广西百色市平果市某中学2025届高三年级上册开学收心考试数学试卷（解析版）

高三上学期开学收心数学考试卷

姓名：班级：考号：

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,函数/(x)=lnx—1的零点为()

A.eB,2C.(e,0)D.(2,0)

【答案】A

【解析】

【分析】由函数单调性及/(e)=0,求出答案.

【详解】/(x)=lnx—1在(0,+动上单调递增，又/(e)=lne—1=0,

故函数/(x)=lnx—l的零点为e.

故选：A

2.“tantz>0”是为第一象限角”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分必要的定义，结合正切函数，即可判断选项.

7T

【详解】若tana〉0,则E<a<—+左兀，keZ,为第一象限或第三象限角，

2

反过来，若a为第一象限角，则tana〉0,

所以“tana>0”是为第一象限角”的必要不充分条件.

故选：B

3.在V45C中，已知5(—3,0),C(3,0)且V48C的周长为16,则顶点A的轨迹方程是()

D.=1("0)

1625

【答案】C

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【解析】

【分析】

由周长得到+|/C|=10>6,利用椭圆定义写出点A的轨迹方程.

【详解】由条件可知|/却+|/。|+忸q=i6,忸，=6,

.•148|+|阳=10>6,

・・•点A是以反C为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且2。=10,2c=6,

a2=25,c2=9,Z)2=25-9=16

，顶点A的轨迹方程是土+匕=l(y#0).

2516I7

故选：C

4.在正方体ABC。—481G3中，P为CG的中点，£为G4的中点，尸为与G的中点，。为昉的中点,

直线尸£交直线于点。，直线尸产交直线8用于点尺，则()

A.AO=-AP+-AQ+-ARB.AO=-AP+-AQ+-AR

777244

--5—•2--2—■

C.AO=-AP+-AQ+-ARD.AO=-AP+-AQ+-AR

366999

【答案】B

【解析】

【分析】先以五彳，赤，而为基底，表示出Q,而，刀，然后解向量方程组，用Q,而,7天表示出

五彳，AB-AD'再由N4，AB)石与刀的关系可得.

1一二一一

—a+b+c=AP

2

---------►_____._UUUL±3一一——

【详解】记/4=4,AB=b，AD=c，则＜—a+b=AR

2

3——

—5+c=AQ

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2—---—.

a=-(AR+AQ-AP)

解得《5=2衣—士3功

555

3—■2——3——

c=——AR+—AQ+—AP

555

—•2—•—•—■3(2—•3—•3—•3—•2—•3—

所以Z0=—(ZR+ZQ—ZP)+--AR--AQ+-AP+--AR+-AQ+-AP

541555555J

整理得不5=L舒+!而+工标.

244

故选：B

5.设加，〃是两条不同的直线，a、£是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若加〃a,n//a,则机〃"

B.若a〃£,mUa,〃u£,贝!|加〃”

C.若aC£=m,nUa,〃_!_a,则"_L£

D,若._La,m〃n,nU0,贝！Ja_L£

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断.

【详解】若"z〃a,〃〃a,，〃,“可以相交、平行或异面，A错;

若a〃0，mua,nug则掰，〃可能平行也可能异面，B错；

若aCJ3=m,nUa,nA.m,如果有a_L夕，则有"_L，，如果没有a_L，，则〃与万不一定垂直，C错;

若m//n,则”_La,又〃u£,贝！Ja_L£,D正确.

故选：D.

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6.已知点2(4,4)在抛物线j?=4x上，/是抛物线的焦点，点尸为直线x=-l上的动点，则归H+|尸尸|的

最小值为()

A.8B.2713C.2+V41D.V65

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为E(1,O),设点2(4,4)关于x=-l的对称点为4(-6,4),得出

归下|=归/[,得到当且仅当点尸为直线与x=-1的交点时，|/训+|抒1取得最小值，结合两点间距离

公式，即可求解.

【详解】由抛物线F=4X,可得焦点为尸(1,0),准线方程为x=-1,

如图所示，设点2(4,4)关于》=-1的对称点为©,则4(-6,4),

可得归目=|上4],当且仅当点P为直线与x=-1的交点时，|/训+归可取得最小值，

则忸留+|PF|=|24|+|24[=\A'F\=7(-6-1)2+(4-0)2=V65，

即归4+归户|的最小值为相.

7.在《周易》中，长横表示阳爻，两个短横表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,

共有23=8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻

和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八

种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同

的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是()

595

B.D.E.均不是

716168

【答案】B

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【解析】

【分析】由题意，基本事件的总数为〃=26=64,这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为加=煤=20,

由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.

【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，

基本事件的总数为〃==64，

这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为加=C：=20,

m205

所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是尸=

n6416

故选：B.

8.已知/(x)=eX—x,g(x)=x—lnx,不等式/(x)〉g(ax),对满足当x>1且ax>1时恒成立，则。的

最大值为()

A.1B.2C.eD.e2

【答案】C

【解析】

【分析】由/(x)=g(e),结合函数g(x)的单调性化简后求解，

【详解】g'(x)=l—L则当0<x<l时，g'(x)<0,x>l时，g'(x)>0,

故g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+8)单调递增，

当x>l且ax〉l时，/(x)=g(ex)>g(tzx),

得即J在x>l且ax〉l时恒成立，

令〃(x)=幺，则/z'(x)=—,当0<x<l时，h\x)<0,x>l时，h\x)>0,

XX

/z(x)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，A(l)=e,

故。的最大值为e,

故选：C

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个

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选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.

9.若正实数。，b满足a+6=1,则下列说法正确的是()

A.ab有最大值:B.G+JF有最大值血

11r>

C.—+—有最小值4D./+〃有最小值

ab2

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断A的正误，利用A的结果可判断BC的正误，利用反例可判断D是错误的,

故可得正确的选项.

【详解】因为正实数a,6满足a+b=l,所以l=a+bN2j法，

所以。64工，故当且仅当。=6=工时等号成立，

42

故ab有最大值;，A正确；

由A可得(6+VF)=a+b+2y[ab=1+2yfab<1+1=2,

当且仅当。=b=；时等号成立，故&+JF有最大值、回，B正确；

-+-=^=—>4,当且仅当a=6='时等号成立，

ababab2

故—有最小值4,C正确；

ab

^a=b=-,此时/+62=工<1,所以/+〃的最小值不是包，

2222

故D错误，

故选：ABC..

10.下列命题正确的是()

A.已知变量x,了的线性回归方程J=0.3x—亍，且歹=2.8,则元=—4

B.数据4,6,7,7,8,9,II,14,15,19的75%分位数为11

C.己知随机变量X〜B(7,0.5),P(X=B最大，则左的取值为3或4

D.已知随机变量X〜N(0,l),0(XN1)=夕，则尸(―l<X<0)=g—0

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【答案】ACD

【解析】

【分析】根据回归直线方程必过样本中心点(京亍)求出亍，即可判断A,根据百分位数计算规则判断B,根

据二项分布的概率公式及组合数的性质判断C,根据正态曲线的性质判断D.

【详解】对于A：因为回归直线方程必过样本中心点15),

所以2.8=0.3嚏一元，解得了=一4，故A正确；

对于B：因为10x75%=7.5,所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为14,故B错误；

对于C：因为X〜5(7,0.5),所以P(X=k)=C；x[],(0<左<7且keN),

由组合数的性质可知当左=3或左=4时C；取得最大值，则当左=3或左=4时P(X=k)最大，故C正确；

对于D：因为X〜N(0,l)且P(X»1)=夕，

所以尸(X<—1)=尸(X21)=)，

则尸(―]<X<0)=/(—1<1)=(x<—1/(X〉[)]=故D正确

故选：ACD

11.已知定义在R上的函数了=/(x)满足,且+为奇函数，=,

/(0)=2.下列说法正确的是()

A.3是函数y=/(x)的一个周期

3

B.函数y=/(x)的图象关于直线x=w对称

C.函数y=/(x)是偶函数

2023

D.之/㈤=-1

k=\

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据/卜-1]=-/(x)可得/(x-3)=/(x)即可确定周期求解选项A；根据为奇函

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数,可得/卜+?)=-/1+[]

即可求解选项B；根据题设条件可得/(-x)=/(%)即可求解选项C；

利用函数的周期性和函数值可求解选项D.

【详解】对A,因为/

所以==,即/(x—3)=/(x),

所以3是函数y=/(x)的一个周期，A正确;

对B,因为/

所以函数y=/(x)的图象关于点中心对称，B错误；

对C,因为/[-X

所以/I'—{!+:=一/1一9+9]=—"")，

即/，X+野=一/(x)=/—野，即/(—X)=/(X),

所以函数y=/(x)是偶函数，C正确；

对D,/(1)=/(-1)=-1,〃2)=/(-1)=-1,/(3)=/(0)=2

所以/⑴+/(2)+/(3)=0,

所以

2023

(左)=[/⑴+/(2)+/(3)]+[/(4)+/(5)+/(6)]+L[/(2020)+/(2021)+/(2022)]+/(2023)

k=l

=/(2023)=/(1)=-1,D正确；

故选:ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量X服从N(1Q2),若P(X20)=0.8,则尸(1VX<2)=.

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3

【答案】0.3##—

10

【解析】

【分析】利用正态曲线的对称性可求得尸(1<X<2)的值.

【详解】因为X〜N0,/),则pg/」之。,。)」-2X,0.8)=03

故答案为：0.3.

Ci

13.设V45C的内角Z,8,C的对边分别为a,"c,若°=2丁5，cosC=-.cosZ=—,则

33

【答案】V6

【解析】

【分析】先根据同角三角函数关系求正弦值，再应用正弦定理即可.

【详解】因为cos。二立，所以sinC=Jl—cos20=立,因为cos/二,，

333

所以siivl=Vl-cos271=2也，

3

、厂ca”…asinC汇

因为a=2j2,1—=——，所以c=-；---=\6.

smCSIIL4SIIL4

故答案为：y[6

14.如图，在三棱锥力—BCD中，40，力氏45=40=2,为等边三角形，三棱锥力—BCD的体

【答案】47r(5-2收)

【解析】

【分析】以/为坐标原点建立空间坐标系，根据条件求出C坐标，因为△48。为直角三角形，故球心O

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在过中点且与面垂直的方向上，设球心。坐标，根据=求得。坐标，可求得外接球的

表面积.

过。作，面4&D于〃，

111?

则三棱锥A-BCD的体积为V=-S^ABD-CH=-x-x2x2-CH=-,所以CH=1,

取40中点M,连接CW,MH,

因为A/CD为等边三角形，所以4DLCN,

又面4&D,4Du面4&D,所以4D，C〃，

又CMcCH=C,所以面CWf,

MHu面CMH,所以

在RSCNH■中，CM=43,CH=1,所以MH=亚,

以48,40为X/轴，垂直于48,40方向为z轴，建立如图所示空间坐标系,

设球心。，。在面4&D的投影为N,

由=\0B\=得|M4|=|A®|=|A©|,

所以N为RtZUAD的外接圆圆心，所以N为RtzXZAD斜边的中点，故设。（11,。，

由=得仔+干+/=（正一1『+（]一1）2+1—]）2,解得,=1—

所以氏2=[04『=]2+]2+（]—拒『=5—2逝，

故外接球的表面积为4成2=4兀（5-2后），

故答案为：4TI（5-2A/2）

【点睛】关键点点睛：此题直接求球心或半径有一定的难度，先是确定球心在过面48。的外心且与面46。

垂直的线上，设球心的坐标，利用球心到各顶点的距离相等求出坐标，从而求得球的半径.

四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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15.在VZBC中，。ec分别为角Z,8,C所对的边.在①(2a—c)cosB=Z?cosC；②C以•BC>=2S&&BC；

③sin8+sin[5+。]=百这三个条件中任选一个，作出解答.

(1)求角3的值；

(2)若V4BC为锐角三角形，且6=1,求V48c的面积的取值范围.

<Z7

【答案】条件选择见解析；(1)(2)一.

3164

【解析】

【分析】

(1)选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得2sin/cos5=sin/,根

据三角形内角性质得出5吊4>0且<：058=’,即可求出角8的值；选择条件②，根据向量的数量积公式

2

以及三角形的面积公式，化简得出sinBuJ^cosB，即可求出角8的值；选择条件③，根据两角和的正弦

公式和辅助角公式，化简的出sin(B+S]=l,从而可求出角2的值；

22

(2)根据题意，利用正弦定理边角互化得出。=用$亩/,c=-^sinC,再根据三角形面积公式化简得出

S=—sm(2A-^]+—,由V4BC为锐角三角形，求出角A的范围，从而得出V4BC的面积的取值

6(6)12

范围.

【详解】解：⑴选①(2"c)cosB=Z?cosC,

由正弦定理得：2sin/cos5-sinCeos5:sinBcosC,

2sinAcosB=sinA,

VAG(0,^),sin>0,.•・COSB=5，

,.・B£(0,兀)，：.B=鼻；

选②石以病=2S△，小

y^accosB=2,acsinB,

sin3二百cosB，

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VBG(0,^),sin5>0,贝1Jcos5>0,

7

i^(3)sinB+sin[B二V3,

得sin3+-i-sin8+^^cos8=V3>

22

，①sin8+\os8=l，

22

sinf5+—j=1,

5+-^Gn7%

6,6

c7171n兀

B-\———,B——

623

(2)已知V45C为锐角三角形，且6=1,

abc

由正弦定理得:

sinAsinBsinC

,-.a=~smA,c=-^sinC,

27r.

S=-acsinB=^^sinZsin------Asin12/—?)+

2G3612

：V48C为锐角三角形,

CA兀

0<A<—

27T,71

=一</<一，

_27r.7ni62

0<C=------A<—

32

"一5e

2T',-64

【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理的边角互化、两角和的正弦公式、辅助角公式、向量的数量积的

应用，考查三角形的面积公式以及三角形内角的性质，根据三角函数的性质求区间内的最值从而求出三角

形的面积的取值范围是解题的关键，考查转化思想和化简运算能力.

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16.某校举行“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，知识竞赛包含预赛和决赛.

（1）下表为某10位同学预赛成绩：

得分939495969798

人数223111

求该10位同学预赛成绩的上四分位数（第75百分位数）和平均数；

（2）决赛共有编号为48,C,D,E的5道题，学生甲按照的顺序依次作答，答对的概率依次

为2,各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束

32233

时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）上四分位数：96,平均数：95

（2）分布列答案见解析，数学期望：一

18

【解析】

【分析】（1）直接利用百分位数的求解步骤即可求出上四分位数，再利用平均数的计算公式即可计算平均

数；

（2）找出X的所有可能取值，然后分别求出其概率，即可列出分布列，进而求出数学期望.

【小问1详解】

因为10x0.75=7.5,所以上四分位数为第八个成绩，为96；

………93x2+94x2+95x3+96+97+98一

平均数为----------------------------------=95.

10

【小问2详解】

由题意可知X的取值为2,3,4,5,

11

所以尸(X=2)=—x—

326

1112111_

P/X_3^XX+XX.3

,7322322124

(；11221122112105

PX=4)=X—X—X--1——X—X—X--1——X—X—X—=

223322332233618

1111121112111211211

--1——x—x—x--1——x—x—x--1——x—x—x—I——xvm—二

3322332233223322336

所以X的分布列为:

X2345

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£511

P

641836

13467

£(X)=2x-+3x-+4x—+5x—

6418361618

17.已知函数/(x)=(1+x)lnx+—.

x

(1)求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程;

(2)求证：/(x)>x.

【答案】(1)V=x；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)对函数/(x)求导后由几何意义求出函数在点(1,/。))处的切线方程

1—V

(2)由/3)2乂化简得山工+——>0,由导数可知存在极小值点，即最小值，即可证明原不等式.

,

【详解】(1)依题意，/(x)=lnx+-+l-^7.

故/”)=1.有/⑴=1,

故所求切线方程为y—l=x—1,即歹=》.

11-Y2

(2)由/(x)2x得(1+x)lnx+—2x整理得(x+1)Inx+---->0，

XX

1—V

化简得lnx+——>0,

x

令g(x)=lnx+，-l,贝=

xxx~x

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(以min=g(D=0，即g(X)20恒成立，

所以/(x)2x恒成立.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a>f(x)恒成立oaN/(x)max；

(2)a<f(x)恒成立

18.如图，沿等腰直角三角形48C的中位线DE将平面折起，使得平面平面BCDE,得到四

棱锥/-5CO£.

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A

A

（1）求证:平面N8CJ,平面NCZ）;

⑵若8=2,过CD的中点M的平面a与平面4SC平行，试求平面a与四棱锥/-BCD£各个面的

交线所围成的多边形的面积与V48c的面积之比.

【答案】（1）证明见解析；（2）

2

【解析】

【分析】（1）由面面垂直性质定理及面面垂直判定定理可证；

（2）由题可得平面a与四棱锥各个面的交线所围成的多边形为直角梯形，求面积即得.

【详解】（1）由题设知平面/DEL平面8CDE,

根据面面垂直的性质定理得/£»1平面8CDE,AD±BC,

根据线面垂直的判定定理得BC1平面ACD,

又「BCu平面48C,

平面ABC1平面ACD.

（2）如图，设平面&与平面NC。、平面4DE、平面、平面BCDE的交线分别为

QM.QP、PN、MN,

•••平面a//平面4BC,

:.MQHAC.

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M是CD的中点，故0是AD的中点,

同理々W/ABaN为BE的中点，NP//AB,P为AE的中点、,

，平面0与四棱锥BCDE各个面的交线所围成的多边形是四边形"AP。.

由于点P、。分别为/£、40的中点，

:.PQ//DE,又DEIIBC,BCIIMN,故PQ//AW,

由(1)知BC1AC,又MN/IBC,MQ11AC,

MQ±MN,

•••四边形"APQ是直角梯形.

•:CD=2,CM=1,则MQ=&MN=3,PQ=1,BC=4,AC=26,

故四边形〃AP。的面积是史9x0=272,

2

VZ8C的面积是，x4x2a=4后

2

•••平面a与四棱锥/-各个面的交线所围成的多边形的面积与V4BC的面积之比为萃=-.

4亚2

19.如图，一块正中间镂空的横杆KL放置在平面直角坐标系xQy的x轴上(横杆上镂空的凹槽与x轴重合,

凹槽很窄)，横杆KL的中点与坐标原点。重合.短杆08的一端用较链固定在原点处，另一短杆及1与短杆

08在8处用钱链连接.当短杆四沿A处的栓子在横杆KL上镂空的凹槽内沿x轴左右移动时，M处装有

的笔芯在平面直角坐标系xQy上画出点M运动的轨迹C(连接杆。氏4可以绕固定点旋转一周，被横杆遮

挡的部分忽略不计).已知05=48=3,BM=1.

(1)求曲线。的方程.

(2)过点(6,0卜乍直线/与曲线C交于。，E两点，试问在x轴上是否存在定点0,使得