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文档简介
专题05函数的基本性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)(考点清单)
目录
一、思维导图...................................................................................2
二、知识回归...................................................................................2
三、典型例题讲与练.............................................................................6
考点清单01函数图象识别与应用.............................................................6
【期末热考题型1】函数图象识别........................................................6
考点清单02函数的单调性...................................................................8
【期末热考题型11判断并证明函数的单调性.............................................8
【期末热考题型2】求函数的单调区间...................................................11
【期末热考题型3】求复合函数的单调区间...............................................14
【期末热考题型4]根据函数单调性求参数...............................................15
考点清单03函数的奇偶性..................................................................17
【期末热考题型1】判断函数的奇偶性...................................................17
【期末热考题型2】利用函数奇偶性求参数,求值........................................19
【期末热考题型3】利用函数奇偶性解不等式............................................21
考点清单04函数的对称性和周期性..........................................................23
【期末热考题型1】函数的对称性和周期性...............................................23
考点清单05函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用..................................25
【期末热考题型11函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用.......................25
考点清单06利用函数奇偶性求解析式.......................................................28
【期末热考题型11利用函数奇偶性求解析式............................................28
考点清单07分段函数的单调性问题..........................................................29
【期末热考题型11求分段函数的单调区间..............................................29
【期末热考题型2】根据分段函数的单调性求参数........................................30
【期末热考题型3]解分段函数不等式...................................................33
考点清单08分段函数的值域或最值问题.....................................................35
【期末热考题型11分段函数的值域或最值问题..........................................35
考点清单09二次函数的最值问题............................................................37
【期末热考题型1】不含参数的二次函数最值问题........................................37
【期末热考题型2】含参数的二次函数最值问题..........................................39
考点清单10恒成立与能成立问题............................................................43
【期末热考题型1】恒成立与能成立问题.................................................43
考点清单11二元变量问题..................................................................45
【期末热考题型11二元变量问题.......................................................45
考点清单12抽函数函数的综合问题..........................................................49
【期末热考题型11抽象函数的综合问题.................................................49
一、思维导图
二、知识回归
知识回顾1:函数的图象
1.1、函数图象的平移变换(左右上下
①y=/(%)回右.平楼。">。)个单.位_>y=f(X_a)
②y=/(v)向左平移0(°>0)个单位>y=f{x+a)
③y=f(x)回上.平榭^.>0)个单色一>y=/(%)+k
@y=/(%)向下平移,%>0)个单位>y=fQ)—k
注:左右平移只能单独一个X加或者减,注意当X前系数不为1,需将系数提取到外面.
1.2、函数图象的对称变换
0y=/(X)的图象关于入轴对称>y=-f(x)的图象;
②y=/(x)的图象_关于y轴对称>丁=/(-%)的图象;
③丁=/(X)的图象关于原点对称〉y=-f(-X)的图象;
1.3、函数图象的翻折变换(绝对值变换)
⑦y=/(x)的图象---典上——>y=1/'(%)1的图象;
下翻上
(口诀;以》轴为界,保留》轴上方的图象;将》轴下方的图象翻折到%轴上方)
②y=/(x)的图象———>y=/(|x|)的图象.
右翻左了
(口诀;以丁轴为界,去掉y轴左侧的图象,保留y轴右侧的图象;将y轴右侧图象翻折到y轴左侧;本
质是个偶函数)
知识回顾2:函数的单调性
2.1增函数
一般地,设函数/(%)的定义域为/,区间,如果V%,9e。,当石<%时,都有/&)</(%),
那么就称函数/(x)在区间。上单调递增.(如图:图象从左到右是上升的)
特别地,当函数/(%)在它的定义域上单调递增时,称它是增函数(increasingfunction).
2.2减函数
一般地,设函数/(x)的定义域为/,区间。口/,如果e。,当占<%时,都有/(西)>/(x2),
那么就称函数/(x)在区间。上是单调递减.(如图:图象从左到右是下降的)
特别地,当函数/(%)在它的定义域上单调递增时,称它是减函数(decreasingfunction).
知识回顾3:函数的奇偶性
3.1偶函数:一般地,设函数八%)的定义域为/,如果Vxe/,都有—xe/,且/(—x)=/(x),那么函
数“X)就叫做偶函数.
3.2奇函数:一般地,设函数/(%)的定义域为/,如果Vxe/,都有—xe/,且/(―力=—/(%),那么
函数“X)就叫做奇函数.
知识回顾4:函数奇偶性的判断
4.1定义法:
(1)先求函数/(x)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.
(2)求/(-x),根据/(-x)与/⑴的关系,判断了(%)的奇偶性:
①若/(-x)+/(X)=00f(~x)=-/(x)o/(x)是奇函数
②若/(-x)-/(%)=0=/(-%)=f(x)o/(x)是偶函数
;/(-%)+/(%)=0;/(-%)=-/(%)
o/(%)既是奇函数又是偶函数
[/(f)―/(九)=0无)
f(-x)丰-f(x)
④若4:、o/(X)既不是奇函数也不是偶函数
4.2图象法:
(1)先求函数/(X)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.
(2)若/(X)的图象关于y轴对称0/(©是偶函数
(3)若/(%)的图象关于原点对称07(%)是奇函数
4.3性质法:
/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论:
fix)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)
g(x)
偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数
偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数
奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数
奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数
知识回顾5:幕函数的图象与性质
5.1、五个募函数的图象(记忆五个募函数的图象)
当。=1,2,3,工,-1时,我们得到五个募函数:
2
/(x)=x;/(X)=X2;/(X)=X3;/(%)=£;/(X)=X-1
5.2、五个幕函数的性质
/(X)=X/(x)=x2/(X)=d/(X)=X2/(x)=k
定义域RRR[0,+co)(—8,0)(0,+8)
值域R[0,+co)R[0,+co)(—8,0)(0,+8)
奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数
在(—8,0)上
在R上单在R上单调在[。,+8)在(-8,0)上单调递减
单调性单调递减
调递增递增单调递增在(0,+8)上单调递减
在(0,+8)单
调递增
定点(1,1)
三、典型例题讲与练
考占清单
01函数图象识别与应用
【期末热考题型1]函数图象识别
【解题方法】特殊值法,单调性,奇偶性
1
【典例1】(2023上•辽宁辽阳•高一统考期中)函数/(x)=的部分图象大致为()
x3sjx2+9
1
【详解】由己知〃无)=X€(-00,0)U(0,+00),
尤3J尤2+9
则《上乙而言后=一?7二T年初
故〃幻是奇函数,图象关于原点对称,故C项错误;
当X£(0,+oo)时,%36+9>0,则
故AD项错误,应选B.
又设V%1,%2£(°,+8),且王<%2,
贝ij0<xf<只,0<击;+9<,
>0
即/(占)>〃%),故/a)在(o,+8)上单调递减.
函数/⑴二寸毫
综上,图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选:B.
【典例2】(2023上•山西•高三统考阶段练习)函数/(x)=cos^+3国-3的图象大致是()
【详解】“X)的定义域为R.
/(-x)=cos(-x)+3r-3=cos%+3®-3=,
•・J(x)是偶函数,排除D;
X/(1)=cosl+31-3=cosl>0,排除A;
当x>0时,/(x)=cosx+3%-3,=-sinx+3'-ln3,
3x-ln3>l,
--sinx+3'ln3>0,
在(0,+8)上单调递增,排除c.
故选:B.
【详解】/(x)=x3+sin3x的定义域为R,
又f(-x)=(-x)3+sin(-3x)=-x3-sin3x=-f(x),
故〃x)=d+sin3x为奇函数,其函数图象关于原点对称,故CD错误;
7T
当0<x<§时,%3>0,且sin3;r>0,则/(%)>。;
3
当转:时,%>^>1,且sin3xN-l,则/(x)>0.
故当无>0,/«>0,故排除A.
故选:B.
【专训1-2X2023上•河北邢台・高三校联考阶段练习)函数"》)=笔售在区间[Y,4]上的大致图象是()
A.、、>B.、
wo、=\_/oyX
斗斗
—o%寸oy在
【答案】c
【详解】由于〃x=受?,所以“x)=-/口=/(x),所以/(X)为偶函数,故排除
',X+1(x)+1X+1
AB,
由于f+l之2x,故当x>0时,/(%)=21<c=sinx<l,故排除D,
x+l2x
故选:C
[考占清单
02函数的单调性
【期末热考题型11判断并证明函数的单调性
【解题方法】定义法
【典例1】(2023上•四川成都•高一统考期中)已知/(«+l)=x+2、JX,
(1)求/⑴的解析式;
(2)若g(x)=〃、,试用定义证明g(x)在其定义域上是单调函数.
f(x)
【答案】(1)〃"=/一1(》21)
(2)证明见解析
【详解】(1)令r=4+l,贝卜21,x=(r-l)2,
因为/(4+1)=彳+2«,所以/(z)=(r-l)2+2(z-l)=r2-l,
所以〃》)=幺—1(x21).
11
(2)由题意知意尤)=,定义域为(1,内)
fMx2-1
1(%—%)(%+*)
11
任取士>尤2>1,贝Jg(玉)-8(々)=x;-lx2-1(玉2-1)(尤;T),
因为再>彳2>1,所以邸-1>0芯-1>0,%,-%,(0,尤2+公。,
(尤,-x)(x2+X)
所以则双占)-8(三)<。'即g0q)<g(X2)'
所以g(M在定义域(Ly)上是单调递减函数.
【典例2】(2023上•广东深圳•高一深圳市高级中学校考期中)已知函数g(x)是定义在(-8,0)U(0,+«)上
的偶函数,当x>0时,g(x)=x-:
⑴求函数g(x)的解析式;
⑵若"X)=g(优)(。>0且"1),试讨论函数“X)的单调性,并加以证明.
—XH---,X<0
【答案】(l)g(x)=<X
x—,x>0
x
(2)答案及证明见解析
【详解】(1)解:由题意,:函数g(x)是定义在(T,0)U(0,—)上的偶函数,
当x>0时,g(x)=;r-L
%
「•当龙<0时,一%>0,贝Ug(%)=g(—%)=—%-----=—%—,
—XX
—XH,X<0
g(x)=<X
x—,x>0
X
(2)证明:\•由指数函数的图象与性质知,当〃〉0且。时,对VxwR,优〉。,
・♦/(%)=g(Q")=a》—7,xeR,
设%£R,贝!)/(王)一=
11
H-----------------=a内
当0<”1时,ax'-a^>0,贝IJ/aA/H)>。,即〃玉)>"赴),
函数7■(*)单调递减;
x2
当.>1时,a'-a"<0,则/(%)-/(%)<。,即〃芯)<了(9),
函数/'(X)单调递增;
综上知,当0<。<1时,函数;'(X)单调递减;当。>1时,函数/(尤)单调递增.
【专训1-1](2023上广东•高二校联考期中)己知函数〃元)=2尤-三,且,gj=3.
(1)求实数。的值;
⑵判断了(x)在(1,y)上的单调性,并用定义法证明.
【答案】⑴a=—l
(2)递增,证明见解析
【详解】⑴/加2犬,且,I3,
,./'g)=l-2a=3,解得:a=—l;
(2)由(1)得:/(x)=2x+Jj(元)在(1,y)递增,
证明如下:
设任意X1>X2>1,
则/(占)_f{x2)=2%+:_2%-J
2平2-1
、中2
%>1,
/.xx-x2>0,2再%2—1>0,
\/(尤)在(1,—)上单调递增.
【专训1-2](2023上•福建福州•高一福建师大附中校考期中)已知函数/(》)=言]是定义在(-1,1)上的奇
函数,且/[;)=j
(1)求实数的值
(2)判断〃元)的单调性,并用定义证明:
【答案】(1)/(司=日
(2)〃x)在上单调递增,证明见解析
【详解】(1)由已知可得,〃T)=了?.
因为函数/(》)=言?是定义在(-1,1)上的奇函数,
所以有=即»+〃X)=0,
所以有誓+空空=4=0在㈠,])上恒成立,
1+x1+X1+X
所以‘b=。,〃力中.
所以〃=1.
所以,/(x)=1-
(2)/(x)在(-1,1)上单调递增.
X/须,X?£(-1,1),且设玉<%2,
n.r(\r(\玉*2石(1+考)-冗2(1+工;)(%-%)(1-中2)
则0-前==(1+喇(.)
因为H%2£(T,1),且王<工2,
所以,XxX2<1,1-XxX2>0,玉一工2<0,
所以,〃下)-〃%)<0,
所以,“X)在(-1,1)上单调递增.
【期末热考题型2】求函数的单调区间
【解题方法】图象法
【典例1】(2022上•甘肃兰州・高三兰州市第五十五中学校考开学考试)函数/■(司=%2-2国+5的单调增区
间是()
A.(―oo,—1)和(0,1)B.—1)和(1,+oo)
C.[—1,0]和[1,”)D.(-1,0)和(0,1)
【答案】C
[详解]解:由/(一同=(一彳)2―2卜才+5=/―2冈+5=/(乃,
则为偶函数,的图像关于y轴对称.
当xNO时,/(X)=X2-2X+5,对称轴为尤=1,所以〃x)在[1,+s)上递增,在[0』递减;
则当无VO时,/(可在[-1,。]递增,在递减,
则有〃力的递增区间为[-1,0],[1,+8).
故选:C
【典例2】(2023•全国•高一专题练习)(1)根据如图所示,写出函数在每一单调区间上函数是单调递增还
是单调递减;
(2)写出>=,-2尤-3|的单调区间.
【答案】(1)函数在[-1,0],[2,4]上是单调递减,在[0,2],[4,5]上是单调递增;(2)单调减区间为(3,-1],[1,3];
单调增区间为[-1』,[3,行).
【详解】(1)由函数图象易知函数在[T。],[2,4]上是单调递减,在[0,2],[4,5]上是单调递增;
(2)根据题意可知,当x<-l或x>3时,炉-2犬-3>0,
止匕时y=卜~_2x_3卜Y_2x_3"
当一时,x2—2x—3<0,止匕时y=—2x—=—(尤2—2x—3),
_3,xG(_8,-1)u(3,+e)
所以可得了=
—x2+2x+3,xG[-1,3]
先画出其图象如图所示:
由图可知,y=9一2尤-3|的单调减区间为(f,-1],[1,3],单调增区间为[—1』,[3,e).
【专训1-1](2023上•江西抚州•高一统考期中)函数/(同TxIG-l)的单调递减区间是()
A.(一8,0)B.
C.3』D.(l,+oo)
【答案】B
【详解】解析:.\八,作出图象,
一以%-1),%<。
可以得到函数的单调递减区间是[og].
故选:B.
【专训1-2](2023上•天津宝城•高一天津市宝城区第一中学校考阶段练习)已知函数/(尤)=-£+2|乂+3,
则f(x)的单调递增区间为.
【答案】[0』,(-«),-1]
【详解】当X€[0,+oo)时,f(j;)=—x2+2x+3=-(x—I)2+4,
函数图像对称轴方程为x=l,开口向下,此时A》)的单调递增区间为[0,1];
当xe(^o,0)时,/(x)=f2-2x+3=-(x+l)2+4,
函数图像对称轴方程为x=-1,开口向下,此时Ax)的单调递增区间为(9,-1].
综上,Ax)的单调递增区间为[0内,(f,T.
故答案为:[0』,(-叫-1]
【期末热考题型3】求复合函数的单调区间
【解题方法】同增异减;
【典例1】(2021上•上海徐汇・高一上海中学校考期末)函数;的单调递减区间为.
【答案】(-叫-1]
【详解】因为复合函数/(X)=[gj2c是由f=8-2彳-尤2与y=复合而得,
而y=在R上单调递减,
所以f(x)的单调减区间即为t=8-2x-V的单调增区间,
因为/=8-2%-*2=一/一2元+8开口向下,对称轴为x=T,
所以/=_尤2_2尤+8的单调增区间
则答案为:(r0,-1].
【典例2】(2023•全国•高一课堂例题)已知函数〃尤)在定义域[。,+e)上单调递减,则/(if?)的定义域
是,单调递减区间是.
【答案】[-hi][-L0]
【详解】•••〃”的定义域为[。,+8),,1一月20,即入1,解得-14x41.
故函数的定义域为[T』].
令〃=1一/(“20),则『(l-db"“).
当xe[0,l]时,yl—/单调递减,则川一百单调递增;
当xe[T0]时,"=1一/单调递增,则/(l-d)单调递减.
故/(1-的单调递减区间为[-L0].
故答案为:[T』;[T,。].
【专训1-1](2023上•浙江宁波•高一校联考期中)已知函数丫=J_f+2x+3的单调递增区间为.
【答案】[-U)
【详解】令一尤2+2尤+320,解得TVXV3,故函数定义域为[T,3],
其中"=—*2+2x+3=—(无一I)?+4,
故〃=-d+2x+3=-(x-l)~+4在[-1,1)上单调递增,在。,3]上单调递减,
其中y=4在[0,+8)上单调递增,
由复合函数单调性可知,y=G+2x+3的单调递增区间为[-M).
故答案为:[-1,1)
【专训1-214.(2023上•北京•高一北京市十一学校校考期末)函数y=l°g|(炉+4尤T2)的单调递减区间
2
是.
【答案】(2,+◎
【详解】y=log/d+4x-12)的定义域为尤2+4x-i2>0,解得(无+6)(尤-2)>0,
2
.“<-6或%>2,
求原函数的单调递增区间,即求函数V+4X-12的减区间,
x2+4%-12=(%+2)2-16,可知单调递减区间为(-8,-2),
综上可得,函数单调递增区间为(-*-6).
令t=x2+4^-12,由x2+4x-12>0.得x<-6或x>2,
...函数)的定义域为
/(x)=logi(x2+4x_i2(-00,-6)u(2,+oo),
2
2
当xe(2,3)时,内层函数t=X+4X-12为增函数,而外层函数>为减函数,
2
函数/«=logi(X2+4^-12)的单调递减区间是(2,+8).
2
故答案为:(2,+刃).
【期末热考题型4】根据函数单调性求参数
【解题方法】图象法
【典例1】(2023上•海南省直辖县级单位•高一校考期中)已知函数/("=如2+%—1在区间(-!,")上单调
递增,则加的取值范围是()
A.\m|m<B.[加0<根
C.jm|0<m<D.<m<
【答案】D
【详解】当机=0时,/(x)=x-1满足题意;
当机>0时,函数〃x)的图象开口向上,
对称轴为直线x=-二-,因为函数/(x)在区间(-1,+8)上单调递增,
2m
则一二一W-1,所以
2m2
当〃2<0时,函数“X)的图象开口向下,因为函数“X)在区间(-!,")上单调递增,
所以根<。不满足题意.
综上所述,加的取值范围是{血04mW;1.
故选:D.
2c5
x—2QXH—,x<1
【典例2】(2023上•福建福州•高一福州三中校考期中)已知函数/(x)=02满足对于任意实
工尤21
、X
数玉片马,都有"%)一"/)<0成立,则实数。的取值范围是()
%一%2
A.(1,2)B.[1,2)C.0D.1,1
【答案】D
【详解】依题意,对于任意实数百工%,都有""一"々)<0成立,
西一尤2
不妨设占</,则/(西)一)(赴)>0,/(为)>〃々),
所以/'(X)在R上单调递减,
[-^>1
23
所以j2-a>0,解得
^-2a+->—
I21
故选:D
【专训1-1](2023上•浙江宁波•高一校联考期中)函数/■(》)=依2一(3+0户+1在(-叫〃)上是减函数,则实
数。的取值范围是.
'3'
【答案】0,-
【详解】当a=0时,〃x)=-3x+l在(-”,0)上是减函数,符合题意;
当awO时,〃同=依2-(3+。卜+1为一元二次函数,对称轴为彳=孚
因为函数/(%)=加一(3+o)x+l在(TO,。)上是减函数,
a>0
,3
所以(3+a,解得0<a<—,
----->a2
、2a
、3
综上,0<<2<—,
2
-3-
所以实数〃的取值范围是0,5,
3
故答案为:0».
【专训I1-2](2023上•吉林长春•高一东北师大附中校考期中)若函数“力=-小+2依与g(无)在
区间。,内)上都是减函数,则。的取值范围是()
A.(-1,0)B.(一叫1]C.[0,1]D.(-l,0)U(0,l)
【答案】B
【详解】因为/(x)=-/+2以的对称轴为x=a,开口向下,且在(1,+8)上为减函数,
所以,
7y_|_1_9/71
因为g(尤)=-......=2+——,且在。,内)上为减函数,
x—ax—a
所以y=%-。>0在(l,y)上恒成立,即在(1,+8)上恒成立,可得
综上,6ZG(-OO,1].
故选:B.
考占渚单
03函数的奇偶性
【期末热考题型11判断函数的奇偶性
【解题方法】定义法,图象法
【典例1X2023上•北京海淀•高三统考期中)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()
A.y=B._y=x3C.y=|tanx|D.、=2w
【答案】D
【详解】A选项,、=11«的定义域为(0,+8),定义域不关于原点对称,故不是偶函数,A错误;
B选项,的定义域为R,且工厂-彳:一/⑺,故=d为奇函数,B错误;
C选项,设g(x)=|tanx|,因为g(7r)=kand=0,g(2兀)=|an2d=0,
故》=卜孙|在(0,+8)上不单调递增,C错误;
D选项,//(%)=2忖的定义域为R,且/?(-x)=2卜N=州=/z(x),故无(1)衿洲为偶函数,
又当尤>0时,/z(x)=2r,在(0,+8)上单调递增,故满足要求,D正确.
故选:D
【典例2】(2023上•河北石家庄•高一鹿泉区第一中学校考期中)下列函数中,与函数y=l-Y的奇偶性相
同,且在(-8,0)上单调性也相同的是()
11||3
A.y=—B.y=fc.y=TMD.y=x-1
2x囚
【答案】C
【详解】函数y=l-炉为偶函数,在(-8,0)上单调递增,
函数》=二~为奇函数,故A错;
2x
1.、
函数》=一讨为偶函数,在(-8,0)上单调递减,故B错;
函数y=-国为偶函数,在(-8,0)上单调递增,故c正确;
函数>=丁_1为奇函数,故D错.
故选:C.
【专训1-1](2023上•陕西咸阳•高三校考阶段练习)下列函数中为奇函数且在(0,+。)上单调递增的是(
y=x
A.“B.y_一人v3
C.y=-D.y=e,
X
【答案】B
【详解】对于A选项,函数y=d为偶函数,A不满足条件;
对于B选项,令f(x)=)=取,则该函数的定义域为R,
f^-X)=l^X=-l[x=-f^X),所以,函数y=)为奇函数,
且函数)=尤3在(0,+")上单调递增,B满足条件;
对于C选项,函数y=-为奇函数,且该函数在(0,+8)上单调递减,C不满足条件;
对于D选项,函数y=e*为非奇非偶函数,D不满足条件.
故选:B.
【专训1-2](2023上•山西临汾・高一统考期中)下列函数中既为减函数,又为奇函数的是()
儿小)出[一1
B.”x)=一
X
C./(无)=-xD./«=-ew
【答案】C
【详解】A选项,/(x)=g1-1,
因为/⑴=-"(T)="(T)*-/d),
故不是奇函数,A项错误;
B选项,/(x)=-,
x
由/(-1)==</(I),
可知"%)不是减函数,故B项错误;
C选项,/(x)=—x,
/(X)定义域为R,/(-x)=-(-x)=xJ(x)=-x,
贝U/(-x)=-/(x),则/(无)是奇函数;
由/。)=-无图象可知既是减函数,又是奇函数,故C项正确;
D选项,/(x)=-ew,由/(O)=-e°=TwO,
则“幻不是奇函数,故D项错误.
故选:C.
【期末热考题型2】利用函数奇偶性求参数,求值
【解题方法】奇偶性定义
【典例1】(2023上•河南南阳•高一校考阶段练习)函数〃尤)=再*为奇函数,则实数a的值是()
x+8
A.--B.-C.--D.1
2222
【答案】A
【详解】函数〃尤)=:的定义域为R,
X+o
a
由奇函数的定义可知了(。)=。,贝U/(O)=2a+3=O,则。=一:,
当。=一当时,〃x)==三,定义域为R,则
2v7x+8=(/-%二);+8%+3—
3
满足要求,所以。=-
故选:A.
【典例2】(2023上•江苏连云港•高三统考期中)已知〃x)=3sinx-4tanx+l,若〃a)=2,则
〃-。)=-
【答案】。
【详解】令g(x)=3sinx-4tanx,xeR,贝!j/(x)=g(x)+l,
因为g(t)=3sin(-x)-4tan(-x)=-(3sinx-4tan.x)=_g(x),
所以g(x)为奇函数,
由〃a)=2,得/(a)=g(a)+l=2,
所以g(a)=l,则g(-a)=-l,
所以/(-a)=g(-a)+l=—l+l=O.
故答案为:0
【专训1-1](2023上•江苏盐城•高一盐城市田家炳中学校联考期中)已知函数/。)=丁+0?+汝-8,且
f(-2)=10,则/(2)=()
A.0B.-16C.-10D.-26
【答案】D
【详解】令g(x)=x,+依^+公,xeR,贝l]g(-x)=(-尤丫+a(-%)3一匕彳=一(/+口,+法)=—g(彳),
所以8(彳)=炉+0?+法为奇函数,
则/■(x)=g(x)-8,又/(—2)=10,所以/(—2)=g(—2)—8=10,即g(-2)=18,
所以g(2)=—g(-2)=78,
所以〃2)=g(2)—8=-26.
故选:D
【专训I1-2](2023上・浙江杭州・高一校联考期中)已知函数/(力=加+(。-3卜+3,xe[a-2,a]是偶函数,
贝!Ja+b=.
【答案】4
【详解】因为函数/(x)=加+伍—3卜+3,—2,可是偶函数,
贝ija—2+a=0,解得a=l,可知/>(%)=%2+(/?—3)%+3,
且X),即f+(Z?-3)x+3=(-x)2-(/?-3)x+3,
整理得仅-3)X=0,结合x的任意性可得b-3=0,即〃=3,
所以a+A=4.
故答案为:4.
【专训1-3](2023上•江西南昌•高一南昌二中校考期中)已知函数〃尤)是定义在R上的奇函数,当xtO时,
”尤)=弓)+b,则/(-1)=.
【答案】1/0.5
【详解】因为函数/(X)是定义在R上的奇函数,当XN。时,"x)=g1+6,
所以/(0)=1+人=0,解得6=-1,
所以当xNO时,/(x)=[1j-1,
所以
故答案为:y
【期末热考题型3】利用函数奇偶性解不等式
【解题方法】奇偶性+单调性
【典例1](2023上.贵州六盘水.高三校联考阶段练习)已知函数“力=丁+犬+1,若〃l-x)+〃2x)>2,
则x的取值范围是()
A.(-8,-1)B.(-00,1)C.(-l.+co)D.(1,+8)
【答案】C
【详解】令g(x)=/(x)-l=_?+x,易知g(x)为奇函数且g(x)在R上单调递增.
化简〃l-x)+〃2x)>2nF(l-x)-1+〃2力-1>0,
即g(l-x)+g(2x)>0=>g(l-x)>-g(2x)=g(-2x),
所以1-%>-2x,解得了>—1,
故选:C
【典例2】(2023上•广东深圳•高一深圳市高级中学校考期中)己知/(X)是定义在上的偶函数,且
在-;,。上递减,则不等式〃力-〃1-2力20的解集是.
【答案】卜13尤《1
【详解】解:因为是定义在-;,;上的偶函数,且在-;,。上递减,
所以〃”在[。,;]上递增,
不等式/⑺-/。-2x)20等价于〃附N川1-2刈,
所以卜2小;,解得太尤
W2-2尤|
所以不等式-〃1-2力20的解集是[xlgvxW;1.
故答案为:”[wxwg
【专训1-1](2023上•山东临沂・高一校考期中)已知偶函数f(x)在区间[0,+e)单调递增,则满足
【答案】A
【详解】因为偶函数/(X)在区间[0,+8)上单调递增,
所以/■(X)在区间(-8,0)上单调递减,故X越靠近>轴,函数值越小,
因为〃2彳-1)</(',
11o
所以|2-<针解得:j<x<j.
故选:A.
(专训1-2](2023上•江西南昌•高一南昌二中校考期中)已知/⑴=/+f,若Vxe[l,2],/(x+«)>f(2a-x)
恒成立,则。的取值范围为()
A.(0,4)B.(-4,0)C.(0,2)D.(-2,0)
【答案】C
【详解】/(x)的定义域为R,
2
因为/(一尤)=27+(-x)=方+f=/(尤),所以f(X)为偶函数,
所以/(x+。)>/(2a-尤)可化为f(\x+a|)>/(|2a-x|),
当x>0时,f{x)=2'+x2,
因为y=2"和y=/在(0,+℃)上递增,
所以/⑺在(0,+⑹上递增,
所以由/(|x+H)>/(|2a_x|),得|x+a]>|2a-x|在xe[l,2]上恒成立,
所以|x+>|2口一,化简得2°x一/>0在x©[1,2]上恒成立,
,解得0<。<2,
即。的取值范围为(0,2),
故选:C
考占清单
04函数的对称性和周期性
【期末热考题型1]函数的对称性和周期性
【解题方法】公式法
【典例1】(多选)(2023上・安徽•高一和县第一中学校联考期中)定义在R上的函数/(尤)满足:
/(2+x)+/(2-^)=4,且f(x+l)是偶函数,则()
A.函数/(尤)的图象关于直线尤=2对称B.函数/(尤)的图象关于直线x=l对称
C.〃x+4)=〃x)D./(0)+/(1)+/(2)++/(2023)=4048
【答案】BCD
【详解】/(2+力+〃2-力=4。/(力+/(4-"=4,〃耳的图象关于点(2,2)对称,故
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