高考数学模拟大题规范训练16（含答案及解析）

高三数学大题规范训练（16）

15.己知｛%｝为等差数列，且%=3。1，。］+。5+。14=。10+24.

U）求｛%,｝的通项公式；

（2）若2"2/+4++4,恒成立，求实数;I的取值范围.

16.某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，

（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记^为这3台仪器中存在故障

的台数，求。的分布列和数学期望；

（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每

台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03,记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障

的台数，借助泊松分布，估计X=3时的概率.

2k

附：①若随机变量。的分布列为尸（J=k）=—e-\k=0,1,2,■,则称随机变量^服从泊松

分布.

②设"〜p）,当?＜。.05且〃220时，二项分布可近似看成泊松分布.即

p（7=k）=cy（l-pp。今-"其中4=E.）.

③泊松分布表（局部）

2k

表中列出了P（J=A）=/一的值（如：4=0.5时，P（^=5）=0.000158

0.50.60.7

006065310.5488120.496585

10.3032650.3292870.347610

20.0758160.0987860.121663

30.0126360.0197570.028388

40.0015800.0029640.004968

50.0001580.0003560.000696

600000130.0000360.000081

70.00000100000030.000008

17.己知四棱台ABC。-AgG。的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面

4。24，平面筋。。，相=3,DD；=713,cos/40D=—点P为。2

的中点，点。在棱5c上，且3Q=3QC.

(1)证明：PQ//平面43与4；

(2)求二面角。一42一。的正弦值.

18.在平面直角坐标系xOy中，点A,8分别是无轴和y轴上的动点，且|A5|=J3,动点P

满足y/3OP=2OA+OB，记尸的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设曲线C与x轴的交点为4,A2(4在42的左边)，过点Q(1,0)且不与x轴平行

k,

的直线/与C相交于M,N两点，记直线4M,4N的斜率分别为质和依，求厂的值.

k］

19.若函数4％)在［a,可上有定义，且对于任意不同的玉,当«。,可，都有

|/(x1)-/(x2)|<^|x1-JC2|,则称为［a,可上的"类函数”

(1)若判断〃龙)是否为［1,2］上“4类函数”；

91

(2)若/(x)=—lnx+(a+l)x+—为［l,e］上的“2类函数”，求实数°的取值范围;

ex

⑶若“力为［L2］上的“2类函数”且/⑴=/(2),证明：%,x2e［l,2］,

高三数学大题规范训练（16）

15.己知｛%｝为等差数列，且%=3。],q+%+%4=。10+24.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若2""2%+出++4恒成立，求实数;I的取值范围.

【答案】（1）%=2〃+2

（2）[-|,+oo）

【解答】

【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；

（2）先求出等差数列的前〃项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出

最值，从而得解.

【小问1详解】

,、fa+4J=3a

设数列｛4｝的公差为d,则根据题意可得/0,〜，

i”[36+17d=q+9d+24

a4

解得<；—c，则+2.

d=2

【小问2详解】

由（1）可知运用等差数列求和公式，得到3〃=。]+。2++。〃=1+3几，

又2〃/2%+出++%恒成立，则22；恒成立,

设〃则/S+DTOf；丁4,

当〃=1时，/(2)-/(1)=1>0,即/■(2)>〃1)；

当〃22时，-〃2-〃+4«-2，则/("+1)—/(")<。，则/(〃+1)</(〃)；

则/⑺⑵，故促/⑵=%

故实数力的取值范围为g,+s）.

16.某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，

（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记忑为这3台仪器中存在故障

的台数，求。的分布列和数学期望；

（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器运行相互独立，且每

台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03,记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障

的台数，借助泊松分布，估计X=3时的概率.

附：①若随机变量。的分布列为P（J=攵）=｝「火=0,12「则称随机变量。服从泊松

分布.

②设”当。＜0.05且〃？20时，二项分布可近似看成泊松分布.即

p（〃=k）=Cd（1—同i。（e-"其中4=E⑺.

③泊松分布表（局部）

2k

表中列出了尸（&=左）=尢/的值（如：4=0.5时，尸（《=5）=0.000158

0.50.60.7

00.6065310.5488120.496585

10.3032650.3292870.347610

20.0758160.0987860.121663

30.0126360.0197570.028388

40.0015800.0029640.004968

50.0001580.0003560.000696

60.0000130.0000360.000081

70.0000010.0000030.000008

【答案】⑴分布列见解答，£(^)=|

(2)0.019757

【解答】

【分析】(1)由题意可知，忑的所有可能取值为。，1,2,利用古典概型的概率公式求出相

应的概率，进而得到。的分布列，再结合期望公式求解；

(2)依题X~3(20,0.03),此时二项分布可近似看成泊松分布，再利用泊松分布的概率

公式求解.

【小问1详解】

解：(1)由题意可知，。的所有可能取值为0,1,2,

则心。咦得S等！尸(一)罟得,

所以忑的分布列为：

012

133

P

To5To

所以忑的期望为E⑷=0x\+lx|+2W

【小问2详解】

3

依题题意，得*~3(20,0.03),则E(X)=20x0.03=0.6=,

317

所以尸（X=3）=C|OO.O3O.97,

因为0.03<0.05,20>20,所以;I=E（X）=20x0.03=0.6,

317-06

于是尸（X=3）=C|OO.O3O.97»--e-=0.019757,

所以X=3时的概率估计值为0.019757.

17.已知四棱台ABC。-的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面

平面AB。，相=3,DD^y/13,cosN4QD=—点尸为

的中点，点。在棱5c上，且3Q=3QC.

(1)证明：2。//平面45与4；

(2)求二面角。一40一9的正弦值・

【答案】(1)证明见解答

4屈

(ZJ-----------------

89

【解答】

【分析】(1)取A4的中点为加，连结MB,先证四边形3MPQ是平行四边形,

可得PQ〃MB,再由线面平行的判定定理，即可得证；

(2)结合余弦定理与勾股定理可证A4,，A£),利用面面垂直的性质定理知Ad，平面

ABCD,再以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解.

【小问1详解】

证明：取A4的中点为“，连结因为P为。。中点，

则MP=42+9=3,且"P//AD,

2

因为AD//3Q,BQ=3QC,BC=4,所以3。=3

所以MP〃BQ,MP=BQ,

所以四边形BMPQ是平行四边形，

所以PQ〃出，

因为Affiu平面A351A，平面A531A，

所以P。//平面

【小问2详解】

在，42。中,

22DD2D

^D=4M+r-Ai-DDlcosZAlDlD=4+13-2x2xy/13x=25,

所以4。=5,

在.AAD中，AA^+AD2=32+42=25=,即

因为平面ADAA，平面ABC。，平面4。。4门平面人3口)=4),4&U平面

ADDXAX,

所以A4_L平面ABC。，

故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P[O,3，T],4(0,0,3)，2(4,3,0)

所以P4=10,_3,||,PQ=[4,0,—|1,

'.3

n-PAX--3y+—z=0

2

设平面4PQ的法向量为加=(x,y,z),贝卜3

m-PQ=4x--z=0

令z=8,得x=3,y=4,所以加=(3,4,8),

易知平面AP"的一个法向量为〃=(1,o,0),

设二面角Q—4尸一。1为8,由图知。为钝角,

\mn\3

所以COS6=-rp-|=7=,

阿川V89

所以sin。=A/1-COS20=，

89

故二面角Q—APf的正弦值为生殛.

18.在平面直角坐标系xOy中，点A,8分别是x轴和y轴上的动点，且|A5|=J3,动点P

满足y/3OP=2OA+OB，记尸的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设曲线C与x轴的交点为4,A2（4在42的左边），过点Q（1,0）且不与x轴平行

k,

的直线/与C相交于M,N两点，记直线4M,4N的斜率分别为％和依，求7r的值.

2

X21

【答案】（1）—+V=1

4

【解答】

【分析】（1）由己知结合向量线性运算的坐标表示即可求解；

（2）联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线的斜率关系即可求解.

【小问1详解】

解：设尸（x,y）,A（飞,0）,5（。,%）,

因为|A即=石，所以+=6

由6OP=2OA+O看得，V3（x,j）=2（^,0）+（0,y0）,

将/=半，%=百丁代入"+犬=3得，；+V=i,

所以动点P的轨迹C的方程为三+丁=1；

4

【小问2详解】

由(1)知4(-2,0),4(2,0),%),'(%,%)，

x=my+1

联立J得,(4+/)/+2my-3=0,

147

2m—3

由韦达定理得，-能，%%=▼

y.+y2m3/、

于是"；「9=丁，从而根%%=3(乂+%)，

必,>2。2

因为—言

玉=myx+1,%2=加，2+L

%

占药+2根弘乂一必

则---------二------------=------------

'女2%%(+3)町为+3%

%2—2

13

+%

2-2-匕1

一-

39网3

+%

2-2-

19.若函数在［a,可上有定义，且对于任意不同的玉,％e［。，句，都有

|/(%1)-/(%2)|</：!%1-x2|,则称“力为［a,可上的絮类函数”

(1)若/(毛)=/,判断“力是否为［1,2］上的“4类函数”;

91

(2)若/(x)=—lnx+(a+l)x+—为［l,e］上的“2类函数”，求实数a的取值范围;

eJC

⑶若"工)为［1,2］上的“2类函数”且/⑴=八2),证明：%,X2e［l,2］,

|/(^)-/(^2)|<1,

【答案】(1)是(2)ja|-2-|<a<l-^j

(3)证明见解答

【解答】

【分析】(1)由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明|/(芯)—/(々)|<4后一々脚

可；

(2)由已知条件转化为对于任意xe［l,e］,都有-2</'(x)<2,对函数求导后进行分

离参数，利用导函数研究函数的单调性和最值即可；

(3)分］七一々1<3和X2KI两种情况进行证明，/(1)=/(2),用放缩法

|/。)一〃莅)|=|/㈤一/⑴+〃2)-/d)闫/。)一〃1)|+|〃2)-/5)|进行

证明即可.

【小问1详解】

函数/(x)=%2是［L2］上的“4类函数”，理由如下：

不妨设4工2W1,2］,所以2<%+%2<4,

|/(占)-/(々)|=忖-(石-电)(％+电)|<川西-刃,

所以=V是［1,2］上的“4类函数”;

小问2详解】

f(x)--lnx+(a+l)x+—,f'(x\-——+----i-a+1,

exxex

由题意知，对于任意不同%,%2€［1，6］都有|/(石)一/(%2)|<2］七一百，

不妨设王</，则一2(%2-%)</(石)一/(%)<2(%-%)，

故〃石)+2%</(%)+2%2且/(%)—2%>/(%)—2%,

所以/(x)+2x为［l,e］上的增函数，—2x为［l,e］上的减函数，

所以对任意的xe［l,e］,即—2W/'(x)W2,

1919

由/''(x)<2na〈二一一-+1,令g(x)==一--+1,则a<g(x)而」x^\l,e\,

17|

-,1得y=l在一,1上单调递增,g（尤）.—1--T，

Xeee