函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）（考点清单）（解析版）

专题05函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）（考点清单）

目录

一、思维导图...................................................................................2

二、知识回归...................................................................................2

三、典型例题讲与练.............................................................................6

考点清单01函数图象识别与应用.............................................................6

【期末热考题型1】函数图象识别........................................................6

考点清单02函数的单调性...................................................................8

【期末热考题型11判断并证明函数的单调性.............................................8

【期末热考题型2】求函数的单调区间...................................................11

【期末热考题型3】求复合函数的单调区间...............................................14

【期末热考题型4］根据函数单调性求参数...............................................15

考点清单03函数的奇偶性..................................................................17

【期末热考题型1】判断函数的奇偶性...................................................17

【期末热考题型2】利用函数奇偶性求参数，求值........................................19

【期末热考题型3】利用函数奇偶性解不等式............................................21

考点清单04函数的对称性和周期性..........................................................23

【期末热考题型1】函数的对称性和周期性...............................................23

考点清单05函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用..................................25

【期末热考题型11函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用.......................25

考点清单06利用函数奇偶性求解析式.......................................................28

【期末热考题型11利用函数奇偶性求解析式............................................28

考点清单07分段函数的单调性问题..........................................................29

【期末热考题型11求分段函数的单调区间..............................................29

【期末热考题型2】根据分段函数的单调性求参数........................................30

【期末热考题型3］解分段函数不等式...................................................33

考点清单08分段函数的值域或最值问题.....................................................35

【期末热考题型11分段函数的值域或最值问题..........................................35

考点清单09二次函数的最值问题............................................................37

【期末热考题型1】不含参数的二次函数最值问题........................................37

【期末热考题型2】含参数的二次函数最值问题..........................................39

考点清单10恒成立与能成立问题............................................................43

【期末热考题型1】恒成立与能成立问题.................................................43

考点清单11二元变量问题..................................................................45

【期末热考题型11二元变量问题.......................................................45

考点清单12抽函数函数的综合问题..........................................................49

【期末热考题型11抽象函数的综合问题.................................................49

一、思维导图

二、知识回归

知识回顾1:函数的图象

1.1、函数图象的平移变换(左右上下

①y=/(%)回右.平楼。">。)个单.位_>y=f(X_a)

②y=/(v)向左平移0(°>0)个单位>y=f{x+a)

③y=f(x)回上.平榭^.>0)个单色一>y=/(%)+k

@y=/(%)向下平移，％>0)个单位>y=fQ)—k

注：左右平移只能单独一个X加或者减，注意当X前系数不为1,需将系数提取到外面.

1.2、函数图象的对称变换

0y=/(X)的图象关于入轴对称>y=-f(x)的图象；

②y=/(x)的图象_关于y轴对称>丁=/(-%)的图象；

③丁=/(X)的图象关于原点对称〉y=-f(-X)的图象；

1.3、函数图象的翻折变换(绝对值变换)

⑦y=/(x)的图象---典上——>y=1/'(%)1的图象；

下翻上

(口诀；以》轴为界，保留》轴上方的图象；将》轴下方的图象翻折到％轴上方)

②y=/(x)的图象———>y=/(|x|)的图象.

右翻左了

(口诀；以丁轴为界，去掉y轴左侧的图象，保留y轴右侧的图象；将y轴右侧图象翻折到y轴左侧；本

质是个偶函数)

知识回顾2：函数的单调性

2.1增函数

一般地，设函数/(%)的定义域为/，区间，如果V%,9e。，当石<%时,都有/&)</(%),

那么就称函数/(x)在区间。上单调递增.(如图：图象从左到右是上升的)

特别地，当函数/(%)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasingfunction).

2.2减函数

一般地，设函数/(x)的定义域为/，区间。口/，如果e。，当占<%时，都有/(西)>/(x2),

那么就称函数/(x)在区间。上是单调递减.(如图：图象从左到右是下降的)

特别地，当函数/(%)在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasingfunction).

知识回顾3：函数的奇偶性

3.1偶函数：一般地，设函数八％)的定义域为/,如果Vxe/,都有—xe/,且/(—x)=/(x),那么函

数“X)就叫做偶函数.

3.2奇函数：一般地，设函数/(%)的定义域为/,如果Vxe/,都有—xe/,且/(―力=—/(%),那么

函数“X)就叫做奇函数.

知识回顾4：函数奇偶性的判断

4.1定义法：

(1)先求函数/(x)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)求/(-x),根据/(-x)与/⑴的关系，判断了(%)的奇偶性：

①若/(-x)+/(X)=00f(~x)=-/(x)o/(x)是奇函数

②若/(-x)-/(%)=0=/(-%)=f(x)o/(x)是偶函数

；/(-%)+/(%)=0；/(-%)=-/(%)

o/(%)既是奇函数又是偶函数

[/(f)―/(九)=0无)

f(-x)丰-f(x)

④若4：、o/(X)既不是奇函数也不是偶函数

4.2图象法：

(1)先求函数/(X)的定义域/,判断定义域是否关于原点对称.

(2)若/(X)的图象关于y轴对称0/(©是偶函数

(3)若/(%)的图象关于原点对称07(%)是奇函数

4.3性质法:

/(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论:

fix)g(x)f(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

知识回顾5：幕函数的图象与性质

5.1、五个募函数的图象(记忆五个募函数的图象)

当。=1,2,3,工,-1时，我们得到五个募函数：

2

/(x)=x；/(X)=X2;/(X)=X3;/(%)=£;/(X)=X-1

5.2、五个幕函数的性质

/(X)=X/(x)=x2/(X)=d/(X)=X2/(x)=k

定义域RRR[0,+co)(—8,0)(0,+8)

值域R[0,+co)R[0,+co)(—8,0)(0,+8)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(—8,0)上

在R上单在R上单调在［。,+8)在(-8,0)上单调递减

单调性单调递减

调递增递增单调递增在(0,+8)上单调递减

在(0,+8)单

调递增

定点(1,1)

三、典型例题讲与练

考占清单

01函数图象识别与应用

【期末热考题型1］函数图象识别

【解题方法】特殊值法，单调性，奇偶性

1

【典例1】（2023上•辽宁辽阳•高一统考期中）函数/（x）=的部分图象大致为（)

x3sjx2+9

1

【详解】由己知〃无）=X€(-00,0)U(0,+00),

尤3J尤2+9

则《上乙而言后=一？7二T年初

故〃幻是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误;

当X£（0,+oo）时，%36+9>0,则

故AD项错误，应选B.

又设V%1，%2£（°，+8）,且王<%2，

贝ij0<xf<只,0<击;+9<，

>0

即/（占）>〃％），故/a）在（o,+8）上单调递减.

函数/⑴二寸毫

综上,图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.

故选：B.

【典例2】(2023上•山西•高三统考阶段练习)函数/(x)=cos^+3国-3的图象大致是()

【详解】“X)的定义域为R.

/(-x)=cos(-x)+3r-3=cos%+3®-3=,

•・J(x)是偶函数,排除D；

X/(1)=cosl+31-3=cosl>0,排除A；

当x>0时，/(x)=cosx+3%-3,=-sinx+3'-ln3,

3x-ln3>l,

--sinx+3'ln3>0,

在(0,+8)上单调递增,排除c.

故选：B.

【详解】/(x)=x3+sin3x的定义域为R,

又f(-x)=(-x)3+sin(-3x)=-x3-sin3x=-f(x),

故〃x)=d+sin3x为奇函数，其函数图象关于原点对称，故CD错误；

7T

当0<x<§时，%3>0,且sin3;r>0,则/(%)>。；

3

当转:时，%>^>1,且sin3xN-l,则/(x)>0.

故当无>0,/«>0,故排除A.

故选：B.

【专训1-2X2023上•河北邢台・高三校联考阶段练习)函数"》)=笔售在区间［Y,4］上的大致图象是()

A.、、>B.、

wo、=\_/oyX

斗斗

—o%寸oy在

【答案】c

【详解】由于〃x=受?，所以“x)=-/口=/(x),所以/(X)为偶函数，故排除

'，X+1(x)+1X+1

AB,

由于f+l之2x,故当x>0时，/(%)=21<c=sinx<l,故排除D,

x+l2x

故选：C

［考占清单

02函数的单调性

【期末热考题型11判断并证明函数的单调性

【解题方法】定义法

【典例1】(2023上•四川成都•高一统考期中)已知/(«+l)=x+2、JX,

(1)求/⑴的解析式；

(2)若g(x)=〃、，试用定义证明g(x)在其定义域上是单调函数.

f(x)

【答案】(1)〃"=/一1(》21)

(2)证明见解析

【详解】(1)令r=4+l,贝卜21,x=(r-l)2,

因为/(4+1)=彳+2«,所以/(z)=(r-l)2+2(z-l)=r2-l,

所以〃》)=幺—1(x21).

11

(2)由题意知意尤)=，定义域为(1,内)

fMx2-1

1(%—%)(%+*)

11

任取士>尤2>1，贝Jg(玉)-8(々)=x；-lx2-1(玉2-1)(尤;T)，

因为再>彳2>1,所以邸-1>0芯-1>0,%,-%,(0,尤2+公。，

(尤,-x)(x2+X)

所以则双占)-8(三)<。'即g0q)<g(X2)'

所以g(M在定义域(Ly)上是单调递减函数.

【典例2】(2023上•广东深圳•高一深圳市高级中学校考期中)已知函数g(x)是定义在(-8,0)U(0,+«)上

的偶函数，当x>0时，g(x)=x-：

⑴求函数g(x)的解析式；

⑵若"X)=g(优)(。>0且"1),试讨论函数“X)的单调性，并加以证明.

—XH---,X<0

【答案】(l)g(x)=<X

x—,x>0

x

(2)答案及证明见解析

【详解】(1)解：由题意，：函数g(x)是定义在(T,0)U(0,—)上的偶函数,

当x>0时，g(x)=;r-L

%

「•当龙<0时，一%>0,贝Ug(%)=g(—%)=—%-----=—%—，

—XX

—XH,X<0

g(x)=<X

x—,x>0

X

(2)证明：\•由指数函数的图象与性质知，当〃〉0且。时，对VxwR,优〉。,

・♦/(%)=g(Q")=a》—7，xeR，

设％£R,贝!)/(王)一=

11

H-----------------=a内

当0<”1时，ax'-a^>0,贝IJ/aA/H)>。，即〃玉)>"赴),

函数7■(*)单调递减；

x2

当.>1时，a'-a"<0,则/(%)-/(%)<。，即〃芯)<了(9)，

函数/'(X)单调递增；

综上知，当0<。<1时，函数;'(X)单调递减；当。>1时，函数/(尤)单调递增.

【专训1-1](2023上广东•高二校联考期中)己知函数〃元)=2尤-三，且，gj=3.

(1)求实数。的值；

⑵判断了(x)在(1,y)上的单调性，并用定义法证明.

【答案】⑴a=—l

(2)递增，证明见解析

【详解】⑴/加2犬，且,I3,

，./'g)=l-2a=3,解得：a=—l；

(2)由(1)得：/(x)=2x+Jj(元)在(1,y)递增,

证明如下：

设任意X1>X2>1,

则/(占)_f{x2)=2%+：_2%-J

2平2-1

、中2

%>1，

/.xx-x2>0,2再％2—1>0,

\/(尤)在(1,—)上单调递增.

【专训1-2](2023上•福建福州•高一福建师大附中校考期中)已知函数/(》)=言]是定义在(-1,1)上的奇

函数，且/[；)=j

(1)求实数的值

(2)判断〃元)的单调性，并用定义证明：

【答案】(1)/(司=日

（2）〃x）在上单调递增，证明见解析

【详解】（1）由已知可得，〃T）=了?.

因为函数/（》）=言?是定义在（-1,1）上的奇函数，

所以有=即»+〃X）=0,

所以有誓+空空=4=0在㈠,］）上恒成立,

1+x1+X1+X

所以‘b=。，〃力中.

所以〃=1.

所以，/（x）=1-

（2）/（x）在（-1,1）上单调递增.

X/须,X?£（-1,1），且设玉<%2，

n.r（\r（\玉*2石（1+考）-冗2（1+工；）（%-%）（1-中2）

则0-前==（1+喇（.）

因为H%2£（T，1），且王<工2，

所以，XxX2<1,1-XxX2>0,玉一工2<0,

所以，〃下）-〃%）<0,

所以,“X）在（-1,1）上单调递增.

【期末热考题型2】求函数的单调区间

【解题方法】图象法

【典例1】（2022上•甘肃兰州・高三兰州市第五十五中学校考开学考试）函数/■（司=%2-2国+5的单调增区

间是（）

A.（―oo,—1）和（0,1）B.—1）和（1,+oo）

C.［—1,0］和［1,”）D.（-1,0）和（0,1）

【答案】C

［详解］解：由/（一同=（一彳）2―2卜才+5=/―2冈+5=/（乃，

则为偶函数，的图像关于y轴对称.

当xNO时，/（X）=X2-2X+5,对称轴为尤=1,所以〃x）在［1,+s）上递增，在［0』递减;

则当无VO时，/（可在［-1,。］递增，在递减，

则有〃力的递增区间为［-1,0］,［1,+8）.

故选：C

【典例2】（2023•全国•高一专题练习）（1）根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是单调递增还

是单调递减；

（2）写出>=,-2尤-3|的单调区间.

【答案】（1）函数在［-1,0］,［2,4］上是单调递减，在［0,2］,［4,5］上是单调递增；（2）单调减区间为（3,-1］,［1,3］；

单调增区间为［-1』，［3,行）.

【详解】（1）由函数图象易知函数在［T。］,［2,4］上是单调递减，在［0,2］,［4,5］上是单调递增;

（2）根据题意可知，当x<-l或x>3时，炉-2犬-3>0,

止匕时y=卜~_2x_3卜Y_2x_3"

当一时，x2—2x—3<0,止匕时y=—2x—=—（尤2—2x—3）,

_3,xG（_8,-1）u（3,+e）

所以可得了=

—x2+2x+3,xG[-1,3]

先画出其图象如图所示:

由图可知，y=9一2尤-3|的单调减区间为（f,-1],[1,3],单调增区间为[—1』,[3,e）.

【专训1-1]（2023上•江西抚州•高一统考期中）函数/（同TxIG-l）的单调递减区间是（）

A.(一8,0)B.

C.3』D.(l,+oo)

【答案】B

【详解】解析：.\八，作出图象,

一以%-1）,%＜。

可以得到函数的单调递减区间是[og].

故选：B.

【专训1-2]（2023上•天津宝城•高一天津市宝城区第一中学校考阶段练习）已知函数/（尤）=-£+2|乂+3,

则f（x）的单调递增区间为.

【答案】[0』,（-«）,-1]

【详解】当X€[0,+oo）时，f（j;）=—x2+2x+3=-（x—I）2+4,

函数图像对称轴方程为x=l,开口向下，此时A》）的单调递增区间为[0,1]；

当xe（^o,0）时，/（x）=f2-2x+3=-（x+l）2+4,

函数图像对称轴方程为x=-1,开口向下，此时Ax）的单调递增区间为（9,-1].

综上，Ax）的单调递增区间为[0内，（f，T.

故答案为：[0』，（-叫-1]

【期末热考题型3】求复合函数的单调区间

【解题方法】同增异减；

【典例1】(2021上•上海徐汇・高一上海中学校考期末)函数；的单调递减区间为.

【答案】(-叫-1］

【详解】因为复合函数/(X)=［gj2c是由f=8-2彳-尤2与y=复合而得，

而y=在R上单调递减，

所以f(x)的单调减区间即为t=8-2x-V的单调增区间，

因为/=8-2%-*2=一/一2元+8开口向下，对称轴为x=T,

所以/=_尤2_2尤+8的单调增区间

则答案为：(r0，-1］.

【典例2】(2023•全国•高一课堂例题)已知函数〃尤)在定义域［。,+e)上单调递减，则/(if?)的定义域

是,单调递减区间是.

【答案】［-hi］［-L0］

【详解】•••〃”的定义域为［。,+8),，1一月20,即入1,解得-14x41.

故函数的定义域为［T』］.

令〃=1一/(“20),则『(l-db"“).

当xe［0,l］时，yl—/单调递减，则川一百单调递增；

当xe［T0］时，"=1一/单调递增，则/(l-d)单调递减.

故/(1-的单调递减区间为［-L0］.

故答案为：［T』；［T,。］.

【专训1-1］(2023上•浙江宁波•高一校联考期中)已知函数丫=J_f+2x+3的单调递增区间为.

【答案】［-U)

【详解】令一尤2+2尤+320,解得TVXV3,故函数定义域为［T,3］,

其中"=—*2+2x+3=—(无一I)?+4,

故〃=-d+2x+3=-(x-l)~+4在［-1,1)上单调递增，在。,3］上单调递减，

其中y=4在［0,+8)上单调递增，

由复合函数单调性可知，y=G+2x+3的单调递增区间为［-M).

故答案为：［-1,1)

【专训1-214.(2023上•北京•高一北京市十一学校校考期末)函数y=l°g|(炉+4尤T2)的单调递减区间

2

是.

【答案】(2,+◎

【详解】y=log/d+4x-12)的定义域为尤2+4x-i2>0,解得(无+6)(尤-2)>0,

2

.“<-6或%>2,

求原函数的单调递增区间，即求函数V+4X-12的减区间，

x2+4%-12=(%+2)2-16,可知单调递减区间为(-8,-2),

综上可得，函数单调递增区间为(-*-6).

令t=x2+4^-12,由x2+4x-12>0.得x<-6或x>2,

...函数)的定义域为

/(x)=logi(x2+4x_i2(-00,-6)u(2,+oo),

2

2

当xe(2,3)时，内层函数t=X+4X-12为增函数，而外层函数>为减函数，

2

函数/«=logi(X2+4^-12)的单调递减区间是(2,+8).

2

故答案为：(2,+刃).

【期末热考题型4】根据函数单调性求参数

【解题方法】图象法

【典例1】(2023上•海南省直辖县级单位•高一校考期中)已知函数/("=如2+%—1在区间(-!,")上单调

递增，则加的取值范围是()

A.\m|m<B.［加0<根

C.jm|0<m<D.<m<

【答案】D

【详解】当机=0时，/(x)=x-1满足题意;

当机>0时，函数〃x)的图象开口向上，

对称轴为直线x=-二-,因为函数/(x)在区间(-1,+8)上单调递增，

2m

则一二一W-1,所以

2m2

当〃2<0时，函数“X)的图象开口向下，因为函数“X)在区间(-!,")上单调递增，

所以根<。不满足题意.

综上所述，加的取值范围是｛血04mW；1.

故选：D.

2c5

x—2QXH—,x<1

【典例2】（2023上•福建福州•高一福州三中校考期中）已知函数/（x）=02满足对于任意实

工尤21

、X

数玉片马，都有"％）一"/）<0成立,则实数。的取值范围是（）

%一％2

A.（1,2）B.[1,2）C.0D.1,1

【答案】D

【详解】依题意，对于任意实数百工％，都有""一"々）<0成立,

西一尤2

不妨设占</，则/（西）一）（赴）>0，/（为）>〃々），

所以/'（X）在R上单调递减，

[-^>1

23

所以j2-a>0,解得

^-2a+->—

I21

故选：D

【专训1-1]（2023上•浙江宁波•高一校联考期中）函数/■（》）=依2一（3+0户+1在（-叫〃）上是减函数，则实

数。的取值范围是.

'3'

【答案】0,-

【详解】当a=0时，〃x）=-3x+l在（-”,0）上是减函数，符合题意；

当awO时，〃同=依2-（3+。卜+1为一元二次函数，对称轴为彳=孚

因为函数/（%）=加一（3+o）x+l在（TO,。）上是减函数，

a>0

,3

所以（3+a，解得0<a<—,

----->a2

、2a

、3

综上，0<<2<—,

2

-3-

所以实数〃的取值范围是0,5，

3

故答案为：0».

【专训I1-2]（2023上•吉林长春•高一东北师大附中校考期中）若函数“力=-小+2依与g（无）在

区间。，内）上都是减函数，则。的取值范围是（）

A.（-1,0）B.（一叫1]C.[0,1]D.（-l,0）U（0,l）

【答案】B

【详解】因为/（x）=-/+2以的对称轴为x=a,开口向下，且在（1,+8）上为减函数，

所以,

7y_|_1_9/71

因为g（尤）=-......=2+——，且在。,内）上为减函数，

x—ax—a

所以y=%-。＞0在（l,y）上恒成立，即在（1,+8）上恒成立，可得

综上，6ZG（-OO,1].

故选：B.

考占渚单

03函数的奇偶性

【期末热考题型11判断函数的奇偶性

【解题方法】定义法，图象法

【典例1X2023上•北京海淀•高三统考期中）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=B._y=x3C.y=|tanx|D.、=2w

【答案】D

【详解】A选项，、=11«的定义域为（0,+8）,定义域不关于原点对称，故不是偶函数，A错误；

B选项，的定义域为R,且工厂-彳:一/⑺，故=d为奇函数，B错误;

C选项，设g（x）=|tanx|,因为g（7r）=kand=0,g（2兀）=|an2d=0,

故》=卜孙|在（0,+8）上不单调递增，C错误；

D选项,//（%）=2忖的定义域为R,且/?（-x）=2卜N=州=/z（x）,故无（1）衿洲为偶函数,

又当尤＞0时，/z（x）=2r,在（0,+8）上单调递增，故满足要求，D正确.

故选：D

【典例2】（2023上•河北石家庄•高一鹿泉区第一中学校考期中）下列函数中，与函数y=l-Y的奇偶性相

同，且在（-8,0）上单调性也相同的是（）

11||3

A.y=—B.y=fc.y=TMD.y=x-1

2x囚

【答案】C

【详解】函数y=l-炉为偶函数，在(-8,0)上单调递增，

函数》=二~为奇函数，故A错；

2x

1.、

函数》=一讨为偶函数，在(-8,0)上单调递减，故B错；

函数y=-国为偶函数，在(-8,0)上单调递增，故c正确；

函数＞=丁_1为奇函数，故D错.

故选：C.

【专训1-1](2023上•陕西咸阳•高三校考阶段练习)下列函数中为奇函数且在(0,+。)上单调递增的是(

y=x

A.“B.y_一人v3

C.y=-D.y=e，

X

【答案】B

【详解】对于A选项，函数y=d为偶函数，A不满足条件；

对于B选项，令f(x)=)=取，则该函数的定义域为R,

f^-X)=l^X=-l[x=-f^X),所以，函数y=)为奇函数，

且函数)=尤3在(0,+")上单调递增，B满足条件；

对于C选项，函数y=-为奇函数，且该函数在(0,+8)上单调递减，C不满足条件；

对于D选项，函数y=e*为非奇非偶函数，D不满足条件.

故选：B.

【专训1-2](2023上•山西临汾・高一统考期中)下列函数中既为减函数，又为奇函数的是()

儿小)出[一1

B.”x)=一

X

C./(无)=-xD./«=-ew

【答案】C

【详解】A选项，/(x)=g1-1，

因为/⑴=-"(T)="(T)*-/d)，

故不是奇函数，A项错误;

B选项，/(x)=-,

x

由/(-1)==</(I),

可知"%)不是减函数，故B项错误；

C选项，/(x)=—x，

/(X)定义域为R，/(-x)=-(-x)=xJ(x)=-x,

贝U/(-x)=-/(x),则/(无)是奇函数；

由/。)=-无图象可知既是减函数，又是奇函数，故C项正确；

D选项，/(x)=-ew,由/(O)=-e°=TwO,

则“幻不是奇函数，故D项错误.

故选：C.

【期末热考题型2】利用函数奇偶性求参数，求值

【解题方法】奇偶性定义

【典例1】(2023上•河南南阳•高一校考阶段练习)函数〃尤)=再*为奇函数，则实数a的值是()

x+8

A.--B.-C.--D.1

2222

【答案】A

【详解】函数〃尤)=：的定义域为R，

X+o

a

由奇函数的定义可知了(。)=。，贝U/(O)=2a+3=O,则。=一:，

当。=一当时，〃x)==三，定义域为R,则

2v7x+8=(/-%二)；+8%+3—

3

满足要求，所以。=-

故选：A.

【典例2】(2023上•江苏连云港•高三统考期中)已知〃x)=3sinx-4tanx+l,若〃a)=2,则

〃-。)=-

【答案】。

【详解】令g(x)=3sinx-4tanx,xeR,贝！j/(x)=g(x)+l,

因为g(t)=3sin(-x)-4tan(-x)=-(3sinx-4tan.x)=_g(x),

所以g(x)为奇函数，

由〃a)=2,得/(a)=g(a)+l=2,

所以g(a)=l,则g(-a)=-l,

所以/(-a)=g(-a)+l=—l+l=O.

故答案为：0

【专训1-1](2023上•江苏盐城•高一盐城市田家炳中学校联考期中)已知函数/。)=丁+0?+汝-8,且

f(-2)=10,则/(2)=()

A.0B.-16C.-10D.-26

【答案】D

【详解】令g(x)=x，+依^+公，xeR,贝l]g(-x)=(-尤丫+a(-%)3一匕彳=一(/+口,+法)=—g(彳)，

所以8(彳)=炉+0?+法为奇函数，

则/■(x)=g(x)-8,又/(—2)=10,所以/(—2)=g(—2)—8=10,即g(-2)=18,

所以g(2)=—g(-2)=78,

所以〃2)=g(2)—8=-26.

故选：D

【专训I1-2](2023上・浙江杭州・高一校联考期中)已知函数/(力=加+(。-3卜+3,xe[a-2,a]是偶函数,

贝！Ja+b=.

【答案】4

【详解】因为函数/(x)=加+伍—3卜+3,—2,可是偶函数，

贝ija—2+a=0,解得a=l,可知/>(%)=%2+(/?—3)%+3,

且X)，即f+(Z?-3)x+3=(-x)2-(/?-3)x+3,

整理得仅-3)X=0,结合x的任意性可得b-3=0,即〃=3,

所以a+A=4.

故答案为：4.

【专训1-3](2023上•江西南昌•高一南昌二中校考期中)已知函数〃尤)是定义在R上的奇函数，当xtO时,

”尤)=弓)+b,则/(-1)=.

【答案】1/0.5

【详解】因为函数/(X)是定义在R上的奇函数，当XN。时，"x)=g1+6，

所以/(0)=1+人=0,解得6=-1,

所以当xNO时，/(x)=[1j-1,

所以

故答案为：y

【期末热考题型3】利用函数奇偶性解不等式

【解题方法】奇偶性+单调性

【典例1］(2023上.贵州六盘水.高三校联考阶段练习)已知函数“力=丁+犬+1,若〃l-x)+〃2x)>2,

则x的取值范围是()

A.(-8,-1)B.(-00,1)C.(-l.+co)D.(1,+8)

【答案】C

【详解】令g(x)=/(x)-l=_?+x,易知g(x)为奇函数且g(x)在R上单调递增.

化简〃l-x)+〃2x)>2nF(l-x)-1+〃2力-1>0,

即g(l-x)+g(2x)>0=>g(l-x)>-g(2x)=g(-2x),

所以1-%>-2x，解得了>—1,

故选：C

【典例2】(2023上•广东深圳•高一深圳市高级中学校考期中)己知/(X)是定义在上的偶函数，且

在-;，。上递减，则不等式〃力-〃1-2力20的解集是.

【答案】卜13尤《1

【详解】解：因为是定义在-；，；上的偶函数，且在-;，。上递减，

所以〃”在［。，；］上递增，

不等式/⑺-/。-2x)20等价于〃附N川1-2刈,

所以卜2小；,解得太尤

W2-2尤|

所以不等式-〃1-2力20的解集是［xlgvxW；1.

故答案为：”［wxwg

【专训1-1](2023上•山东临沂・高一校考期中)已知偶函数f(x)在区间[0,+e)单调递增，则满足

【答案】A

【详解】因为偶函数/(X)在区间[0,+8)上单调递增，

所以/■(X)在区间(-8,0)上单调递减，故X越靠近>轴，函数值越小,

因为〃2彳-1)</(',

11o

所以|2-<针解得：j<x<j.

故选：A.

(专训1-2](2023上•江西南昌•高一南昌二中校考期中)已知/⑴=/+f,若Vxe[l,2],/(x+«)>f(2a-x)

恒成立，则。的取值范围为()

A.(0,4)B.(-4,0)C.(0,2)D.(-2,0)

【答案】C

【详解】/(x)的定义域为R，

2

因为/(一尤)=27+(-x)=方+f=/(尤),所以f(X)为偶函数，

所以/(x+。)>/(2a-尤)可化为f(\x+a|)>/(|2a-x|),

当x>0时,f{x)=2'+x2,

因为y=2"和y=/在(0,+℃)上递增，

所以/⑺在(0,+⑹上递增，

所以由/(|x+H)>/(|2a_x|),得|x+a]>|2a-x|在xe[l,2]上恒成立,

所以|x+>|2口一，化简得2°x一/>0在x©[1,2]上恒成立，

,解得0<。<2，

即。的取值范围为(0,2),

故选：C

考占清单

04函数的对称性和周期性

【期末热考题型1］函数的对称性和周期性

【解题方法】公式法

【典例1】(多选)(2023上・安徽•高一和县第一中学校联考期中)定义在R上的函数/(尤)满足：

/(2+x)+/(2-^)=4,且f(x+l)是偶函数，则()

A.函数/(尤)的图象关于直线尤=2对称B.函数/(尤)的图象关于直线x=l对称

C.〃x+4)=〃x)D./(0)+/(1)+/(2)++/(2023)=4048

【答案】BCD

【详解】/(2+力+〃2-力=4。/(力+/(4-"=4,〃耳的图象关于点(2,2)对称，故