体图形

1、当相同的正方体拼在一起的时候，这里重叠的地方就把它叫做接缝，重叠部分的面积就

叫做接缝处的面积。

2、接缝条数=正方体个数一1。

3、每有1条接缝就减少了原来的2个面的面积。

4、拼成的长方体的表面积=原来正方体表面积之和一减少的面的面积。

5、接缝处的面积=接缝条数x2x每个面的面积。

6、涂色问题：（需要添加对应的题目）

对于nxnxn的正方形，其涂色情况如下：

3面涂色：8个,（每个顶点均有一个涂色）、

2面涂色：（n-2）X12个

1面涂色：（n-2）x（n-2）x6个

各面均没有涂色：总数减去上面3个总数或者（n-2）x（n-2）x（n-2）个

模块三：口奥

1.计算：17.48x37-174.8x1.9+1.748x820=

2.双休日，学生们到郊外去玩。甲买了5只面包，乙买了同样的面包

4只，当午餐用。不料丙也参加午餐，但没有买面包，三人就均

分着吃。丙按买价拿出钱来，他给甲1元5角，给乙1元2角。

问：他这样算对不对，为什么？

3.长方体的表面积是74平方厘米，其中一个底面的面积是10平方

厘米,底面的周长是9厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？

4.甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2O甲、乙两

数之和是478,那么甲、乙、丙三数之和是多少？

5.计算：98+998+9998+99998=

6.甲、乙两名运动员在环行跑道上从同一地点同时背向而跑，已知甲

运动员跑一圈要80分钟。如果在出发后30分钟两人第一次相遇。问:

乙运动员跑一圈要多少分钟？

7.如图：一个长方形被分成4个不同的三角形，如果绿色三角形的面

积是原长方形面积的;，黄色三角形面积是15平方厘米，那么原长

方形的面积是多少平方厘米？

⑵单价：（12+15）X3+（5+4）=9（角）

应给甲：9x5-（15+12）=18（角）=1元8角

应给乙：（15+12）-18=9（角）

所以，丙算得不对，应给甲1元8角，给乙9角。

⑶根随积：74-10x2=54（平方厘米）高：54+9=6（厘米）

长方体体积：10x6=60（立方厘米）

（4）714或517或489。乙数应是478-2=476的约数。经验算,

甲、乙、丙三数可以是240、238、236或359、119、39或

410、68、IL

（5）111092;

（6）甲的速度是乙的速度：30+（80-30）=0.6倍

乙跑一圈：80x0.6=48（分钟）

（7）15+Q5—0.2）=50（平方厘米）

l|Q考点剖曰

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'模块一：平面图形的周长与面积

例1.如图，在一块梯形稻田中间修两条1米宽的路。

（1）稻田实际种植的面积是多少平方米？

（2）若每公顷收割水稻8000千克，这块稻田共能收割水稻多少吨?

30m

【答案】(1)950平方米

(2)0.76吨

【分析】(1)根据图示可知，把剩余稻田部分平移，可以拼成一个上底为(30—1—1)米、

下底为(50—1—1)米、高为25米的梯形，利用梯形面积公式：S=(a+b)xh+2,求其

面积即可。

(2)先把95。平方米化为0.095公顷，再乘每公顷收割水稻千克数，最后把千克数化为吨

即可得解。

【详解】(1)(30-1-1+50-1-1)X25+2

=(28+50-1-1)X2592

=(78-1-1)X25+2

=76x25+2

=1900-2

=950(平方米)

答：稻田实际种植的面积是950平方米。

(2)950平方米=0.095公顷

0.095x8000=760(千克)

760千克=0.76吨

答:这块稻田共能收割水稻0.76吨。

【点睛】此题的解题关键是把组合图形转化成我们熟悉的梯形，灵活运用梯形的面积公式求

解，注意面积、质量单位之间的换算。

例2.如图，两个正方形边长分别是10和6,则阴影部分的面积是多少？(万取3)

【答案】39

【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于AACD的面积减去月牙BCD的面积，求出月

牙BCD的面积，再用△ACD的面积减去月牙BCD的面积即可求出答案。

【详解】月牙BCD的面积为小正方形减去q的圆的面积，即6x6一乃X6?

44

=36--x3x36

4

=36——x36

4

=36-27

=9

阴影部分面积为：（10+6）x6+2—9

=16x6+2—9

=96+2—9

=48-9

=39

答：阴影部分的面积为39。

【点睛】此题考查了学生对图形的观察能力、分析能力以及对求三角形面积和圆的面积的熟

练程度。

例3.学校操场的平面图如下，两头是半圆形，中间是长方形。

（1）小明沿跑道跑了5圈，他跑了多少米？

（2）学校要在操场上铺塑胶地面，铺塑胶的面积有多少平方米？

【答案】（1）1942米

（2）8826平方米

【分析】（1）根据图可知，这个操场的周长相当于是两个半圆弧和两个100米的长度组合,

两个半圆弧相当于一个圆，根据圆的周长公式：C=7Td,把数代入公式即可求出跑道的周长,

再乘5即可；

（2）根据图可知，这个操场相当于一个直径是60米的圆和一个长是100米，宽是60米的

长方形组成而成，根据长方形的面积公式：长x宽；圆的面积公式：—把数代入公式

即可求解。

【详解】（1）3.14x60+100x2

=188.4+200

=388.4（米）

388.4x5=1942（米）

答：他跑了1942米。

（2）60+2=30（米）

3.14x30x30+100x60

=2826+6000

=8826（平方米）

答：铺橡胶的面积有8826平方米。

【点睛】本题主要考查组合图形的周长和面积公式，要清楚把组合图形分成规则图形是解题

的关键。

例4.小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形

的周长是（）cm（兀取3）o

【答案】10

【分析】通过观察图形发现，新组合的图形的周长等于圆周长的一半加上2条半径（1条直

径）的长。先根据圆的周长C=?id求出圆的周长，再用圆的周长+2求出圆周长的一半；再

加上1条直径的长。

【详解】3X4-2+4

=12+2+4

=6+4

=10（cm）

所以新组合的图形的周长是10cm。

【点睛】新组合图形的周长等于半圆的周长，它们的周长都等于圆周长的一半+1条直径（2

条半径）的长。

例5.求出下图的周长和面积。（单位：厘米）

【答案】80厘米；186平方厘米

【分析】计算出围绕封闭图形一周的线段的长度就是图形的周长；长方形的面积=长、宽,

梯形的面积=（上底+下底）X高"，如图所示，图形的面积=长方形的面积一梯形的面积,

据此解答。

【详解】周长：20+12x2+6x2+7x2+10

=20+24+12+14+10

=（20+10）+（24+12+14）

=30+50

=80（厘米）

吃6一甲

面积：L--一12

20

20x12-（20-6x2+10）义6:2

=20x12—（20-12+10）x6:2

=20x12-18x6+2

=240—54

=186（平方厘米）

所以，图形的周长是80厘米，面积是186平方厘米。

例6.直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，3c=40厘米，AB有多长？

【答案】32.8厘米

【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。

阴影甲比乙的面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角

形ABC面积，利用三角形面积公式倒推AB边长度即可。

【详解】3.14X（”40）2=口56（平方厘米）

2

1256+2=628（平方厘米）

628+28=656（平方厘米）

656x2=1312（平方厘米）

1312+40=32.8（厘米）

答：AB有32.8厘米长。

【点睛】本题的关键是结合同加同减差不变的规律找出规则图形的面积差，把不规则转换成

规则。

例7.一个长方形ABCD被分成了4部分(如图)，其中甲的周长是16厘米，乙的周长比

甲短4厘米。原来长方形ABCD的周长是多少厘米？

DC

甲

乙

AB

【答案】28厘米

【分析】通过线段的平移可知：长方形ABCD的周长就是甲的周长加乙的周长。

【详解】乙的周长：16—4=12(厘米)

16+12=28(厘米)

答：原来长方形ABCD的周长是28厘米。

【点睛】利用线段的平移可使求一些图形的周长转化成求长方形和正方形的周长从而使计算

简便。

例8.下图中两个正方形的边长分别为4厘米和6厘米。求阴影部分的面积。

【答案】28.26平方厘米

【分析】如图:阴影部分的面积=半径为6厘米的四分之一圆的

面积+长为(4+2)厘米，宽为4厘米的长方形面积一底为4厘米，高为(4+6)厘米三角

形面积一底为2厘米，高为4厘米的三角形面积。

【详解】；x3.14x62

4

1

=-x36x3.14

4

=28.26(平方厘米)

28.26+4X(4+2)—4x2:2—(6+4)x4：2

=28.26+4x6—4—10x4:2

=28.26+24-4-20

=28.26（平方厘米）

答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。

【点睛】此题主要考查阴影部分的面积的求法，灵活运用梯形、三角形和圆的面积公式求解。

'模块二：立体图形

【例1】8个棱长是1分米的正方体，拼成一个长方体，怎样拼表面积最小，最小的表面积

是多少？

解析：最小表面积是24平方分米。

【例211000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体,

大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数

目是多少个？

解析：表面涂漆的小正方体都在大正方体的表面上，由此可以先求得内部没有涂色的小正

方体的个数，再利用小正方体的总个数-没有涂色的即可解答.

解：共有小正方体：10X10X10=1000（个），

其中没有涂色的为：（10-2）X（10-2）X（10-2）=8X8X8=512（个），

所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000-512=488（个）.

答：至少有一面被油漆漆过的小正方体为488个.

涂色的小正方体都在大正方体的表面上.

国过关检测

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1.在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面积.

【答案】12

【分析】要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出直角三角形ABE、直角三角

形BCF和直角三角形DEF的面积.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就

能算出阴影部分面积.

【详解】三角形ABE面积=3x6x2=9.

三角形BCF面积=6x(6-2)+2=12.

三角形DEF面积=2x(6-3)+2=3.

三角形BEF面积=6x6-9-12-3=12.

2.下图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD(阴影部

分)的面积是多少？

【答案】48

【详解】把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了三角形ABC和三角形ADC.

对三角形ABC来说，AB是底边，高是10,因此面积=4x10+2=20.

对三角形ADC来说，DC是底边，高是8,因此面积=7x8+2=28.

四边形ABCD面积=20+28=48.

3.数学思考。

如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中

点，求空白部分的面积。(单位：平方厘米)

【答案】87.5平方厘米

【分析】如下图所示；连接PB,P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG,则G是AB

的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的

直径是10厘米，所以PG的长度是10+10+2=15厘米，所以三角形PAB的面积是10x15+2

=75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5x5+2=12.5平方厘

米，据此列式解答即可。

【详解】10x15+2

=150+2

=75（平方厘米）

5x5+2

=25+2

=12.5（平方厘米）

75+12.5=87.5（平方厘米）

答：空白部分的面积是87.5平方厘米。

【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP,找出这两个白

色三角形的高是解决本题的关键。

4.如下图，在桌面上放置着3个两两重叠的圆纸片，每个圆纸片的面积都是160平方厘米,

三个圆纸片盖住桌面的总面积是330平方厘米，三个圆纸片共同重叠部分的面积是15平方

厘米。图中阴影部分的面积一共是多少平方厘米？

【答案】120平方厘米

【分析】通过对图的观察，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠

面积的2倍，就可得阴影部分面积，因为阴影部分都是两个重叠在一起，所以乘2,由此解

答即可。

【详解】由分析可得：

160x3-330-15x2

=480-330-30

=150-30

=120（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积一共是120平方厘米。

【点睛】解答此题的关键，是知道重叠部分究竟是哪些，要明确阴影部分面积是由圆两两重

叠得到的。

5.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形.已知等腰直角三角形的面积是36

平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？

01

【答案】16平方厘米

【详解】如图:

图1

图1：正方形面积等于等腰直角三角形的一半，面积为;36+2=18（平方厘米）

图2：由图可知三角形ab的面积是正方形面积的一半，三角形c的面积是正方形面积的;

所以，正方形的面积：36-（1+1+1+4）=16（平方厘米）

224

6.如图，一个长8厘米，宽6厘米的长方形与一个边长5厘米的正方形叠放在桌面上，求

这两个图形盖住桌面的面积？

【答案】67平方厘米

【分析】阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，两图形的面积和减去阴影部分的

面积，即是两个图形盖住桌面的面积.

【详解】解：8x6+5x5-3x4-2=67（平方厘米）

答：盖住桌面的面积是67平方厘米.

7.如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上.三个纸片共同重叠的面积是8

平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米.图中阴影部分的面积之和是多少平

方厘米？

【分析】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及

三张纸片重叠的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2）,由此即可求出答案.

【详解】解：20x3-36-8x2

=60-36-16

=8（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米.

8.下图每个小正方形的边长都是1厘米，一个三角形各顶点的位置如下：

（1）画出三角形ABC；

（2）把三角形ABC向右平移6个单位，得三角形（A与4对应，B与耳对应）画

出变化后的图形

（3）求三角形ABC的面积.

(3)8平方厘米；

【详解】(1)数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此在图

中找出A、B、C三个点的位置顺次连接即可得出三角形ABC,如图：

(3)S=N+1—1=6+与-1=8(平方厘米)；

【点睛】考查了数对与位置，平移及格点与面积.求三角形面积直接利用毕克定理公式即可.

9.如图所示，在△ABC当中，D是BC的中点，E是AC的中点，已知阴影部分的面积为

5,△ABC的面积为多少？

，立A

【答案】20

【分析】因为E是AC的中点，所以AE=EC,即△ADE的面积等于△CDE的面积，即可

△ADC的面积，因为D是BC的中点，所以CD=DB,即△ADC的面积等于△ADB的面

积，即可求出4ABC的面积。

【详解】因为4ADE的面积为5,所以ACDE的面积也为5,即△ADC的面积为：5+5=

10；

因为△ADC的面积为10,所以△ADB的面积也为10,即△ABC的面积为：10+10=20

答：△ABC的面积为20。

【点睛】此题考查了学生对图形的观察能力和分析能力。

10.如图，在边长为12的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是多少？

5

【答案】82

【解析】略

11.如图，OABC是正方形，扇形的半径是6厘米。求阴影部分的面积。

OC

【答案】10.26平方厘米

【分析】根据题意连接OB、AC交于点D,如图因为扇形的半径是

6厘米，所以AC=OB=6厘米，AD=CD=3厘米，可以求出三角形OAB的面积再乘2即

为正方形AOCB的面积，再用!的半径是6厘米的圆的面积减去正方形的面积就是阴影部

4

分的面积。

【详解】因为以OB=AC=6厘米，AD=CD=3厘米，直角三角形OAB等于6x3x；=9

平方厘米，9x2=18平方厘米，正方形OABC的面积是18平方厘米。

-x3.14x6x6-18

4

=3.14x9-18

=28.26-18

=10.26（平方厘米）

答：阴影部分的面积是10.26平方厘米。

故答案为：10.26平方厘米

【点睛】本题考查了不规则图形的面积求法，通过转化为求规则图形的面积和差即可，关键

是牢记规则图形的面积公式并能灵活运用。

12.如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄

色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，求红、黄两张三角形纸

片面积之和。

【答案】246.5平方厘米

【分析】根据题干分析可得，将红三角形绕点旋转90度，直角边与黄三角形直角边重合就

组成了一个新直角三角形，如下图所示:红黄三角形的面积之和就是一个大三角形的面积了。

【详解】根据分析可得:

29x17+2

=493+2

=246.5（平方厘米）

答：红、黄两张三角形纸片面积之和是246.5平方厘米。

【点睛】本题考查三角形的面积、旋转，解答本题的关键是将红色三角形旋转90。与黄色三

角形组成一个新直角三角形，从而利用三角形面积公式进行计算。

13.仔细看图，活学活用。

（1）画出三角形ABC的BC边上的高40。

（2）根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形ABC面积相等的三角形

PBC

（3）应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形。0c的面积分别是4平方厘米和

9平方厘米。梯形的面积是（）。

【答案】（1）见详解

（2）见详解

（3）25平方厘米

【分析】（1）从BC边相对的顶点A向8C边上画垂直线段，与边相交于D点，线段

AD就是三角形3c边上的高；

（2）等底等高的三角形面积相等，图中经过点A的虚线与BC边平行，在虚线上任选一点

P,分别与B点、C点连接，所形成的三角形都与三角形ABC等底等高且面积相等。

（3）根据蝴蝶原理，图中梯形的上、下两部分面积之积等于左、右两部分面积之积，左、

右两部分面积相等。则左、右两部分面积之积=4x9=36（平方厘米），36=6x6,所以左、

右两部分面积都是6平方厘米。最后把四部分面积全部加起来即可。

【详解】（1）如下图：

（3）根据蝴蝶定理，梯形左、右两部分面积都是6平方厘米，梯形的面积=4+9+6+6=

25（平方厘米）

【点睛】本题考查画三角形的高、三角形的面积和梯形的面积，利用蝴蝶定理求出梯形左右

两部分的面积是题目中的难点。

14.两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积.

【答案】17平方厘米.

【分析】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能

直接求出它的面积.因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根

据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面

积就转化为求直角梯形OEFC的面积.

【详解】解:直角梯形OEFC的上底为：10—3=7（厘米），

直角梯形OEFC的面积为（7+10）x2-2=17（平方厘米）.

答：阴影部分的面积是17平方厘米.

15.如图，正方形ABCD边长是10厘米，长方形EFG8的长为8厘米，宽为5厘米.阴影

部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？

【答案】60平方厘米

【详解】阴影部分甲和阴影部分乙的面积差等于正方形ABCD的面积减去长方形EFGH的

面积.

10x10-5x8=60（平方厘米）

16.如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10,求图中阴影部分面积占大圆面积的百分

之几？

【答案】33%

【分析】通过观察可知，所给图形阴影的面积正好是大圆面积的四分之一加上中圆和小圆组

成的圆环面积的四分之一，圆的半径已知，利用圆和圆环的面积公式可求得阴影的面积，然

后在求出大圆的面积，用图中阴影部分的面积除以大圆的面积即可.

【详解】S阴影二:兀*1（）2+：%（62-22）

44

=33兀

S大圆=兀乂1（）2=100兀

33兀+100兀=33%

17.如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1,和为24厘米.图中阴影甲的

面积比阴影乙的面积少多少？

【分析】甲+丙=半圆，乙+丙=梯形大圆，求出半圆面积与乙+丙（不规则图形）面积之

4

差，也就是求出了甲与乙