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文档简介

第3章导数与微分

§3.1 导数概念§3.2

导数基本运算与导数公式§3.3隐函数与参变量函数求导法则§3.4微分及其运算§3.5 高阶导数目录上一页目录下一页退出1/29§3.1导数概念一、引入导数概念3个实例

.上一页目录下一页退出1.切线问题割线极限位置——切线位置2/29如图,

假如割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处切线.极限位置即3/292．速度问题物理学中表示物体作匀速直线运动时，它在任何时刻

速度公式是.其中为物体经过旅程，为经过旅程所用时间．

上一页目录下一页退出4/29设物体在真空中作自由落体运动，物体下落旅程与下落时间函数关系为.其中为重力加速度．现在讨论怎样时刻速度.

表示物体下落过程中在设物体从点开始下落，经过时间落到点，这时物体下落旅程为上一页目录下一页退出5/29取时间增量，即下落时间由变到设这时物体下落到点，在时间时间内下落旅程为物体在时间段内下落旅程为上式两端同除以，得到物体在时间段内平均下上一页目录下一页退出6/29下落速度

设物体运动方程为（旅程是时间函数），

当运动时间由变到时，

物体在时间段内经过旅程为，

上式两端同，得到物体在时间段内平均速度除以当时，极限值就是物体在时刻速度，上一页目录下一页退出7/293.产品总成本改变率则总成本对应改变量为总成本平均改变率为若极限存在，则称此极限是产量时产品总成本改变率.设某产品总成本C是产量q函数：C=C(q)，若产量由变为8/29二、导数定义定义1

设函数在点某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量

（点+仍在该邻域内），对应地函数取得增量.假如与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值上一页目录下一页退出9/29为函数在点处导数，记为即也可记为,,或.

上一页目录下一页退出上式可改写为或10/29例1求函数在处导数.解

当由1变到时，函数对应增量为所以

11/29例2解12/29定理1假如函数在一点可导，则函数一定在该点连续.证13/29连续函数不存在导数举例0比如,注意:定理1逆定理不成立.★14/2901比如,15/29比如,011/π－1/π16/2917/292.右导数:三、左导数和右导数1.左导数:定理218/29例3解19/29注意:四、函数导数20/29由定义求导数步骤:例4解21/29例5解更普通地比如,22/29例6解23/29例7解24/29例8解25/29四、几何意义切线方程为法线方程为26/29例8解由导数几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为27/29五、小结1.导数实质:增量比极限;6.导数几何意义:切线斜率;3.函数可导一定连续，但连续不一定可导;

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