湖南某中学2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试题（含答案）

雅礼教育集团2024年下学期期末考试试卷

高二数学

时量：120分值：150

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足：（2+I”=3+4I,则忖=（）

A.—B.gEc.5D.V5

255

A.5B.10C.4D.2+log35

4.椭圆三+上=1的焦距为2,则根的值等于（）.

m4

A.5B.8c.5或3D.5或8

5.已知向量z，B均为单位向量，且则（2a—4（。+4可=（）

A.2B.-2C.4D.-4

6.“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烧鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井

虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能

接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（）

A.480B.240C.384D.1440

7.已知等差数列｛%｝,满足。2022+%023＜。，«2022,fl!2023＜0＞且数列｛4｝的前〃项和S.有最大值，那么S,

取最小正值时，〃等于（）

A.4043B.4042C.4041D.4040

8.已知双曲线C：二—4=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为片，F2,过片的直线与C的两条渐

ab~

近线分别交于A,2两点.若品=而，F\B-Fji=O,则C的离心率为().

A.72B.6c.2D.3

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分.

9.设函数=的导函数为,⑴，则()

A.f，(l)=OB.x=l是函数/(x)的极值点

C.“X)存在两个零点D.〃力在(1,+s)上单调递增

10.如图，正方体ABCD-4与。］2的棱长为2,动点P,。分别在线段G。，AC上，则下列命题正确

的是()

JT

A.直线BC与平面A3G2所成的角等于7B.点C到平面ABC1，的距离为血

C.异面直线和8G所成的角为线段PQ长度的最小值为个

11.已知产是抛物线C:：/=8x的焦点，过点尸作两条互相垂直的直线4，4与C相交于A,B两点,

乙与C相交于E,。两点，M为A,B中点，N为E,。中点，直线/为抛物线C的准线，则()

A.点M到直线/的距离为定值B.以|A回为直径的圆与/相切

C.|A.+|£)E|的最小值为32D.当|MN|最小时，MN//I

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到

代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.

13.在(1-2x)5(2+x)展开式中，/的系数为.

14.已知函数“X)是定义在R上的偶函数，记/'("为函数”X)的导函数，且满足〃x)+r(x)=

Y

+2xe*贝I不等式/(x)+1<e的解集为.

四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知a,。,c分别为△ABC内角A,3,C的对边，且(26-a)cosC=ocosA

(1)求角C；

(2)若0?的面积为百，求a+6的值.

16.如图，四棱锥P-ABCD中,平面PAD1平面ABCD,底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=2DC=2#)，

ACc5。=R且△PA。与AABD均为正三角形，G为的重心.

(2)求平面公。与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

17.已知椭圆C：1+《=1(。〉》〉0)的离心率为走，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.

a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A,8分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于

点C,直线与y轴交于点D,求四边形A3CD的面积.

18.已知函数/(x)=e'-ax,g(x)=lnx-ax,aeR.

(1)当a<e时，讨论函数/(x)的零点个数

(2)记函数尸(%)=/(无)-g(x)的最小值为租,求6(%)=/-葭111%的最小值.

19.设数列｛%｝的前“项和为S”，对一切“eN,“21,点〃，也都在函数=x+/图象上.

(1)求％,a2,%，归纳数列｛%｝的通项公式(不必证明):

（2）将数列｛%｝依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（％）、（%%）、（%，。3,4）、（%,%，%，4（））、

（%1）、（%2，%3）、（弓4，％5，％6）、（%7，％8，％9，40）、（%）、…，分别计算各个括号内各数之和，设由

这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为他,｝,求4+4oo的值；

（3）设4为数列13匚的前“项积，若不等式4mxl</（。）-主丑对一切〃eN*都成立，求a

14J2a

的取值范围.

雅礼教育集团2024年下学期期末考试试卷

高二数学

时量：120分值：150

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足：（2+I”=3+4I,则忖=（）

A'ft6'与OS百

【答案】D

【解析】

【分析】利用已知先求共貌复数』，再求得z,利用公式求解模长目即可.

3+4i_（3+4i）（2—i）_10+5i_.

【详解】V（2+i）z=3+4i,2+i-（2+i）（2-i）-5-+1

z=2-i,A|z|=^22+（-l）2=V5.

故选：D.

2.函数/（x）=xcosx的导函数/'（x）在区间［-兀，可上的图象大致为（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数的运算性质，结合函数的奇偶性、三角函数的正负性，运用排除法进行求解即可.

【详解】/r(x)=cosx-xsinx,

因为/'(-X)=cos(-x)-(-x)sin(-x)=cosx-xsinx=fr(x),

所以/'(%)为偶函数，且/'(0)=1,

jr

当兀〉时，则/'(%)<0,A选项符合，

故选：A

3.等比数列｛a“｝的各项均为正数，且a3a8=3，贝Hog?q+log3a2+…+log3aio=()

A.5B.10C.4D.2+log35

【答案】A

【解析】

【分析】由等比数列的性质结合对数的运算求解即可；

【详解】由题有a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=aiaio=3，则

5

log3a；+log3a2H---1-log3a10=log3(a2a9a3a8a4%。5a6。00)=log33=5.

故选：A.

22

4.椭圆工+2L=1的焦距为2,则加的值等于().

m4

A.5B.8c.5或3D.5或8

【答案】C

【解析】

【分析】利用椭圆的焦距可求得c的值，再讨论椭圆的焦点位置，利用/=〃+/即可求得加的值.

22

【详解】因为椭圆土+匕=1的焦距为2,所以2c=2,所以c=l；

m4

2

所以①当椭圆焦点在x轴上时：a=m,力=4,

所以°2=/一=根一4=],所以m=5;

②当椭圆焦点在y轴上时：/=4，b2=m,

所以02=/一。2=4一加=1，所以机=3；

综上加=5或相=3.

故选：c.

5.已知向量B均为单位向量，且立由,则(2%闷«+甸=()

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】B

【解析】

［分析］根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.

【详解】因为向量Z，B均为单位向量，且所以=W=a-b=O'

所以卜％—可+44=2/—4片+7%%=2同2—4忸『=—2,

故选：B.

6.“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烧鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井

虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能

接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为()

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【解析】

【分析】利用插空法求解，先排列“糟燎鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用

“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.

【详解】根据题意，先排列“糟燎鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有A：=24种

方法，

4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有A；=20种方法，

所以由分步计数原理可知共有24x20=480种不同的上菜顺序，

故选：A

7.已知等差数列｛q｝,满足的022+%023<°，«2022-^2023<0>且数列｛%｝的前"项和S“有最大值，那么S”

取最小正值时，〃等于()

A.4043B,4042C.4041D.4040

【答案】A

【解析】

【分析】由题可知数列｛%｝是递减的等差数列，再由等差数列前n项和公式和下角标和的性质即可求解.

［详解】因为数列｛%,｝的前n项和J有最大值,

所以数列｛4｝是递减的等差数列.

又02022+“2023<。,。2022,。2023<°，

所以为。22>°>/。23，即数列的前2022项为正数，从第2023项开始为负数,

由等差数列求和公式和性质可知,

G4043/\八

$4043='+04043)=4043%022>0，

4044

84044=~~~(6+04044)=2022(%022+°2023)(°，

所以当S“取最小正值时,n=4043.

故选：A.

22

8.已知双曲线C：与—与=1（。>0,b〉0）的左、右焦点分别为片，F2,过片的直线与C的两条渐

a~b~

近线分别交于A,2两点.若品=而，电.项=0,则C的离心率为（）.

A.72B-6c.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合条件可得A为我内的中点且耳3,心3,即可得到双曲线渐近线的斜率，再由双

曲线离心率的公式代入计算，即可得到结果.

如图，由率=而，得KA=A3.又。片=。8,

得。4是三角形耳心3的中位线，即5月〃。4,BF2=2OA.

由中.行=0,得耳3_1_83,OALFXA,则=。耳有NA03=NA。耳,

又04与都是渐近线，得NBOF?=NAO£,

又ZBOF,+ZAOB+ZAOFr=兀，得ZBOF2=ZAOF^=ZBOA=60°,

所以该双曲线的渐近线斜率为2=tan600=V3.

故选：C

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分或3分.

9.设函数=%2+%的导函数为广⑴，则()

A.尸⑴=0B.x=l是函数“X)的极值点

C.“X)存在两个零点D.“X)在(1,+8)上单调递增

【答案】AD

【解析】

【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.

【详解】/,(X)=%2-2X+1=(X-1)2>0,所以函数/(x)在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故

B错误，D正确；/'。)=0,故A正确；

/(x)=1x3-x2+x=0,得—3x+3)=0,3x+3=0中，A=9-12<0,

所以公一3%+3>0恒成立，即方程只有一个实数根，即x=0,故C错误.

故选：AD

10.如图，正方体ABC。-AB1G2的棱长为2,动点P,。分别在线段C。，AC上，则下列命题正确

的是。

A.直线BC与平面A3G2所成的角等于?B.点C到平面A3G2的距离为J5

C.异面直线AC和8G所成的角为工.D.线段PQ长度的最小值为2回

43

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法

进行逐项判断.

【详解】解：由题意得：

正方体ABCD-45G2的棱长为2

对于选项A：连接用。，设与。、3G交于。点

•：

BXCLBC„B.CLAB

平面A3G2

IT

.,.NCBG即为直线2C与平面A3G2所成的角，且NC3G=Z，故A正确；

对于选项B：连接用C,设与C、3G交于。点

•/COLBCVB,CLAB

.,.C。，平面A3G2

•••点C到平面ABCXDX的距离为CO=g与C=gx20=,故B正确；

对于选项C：连接ADX,由正方体性质可知A。1//8G

故异面直线D©和所成的角即为D,C和AD{所成的角ZAD.C

又AD】=AC=CD1

.•□ADC为等边三角形

n

:.ZADC=-

1}3

故C错误；

对于选项D：过户作PMLCD,过M作MQLAC,连接尸。

PQ为异面直线之间的距离，这时PQ距离最小;

设。尸=x,R/ODPM为等腰直角三角形，则CM=CD-DM=2-—x

22

△/□CQM也为等腰直角三角形，则MQ=《-CM=下-x[2-

•.•□PMQ为直角三角形

故*=P”+MQ2=丰%+[后=|X2-V2X+2=|(X-^)2+1

当X=¥时，尸。2取最小值，，故pQmm=早，故D正确；

故选：ABD

Q

—Jr

B

11.已知厂是抛物线C:/=8x的焦点，过点E作两条互相垂直的直线乙，12,4与C相交于A,B两点,

，2与C相交于E,。两点，"为A,B中点，N为E,。中点，直线/为抛物线C的准线，则()

A.点M到直线/的距离为定值B.以|A回为直径的圆与/相切

C.|AB|+|£)E|的最小值为32D.当1MM最小时,MN//I

【答案】BCD

【解析】

【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，

可判断A;利用抛物线定义推得|AB\=\AF\+\BF\=2dM，由此判断B;

计算出弦长I£。|,可得|A8|+|DE|的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;

求出W〃V|的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.

【详解】设4(%,%),8(%2，%)，矶%3，%),。(%”)，M(xM,yM),N(XN，yN),

直线4的方程为x=my+2,则直线/,的方程为x=--y+2,

m

将直线/]的方程X=加丁+2代入丁=8x,化简整理得y2-Smy-16=Q,

则X+%=8m，乂%=—16，

2

故%]+%2=m+y2)+4=8m+4,

所以%=4北2+2,y”=%；%=4/n,

因为点A到直线I的距离&=石+2,点2到直线I的距离%=%+2，

点M到直线/的距离dM=xM+2,

又X”=4m2+2,所以d”=4m2+4,故A错误；

2

因为|AB\=\AF\+\BF|=X1+X2+4=8m+8=2d”,

所以以|AB|为直径的圆的圆心M到/的距离为红1,

2

即以|A31为直径的圆与/相切，故B正确；

1144

同理，x+x=(%+”)+4=8—y+4,所以％N=f+2,yN=---，

34mmmm

Q

\ED\=\EF\+\DF|=&+Z+4=F+8，

m

8

则|AB|+1西|=8加92++16232,当且仅当加二±1时等号成立，故C正确；

m

1MN1=J(XM_/『+(为一%)=J'加2一21+[4加+：1=4^m4+-^+m2+-^.

设m—T=t，则m—7=/22,m4-\—-=厂—2,IMN1=4，尸+)—2-

m~m~m

当/=2时，即加=±1时，|MN|最小，这时XN=%M，故D正确，

故选:BCD.

【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，

解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离

的计算，比较繁杂，要细心运算.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到

代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.

3

【答案】一##0.75

4

【解析】

【分析】设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式

..../।\P(AB)

代入求解出P(A)与P(AB),再代入条件概率公式尸(用A)=「二洋即可求解.

【详解】设事件A：第1次抽到代数题，事件8：第2次抽到几何题,

3

3

则P(A)=|,P(AB)=jx|=A,所以P(3|A)=^^=

10-

2一-

14

5

3

故答案为：一

4

13.在(1-2x)5(2+x)展开式中，/的系数为.

【答案】80

【解析】

【分析】由二项展开式的通项求解即可；

【详解】(1-2x)5(2+X)=2(1-2X)5+X(1-2X)5,

二项式(1—2x)5的展开式的第厂+1项为&]=C：(―2丫£,

令厂=3,贝！]7；=C；(—2丫/=—80/，令厂=4,贝i]7；=C：(―2『无，=8(1?,

则(1—2x)5(2+”展开式中，%4的系数为2x80-80=80.

故答案为：80.

14.已知函数“X)是定义在R上的偶函数，记/'(X)为函数/⑺的导函数，且满足f(x)+/'(x)=

Y

ex-e~x+2xex贝！1不等式+的解集为.

【答案】(-8,1)

【解析】

【分析】利用偶函数的导数必为奇函数，可求得了(X),再代入不等式构造函数即可求解.

【详解】因为/(X)是定义在R上的偶函数，所以/'(—)=/'(>)，故[/(—x)]'=r(x),

又［/(一力］=(f)'r(f)=—r(—x)，所以一r(一力=/(%)，即r(一司=—r⑴，

所以f'(x)是定义在R上的奇函数；

又因为〃x)+/'(x)=e'—£+2xe”,

所以/(-%)+/"(-x)=e~x-ex-2xe~x,gp/(%)-/'(%)=e~x-ex-2xe~x,

两式相加，再整理得：f{x}=xe-xcx,所以由/(x)+W<e得xe'-xe'+3ve,即B<e,

ee

令〃(x)=xcx-e,则"(x)=e*+xe*=(x+l)e",

当了<-1时，h'(x)<0；当x>-l时，”(x)>0,

所以八(x)在-1)上单调递减，在(-L+。)上单调递增，

又因为MD=lxe—e=0,所以在(T,+“)上，由〃(x)<0=〃⑴，解得％<1：

又当xV-1时，x<Q,>0>即xe*<O<e,故xe*-e<0，即%(久)<0,

综上：/z(x)=xeX—e<0的解集为{x|x<l},故/(x)+g<e的解集为{x|x<“.

故答案为：(—8,1)

【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关

系是解决本题的关键.对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接根据解析式来解不等式非常

麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质将函数值的大

小关系转化为自变量的大小关系即可得到解集.

四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知a,6,c分别为△ABC内角A,3,C的对边，且(2Z?—a)cosC=c-cosA

(1)求角C；

(2)若0?=2a。,□ABC的面积为百，求a+6的值.

7T

【答案】(1)-

3

(2)26

【解析】

【分析】(1)结合正弦定理，边化角即可求解角C；

(2)结合三角形面积公式与余弦定理求解(a+b)2,即可得a+人的值.

【小问1详解】

解：•・•(2/?-4i)cosC=c-cosA,

.e.由正弦定理得(2sin_B—sinA)cosC=sinCcosA,

所以2sin8cosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sing,

由于BG(O,7I),所以sinBwO,则cosC=Q,又。£(0,兀)，所以C二^；

【小问2详解】

解：由(1)WsinC=,S=—absinC=—abx=^3»...〃/?=4

2222

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=lab,

(a+b)2=c2+3ab=Sab=20,

a+b=2>/5.

16.如图，四棱锥P-ABCD中,平面PAD1平面ABCD,底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=2DC=2百，

ACcR且△PA。与AABD均为正三角形，G为△PA。的重心.

（2）求平面玄。与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）9.

7

【解析】

AF7AB

【分析】⑴设尸D的中点为E，连接AE,CE,GF,由AB〃CD,AB=2DC=273.可得而=而=2,

A（Z

由G为△PA。的重心，得——=2,所以可得GE//CE,从而由线面平行的判定定理可证得结论；

GE

（2）设。为AD的中点，△PA。为正三角形，则尸结合已知条件可得平面ABCD,从而

过。分别作BC，的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可

【详解】（1）设PO的中点为E,连接AE,CE,GF.

AB//CD,AB=2DC=2s/3，ACnBD=F,

AFAB6

----=-----=2.

FCCD

又为△PA。的重心G,

「¥=2,

GE

,AGAF

"~GE~~FC

.'-GFIICE.

X'.-GFczffiPDC,CEu面尸。C,

GE//平面尸。C

(2)设。为AD的中点，△%£)为正三角形，则PO_LA£).

..•平面PAD±平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

POJ_平面ABCD.

过。分别作BC,A2的平行线，建系如图.

rm03)3也](33V3]

I22)I22J

易知平面PAD的法向量1=(l,V3,0).

设平面PBC的法向量为%=(x2,y2,z2),

—.(33G、_.

，PB=-,^-,-3，5C=(-3,0,0),

I'7

.而・后+孚%—3Z2=0,

BC-n2=-3X2=0,

从而，平面B4O与平面P5C所成锐二面角的余弦值为

7

17.已知椭圆C：[+4=1（。〉/,〉0）的离心率为坦，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.

a2b22

（1）求椭圆C的方程;

（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A,3分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于

点C,直线MA与y轴交于点，求四边形A3CD的面积.

【答案】（1）—+/=1

4

（2）2

【解析】

【分析】（1）根据离心率及通径长得到方程组，求出。、b,即可得到椭圆方程；

（2）设>0,n>0）,表示出直线8M、AM的方程，即可得到无C、打，最后根据

S四边形ABCD=；|AC|•忸必计算可得.

【小问1详解】

因为离心率为22,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1,

2

a2

*a=2Y2

所以《解得，，，所以椭圆的方程为上+丁=1.

ab=l4

a2=b-+c-

【小问2详解】

因为椭圆C的方程为?+y2=i,所以A(—2,0),3(0,—1),

设M(加,〃)(m>0,〃>0),

扑777+1

贝u丝+〃2=1,即加2+4/=4,则直线的方程为丁=——X-1,

4m

77777

令y=o,得％=—L,同理，直线AM的方程为丁=——(x+2),

n+1'??1+2v7

人八2n

令x=0,得为=-----，

m+2

所以S四边.。。=4^卜怛M=二旦+$2+1='册+2：+2)：

四边形ABC。2IIII2n+1||m+22(m+2)(n+l)

1m2+4n2+4+4mn+4m+8n14mn+4m+8〃+8

—..--------------------------------------------——---------------------------=2,

2mn+m+2n+22mn+m+2n+2

所以四边形ABCD的面积为定值2.

18.已知函数/(x)=eX-ax,g(x)=lnx—ox,aeR.

⑴当a<e时，讨论函数/(x)的零点个数

(2)记函数R(x)=〃x)-g(x)的最小值为m，求G(x)=e'-e勺nx的最小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)0

【解析】

【分析】(1)求导，分a<0、。=0和0<a<e三种情况，利用导数判断了(x)的单调性和最值，进而分

析零点；

(2)对/(力求导，分析尸(x)的单调性和符号，即可得E(x)的单调性和最值,结合零点代换可得力>2,

再对G(x)求导，利用导数分析其单调性和最值，结合零点代换分析求解.

【小问1详解】

由题意可知：/(X)的定义域为(7,+℃),/'(x)=e"-a.

①当a<0时，/,(x)=e¥-«>0,可知/(x)在定义域内单调递增，

且/⑼=1,fQ^|=e«-l<0,所以函数〃x)有唯一零点；

②当。=0时，/(x)=e'〉O恒成立，所以函数“X)无零点；

③当0<a<e时，令解得x<lna；令/'(x)>0,解得x>lna；

可知/(x)在(-°0,lna)内单调递减，在(ina,+8)内单调递增.

则/(%)>〃lna)=elnfl-alna=tz(l-lntz),

故当0<a<e时，f(lna)>0,即/(x)〉0,所以函数无零点；

综上所述，当OWa<e时函数/(x)无零点；当a<0,函数/(x)有且仅有一个零点.

【小问2详解】

由题意可知F(x)=e"-Inx的定义域为(0,+。)，且/(x)=e，—L

令〃(x)=e*-L则〃(%)=e*+4>0,

xx

可知力(X)在(0,+8)上为增函数，即尸(X)在(0,+e)上为增函数.

且b'(l)=e—1〉0,=捉—2<0,

可知尸(%)在(0,+")上存在唯一零点/,

则尸(x())=e而一"-=0,可得x0=-lnx0,

X。xo

当xe(O,Xo)时，F,(x)<0,尸(x)在(0,%)上减函数;

当xe(xo，+。)时，F,(x)>0,E(x)在(%,+oo)上为增函数；

可知E(x)的最小值帆=R(%o)=eXoT叫)〉2

又因为G(x)的定义域为(0,+动，且G'(x)=ex

X

m

且丁=1,、=----在(0,+oo)上为增函数，可知G'(x)在(0,+力)上为增函数,

—=emfl--1>0,

因为根〉2,则G'(l)=e—e"<0,G,(m)=em

m\m)

,e

可知G'(x)在(0,+oo)上存在唯一零点国则G'(xJ=e甬----=0,

x\

当xe(O,xJ时，G'(x)<0,G(x)在(0,xJ上为减函数；

当xe(xi，+co)时，G'(x)>0,G(x)在(石,+00)上为增函数，

¥,m

所以G(x)的最小值为G(x1)=e-eln不，

葭

因为e*二——,则须二加一1口玉，即加=%+ln%，

%

xi1.1।1,1

又因为冽=e0—InXQ-FIn—,可得再+In玉=FIn—,

%o%%o/

/、1

且函数y=x+lnx在(0,+”)上为增函数，所以芯=一,

xo

1

1Y1111Tl<1—

—rJ曰一1——+ln—1-1一「％

m0?

可得G(xJ=e%-e-In一二e%-e^In一=e殉H----e^-lnx0=——(x0+Inx0)

%x0%

又因为％+lnXo=0,即G(%)=0,所以G(x)在(0,+oo)上的最小值为0.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法

(1)若求极值，则先求方程/'("=0的根，再检查厂(力在方程根的左右函数值的符号;

(2)若探究极值点个数，则探求方程/'(x)=0在所给范围内实根的个数.

(3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程/'(%)=0根的大小或存在情况来求解；

⑷求函数“X)在闭区间目的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值〃a),f(b)

与/(x)的各极值进行比较，从而得到函数的最值.

19.设数列｛4｝的前〃项和为S,对一切“eN,"21,点都在函数/(%)=》+”图象上.

(1)求q,出，为，归纳数列｛凡｝的通项公式(不必证明)：

(2)将数列｛%,｝依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(％)、(&,%)、(。4，。3，。6)、(%,。8，旬，。10)、

(%1)、(42，弓3)、(％4，％5，％6)、(％7，％8，％9，40)、(的)、…，分别计算各个括号内各数之和，设由

这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为也J,求4+4oo的值；

(3)设4为数列1冬匚的前几项积，若不等式4百币'(/(a)-3三对一切〃eN*都成立，求a

[an\2a

的取值范围.

【答案】(1)