广西玉林市六校2024-2025学年高二年级上册期中联考数学试卷

广西玉林市六校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线/=4X的焦点到其准线的距离为（）

1

A.2B.1C.2D.4

2.经过/（_2,0）”（-5,3）两点的直线的倾斜角是（）

A.45。B.135。C.90°D.60°

3.己知直线/的方向向量为£=2），平面a的法向量为£=（2,2,4），贝心与。的关系是

（）

A-ZiaB-IHaC/与c相交）l"a或lua

4.以直线/：工+（机+2）夕_3-机=0恒过的定点为圆心，半径为人的圆的方程为（）

A，x2+y2-2x-2j=2x2+y2-2x—2y-l

C.x2+y2-2x-2y+1=0D.x2+y2-2x-2y=0

5.已知Z=（-2，1，3）1=（T1,1）,若力伍-阿，则实数，的值为（）

A.一2B.--C.-D.2

33

6.已知椭圆无『+片=1的左、右焦点分别为片，瑞，点尸为“上一点，若PRSFZ,

93

试卷第11页，共33页

则△与尸尸的面积为（）

35

A.3B.5C.-D.2

22

7.如图，在直三棱柱44G中，V45C是等边三角形，AA\=6,AB=2,则点。

到直线4月的距离为（）

4J________G

B

A.B,^23c,2^D,巫

3333

8.已知抛物线c：/=2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为2,过焦点厂的直线/与抛物线

交于45两点，贝U2M/|+3忸川的最小值为（）

A.V6+-B,276+5c.4^6+10D,11

二、多选题

9.已知抛物线c：x2=4y的焦点为尸，。为坐标原点，点”（看,%）在抛物线C上，若

”|=5,则（）

A.尸的坐标为（1,0）B./=±4C.%=3D.

试卷第21页，共33页

\OM|=472

10.已知直线4：ax+y-3〃=0,直线4：2x+（a-l）y-6=0'则（）

A.当a=3时，4与乙的交点为（3,0）

B.存在awR,使/J//2

C,若《，4，则

D.直线4恒过点（3,0）

11□上n尸I222扇/\2/入\22,（r＞0，且。，b不同时为0）

H.已知回0］：工2+『=/,圆。2：（工一。）+（＞-b）=r

交于不同的两点小，必），B（x2,y2）＞下列结论正确的是（）

A.伞-切+6（凹-%）=。B.2叫+2加=/+^

C.x,+x2=aD.yi+y2=2b

三、填空题

12.已知£=（I,O,_I）［=（2,1,1），则3%+B=----

13占“在椭圆二+J1上，尸是椭圆的一个焦点，"为""的中点"川=3,则

259

\MF\=-----

14.已知四棱锥尸-/BCD,尸4_L平面/8CD，底面NBCD为矩形，NB=2,/M=4£»=4,E

试卷第31页，共33页

生P4上Fy,CD匚上什PFBEF二tn谷钻TH/古48口-CF=

为1的V中ll点，为上一点，右与平面所成角的正弦值为一，则____

33

四、解答题

15.已知圆M：x2_2x+V+4y_10=0・

(1)求圆M的标准方程，并写出圆w的圆心坐标和半径：

⑵若直线x+3y+C=0与圆〃交于43两点，且,却=2右，求C的值.

16.已知四棱锥尸-4BCD中，底面N5CD是正方形，尸£)_1平面/38,尸。=/3=1,£是

总的中点.

P

(1)求直线BD与直线PC所成角的大小；

(2)求点B到平面ADE的距离.

17.已知双曲线c：=一1_=1(.>0,6>0)的虚轴长为2,且离心率为半.

(1)求C的方程和焦点坐标；

(2)设C的右焦点为尸，过尸的直线交C于43两点，若中点的横坐标为3,求|/叫.

18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架/Be。，/a跖的边长都是2,且它们所在

的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线ZC和2尸上移动，且M4和NF的长

度保持相等，记MA=NF=a(0<a<2叵)，

试卷第41页，共33页

c

(I)求儿w的长；

(2)当儿W的长最小时，求平面.与平面夹角的余弦值•

19.对于椭圆：4+4=1(«>6>0)>我们称双曲线：片一片=1为其伴随双曲线.已知椭

a2b2V7a2b2

22

圆C:争今=1(0<6<6)，它的离心率是其伴随双曲线,离心率的旦倍.

(1)求椭圆C伴随双曲线「的方程;

(2)点厂为「的上焦点，过尸的直线/与「上支交于45两点，设A/8。的面积为S,

ZAOB=e(其中。为坐标原点).若闸=63求S

tan0

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案CBADCACBBDACD

题号11

答案ABC

1.C

【分析】由抛物线标准方程即可求得焦准距0.

【详解】由抛物线/=4x可得P=2，

而抛物线的焦点到准线的距离为0=2.

故选：C.

2.B

【分析】根据斜率的两点式公式和定义求解.

【详解】经过“（一2,°）］（T3）两点的直线的斜率为七二_=一1,

AB-5+2

设该直线的倾斜角为a，贝1

又0°Ma<180°'所以a=135。.

故选：B

3.A

【分析】根据方向向量与法向量平行，即可判断.

【详解】由向量3=（1,1,2）,方=（2,2,4），得1=22，

所以0//〃，所以

故选：A

4.D

【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程.

【详解】由X+（加+2）y-3-加=0'得x+2y-3+（y-l）"z=0'

答案第11页，共22页

令尸1=0,则「=1,

[y=i

贝帼的方程为（x—］『+Q—丁=（啦J,即/+/_2》_2y=0,

故选：D.

5.C

【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解.

【详解】因为向量£=（一2,1,3）》=（-1,1,1），

又a_L（a-2加），贝°a•（a-4加）=a2-A（z-S=（4+l+9）-A（2+l+3）=0,

整理得到14一6"°,解得4」，

3

故选：C.

6.A

【分析】根据椭圆的定义和勾股定理计算求得归耳H吵|=，再由三角形面积公式计算即

可.

【详解】由椭圆的定义可知，户耳㈤尸用=6，且闺用=26，因为咫_LPF,，

所以附『+归£「=|耳月「=24,又（|尸国+|竹正=36,

故附惟|=,所以附卜1%=3.

故选：A.

7.C

【分析】取NC的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系。-中z，根据点到线距离的向

答案第21页，共22页

量求法和投影的定义计算即可.

【详解】取NC的中点0，则8OLNC,且20=0，

以。2所在直线为x轴，。。所在直线为y轴，。与4a中点连线所在直线为z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系。-孙z，

因为/（0,-1,0）田（V3,0,V2）,C（0,l,0）,则福=（64,上），第=（0,-2,0）,

\CA-AB\_2

CAABX

所以在上的投影的长度为

V63

8.B

【分析】（方法一）首先求出抛物线。的方程为y=4x，设直线/的方程为：x=ty+\，

与抛物线C的方程联立，利用根与系数的关系求出再迎的值，再根据抛物线的定义知

\AF\=x,+\^\BF\=X2+\'从而求出2Hpi+3忸尸I的最小值即可•

答案第31页，共22页

（方法二）首先求出《+」=1,再利用基本不等式即可求解即可.

【详解】（方法一）

因为抛物线。的焦点到准线的距离为2,故°=2，

所以抛物线C的方程为产=4门焦点坐标为尸骨1，0口，

设直线/的方程为：％=川+1,4（再,%）,5（%2，%），不妨设

联立方程卜2=4x,整理得俨-49-4=0,贝”+%=今/办=-4,

[x="+1

22

故平，=旦•匹=1，

1244

又,\BF\=x2+^=x2+\,

贝”2|/司+3怛尸|=2（X]+1）+3（%+1）=2X1+3X2+5N27^^+5=2#+5，

当且仅当尤=1x=逅时等号成立，故291+3忸川的最小值为2指+5.

勺-2，2—3

故选：B.

（方法二）由方法一可得玉马=1,则乙+4='+—X[+x?+2=],

\AF\\BF\王+1x2+1xrx2+玉+/+1

答案第41页，共22页

因此2朋+3网11?)\BF\

=（2|/川+3忸修声+阮

对2陆调小2M

当且仅当|/尸|=1+1，忸尸|=1+半时等号成立,

故2|//|+3忸川的最小值为2&+5・

故选：B.

9.BD

【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A,由抛物线定义可判断BC,

由两点间距离公式可判断D.

【详解】对于A,抛物线c：x2=4了的焦点为尸（0,1），准线方程为了=-1，故A错误；

对于BC,由抛物线定义可得也用=5=%+1，所以为=4，¥=16,解得/=±4,故B正

确C错误；

对于D，|OM|=716+16=472»故D正确•

故选：BD.

10.ACD

【分析】根据两直线方程及位置关系直接判断.

【详解】A选项，当a=3时，直线4：3x+y-9=0，直线（：2x+2y-6=0，

联立产+y-9=0,解得卜=3,

[2x+2y-6=0[y=。

所以两直线的交点为（3,0），A选项正确；

B选项，假设存在aeR,使〃4，贝！la（a_l）-lx2=0，解得a=2或a=-l，

答案第51页，共22页

当。二2，4：2%+歹一6=0，（：2x+y—6=0，两直线重合，舍去，

f

当Q=_1时，4：_x+y+3=0，即x—y—3=0,/2:2x-2y—6=0即x—y—3=0,两直线

重合，舍去，

所以不存在Q£R,使B选项错误；

C选项：若4”,则QX2+1X（"1）=。，解得"LC选项正确；

3

D选项,直线4：办+、_3。=0,即〃（工_3）+'=0,

令1x-3=0,即1x=3,所以直线4恒过点（3,0）,D选项正确；

[y=0[y=0

故选：ACD.

11.ABC

【分析】利用圆的公共弦所在直线方程可判定A,B,利用圆半径相同，再根据圆的性质

判定圆心连线与公共弦垂直且平分，利用中点坐标公式可判定C,D.

【详解】圆G：/+y2=/和圆°2：（＞0）2+3-6）2=/（『＞0）交于不同的两点A，B,

22J

・••两圆方程相减可得直线45的方程为：a+h-2ax-2by=0

即2QX+2勿-/—/=°,分别把点5（x2，%）两点坐标代入

2222221

2ax+2by-a-b=0得：2ax{+2by1-a-b=02ax2+2by2-a-b=0

上面两式相减得：2a（芯—％2）+2“%—％）=0，

即再-%2）+人（%-%）=0,所以选项A正确;

由上得：23+2加=/+/，所以选项B正确；

・・•两圆的半径相等，・・・由圆的性质可知，线段45与线段GG互相平分，

答案第61页，共22页

则百Xj+Z.O+a_ayt+y2O+b_b

、222'~

变形可得再+x,=a，必+为=6,故C正确，D错误.

故选：ABC

12-（5,1,-2）

【分析】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可.

【详解】因为a=（1,0,一1）3=（2,1,1），所以31+5=3（1,0,-1）+（2」,1）=（5,1,-2>

故答案为：（5,1,-2）•

13.4

【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得|四尸，|,再由椭圆定义求解|必7|

即可.

【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设尸为左焦点，尸，为右焦点，

由椭圆《+上=1，得。=5,2a=10,

259

QN是MR的中点，O是尸尸'的中点，

.1ON为△尸的中位线，

MF'\=2\ON\=6,

由椭圆的定义得|旅|=2a-|〃F1=10-6=4.

答案第71页，共22页

故答案为：4.

14.1

【分析】运用线面垂直性质，结合题意建立空间直角坐标系，然后用向量法表示出线面角

的正弦值，进而反求出=r

【详解】因为尸建,平面/8CO,底面/BCD为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得8(2,0,0),E(0,0,2),P(0,0,4)，设尸(a,4,0)，则

5£=(-2,0,2),5F=(a-2,4,0),PF=(a,4,-4),

yc倒[BE-n=0,f-2x+2z=0,

设平面BE尸的法向量为n^lx,y,z^,则而万=°即[,_2)x+4y=0,

y=2-a

为=(4,2-a,4)_PF-n8

令,贝l|,所以gs〈尸尸，研=HI

网同732+a2•J/-4a+3633

解得°=1，即CF=2_a=]•

15.⑴(计1)2+3+2)2=15,圆心坐标M(l,-2),半径为后

(2)c=i5或一5

【分析】(1)配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；

(2)由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案

答案第81页，共22页

【详解】⑴由/_2x+「+4y_]0=0，得/_2x+l+y2+4y+4=]5.

则圆Af的标准方程为（x-l）2+（＞+2）2=15，

圆M的圆心坐标M（l,-2）,半径为后.

\AB\=2A/5Mx+3y+C=0I/>.„,y

（2）由，得圆心到直线的距离为』15-=VW,

则圆〃到直线……的距离"』得

⑹（呜

⑵遮

2

【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角；

（2）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.

【详解】（1）以点。为原点，分别以小，DC'分所在直线为X，y，z轴，建立如图

空间直角坐标系.

由题意迎。。，汨。。。‘加⑼，‘哈

设直线8。与直线PC所成的角为

答案第91页，共22页

因为丽=(一1,-1,0)，PC=(O,1,-1)-

阿明11

COS0=HR=VCT=P

所以直线BD与直线PC所成角为色；

3

(2)因为刀=(1，°，0),左=(0/，一1),诙=(；,；,；)，

所以应A=lx0+0xl+0x(-1)=0，

—►—111

DE-PC=0x-+lx-+(-l)x-=0,

222

则PC=(0,1,-1)为平面ADE的一个法向量，

设点3到平面/QE的距离为d，则d为向量历在向量无=(O,LT)上的投影的绝对值,

丽=)

由(i,i,o‘得八\D邛BP」C\=正1=3/y'

所以点3到平面的距离为也.

2

17.⑴方程为X_/=i，左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0)

3

⑵2G

【分析】(1)根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出°的方程；

(2)联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得|48|=26.

答案第101页，共22页

【详解】（1）因为。的离心率为e=£=2叵，又。的虚轴长为2,所以助=2

«3

又。2=/+/，

联立解得/=3，/=U=4，

所以C的方程为X-式=],左、右焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）.

3

（2）由（1）知尸（2,0），

根据题意易得过尸的直线斜率存在，

设”的直线方程为了=左（尤-2）,2（町,左）1也,力），如下图所示：

'y=k(x-^(1-3A:2)X2+12FX-12A:2-3=0

联立J，化简得

---/=1

13,

12k2+3

所以为+xB二洋工

'B3k2-1A%=3r-1，

JR

因为中点横坐标为3'所以x，+无8=3后2_]=6'

解得所以15

F=l,X/B=—,

2

则22

(与-XB)=(XA+XB)-4-XAXB=62—4x—6,

答案第in页，共22页

贝I\AB\=+阴6_XB)=7276=2A/3.

18.(1)|MN|=J4-2ga+4

【分析】（1）依题建系，求出点M,N的坐标，利用两点之间的距离公式计算即得；

（2）根据（1）的结论求得&=即得点的坐标，取的中点G,连接NG，

BG，证明//G8是平面与平面ACV5的夹角或其补角，利用空间向量的夹角公式计算

即得.

【详解】（1）由题意可知，直线8C、BE、8/两两垂直，可以点B为原点建立如图所示

的空间直角坐标系.

则N(2,0,0),C(0,0,2),下(2,2,0),^(0,2,0),

因为皿-NF一a,所以孚,0,半），以2—学,2—半,0”

所以|MV|=^(2-^|^)2+(^|^)2=，储_2缶+4,

(2)由(1),已得|MN|=Jar_2&a:+4=q(a-6丫+2,

答案第121页，共22页

因O<c<20，则当a=a时，IWI取得最小值为

此时，A1,N分别为尸的中点，则A/(1,O,1),N(1,1,O)，取MN的中点G,连接/G，

BG,

则因为=BM=BN,所以BG1MN

故乙4GB是平面与平面的夹角或其补角，

—.11UUH11

因为6/=(1,—于一5),G5=

775\GA•GB"4+4]

所以cos〈G4G5〉==%],

|LrA|•|(.7£>|7b7bJ

x

2--2

故平面与平面Mg夹角的余弦值是g.

19.(i)r+x2=1

3

17

⑵了

【分