广东省佛山市2024-2025学年高三年级上册普通高中教学质量检测（一）数学试卷（含答案）

2024-2025学年佛山市普通高中教学质量检测(一)

高三数学2025.1

本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的。

1.若*+2i=1,则z=

z

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

2.已知集合/={x|l<x<a},B={—2,0,1,2},若/c3=0,则实数a的取值范围是

A.a<1B.a<2C.a<\D.a<2

3.等比数列{%}中，。2=1,设甲：%=3,乙：。6=9,则甲是乙的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/(x)=sinx+sin2x在区间(0,37)上的零点个数为

A.4B.5C.6D.7

5.随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,某

景区的旅游人数大约每年以11%的增长率呈指数增长,那么至少经过多少年后,该景区的旅游人

数翻一倍？(参考数据：lg2。0.301,Igl11«2.045)

A.6B.7C.8D.9

6.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式组；:+二一2""1'的点(x,y)表示的区域面积为

x+y

冗

A.-----1B.11C.71—1D.71—2

2

7.若直线>=x+a与曲线y=ln(x+b)相切,则a2+b2的最小值为

13

A.-B.1C.-D.2

22

77

8.已知直线加与平面a所成的角为彳，若直线〃ua,直线加u，，设加与〃的夹角为4,a与

"的夹角为名，则

八、7T八71

A.0,2—,N—B#.

1424

八，nc、兀

c.a«—,劣》—

1424

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,

全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

—1«—1«

9.有一组成对样本数据(项,必),(々，％)，…，(马，兄)，设％=—，歹=,由这组数据得

〃z=l〃/=1

到新成对样本数据［1一兀必一天),12一%，%一%，％一))，下面就这两组数据分别

先计算样本相关系数,再根据最小二乘法计算经验回归直线,最后计算出残差平方和,则

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=,a=y-bx.

n

E(玉-矶匕7)

相关系数r=I

它卜，川七：4一万

A.两组数据的相关系数相同B.两组数据的残差平方和相同

C.两条经验回归直线的斜率相同D.两条经验回归直线的截距相同

10.在A4BC中，C=45°,48+3/C・5C=0,则下列说法正确的是

B.tanA=2

10

—►—►3—►

C.A4在5C方向上的投影向量为D.若困=立则相就=2

4

11.已知定义域为R的函数/(x)满足/(x—y)—+=——1),且

/(O)=2,g(x)为/(x)的导函数,则

A./(x)为偶函数B.g(x)为周期函数

2025

C.£/（左）=0D.g（2026）=0

k=0

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.（1+4?+（1—4『的展开式中好的系数是.

123c2

13.记AABC的内角4瓦C的对边分别为。，仇c且——+——=,则一一-=—

tarUtaiiStanCa~+2b~

22

14.直线/过双曲线C:二-A=1（a>0/>0）的左焦点F,交C的渐近线于A,B两点.若

ab

豆=3眉，且|包卜b,则C的离心率为.

四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

如图,直三棱柱ABC-48cl的体积为|，侧面BBgC是边长为1的正方形，48=1,点

分别在棱C综4G上.

⑴若。,£分别是CB1,4G的中点，求证：DE//平面ABB^;

⑵若DE工CBI,DE14G，求DE.

16.(15分)

ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方

直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下:每次由其中一人发球，若发出ACE球，则

换人发球,若未发出ACE球,则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率

均为p0,记4="第〃次发球的人是甲”.

⑴证明：尸(4用14)+44用|工)=1；

9

⑵若尸(4)=1，尸(4)=方求P。和尸(4)

17.(15分)

已知函数/(x)=(x+k)e，,其中左eR.

⑴当先=-1时,讨论关于x的方程〃x)=a(aeR)的实根个数；

(2)当左〉-1时,证明：对于任意的实数看,马(8尸々)，都有勺|一坐)>五士三.

e—e2

18.（17分）

已知ADEF的顶点E在x轴上，尸,0，。户I=怛尸I,且边DE的中点〃在y轴上，设。的

轨迹为曲线r\

（1）求「的方程；

⑵若正三角形ABC的三个顶点都在r上,且直线AB的倾斜角为45°,求|48|.

19.（17分）

将2N项数列（4,出…,心，4也，…，心）重新排序为（。，4也，。2,…，狐，心）的操作称为一次

"洗牌"，即排序后的新数列以4为首项,将为排在内之后,将乙+1排在外之后.对于数列

（1,2,…,2N）,将“洗牌”后得到的新数列中数字左的位置定义为/信）.例如，当N=3吐数

列（1,2,3,4,5,6）经过一次“洗牌”后变为（4,1,5,2,6,3）,此时

/⑴=2J（2）=4J（3）=6,〃4）=1J（5）=3J（6）=5.

⑴写出数列（1,2,3,4,5,6,7,8）经过3次“洗牌”后得到的新数列;

⑵对于满足14左＜2N的任意整数上求经过一次“洗牌”后/'传）的解析式；

⑶当N=2”T（其中〃eN*）时,数列（1,2,…,2N）经过若干次“洗牌”后能否还原为

（1,2,…,2N）?如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能,请说明理由.

2024~2025学年佛山市普通高中教学质量检测(一)

高三数学参考答案与评分标准

一、选择题:本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合

题目要求的.

题号12345678

答案BDCBBDAA

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

题号91011

答案ABCACABD

三、填空题:本题共3小题.每小题5分.共15分.

12.J013.-14.皂

四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.【解析】(1)分别取88”44的中点EG,连接EG,阳,GE,...........................1分

W为GE&DF&gBC,IJBC.

所以GE《DF,四边形G£D"是平行四边形......2分

所以DE"FG,

又。E<2平面4,EGu平面ABB..4,,

所以£)£〃平面........................5分

(2)H三棱柱』8C-44cl的体积r=S”BB]=gABSCsinZ.1SC-BBt=；sinZJ3C=；,

所以sinZABC=I,即ZABC=90°.................................................7分

以B为原点,建立空间直角坐标系8-冷;如图所示,则....................................8分

4(LO,O),c(ojo),q(1,1,0),4(i,o,i),西=(i,-i,o),而=(oj-i)...........9分

设丽=4函=(&-入0),至=〃福=(0,〃,一〃)，则0(儿1-(0),£。,〃,1一〃),……10分

DECB=Q2力+〃=222

故瓦I扑t解得2==12分

瓦•福=0义+2〃=2

所以方瓦卜亭，即O£的尺度是半...................................13分

\JJJJJJ

方法二:设CBt.A,C,公垂线的方向向质为”=(x,y,二),

n-CB=0.v-y=0,、

由・[，得《'八，取一个〃=(L1J),11分

n-4£=03-2=0

第1页共4页

峰芦1=gwDE的长度是当

B£=(0.1,0),13分

H33

16.【解析】(1)。(4“14.)=(1-%)*；，。(4“1%)=%+(1-4)*；，.................................4分

则尸(4.J4)+P(/.“|无)=I-p°+p°=I......................................................................5分

19

(2)因为P(4)=I,所以P(/J=P(44)=尸(4)P(4l4)=(i_p°)XQ=^...............8分

解得P0=A，........................................................................................................................9分

设P(4)=凡，4=।，由尸(4J=尸⑷尸(4.J4)+尸(无)P(4J书,.............1。分

-12分

•,14分

故第〃次发球的人是甲的概率P(4)=15分

17.【解析】(1)方程/(x)=a解的个数，转化为)，=a与y=/(x)有交点的个数.................1分

y=f(x)的定义域为R,f{x)=xex,..................................................................................2分

令/'(x)>0得x>0,令/'(x)<0得x<0.

故/(x)在(y,0)上单调递战，在(0,+8)上单调递增,....................................4分

当XT7O时，/(X)T0,当XTXC时，/(x)T+<»,且/(0)=-1,.................................5分

当。〈一】时，方程有0个解，

当。=-1或时，方程有I个解，

当-l<a<0时.方程有2个解..........................................................8分

⑵要证笔型号,即证"—,........................,

由于后>-1,故只需证中：_]>文口.......................................10分

e--e42

不妨设为，即证X2*-再/，>(巧&+-e&).

两边同时除以e“：并化简，即证(玉_毛_2)。*』+演_》2+2>0,.......................................12分

令，=X-x/则/>0,设/〃)=(1-2户+，+2(/>0),..................................................13分

尸'(/)=(1-1)/+1,由(1)知£'(/)在(0.+8)上单调递增，

故r(t)>r(o)=o.故在(o,+8)上单调递增.

所以尸〃)>尸(0)=0,从而命题得证...................................................15分

第2页共4页

18.【解析】⑴设Q(xj)(yHO),依题就E(-x,O).”(0,夕，..........................I分

ED={2x,y),柿J；，,，...................................................................................................3分

因为FM上DE,所以El/E力=0,即_±+匕=0,..............................................................5分

22

所以「的方程为V=x(xw0)....................................................................................................7分

212

(2)设A(a,a),B(b,b),C(c,c),则A.=7P..........................................................9分

b^-a2a+b

同理可得〃J.................................................................................................10分

a+cb+c

因为直线,48的帧斜角为a=45'，所以直线/C的倾斜角为a+60,=105、

直线8c的帧斜角为a+120,=165,.

a.、一1/▲/"•、tanatan60令G

所以=tana=1,k记=tan(a+60)=--------------------r=-2-J3

松1-tanatan60

,z…八・、tancr+tan120./r

kf1c=lan(a+120)=-----------------r=—2+，3......................12分

1-tanrztan120

所以

a+6=l,a+c=7==-2++c=---=-2-G・15分

-273-2+J3

因此，|=加―/y+⑺-4=J("4[(a+b[+l]=J(26W+l]=2瓜..........17分

19.【解析】⑴数列(1,2,3,4,567,8)经过一次“洗牌”变为(5,1,6,2,7,3,8,4),再经过一次“洗牌”变

为(7,5,3J8,6,4,2),第三次“洗牌”后变为(8,7,6,5,4,3,2,1)................................................3分

(2)依爆意.当14AWN时,f(k)=2k：................................................5分

当A+l4k£2A时•/(A)=2(A-N)T="-2NT・.........................................................7分

因此=............................................8分

八,[2k-2N-\,N+1J42N.

(3)先观察简电的情形.

当”=1时，数列(1.2)经过1次“洗牌”变为(2,1)(“倒序”),再经过1次“洗牌”就还原为(1,2)；

当〃=2时，数列(1,2,3,4)经过2次“洗牌”变为(4,3,2,1)(“倒序”)，再经过2次“洗牌”就还原

第3页共1页

为（1,234）：

当〃=3时，由（1）知数列（I,2,3,4,5,6,7,8）经过3次“洗牌”变为（8,7,6,5,4,3,2,1）（“倒序”）.再

经过3次“洗牌”就还原为（1,2,3,4,5,6,7,8）.

由此,我们猜想数列（1,2,…,2N）经过2〃次“洗牌”后就能还原为（1,2,…,2N）...........11分

下面证明这个猜想.

令工■）=/伏），£“伏）=/［，伏）］，其中m是任意正整数，则，伏）为刑次“洗睥”后数字A的位即

2,⑻，酩⑻4M

由第（2）问可知/.*!（*）=

2,⑻-(2N+1),N+I，(A)42M

且工⑹北心+D,I次M

N+Kk42N.

22k,l&kgN且1[(幻WM

2~-(2N+1),且N+lg(AK2N,

因此，/；（*）=-

2%-2(2N+l),N+KK2NHigOOWN,

2%-3(2N+1),N+1042NILN+2M

注意到力（左）一2%总是2N+1的非负整数倍............................................13分

下而用数学归纳法证明对任意正整数〃1(A)-2mA总是2N+1的作负整数倍.

(i)当加=1时，结论已成立：

(ii)假设m=/(/wN')时，£(A)-2%=-p(2N+l),其中p为非负整数，则£0l)=2«-p(2N+l),

,小[2h'k-2p(2N+\),区fRk)SN,

力.1(k)=<.,

l*%_(2p+l)(2N+l),N+iq(A)42M

即加⑻-2q=-2M2N+I),电0”，

/+,]-(2p+l)(2N+l),N+iq(〃)W2M

即当加=/+1时结论仍成立.

综合（i）、（ii）知对任意正整数〃1,（伏）-2”〃总是2N+1的作负整数倍.................15分

当N=2"T时.'（幻一2gA能被2"+1整除.特别地，

九⑹一户％",⑹-［付-1）+1卜"曲-A-（2"+1）（2"-1拄

能被2"+1整除.乂（2"+l）（2"-l"能被2"+1整除,故人“伏）-女能被2"+1整除.

而《、、’,故-（2”—1）%“（幻一442"—1.其中只有人工外一4=0能被2〃+1整除，

（幻《2’

故九伏）="即任意数字A经2〃次“洗牌”后位置不变，证毕...........................17分

第4页共4页

2024~2025学年佛山市普通高中教学质量检测（一）

高三数学2025.1

本试卷共4页，19小胭.一分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生务必要填涂答题卷上的有关项目.

2.选择题每小虺选出答案后,用2B铅第把答案涂在答题卷相应的位置上，

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内：如需改动.

先划掉原来的答案，燃后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答黑卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分、共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若*+公=1,则2=

Z

A.1—2iB.l+2iC.2—iD.2+i

2.已知集合力={x[l<x<a},3={-2,0,1,2},若=则实数a的取值范围是

A.a<\B.a<2C.a<\D.a<12

3.等比数列{%}中，勺=1，设甲：4=3,乙：牝=9,则甲是乙的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/（x）=sinx+sin2x在区间（0,3兀）上的零点个数为

A.4B.5C.6D.7

5.随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式,某景区的旅

游人数大约每年以11%的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？

（参考数据数g2ao.301Jgl11^2.045）

A.6B.7C.8D.9

6.在平面直角坐标系X。中,满足不等式组,I：；]；：：；'的点（xj）表示的区域面积为

A.1B.7tC.71-1D.n—2

2

7.若直线丁=x+a与曲线y=ln（x+b）相切，则/+〃的最小值为

A.一B.1C.-D.2

22

TV

8.已知直线用与平面a所成的角为若直线〃ua,直线mu尸，设相与”的夹角为用，a与4的夹

角为％，则

A.。\吟，&吟B.C.用旺©*D.4三㈤三

,44444444

i苗三数学试题第I页共4页

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求•全部选对

的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分，

9-有一组成对样本数据（x”M）,（不，必），…,（毛,匕），设x=i£x/，）=]4必，由这组数据得到新成

对样本数据（f7,必7）,12-*，必7），…G"-3乂-7）,下面就这两组数据分别先计算样本相

关系数,再根据眼小二乘法计算经验回归直线,眼后计算出残差平方和，则

A£一一矶必一可一一

附:回归直线的斜率和截距的圾小二乘估计公式分别为是=------——za=y-bx.

力卜-可

1°\

相关系数厂=

A.两组数据的相关系数相同B.两组数据的残差平方和相同

C.两条经验回归直线的斜率相同D.两条经验回归直线的截距相同

10.在中，C=45°,（荏+3%）•就=0,则下列说法正确的是

A.sin£-2^B.tan力=2

10

C.现在前方向上的投影向量为:前D.若|抚卜JI,则万•芯=2

11-已知定义域为R的函数/卜）满足/（工一丁）一了（'+歹）=/（工一1）/（'一1）,且〃0）=2,83为

/（x）的导函数，贝」

A./（x）为偶函数B.g（x）为周期函数

2025

C.Z/（〃）=0D.g（2026）=0

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分，

12.（1+4/+（1—五了的展开式中X2的系数是.

13,记△45。的内角4及。的对边分别为a,6,c且二一+二一=二一,则一^=.

tanJtan5tanCtr+2/r

%2y2____

14.直线/过双曲线。：下一白=1（。>0,6>0）的左焦点E,交C的渐近线于48两点、若F8=3E4,

aD

且网=6则c的尚心率为.