函数性质3：幂指对函数图像与零点-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题2-3函数性质3：塞指对函数图像与零点

目录

目录...................................................................................1

一、热点题型归纳...........................................................................1

【题型一】图像基础1：奇偶性与“o'”处正负.............................................1

【题型二】图像基础2：隐藏比较深的奇偶性..............................................4

【题型三】图像基础3：奇偶性与“比值判断法”..........................................7

【题型四】图像基础4：给解析式求图像..................................................9

【题型五】利用函数图像性质解不等式...................................................11

【题型六】利用函数图像恒成立（存在）求参数..........................................13

【题型七】零点1：数形结合（直接法）.................................................15

【题型八】零点2：分离常数型（水平线法）.............................................17

【题型九】零点3：切线型.............................................................20

【题型十】零点4：对数绝对值函数f（x）=|logaX|........................................23

二真题再现............................................................................26

三模拟检测............................................................................30

热点题型归纳

【题型一】图像基础1:奇偶性与“0”处正负

【典例分析】

y.

-22^

【答案】A

【分析】探讨函数AM的奇偶性，排除两个选项，再分析(0,1)上Ax)值的符号即可判断作答.

【详解】依题意，/(一尤)=1=即函数/口)为奇函数，选项C,D不满足;

当xe((M)时，—>0,而ln|x|<0,即/(x)<0,选项B不满足，选项A符合要求.

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

作为函数基础之一的“识图”题型，多做此类训练题，有助于学生对函数图像熟练掌握，进而

增加对函数图像及其之间的变化有深刻的认识。

此类题尽量避开运算量大的求导，如有肯能，也可以避开一些复杂的“代特殊值计算”。可以从

下边几个方向来判断。

一、.奇偶性判断，要注意积累常见的奇函数、偶函数。

常见偶函数：

y=x2"(neZ),y=|x|,y=aY+—,y=cosx,y=f(|x|)

'ax

常见奇函数：

2n+i,7、•工1.Tmix

y=x~(neZ；,y=sinx,y=a-----,y=tanx,y=log--------

axam.x

二、0的极限处正负判断，一般多从.limf(x)

10+处判断。

【变式演练】

0-Y

1.函数=的大致图象是()

【分析】求出函数定义域并判断其奇偶性，利用奇偶性排除两个选项，再利用特殊点处的函数值

排除一个即可得解.

【详解】由尸>。得一2<x<2,即函数/（xh—ln尸的定义域为（一2,2）,

/~IX/+X

.2—（—%）2_JC

又/（T）=（-x）-ln丁厂i=*=即尤）为奇函数，排除B,C；

因为/（l）=lng<0,D不符合条件，A满足.

【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据xe（O,万）时，函数值的正负判断.

【详解】易知函数为奇函数，y=sinx也是奇函数，

则函数/（尤）=ln（VI73T卜加为偶函数，故排除选项B,C；

、

因为y=ln(&+x2-xj=lnl,——L—

yv1+xx)

2

当x>0时，Jl+x+尤>1恒成立,所以In1——彳—<。恒成立,

------+/+x）

且当xe（O,万）时，sinx>0,

所以当xe（O,"）时，/（x）<0,故选项A正确，选项D错误,

故选：A

【答案】D

【分析】利用函数AM的奇偶性排除部分选项，再判断/'（X）在［j+s］上值的符号作答.

【详解】函数f（x）的定义域为R,/（-尤）='的'=-/（》）,即函数Ax）是R

上的奇函数，B不满足；

而当时，sin3x<l,6x>l,e^>0,/（%）<0,选项A,C不满足，选项D符合题意.

故选：D

【题型二】图像基础2：隐藏比较深的奇偶性

【典例分析】

【答案】B

【分析】分析函数，(x)的奇偶性，结合7(x)2。以及排除法可得出合适的选项.

【详解】由题意可知/(x)=黄丁=，对任意的xeR，2，+2T>0,

所以，函数〃力的定义域为R,

因为“_x)="2=mA="x)，所以函数/'(X)为偶函数，排除CD选项,

又/(x)=二Z:20恒成立，可排除A选项.

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

隐藏较深的奇偶函数

1.特殊的奇函数：(考试难点)：

m+n%

⑴、对数与反比例复合：y=logaE吧，y=loga,如：logaA，logag^，log^4

m+nxm-nx1+x1+kxx+1

(2)、指数与反比例复合：丫==三,丫=0二,y=；三，丫=手7

a—1a+11+a1—a

22

(3)、对数与无理式复合：y=loga(7Ckx)+l±kx),如：y=loga(7(x)+l+x)

2.一些变形后的奇(偶)函数

如,f(x)=--一1(奇)，/(x)=4—(偶)

v'1+e'''、)4'+1

【变式演练】

1.函数/(x)=[2

7-1卜inx图象的大致形状为

1+e

%

1-

A.X

-4

D.

【答案】A

【3析】利用奇偶性定义判断人尤)的奇偶性，结合/(2)的符号，应用排除法确定答案.

22

【详解】由/(-%)=(-——-l)«sin(-x)=(-一sinx=/(%)且定义域为R,

1+e1+e

所以/⑺为偶函数，排除C、D；

22

/(2)=(--l)sin2,且一--1<0,sin2>0,即/(2)v0,排除B.

1+re1+e

故选：A

【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由/■⑴<0函数值的符号判断排除可得选项.

]_9T9X-1

【详解】解：因为函数/⑺的定义域为R,且“T）=3T[（-尤）4+1]=3,（尤4+1）=一/（尤），

所以函数/（无）是奇函数，故排除C、D,

1—94

又〃1）=3（14+1）=~3<0）故排除B选项.

故选：A.

3.函数y=的图像大致为（）

3—3

【答案】A

cos3x+l

【解析】由3*—3一工得xwO,故函数/（%）=的定义域为（—8,0）.（。，包）.

3‘一3-'

cos3x+1cos3x+1

又/(—x)=所以函数为奇函数，排除B.

3r—3”3T-3-X

又当x=1^时，/(1)=0；当xe(O,£)时，/(%)>0,排除C,D.选A.

【题型三】图像基础3：奇偶性与“比值判断法”

【典例分析】

小）=齿巴的图像大致是（）

【答案】c

【解析】

当x值无限大时，函数值应该趋向于0,故排除AD,当x趋向于0且小于。时，函数值趋向于负

无穷，故排除B.

故答案为C.

【提分秘籍】

基本规律

【变式演练】

1.函数“x）=|x|-2的大致图象是（

【分析】利用排除法判断，先由函数的奇偶性分析，再取特殊值分析

［详解】因为/(-X)=(-尤)2In|-xI-2=x2In|x|-2=/(x)

所以AM是偶函数，排除B.

因为/(l)=-2<0,/(2)=41n2—2=2(ln4-l)>0,排除A,C.

故选：D.

2.函数/(x)=2,-尤2的大致图象是()

【分析】根据给定条件利用零点存在性定理、由函数式求出函数的零点，再结合图象判断作答.

【详解】依题意，/(2)=0,/(4)=24-42=0,于是得了⑴在y轴右侧有零点2,4,排除选项A,

C；

由于/(-1)=27-(-1)2=彳<0,/(0)=1>0,则由零点存在性定理知，/(X)在(-1,0)上有零点,

2

又当时，0<2£<g,X>1,即/(尤)<0,显然选项D不满足，B满足.

故选：B

3.函数/(x)=L|^l的图像大致为()

A.B.

C._<>.D.、/

...........................f

-ifOli1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。

【详解】

由题意，因为/(—x)//(x),/(X)不是偶函数，从而排除A，C.

又由/(0)=；(或方程/。)=1无解)，从而排除。，故选3.

【题型四】图像基础4：给解析式求图像

【典例分析】

已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是()

X

B./(%)=

ln|x-l|

D.=F

【答案】A

【彳析】利用排除法求解，对于B选项,

函数有意义，贝UxwO且xwl且x*2,排除；对于C选

项，函数有意义，则x#±l,排除；对于D选项，根据xe(O,l)时函数值得符号判断即可.

【详解】解：对于B选项，函数〃x)=看口有意义，则」,Ic，解得尤且"1且号2,

故不满足，错误；

x—2

对于C选项，函数/(x)=g有意义，贝|J|,-1*0,解得xw±l,故不满足，错误;

对于D选项，当xe(O,l)时-，/(x)=MK＞。，故图像不满足，错误.

故根据排除法得/(x)=蛇刈与此图像最为符合.

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

此类题型虽然较难，但可以从代特殊值入手。

【变式演练】

1.已知函数外力的图象如图所示，则“X)的解析式可能是()

B./(%)==(a>l)

'/1+a

D./(%)=1:(a>l)

1+ax

【答案】B

【分析】根据函数的单调性和奇偶性由排除法即可得正确选项.

【详解】对于A：当0＜。＜1时，y=优单调递减，可得/（同二高单调递增，而由所给〃x）的

图象可知/（X）单调递减，故选项A不正确;

对于B和C：当。或m时，小）=£?定义域为R，

且=4=为偶函数，

因为y=ax?在（-8,0）上单调递减，所以/（x）=值占在（e,0）上单调递增

而所给/（x）的图象不关于y轴对称，且在（e,0）上单调递减，故选项B和C都不正确,

由排除法可知选项B正确；

故选：B.

2.已知函数式x）的图像如图所示，则函数式尤）的解析式可能是（）

J

A./（尤）=（4-+4T）|x|B./（x）=（4-4^log2|x|

A:

C./（x）=（4+4-'）log2|x|D,F（x）=（4'+4T）log”元|

【答案】C

【分析】/W=（4%+4-':）|x|,/1）/0,A不正确；

/（x）=（4'_4-*）log2l尤|是奇函数，不满足题意，B不正确；

/（尤）=（4'+4一'）厩”尤|,当xe（0,1）时，/（x）＞0,不满足题意，D不正确.

2

【详解】由函数兀V）的图像知函数八彳）是偶函数，且当x=l时，X1）=0.

〃x）=（4、+4T）国是偶函数,但是用）舛,A不正确;

“彳）=（4'_4r）log2|x|是奇函数，不满足题意，B不正确；

/（尤）=（4'+4一'）题”尤|是偶函数，外尸。，但当xe（o,1）时，/（x）＞0,不满足题意，D不正确.

2

故选：C.

3.已知函数”%)的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是()

人，/、2[2+cosxn£,、3]2+COSX

A./(x)=x+ln-------B.f(x)=xIn-------

2-cosx2-cosx

C./(X)=;g3+in2+sinx一，/、2i2+sinx

D./(x)=xIn-------

2-sinx2-sinx

【答案】B

【分析】观察图象确定函数的性质，结合函数的性质和特殊点的取值判断各选项.

【详解】

观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数/(X)为奇函数，由图象可得，(2)<0,

对于函数f(x)=x2+ln；+C°S%,

2-cosx

因为/(f)=(一域+In；+8s)?=x2+ln；8sx=/(元),

2-cos(—兀)2-cosx

所以函数/(x)=/+ln^------为偶函数，A错，

2-cosx

33

对于函数fM=x+\n:+sinx,/(_X)=(_X)+Jn=_/(x),

2-sinx2+smx

所以函数/(尤)=/+ln泞吧为奇函数，又以函=23+ln：+s叱＞o,与图象不符，故C错误,

2-sinx2-sm2

2

对于函数/(尤)=尤2ln；+sinx,=(_x)in；Tinx=(玲,

2-sinx2+smx

所以函数/(尤)=31n：+sm”为奇函数,又以函=221n：+sm：＞o,与图象不符，故D错误，

2—smx2-sin2

对于函数/(X)=x3ln^+COSX,因为/'(t)=(-x)3ln^+COSX=-f(x),

2-cosx2-cosx

所以函数/(x)=x31n炉吧为奇函数，且以函=231n：+c°s：＜o,与图象基本相符，B正确，

2-cosx2-cos2

故选：B.

【题型五】利用函数图像性质解不等式

【典例分析】

若关于X的不等式。•州>2凶+l(xeR)有实数解，则实数a的取值范围是()

A.(1,+co)B.(2,+oo)C.[L+8)D.[2,+oo)

【答案】A

【分析】参变分离得到“>1+1,根据指数函数的性质求出1+1的取值范围，即可得解;

【详解】解：由题知。・哪>2W+l(xeR),而泗21，所以〃>1+，，

又0<91，所以1<1+±2・

因为关于x的不等式小2忖>2凶+1(xeR)有实数解，

即。>l+/(xeR)有实数解，所以“>1,即。€(1,内).

故选：A

【提分秘籍】

基本规律

1.幕指对等函数图像之间的位置关系。

2.塞指对等函数的性质及其应用

【变式演练】

1.设函数〃X)=]则满足〃2X-1)<〃尤)的X的取值范围是()

log,X,尤4，

I-2

A-Q4]B.同C.卜TD.马

【答案】D

【分析】结合函数性质分析可得“2尤-1)<〃X)O2尤-l<g<无或;42x-l<x,求解即可

【详解】由题意，>=log?x在g,+8)单调递增，且腕21=-1

故/(%)<=>2x-l<—<x^—<2x-l<x

解得：1<X<1故选：D

2

3

2.若logq<l，其中。>0且。片1,则实数“的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,|)0(1,+«3)

33

C.(-,l)u(l,^)D.(-,+«)

44

【答案】B

【分析】把不等式两边化为同底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数

的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果.

3

【详解】l=bg“a且log4]<l

；」og“-<logoa

当。>1时，函数y=log”%是一个增函数，不等式恒成立，

33

当0<。<1时，函数y=log"%是一个减函数，根据函数的单调性有a<彳，即0<a<]

综上可知.的取值是(。,：卜。,+«0

故选：B

3.已知/(x)是定义在R上的偶函数，在区间(F,0)上单调递增，且函数g(x)=logzx.若实数。满足

f(2M)>fg]£],则实数。的取值范围是()

A.(0,1)B.(-oo,0)_(2,+oo)C.(0,2)D.(L+00)

【答案】C

【分析】首先求出g(；)的值，然后把gQj转化为了(2内)>〃-2),再根据“X)是

偶函数和在区间(—>,0)上的单调性脱去“了”号，从而求出实数。的取值范围.

【详解】因为g(x)=log2x,所以g(；)=k>g2&]=-2,

所以八2.)>/(-2),

又因为了(%)是定义在R上的偶函数，在区间(f,0)上单调递增，

所以"[<卜牛即2-<2，

所以|〃一1|<1,即0<a<2.

故选：C.

【题型六】利用函数图像恒成立(存在)求参数

【典例分析】

已知(加-x-a+l)ln%K0在XE：,2上恒成立，则实数〃的取值范围为()

1

D.—oo—

3

【答案】D

分类讨论xe1,1

【分析】不等式(加-x-a+l)lnX<0等价于(x-V)(ax+tz-l)lnx<0,%=1和

X£(1,2],分别求出实数〃的取值范围，最后取交集即可.

［详解］易知融2_%_〃+］=（x—1）（依+Q—1）,不等式（加_%_a+l）lnx<0,gp（A;-l）（ax+tz-l）lnx<0.

当无£时，lnx<0,x-l<0,贝Ijax+a—l<0=a<^—,XT--G|所以awg;

2）1+x1+x123

当九=1时，lnx=0,对任意的实数〃，不等式恒成立；

当工£(1,2]时，lnx>0,x-l>0,则av+a—l<0=a<^—又",所以a4

1+%

综上，实数。的取值范围为，.

故选：D

【提分秘籍】

基本规律

不等式恒成立（存在）问题常见方法：

①分离参数。2〃力恒成立（心〃力1mx即可）或a4“X）恒成立（«</（x）mn即可）;

②数形结合（y=〃x）图像在y=g（x）上方即可）；

③讨论最值〃力.2。或“X）1mxWO恒成立.

【变式演练】

1.已知嘉函数”x）=（m-l）2mHi+2在（0,+?）上单调递增,函数g（x）=2*—a,%qi,5）时，总存

在当目1,5）使得，（菁尸且心），则“的取值范围是（）

A.0B.a>l^a<1C.a>7或a<lD.［1,7］

【答案】D

【详解】试题分析：由已知（m-I）?=1,得m=0或机=2.当机=0时，y=X?,当m=2时，y=犷?.又

y=/（x）在（0,+s）单调递增，.♦.〉=/..•./⑺在［1,5）上的值域为［1,25）,g（x）在［1,5）上的值

「、2-a<1a>l

域为［2-a,32-a）,,BP1<a<7.故选D.

/32-（7>25a<i

2.已知a>0,若函数=「:CV?有最小值，则实数a的取值范围是（）

A.1o，£|B.Q,1c.（1，HD.［1,+co）

［答案］D

【分析】对。进行分类讨论，结合对称轴，单调性，最值，列出不等关系，求出实数〃的取值范

围.

【详解】①当0<。4:时，二次函数/（劝=办2-x的对称轴为直线x=

此时函数/（X）=Y-存在区间（7）,1］上单调递减，/（X）>/（1）=6Z-1,

函数/（x）=a*--1在区间（1,内）上单调递减,-1<f（X）<0,

欲使函数/⑴有最小值，需“TVT,解得：aV。与0<aV；矛盾.

②当!<a<l时，函数/。）=依2一了的对称轴为直线尤=［<1,所以/0）="2一工在（TO,：上

单调递减，在（《』上单调递增，此时函数/（x）=4—x在区间（_*1］上的最小值为.：）=一：

函数/（犬）=.1-1在区间（L”）上单调递减，此时，-1</（尤）<0,

111

欲使函数/（九）有最小值，需—■——1,解得0<。<:与7。<15盾；

4a42

③当aN1时，二次函数/（x）=ax2-％的对称轴为直线%=—<!,

,⑺在区间(-8』上的最小值为々石厂一而，

/(无)=优--1在区间(1,y)上单调递增，/«>0,

欲使函数,⑴有最小值，需-，vo,即。>0,“21.

4a

综上所述，实数”的取值范围是［1,+8).

故选：D.

(1Y

4-3Y<0

3.已知函数/(x)=，1^3),当相+1］时，不等/(2加-尤)</(尤+加)恒成立，则实

——x2+4,x>0

数〃2的取值范围是()

A.(-℃,-4)B.(-oo,-2)C.(-2,2)D.(f,0)

【答案】B

【分析】先判断分段函数的单调性，得到了⑶是减函数，把/(2根-尤)</(无+间转化成

2m—x>x+m,

求27W—X>x+%在尤加+1］上恒成立即可.

【详解】由题意，当x<0时，/(x)=f+3是减函数；当x>0时，/(了)=一尤3-/+4是减函数,

旦〃x)</(0)=4,所以函数/(x)=<［3}在尺上单调递减.

—d—f+4,X>0

因为/(2根一%)</(%+加)，所以2%一%>%+小，即2%〈根在％£［根,m+1］上恒成立，所以

2(m+l)<m,得m<-2.

故选：B.

【题型七】零点1:数形结合(直接法)

【典例分析】

已知函数y=是定义在R上的偶函数，且〃2-力=〃力，当OWxWl时，〃x)=x,设函数

g(x)=/(x)-log5|x|,则g(元)的零点的个数为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】由题设知g(x)的零点可转化为f(x)与1脸k|的交点问题,而分x)e［0,1］且周期为2,关

于y轴对称的函数；logsN且关于y轴对称，当-5VxV5时有logs禺,画出(。,+°°)的草图

即可确定交点个数，利用对称性确定总交点数.

【详解】由题意知：〃x)关于x=l对称，而g(x)的零点即为〃x)=log5M的根，

又：了⑺在R上的偶函数，知：/(x)e［0,l］且周期为2,关于y轴对称的函数，而-5Vx«5时

log5国e(—0,1］且关于y轴对称

f(x)与logs凶在(0,+co)的图象如下，

【提分秘籍】

基本规律

1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围

2.数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数

的图象，利用数形结合的方法求解.

【变式演练】

..[0,0<%<1

1.已知函数"x)=|log2x|，g(x)=|cl”「则方程"(无)-g(»=l的实根个数为(

X—Z—U.J,X>1

个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】解，(x)-g⑸=1,即解〃x)=g(x)±l,数形结合即可得解..

【详解】解：|f(x)-g(x)|=lo〃x)=g(x)±l,

1,0<x<1—1,0<%W1

-logx,0<„l11c

仆)=2~一g(%)-1—<---x,

log2X1<X2

370

x——,2<xx——,2<x

22

在同一直角坐标系中作出函数/(X),g(x)+l，g(x)-l的图象，如图,

由图象可得，函数“X)与g(x)+l，g(x)-1的图象共有四个交点,

所以方程|〃x)-g(x)|=1的实根个数为4个.

故选：D.

2.已知定义在R上的函数/(X)=/+〃吠2_加(〃2>0),当为+工2=1时，不等式

/(x1)+/(0)>/(%)+/(1)恒成立，则实数毛的取值范围是

A.(-8,0)B.(0,；)C.(1,1)D.(1M)

【答案】D

【详解】由题意得/(不)一/(I-玉)+/(0)-/⑴>。对〃2>0恒成立，即

.一2x,—2>0

〃z(2%一2)+(6为一3-'1+l-e)>0对〃z>0恒成立，因此｛<5八=>尤1>1,选D.

e'-e'+i-e>0

3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xeR,有/(x+2)=f(x)-/⑴，且当xe[2,3]时，

/(X)=-Y+6X-9,若函数、=/。)-108.。+1)在(0,+8)上至少有3个零点，则实数。的取值范

围是()

A.(-8,-e)B.(-oo,0)C.[°，；]D.[0,+00)

【答案】C

【分析】根据偶函数满足〃x+2)*(x)-)⑴，推知是最小正周期为2的偶函数，由

xe[2,3]时，/(X)=-X2+6X-9=-(X-3)2,得到其图象，然后将V=〃x)-log.(x+l)在(0,+8)上

至少有三个零点，转化为f(x)的图象和8(司=1。&(》+1)的图象至少有3个交点，利用数形结合求

解.

【详解】•••/(x+2)=/(x)-)⑴，且/(x)是定义域为R的偶函数，

令x=-1可得/'(―1+2)=/(-1)-/(1),

又/(T)=/(l)，■⑴=0,则有〃尤+2)=〃力，

/.f(x)是最小正周期为2的偶函数.

当xw[2,3]时，/(X)=-X2+6X-9=-(X-3)\开口向下，顶点为(3,0)的抛物线.

:函数y=/(x)-log“(x+1)在(0,+oo)上至少有三个零点，

令g(x)=log.(x+l),则/(%)的图象和g(x)的图象至少有3个交点.

V/(%)<0,当时，〃尤)的图象和g(x)的图象只有1个交点，故

gplog3>-1,3<—,又Ovavl,：.0<a<-.

fla3

故选：C

【题型八】零点2：分离常数型(水平线法)

【典例分析】

[|log2x|,0<x<2

已知函数/'（X）=|n2_8r、），若函数。（久）=f（久）一小存在四个不同的零点，则实数Hl的

■XXIb,X乙

133

取值范围是.

V

画出函数y=/（%）,与y=TH的图象，函数y=/（%）,与y=m的图象的交点个数就是函数函数

0。）=/（%）-血的零点个数，因为函数g（%）=/（%）-血存在四个不同的零点，所以函数y=/（%）,

与y=TH的图象由四个交点，由图可知，要使函数y=/（%）,与y=TH的图象由四个交点，实薪加6勺

取值范围是（0,1）,故答案为（0,1）.

【提分秘籍】

基本规律

分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

【变式演练】

1.已知函数〃元）=<，若有三个不同的实数。也C,使得〃a）=/3）=〃c）,则

%

l°g2017一，%£（肛+8）

a+b+c的取值范围为（

A.（2.2017%）B.（2万,2018%）

（3兀4035万、

D.（肛2017%）

【答案】B

【分析】由解析式可确定了（力的单调性，结合/（。）=/（乃）=0,1,“2017万）=1可确

定〃+万VCV2017万，由此可得Q+b+C的取值范围.

sinX,XG[0,^-]

【详解】由题意得：/（%）=,

隆2017工]£（乃，+8）'

71

当xe0,|时，“X）单调递增；当xe/万时，〃x）单调递减；且xe[0,句时，“力关于行]

对称；当xe（万,y）时，“X）单调递增；

又〃。）=〃1）=0，="2017万）=log刈72017=1,

兀

设a<b<c,由/（〃）=/（b）=/（c）知：a+b^lx—=7i,IVCV2017TT,

a+b+c£（2肛2018»）.

故选：B.

2i+2「*-2,尤20

2.已知函数〃x)=＜/(芯)=/(赴)=/(毛)=，(X4)，且％＜尤2＜尤3＜尤4,则

|/og4(-x)|,x<0

Xi+w+W+Z的最小值是()

一31

A.—2B.—C.—1D.—

22

【答案】D

【分析】设g(x)=2，+2T,判断出g(x)是偶函数，结合图象平移规律得出了(力的图象，结合图

象和对数函数的性质求出最小值即可.

【详解】解：设g(x)=2*+2：因为g(-x)=g(x),所以g(元)是偶函数，

g(°)=°，g(x)=2x+2-x-2＞2y/2x+2-x-2=0(当且仅当x=0时等号成立)，

故g(x)是偶函数，且最小值为0,

函数〉=2工7+21-2可以由函数尸2，+2一£-2的图象向右平移1个单位长度得到,

函数〃力的图象如图所示：

则尤3+匕=2,且/(w)W/(O)=g,

因为/(%)=/(%)，所以log4(f)=Tog4(F)，

所以log4(-^)+log4(―%)=0,即(一七)(一/)=1,

因为|现4(-％)归；，即lOgKf)"!，所以

1

所以玉+%2=—+X2，

x2

又因为—L—；，任取4，1，-；，且。＜/2，

则/2(%)_/?«2)=4+；_，2_；=。1_力2)+^7^=("2Hl'J

因为G-才2＜0，d2-1＜。，所以人(。)一%(方2)＞。，即为%)＞力«2).

所以y=〃⑺=/+；在标(-1,-；上单调递减，

所以三+芍--2-—=--1-,

所以占+%+尤3+X4的最小值是-1.

故选：D.

k)g1(x+l),xe[0,l)

3.定义在&上的奇函数〃x),当xNO时，/(x)=5,则关于x的函数

l-|x-3|,xe[l,+oo)

尸(力=/(%)-。(0＜。＜1)的所有零点之和为()

A.2a-lB.1-2"

C.2a-lD.l-2^a

【答案】B

【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出/(x)的图象，将问题转化为/(x)与直线的交

点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.

【详解】由题设，画出［0,+刈上了(尤)的大致图象，又7(x)为奇函数，可得人幻的图象如下：

由图象知：“X)与y有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为占,马,尤3,%,%,

1、关于1=-3对称，玉+%2=—6；

2、退<0且满足方程/(七)=。=>一/(尤3)=—。=，(—七)=—。即1°8式一项+1)=。，解得：巧=1一2"；

2

3、14，工5关于龙=3轴对称，贝!］%4+/=6；

.,.石+%2+退+*4+*5=1—2"

故选：B

【题型九】零点3：切线型

【典例分析】

log1x,O<x<l

若函数/(x)={2,函数g(X)=/(尤)-丘有两个零点，则左的值是

—+A-x—3,兀>1

A.0或4—2百B.4+2百C.0D.4±26

【答案】A

log!X,0<X<1

【详解】函数g(x)=/(x)-丘有两个零点，即函数〃%)={J和函数［x)=原有两

—兀2+4x—3,%>1

个不同的交点，作出两函数的图象(如图所示)，显然当女=。时，符合题意；当人>0时，由图象

得两函数在区间(0,1)上有一个交点，则另一交点应是函数f(x)与函数“X)的切点，设切点坐标为

(%，%),则-2%+4=.—+4—，解得％=2g,即％=4-2石；综上所述，k的值是0或4-；

故选A.

【提分秘籍】

基本规律

先对解析式变形，进而构造两个函数（其中一个是直线），然后在同一平面直角坐标系中画出函

数与直线的图象，根据函数与直线的位置关系，借助于直线临界值处（切线）.来研究。

【变式演练】

-x\x+2a\,x<-l

1.已知a>0且awl,函数〃尤）=<1,在R上是单调函数，若关于x的方程

QX+1---,X—1

2

/'（切+尤+:=。恰有2个互异的实数解，贝巾的取值范围是（）

_J_[

A.B.

_4?3_

q1

C.U-.1D.(1,2)

J54_I_2)_4,3

【答案】A

【分析】根据题意分析g（x）=f|x+2a],a>0且awl可得只能是减函数，再结合分段函数

的单调性可得aV