高考数学一轮复习：平面向量 专项训练（含解析）

平面向量

L【全国乙卷】已知向量五=(2,1),石=(一2,4),则|五一臼()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得方-比然后求得只-臼.

【详解】

因为五一五=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|4一臼=J42+(-3)2=5.

故选：D

2.【全国乙卷】已知向量林满足同=1,|瓦=低田2臼=3,则6不=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】

解：V\a-2b\2=\a\2-4a.-b+4|b|2>

又：|小=1,仿|=y[3,\a-2b\=3,

_.—»—>

9=1-4a,b+4X3—13—4a,b,

：.ab=l

故选：c.

3.【新高考1卷】在△ABC中，点。在边A8上，BD=2DA.记委=而，CD^n,则小=

()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】

【分析】

根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】

因为点。在边AB上，BD=2DA,所以前=255,即加一而=2(,一丽)，

所以丽=3CD-2CA=3n-2m=-2而+3汇

故选：B.

4.【新高考2卷】已知向量五=(3,4)石=(1,0),工=G+力，<a,c>=<b,c>,贝Ut=()

A.—6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】

解：2=(3+t,4),cos(d,c)=cos(帅，即9+鲁6=答，解得t=5,

故选：c

5.【北京】在△ABC中，4C=3,BC=4,NC=90。.P为△48C所在平面内的动点，且

PC=1,则西•方的取值范围是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意建立平面直角坐标系，设P(cos8,sin8),表示出PX而，根据数量积的坐标表示、辅

助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】

因为PC=L所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设P(cosasin8),9G[0,2n],

所以方=(3-cos0,-sin0),而=(-cos6,4-sin。)，

所以同•丽=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin。)

=cos20—3cos0—4sin0+sin20

=1-3cos0-4sin0

..,,34

=1—5sin(0+(/?),其中sin?=g,coscp

因为一lWsin(9+<p)41,所以一4W1-5sin(0+@)W6,即西•丽e[—4,6]；

故选：D

6.【全国甲卷】已知向量五=(m,3)石=(l,m+1).若五1B,则m=.

【答案】-0.75

【解析】

【分析】

直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】

由题意知：a-b=m+3(m+1)=0,解得m=—土

4

故答案为：-*

7.【全国甲卷】设向量五，B的夹角的余弦值为%且也|=1,扬|=3,则(2a+动工=

【答案】11

【解析】

【分析】

设立与石的夹角为8,依题意可得cose=9,再根据数量积的定义求出五•九最后根据数量积的

运算律计算可得.

【详解】

解：设G与石的夹角为仇因为五与石的夹角的余弦值为，即cosO=(,

又|矶=1,历|=3,所以五•B=|可•历|cos。=1x3x2=1,

所以(2五+byb=2a-b+b2=2a-b+\b\2=2xl+32=ll.

故答案为：11.

8.【浙江】设点P在单位圆的内接正八边形的边人送2上，则且两之+…+而鼻

的取值范围是.

【答案】[12+2但16]

【解析】

【分析】

根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，力公所在直线为X轴，名公所在直线为y轴

建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P（%,y）,再根据平面向量模的坐标计算公

式即可得到药;+对;+…+互向=8（/+y2）+8,然后利用cos22.5。W\0P\<1即可解

出.

【详解】

以圆心为原点，多公所在直线为X轴，力5公所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示

则41（0,1）/2（¥，多，力3（1，0），44（零一¥），45（0，-1）/6（-乎，一¥）/7（-1，0），48（-¥，多，设

P（x,y）,于是刀:+而:+…+~PA-=8（x2+y2）+8,

因为COS22.5。W\0P\<1,所以i+c：45。<x2+y2<1；故刀;+刀;+...+互彳的取值范围是

[12+272,16].

故答案为：[12+2或,16].

2022年高考模拟试题

1.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中的三点3）,

N（4,”），£（2,-2）,若向量的与两在向量无方向上的投影相等，则m与"的关系为

（）

A.机+〃=7B.m-n=3

C.m=nD.m=-n

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.

【详解】

。”=（加,3）,而=（4,“），瓦=（2,-2）,

心日——心旦一►、,,…rv曰iOM・OE2m-6m-3

向里。饮在向堇OE方向上的投影为iki=r\—7=-k

\OE\V4+412

,曰,曰—►.,,,ON,OE8—2n4一〃

向堇ON在向堇O£方向上的投na影/s为f——►=/=—l

\OE\V4+4<2

由题意可得等二*,

即加+〃=7.

故选：A.

2.（2022•山东潍坊・三模）已知7石是平面内两个不共线的向量，送=：+/,

ULIUI|

AC=jua+b,%,4£R,则A,B,C三点共线的充要条件是（）

力

A.彳-〃=1B.彳+〃=2C.2/z=1D.—=1

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量共线的充要条件有关=加关口加eR,即可得答案.

【详解】

由A,3,C三点共线的充要条件是关=刃髭且"R,

m/u=1

所以,故4〃=1.

A-m

故选：C

3.（2022•江苏苏州・模拟预测）在“2C中，/点。在线段48上，点E在线段NC上，

且满足2/。=。2=2,/£=£。=2,CD交BE千F,设方=£,AC=b,则府•前=

（）

.6172932

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面

向量的加法的几何意义进行求解即可.

【详解】

T^DF=ADC，EF=/uEB,因为

>

AF=AD+DF=^AB+ADC=^AB+A(DA+AC)=^AB+A(<-^AB+AC)=^-^AB+AAC,

]

AF=AE+EF=^AC+JuEB=^AC+iu(EA+AB)=^AC+1u(-^AC+AB)=-^-AC+JuAB,

1-A

----=AA=-

3J5

所以有“

1

[2A=?

ULIUUUU1------►2-------►--------------►1-------22--------21-------►------►

因止匕4尸.5C=(1/5+1/C)(—/B+4C)=—y/5--AC-AB,

JT

因为/=§,AB=3,AC=4,

InuiUUU-------►—121117

^^AF-BC=^-BC=--x9+-xl6--x3x4x-=—,

故选：B

4.(2022•内蒙古•满洲里市教研培训中心三模(文))若5=俱,-g)-Jrjr

b=(2sin—,2cos—),下列

66

正确的是()

A.bH(a-b}B.B_L(万-B)

c.3在g方向上的投影是-:D.(3+坂)

【答案】c

【解析】

【分析】

根据向量平行的坐标表示判断A,根据向量垂直的坐标表示判断BC,根据向量的投影的定

义判断C.

【详解】

由已知!=仅,-向，b=(1,>/3),

所以1—3=^2,—\/3j—^1,V3j=^1,—2-73j,a+b=^2,--73j+^l,V3j=(3,0),

因为1x(-26)-追xlwO,所以B,不平行，A错，

因为1义1+右、卜2道卜0,所以彼，。_彼不垂直，B错，

|-|/-a-S_2xl-V3x^3_1

因为@在否方向上的投影为网c°sm与=w=不彳石［=一5,C对，

因为卜3+卜28,0/0,所以£+B,3-彼不垂直，D错，

故选：C.

5.（2022•内蒙古赤峰•模拟预测（理））若向量Z，g满足口=1,忖=2,屋（2。+3可=5,贝与g

的夹角为（）

n万2%5〃

A.-B.-C.--D.——

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

八a》

根据数量积的运算律得到a-b，再根据8S°=阡后计算可得；

【详解】

解：因为口=1,恸=2，a-（2a+3fe）=5,所以27+3鼠3=5，

即2问~+34%=5,所以£。=1，设Z与：的夹角为）,

4a%1「1ri

则°"8=丽=5，因为。句°小］，所以。=g；

故选：B

6.（2022・北京•潞河中学三模旧知菱形48C。的边长为0,//8c=60。，则丽.丽=（）

32323232

A.—aB.—aC.—ciD.一。

2442

【答案】A

【解析】

【分析】

将丽，丽分别用瓦5,能表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.

【详解】

解：DB=DA+AB=-JC-RA,CD=BA,

则丽・丽=卜就_加）•血=_瑟•豆一豆2

故选：A.

7.（2022•湖北•华中师大一附中模拟预测）已知向量3=（加,3）,加=（1,加），若1与2反向共线,

A.0B.48C.473D.3A/6

【答案】C

【解析】

【分析】

由向量反向共线求得m=再应用向量线性运算及模长的表示求归-6耳.

【详解】

由题意"/=3,得"I—+V3,

又2与9反向共线，故m=-B此时Z-GB=(-2"6),

故卜_&q=46.

故选：C.

8.(2022•山东淄博•三模汝口图在ANBC中，AABC=90°,尸为48中点，CE=3,CB=8,

48=12,贝庙.丽=()

C

【答案】C

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积;

【详解】

解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则4(12,0),8(0,0),C(0,8),尸(6,0),

又CE=3,CB=8,AB=\2,

则CF=ylCB2+BF2=10，

37

即CE=gFC,即尸E=而尸C,

则3£=8尸+《尸0=(6,0)+5(-6,8)=(|,1|,

贝烟=（»之，丽=m），

则以.丽子卜川山=13;

故选：C.

9.（2022,河北•石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中

首次提出定理三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重

心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点O,G,〃分别为任意的外

心.重心、垂心，则下列各式一定正确的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

*AO+2AH2BO+BH

Cr.ACr=---------U.=---------

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三点共线和长度关系可知AB正误利用向量的线性运算可表示出前，前，知CD正误.

【详解】

H

O

BC

：0,G,〃依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,

__1___13

:.OG=-GH,:.OG=-OH,OH=-GH,A错误，B错误；

232

AG=AO+OG=AO+-OH=Ad+-（AH-Ad）^^^^,C错误；

33、,3

—.--——-—►1--------—■1/-———.、2BO+BH.

BG^BO+OG=BO+-OH=BO+-[BH-BO]^--------------,D正确.

33、,3

故选：D.

10.（2022•江苏・南京外国语学校模拟预测）已知万，无，工均为单位向量，且满足

1-----►----->-----►UUUULIU

-OA+OB+OC=Of则的值为（）

35719

A.-B.-C.-D.—

8888

【答案】B

【解析】

【分析】

通过向量的线性运算进行化简求值即可.

【详解】

AO=2^OB+OC）,AB=3OB+2OC,同理就=2方+3]

AO=4（02+OC）2,:.OBOC=--,ABAC=[3OB+2OCJ（2OB+3OCj

=6OB+6OC+\3OBOC=6+6-—=-.

88

故选：B.

n.（2022•辽宁沈阳三模）已知椭圆。：/+4/=%（加>0）的两个焦点分别为百，工，点p是

椭圆上一点，若可•至的最小值为-1,则两•恒的最大值为（）

11

A.4B.2C.-D.-

42

【答案】D

【解析】

【分析】

设尸（%,%,）,求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出两•反，再根据椭圆的范围利用二

次函数求最值即可得解.

【详解】

设尸（x。,％,）,由C:f+4y2=%（加>0）可知月（一^^,0）,匕（2^,0）,

；•PK=（,-^^--x0,-y0）,PF2=C^--x0,-y0）,

..国M=q+x；+为23m12\3x21

-----1—（4x2+Tn-x）=---0----m,

44°n°n42

,/-Vm<x0<4m,二/二0时，。耳的最小值为一;机=一1,解得冽=2.

当/=±J晟时，刊「盟的最大值为^义2-1=万.

故选：D

12.（2022•安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量痴满足卜+同+一同=2同，则

不―B与万的夹角为（）

•汽cnc?冗r57r

A.-B.-C.—~D.——

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出7加再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】

由口+可=归一可得：（a+B）2=（0-5）2,即；+2：4+炉=；_2；/+力2,解得a•否=0,

因止匕，cos〈a-g,a〉=（，=9gg=j,,而〈a-B,a〉e[0,兀"解得〈a-aa）=g,

\a-b\\a\21al223

所以与3的夹角为

故选：B

13.（2022•浙江省江山中学模拟预测）在A/5C中，E,F分别为"C,8c的中点，点。是线段

加（不含端点）内的任意一点，AD=mAB+nAE，贝!1（）

A.me（0,1）B.ne（0,2）C.n=2mD.m+n=l

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算的定义和平面向量基本定理确定机，"的关系和范围.

【详解】

因为点。是线段心（不含端点）内的任意一点，

所以可设4D=彳/b（0＜彳＜1）,

因为E,F分别为/C,8c的中点,

所以万^在+而=方+工团」方+"1■苑•△在+而

2222

______1k4_____k_

所以/。=彳/台+几/足，又AD=mAB+nAE，

所以加n=2e（0,1）,n=2m,m+n=~^＞

所以A,B,D错误，C正确，

故选：C.

14.（2022•安徽哈肥一中模拟预测（文））已知向量£=（1,0）,力=（1,1）,向量£+4与］垂直,

则实数4的值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

由题得（0+4）•a=0化简即得解.

【详解】

因为a+/5与a垂直，

所以(a+2可.a=Q,:.a+Aa-b=Q,

所以l+2x(l+0)=0,./=_l.

故选：C.

15.（2022•海南华侨中学模拟预测）己知不共线的平面向量或瓦己两两所成的角相等，且

同=1,同=4,忸+彼+,卜近，则同=（）

A.72B.2C.3D.2或3

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出。=与，Wft\a+b+c\=^a+b+c）2=V7,列方程即可求出.

【详解】

27r

由不共线的平面向量,，b，工两两所成的角相等，可设为电则6.设

因为同=1,向=4,,+B+W=VL所以归+3+,=7,

^a2+2a-b+b~+7b-c+2a-c+c2=1

2兀2兀2兀

所以『+2xlx4cos—+42+2x4xmcos—+2x1xmcos—+m2=7

即加2一5加+6=0,解得：加=2或3.

所以1)1=2或3

故选：D

16.(2022・贵州贵阳•模拟预测(理))已知«=(1,2),b=(2,-1),工=(1㈤，且)+可，则人

【答案】-3

【解析】

【分析】

由向量垂直的坐标表示计算可得.

【详解】

由题意（£+可=（3,1）,又“（a+可，则1。+“=（1"）.（3,1）=3+4=0,故彳=一3.

故答案为：-3.

17.（2022•河北•沧县中学模拟预测）已知向量海的夹角为与，同=4,1卜3,贝平++

【答案】V13

【解析】

【分析】

根据,+©=|«|+2a-Zj+|/）|求解即可.

【详解】

a-b=|a||/）|cos^-=4x3x^-^=-6,

则K+=|同?+2展B+时=42+2x（-6）+32=13,

贝曲+*岳.

故答案为：V13

18.（2022•安徽•合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量|B|=1,向量）=（1,道），且

椁-而\=&,则向量33的夹角为.

冗

【答案】彳##90°

【解析】

【分析】

由Ia-而1=指两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量凡B的夹角

【详解】

因为1=（1,道），所以同=/2+（6『=2

因为®-同|=&，

所以12一2力防+2庐=6，又

所以4一201B+2=6,所以。石=0，

向量痴的夹角为氏则同咽侬。=0

7T

所以cos6=0,则

故答案为：—.

19.（2022・陕西・交大附中模拟预测（理））已知在平行四边形/BCD中，

1—»I'»*I*I.II-»II

DE=-EC,BF=-FC,\AE\=2,1AF\=46,^AC-DB值为

9

【答案】-##2.25

4

【解析】

【分析】

------1--,

AE=BC+-DC

由向量加法的几何意义及数量积运算律有就.丽=比2一无2,再由，:结合

-----,1--,

AF=DC+-BC

[3

数量积运算律，即可得结果.

【详解】

由题设可得如下图：AC^AD+DC,DB=DC+CB,而1万=-瓦,

—►1—►—►了，回羽=技

又DE=—EC,BF==2,

2

----22---*,-----1-----2

AE=AD+DE=JC+-DCBC+-BCDC+-DC=4

所以：3，贝乂：39：

------►------►--------------►I------►1,22------*■-------»I------*1

AF=AB+BF=DC+