高考数学总复习《正余弦定理及其应用》专项测试卷（含答案）

高考数学总复习《正余弦定理及其应用》专项测试卷（含答案）

学校:班级：姓名：考号：

直而在

JT

1、（2023年全国乙卷数学（文））在_ABC中，内角AB,C的对边分别是8c,若acosB-bcosA=c，且C=1，

则48=（）

71713427c

A.—B.—C.—D.—

105105

2、（2023年全国甲卷数学（理））在中，AB^2,NBAC=6（）o,BC="，D为BC上一点，AD为NBAC

的平分线，则AD=.

3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在，ABC中，已知3=120°,AC=y/19>AB=2,则BC=

（）

A.1B.72C.75D.3

4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记,ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为6，

3=60。，a2+c2^3ac，则。=.

5、（2023年全国甲卷数学（文））在一ABC中，已知N54C=120。，AB=2,AC=L

（1）求sinNABC；

⑵若D为BC上一点，且/BAD=90。，求△ADC的面积.

序2_2

6、（2023年全国甲卷数学（文））记一ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知巴士土二£-=2.

cosA

(1)求6c；

,acosB-bcosAb.…一=工日

⑵若-------；~---=1,求_ABC面积.

acosB+bcosAc

第1页共33页

7、（2023年新高考天津卷）在一ABC中，角A尻。所对的边分别是。，瓦c.已知〃=回力=2,NA=120.

⑴求sinB的值；（2）求。的值;⑶求sin（5-C）.

8、（2023年新课标全国回卷）已知在中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）设AB=5,求A5边上的高.

9、（2023年新课标全国闭卷）记.ABC的内角A民C的对边分别为。，瓦。，已知的面积为石，D为BC

中点，且AD=1.

7T

⑴若ZA£）C=1,求tan5；

⑵若〃+<?=8,求仇。.

第2页共33页

10、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知sinCsinQ4-8)=sinBsin。

―/).

⑴若A=28,求C；

(2)证明:2a2=ft2+c2

H、【2022年全国乙卷】记^IBC的内角力,BfC的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(Z-B)=sinBsin(C-4).

(1)证明：2a2=b2+c2；

(2)若a=5,cosA=至，求△ZBC的周长.

12、【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知妥；=H

1+sinAl+cos2B

(1)若。=§,求8；

(2)求老学的最小值.

C2

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题组一、运用正、余弦定理解决边角及面积问题

1-1、（2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为

b,c,若3nB=J%。，则B的值为（）

A.工B.mC.出D.也

6363

1-2、（2023•江苏连云港•统考模拟预测）已知.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

2sinC=sinB+cosBtanA

（1）求A;

（2）若空i+区C=2氐坨8，求外接圆的半径R

ac3sinC

1-3、（2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测）已知ABC的内角A5,C所对的边分别为〃，瓦c,且满

足—12口A=.

Z?cosA

⑴求角5的大小；

QL

（2）若sinAsin0=；7,设一ABC的面积为S,满足3=36，求b的值.

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1-4、（2023•江苏南京•校考一模）在ABC中，内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知tanA二更.

3

⑴若。=不,c=s/3,求b的值；

S1

（2）若角A的平分线交3。于点Z）,片叫=小。=2,求，ACD的面积.

题组二、运用余弦定理研究范围问题

2-1、（2023•江苏南通・统考一模）在一MC中,A,8,C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=（2c-Z?）cosA.

（1）若°=6°,求cosB的值；

（2）若6=\,ZBAC的平分线AD交BC于点D,求AO长度的取值范围.

2-2、（2023•江苏南通・统考模拟预测）在4ABC中，角A,8,C的对边分别是a,b,c,已知6=4,且6cosc+Jc=a.

⑴求B;

（2）若。在AC上，且8Z）_LAC,求8。的最大值.

2-3、（2023.江苏徐州・徐州市第七中学校考一模）己知在,ABC中，边。,b,c所对的角分别为A,B,C,

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sin(B-A)+sinA_]

sinAsinC

⑴证明：”,b,c成等比数列;

(2)求角B的最大值.

题组三、正余弦定理与其它知识点的结合

3-K（2022•湖北省鄂州高中高三期末）在aASC中，A=pG为ASC的重心，AG-AB=AG-AC=6,

则ABC外接圆的半径为（）

A.73B.逑C.2D.2道

3

3-2,（2022・山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系中，己知AABC顶点A（-l,0）和C（l,0）,顶

点8在椭圆片+片=1上，则sinA+?C的值是（）

43sinB

A.0B.1C.2D.不确定

3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在，A5C中，内角A，B,。所对的边分别为。，

b,c,若」一，」-依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）

tanAtanBtanC...............

A.a,b,。依次成等差数列

B.日,、区，正依次成等差数列

2

C.a,0?依次成等差数列

D./，依次成等差数列

3-4、（2023•黑龙江大庆•统考一模）在白脑。中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinB-sinAcosC=—sinC.

2

（1）求角A；

第6页共33页

⑵若c=2,。为2C边的中点，,q=咚，求。的值.

3-5、(2023•安徽黄山•统考三模)记ABC的内角A民C的对边分别为a,6,c,已知c=6,

6(1+cosC)=sinB.

⑴求角C的大小和边6的取值范围；

(2汝口图，若。是ABC的外心，求0。48+。4・。2的最大值.

此画提升

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1、【2022・广东省普通高中10月阶段性质量检测】在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、

c,则“acosA=bcos5”是“「ABC是以A、3为底角的等腰三角形”的（）

A充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

2、【2022・广东省深圳市福田中学10月月考】（多选题）

在，A6c中，下列命题正确的是（）

A.若A>B,则sinA>sin5

B.若sin2A=sin23,则ABC定为等腰三角形或直角三角形

C.在等边4ABet中，边长为2,则AB.BC=2

D.若三角形的三边的比是3:5:7,则此三角形的最大角为钝角

3、（2023•安徽淮北•统考一模）设,ABC内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

csinC.-bsinB

sinC=sinAt,b=4.

a---------------a

（1）求角8的大小

（2）若°=逑，求的面积.

3

4、（2023・江苏泰州•泰州中学校考一模）△ABC的内角C的对边分别为mb,c,己知,=sinC-sin（A-3）.

⑴求A；

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⑵设〃=2,当b+缶的值最大时，求△ABC的面积.

5、（2023•黑龙江•黑龙江实验中学校考一模）已知函数/（九）=以短（8）+65111（5）85（5：）-'|,其中。＞0,

JT

且函数一（X）的两个相邻零点间的距离为二，

2

（1）求。的值及函数"X）的对称轴方程；

（2）在JLBC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若/（4）=-1,。=豆，求一ABC周长的取值范围.

6、（2023•山西临汾•统考一模）记..ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ocosB=Z?（l+cosA）.

（1）证明：A=2B；

（2）若c=26,。=百，求ABC的面积.

7、(2023•安徽宿州•统考一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且

(b—c)(sinB—sinC)=tzsinA—Z?sinC.

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(1)求角A的大小；

⑵求sin5+sinC的取值范围.

8、(2022•湖南郴州•高二期末)在AABC中，若边"c对应的角分别为A,B,C,且c=HsinC-ccosA.

(1)求角A的大小；

(2)若c=3,b=l,BD=2DC,求AD的长度.

9、(2022•山东济南•高三期末)在二ABC.中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知"二£="，«=3.

acosA

(1)求角A;

12

(2)若点。在边AC上，S.BD=-BA+^BC,求△BCD面积的最大值.

参考答案

1、(2023年全国乙卷数学(文))在ABC中，内角A,5,C的对边分别是c,若acosB-bcosA=c,且C=g,

则N5=()

71342K

A.—BC.—D.—

10105

【答案】C

第10页共33页

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcos3-sin3cosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sin5cosA=0,由于5£(0,兀)，故sin5>0,

TT

据此可得cosA=0,A=^,

2

4"兀兀3兀

贝lj3=7l—A—C=7l---------=.

2510

故选：C.

2、(2023年全国甲卷数学(理))在中，AB=2,NBAC=60o,BC=",D为BC上一点，AD为-54C

的平分线，则AD=.

【答案】2

如图所示：记A3=c,AC=b,BC=a,

方法一：由余弦定理可得，22+〃—2x2xbxcos60=6,

因为8>0,解得：b=l+B

由

SABC=sABD+sACD可得,

—x2xZ?xsin60=—x2xAZ)xsin30+—xADxZ;xsin30,

222

273(1+73)

解得:=2

一？一3+6

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+"—2X2X"COS60=6,因为b>0,解得：b=l+JL

由正弦定理可得，4—=_竺=’—，解得：sin8=«+后,sinC=",

sin60sinBsinC42

因为1+6>«>应，所以C=45,3=180-60-45=75,

又NBA£)=30°,所以NA£>3=75,BPAD=AB=2.

故答案为：2.

第11页共33页

3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在,A6C中，已知5=120。，AC=M，A3=2,则BC=

（）

A.1B.V2c.y/5D.3

【答案】D

【解析】设AB=c,AC=Z7,5C=a,

结合余弦定理：/=6+°2一2accos3可得：19=/+4—2xaxcosl20，

即：/+2。—15=0,解得：。=3（。=—5舍去），

故BC=3.

故选：D.

4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记，ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为班，

3=60。，/+c2=3ac，则/,=.

【答案】2&

【解析】文由题意，SAKC=LacsinB=^~ac=布,

ABC24

所以ac=4,/+/=12,

所以/=/+02—2accosB=12-2x4xg=8,解得匕=2后（负值舍去）.

故答案为：2夜.

5、（2023年全国甲卷数学（文））在一至。中，已知/BAC=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinZABC；

⑵若D为BC上一点，且NB4D=90。，求△ADC的面积.

【详解】（1）由余弦定理可得：

BC2=a2=b2-^-c2—2/?ccosA=4+1—2x2xlxcos120=7,

,ca2+c2-b27+4-15a

贝nrIIBC=vr7，cosB=---------=--------j==---,

lac2x2x7714

第12页共33页

sinB=

V2814

q—xABxADxsin90

（2）由三角形面积公式可得产^=孑----------------=4,

山⑺-xACxADxsin30

2

则S.=&Bc=9tx2xlxsinl20]=噂.

^22_2

6、（2023年全国甲卷数学（文））记ABC的内角A,民C的对边分别为。也c,已知。上一"=2.

cosA

⑴求Ac；

,…acosB-bcosAb_4一——三

⑵若——=―r--=1，求一ABC面积•

QCOS8+bcosAc

【详解】（1）ma2=b2+c2-2bccosA,所以/+。2-〃=26CCOSA=2A=2,解得：bc=l.

cosAcosA

/、,.rw…TEf"cos5—bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

（2）由正弦定理可得-----------------二-----------------------；一

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

sin（A-B）sinBsin（A-B）-sinB

sin（A+B）sin（A+B）sin（A+B）

变形可得：sin（A-B）-sin（A+B）=sinB,即-2cosAsinB=sinB,

而OvsinBWl,所以cosA=—=,又OvAv兀，所以sinA=苴，

22

故AABC的面积为S”8c=gAsinA=；xlx等=¥.

7、（2023年新高考天津卷）在.ABC中，角A,5,C所对的边分别是〃也。.已知〃=风）=2,ZA=120.

⑴求sinB的值；（2）求。的值;⑶求sin（5—C）.

a_b即/!!_=/_,解得：sinB=^

【详解】（1）由正弦定理可得,

sinAsinBsin120sin513

（2）由余弦定理可得，a2=b2-^-c2-2bccosA

解得：c=5或c=-7（舍去）.

（3）由正弦定理可得，三=三，即」1L=工，解得：sinC=舅叵，而4=120。,

sinAsinCsin120sinC26

所以反C都为锐角，因止匕cosC=、仁互=*画，COSB=、1^=3画，

V5226V1313

故sin（B-C）=sin28sC-cosBsinC=^x^-^x^=-^

'）1326132626

第13页共33页

8、（2023年新课标全国国卷）已知在ABC中，A+B=3C,2sin（A-C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）设AB=5,求A3边上的高.

【详解】（1）A+B=3C,

冗

.'.7t-C=3C,即C=—

4

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

/.2sinAcos2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

sinAcosC=3cosAsinC,/.sinA=3cosA,

7T

即tanA=3,所以

...sinA

Vioio

(2)由(1)知，cosA=j—=,

Mio

V23710M2小

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

Vio

v2加

5x-----

c_b

由正弦定理,可得b=1—=2^10,

sinCsinB

F

—AB-h=—AB.AC-sinA,

22

:.h=b-sinA=2A/TOX=6.

10

9、（2023年新课标全国回卷）记.71BC的内角A氏C的对边分别为。涉,。，已知.ABC的面积为若，D为BC

中点，且AD=1.

⑴若ZADC=y,求tanB；

（2）若+02=&,求仇c.

71

【详解】（1）方法1：在ABC中，因为。为BC中点，ZADC^-,AD=1,

A

BDEC

第14页共33页

贝UsA℃=」AO.r)Csin/Ar)C=LxlxLax3=3a=Ls,Br=—,解得。=4,

ADC2222822

2兀

在△AB。中，NADB=—,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB,

即°2=4+l—2x2xlx()=7,解得c=V7,则cosB=,

22<7x214

sinBA/3

所以tan3=

cosB5

7T

方法2：在一ABC中，因为。为BC中点，ZADC=~,AD=1,

贝！IS“％=LAO.OCsinNAOC=LxlxLax3=3a=Ls=,解得a=4,

ADC222282c2

在,ACD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADB,

即62=4+1-2X2X1X1=3,解得6=百，WAC2+AZ)2=4=CD2,贝此8。=与，

2z

C=F，过A作于E,于是CE=ACcosC=』,AE=ACsinC=立，BE=|,

6222

所以tanB=4^=3.

BE5

,1,1

c=aa+1—2x—x1xcos(7t—NADC)

(2)方法1：在△ABD与AACD中，由余弦定理得＜

11

h9——a9+1—2x—<2x1xcos^.ADC

42

整理得g/+2=〃+c2,而〃+C2=8,贝。=2若，

又S/"■=‘xJ^xlxsin/AOC=立，解得sin/A£>C=1,而Ov/ADCv-于是NADC='，

ADC222

所以6=c=JQ+CD?=2.

方法2：在中，因为。为BC中点，贝l]2AD=A3+AC，又CB=AB—AC，

4AL>2+CB2=(AB+AC)2+(AB-AC)2=2(b2+c2)=：16-BP4+a2=16,解得。=2有，

又Sa*,=J_xJ^xlxsin/AOC=立，解得sin/A£>C=1,jfff0<ZADC<7：,于是NAOC=P,

ADC222

所以6=c=&犷+⑦=2.

10、【2022年全国乙卷】记△2BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsinQl—B)=sin8sin(C

一)•

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(1)若4=28,求C；

(2)证明:2a2=ft2+c2

【解析】(1)由4=28,sinCsin(Z—B)=sinBsin(C—/)可得，sinCsinB=sinBsin(C—X),而。<8<多

所以sinBE(0,1),即有sinC=sin(C-Z)>0,而0<C<兀,0VC—Z<兀，显然CwC—4所以，C+C

而所以。=§.

—A=儿4=28,/+B+C=77r1,8

(2)由sinCsin(4—B)=sinBsin(C-/)可得，

sinC(sini4cosB-cos/sinB)=sinB(sinCcosZ-cosCsinZ),再由正弦定理可得，

accosB—bccosA=bccosA—abcosC,然后根据余弦定理可知，

222

|(a+C-Z?)-|(》2+c2-a2)=|62+c2_a2)_|(a2+匕2一c?),化简得：

2a2=b2+c2,故原等式成立.

11、【2022年全国乙卷】记4的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(4—B)=sinBsin(C—A).

(1)证明:2a2=b2+c2；

(2)若a=5,cosZ=至，求△ABC的周长.

【解析】⑴

证明：因为sinCsin(4—B)=sinBsin(C—/),

所以sinfsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC,

c?b2+c2-a27a2+b2-c2

所以ac•巴*H—2bc------------=—ab-------------

2ac2bc2ab

所以2小=h2+C2；

(2)：因为a=5,cos4=符,

由(1)得炉+c2=50,

由余弦定理可得a?—b2+c2-2bccosA,

则50-聿c=25,

所以儿=?,

故(b+c)2-b2+c2+2bc=50+31—81,

所以b+c=9,

第16页共33页

所以△ABC的周长为a+b+c=14.

12、【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知J*=三吟.

1+sinAl+cos2B

(1)若。=与，求&

(2)求日孚的最小值.

【解析】⑴

因为cos'=sin2B=2sm'：s'=sn\B_^即$也8=COSACOSB—sinAsinB=COS(i4+8)=—cosC=

l+sin?l1+COS2S2cos2BcosBv2

而OVBV：,所以8=3

ZO

(2)由(1)知,sinS=-cosC>0,所以彳<C<兀,0<B<>

而sinB=—cosC=sin。，

所以C=：+B,即有力=1一2B.

grpra2+b2_sin2i4+sinzB_cos22B+l-cos2B

c2sin2CCOS2B

=(2COS2BT)：+I-C°SZB=4cos2B+_5>2^8-5=4A/2-5.

coszBcoszF

当且仅当cos2B='时取等号，所以等的最小值为4鱼-5.

题型探究

题组一、运用正、余弦定理解决边角及面积问题

1-1、（2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在，ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,

b,c,若d+c2-62）tanB=a（c,则8的值为（）

A.巴B.工C.2D.红

6363

【答案】BD

【分析】利用余弦定理代入式子中能得到sinB=无，结合8的范围即能得到答案

2

【详解】解：根据余弦定理可知合+廿―/=2公855,代入（4+，—/）tanB=Nc,可得

2accosB•s'n'=^3ac,即sinB=,

cosB2

第17页共33页

TT27r

因为0<B〈乃,所以8=彳或8=答，

33

故选：BD.

1-2、（2023•江苏连云港•统考模拟预测）已知一ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且

2sinC=sinB+cosBtanA

⑴求A；

（2）若竺2+&sinB，求MC外接圆的半径R.

ac3sinC

兀1

【答案】（1）A=4；（2）—

qjnA1

【分析】⑴将tanA写为f代入化简可得cosA=：,根据Ae（O㈤,即可得A；

cosA2

⑵由正、余弦定理可将整3+B%=2百sin'化简为“+,2一」+=+二一°2=马他,进一步化简可得

ac3sinC2abc2abc3c

结合Y，再根据正弦定理即可得外接圆半径

【详解】（1）解:因为2sinC=sinB+cosBtanA,

所以2sinC=sin5+cos5xs‘n'sinBcosA+cosBsinA

cosAcosA

sin(B+A)_sinC

cosAcosA

所以251110以）524=5111。,因为。£（0,兀）,

所以sinC>0,所以cosA=；，又AE（0,兀）,

所以A=（：

cosAcosC2v3sinB

(2)因为----+-----=—^-----

ac3sinC

所以在中,由正、余弦定理得:

b2+c2-a2a~+b--c22出b

I—,

2abc2abc3c

ma2b2b2y/3bzV3

所以----=—=——，故+a=J,

2abcac3c2

由正弦定理」^7=2“得R=(,

sinA2

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所以一ABC外接圆半径为2

1-3、(2023•江苏南京•南京市秦淮中学校考模拟预测)已知一ABC的内角A氏C所对的边分别为。,6,c,且满

足43c——=6­

bcosA

(1)求角B的大小；

(2)若sinAsinC=4，设,ABC的面积为S,满足5=3有，求6的值.

【答案】(1)；；(2)713

【分析】(1)切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得8角大小;

(2)由三角形面积公式得“叫再由正弦定理可求得人

【详解】(1)由tanA=y/3,得bcisinA+^ZicosA,

Z?cosA

根据正弦定理，得6sinC=sinBsinA+^3sinBcosA.

因为sinC=sin[兀一(A+B)]=sin(A+B),

所以sinAsinB+石sinBcosA=Gsin(A+B),

所以sinAsin5=V3cosBsinA.

因为Ae(0,?t),所以sinAwO,所以tan3=道，则8="|.

(2)由S=gacsinB=34，得ac=12.

又由正弦定理白=△=*得.:,=(4))

sinAsinBsinesinAsinCsin8

13-廿

—xl2=-----

9.2工

所以sm§,解得b=g

1-4、(2023•江苏南京•校考一模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=在.

3

(i)若。=出,c=G，求人的值；

S1

(2)若角A的平分线交3。于点Z),看也=小。=2,求ACD的面积.

【答案】(1)6=4；(2)20+8/

39

【分析】(1)由tanA=也求出A=J,再根据余弦定理可求出力；

36

S1sl

(2)根据消迪=±得到蕾^=不，根据角平分线定理得到/7=2C,根据余弦定理求出C?,根据三角形面

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积公式求出SABC'从而可得SACD

【详解】（1）因为tanA=立，且0<A〈万，所以A=工，所以cosA=@,

362

由余弦定理得片=62+C2-26CCOSA,所以7=〃+3-2折•且，

2

所以。2-36-4=0,

解得6=4或6=-1（舍），

，~、inn、，S△ABD1r*L,、rACD2ll,、，S△ABD1,、，BD1

（2）因为^----所以^---------=-,所以^----=--所以7右=；，

3△ABCJ^AABCJ^AACD'CD2

因为NC4D=NA4D所以工=空=处=工，即6=2c,

bACCD2

又因为a=2,由余弦定理得1=02+A?_4c2*立=4,

2

解得'二』,

所以S^ABC=g6csinA=g2cc；=gc2=5_1^，

pr-pi<?_r.<?_2*220+8/

所以―5三百=』一•

题组二、运用余弦定理研究范围问题

2-1>（2023•江苏南通・统考一模）在ABC中，A,B,C的对边分别为。，4c,acos3-2ocosC=（2c-6）cosA.

（1）若°=迅°,求cosB的值；

⑵若b=l,^BAC的平分线AD交3C于点。，求4£）长度的取值范围.

【答案】⑴上叵；⑵（0,小

2413）

【分析】（1）由正弦定理得出c=26,再由余弦定理求得结果；

（2）设44£>=。，把表示成两个三角形的面积和，表示出AD,再求其取值范围；

【详解】（1）已知acos3-2acosC=（2c-b）cosA,

由正弦定理可得sinAcosB-2sinAcosC=（2sinC-sinB）cosA,

/.sinAcosB+cosAsiiuB=2sinAcosC+2cosAsinC,

sin（A+B）=2sin（A+C）,

/.sinC=2sinB,

c=2b,c=y[3a，即。=，

"2a

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/+34——13^3

a2+c2-b2

/.cosB=

lacla.y[3a24

（2）由（1）知c=2b,由2=1,则c=2.

设44T>=e,SMC=?2sin20=；2ADsine+JlAO-sinO,

AD=§cos6,6e[o,

3心•

2-2、（2023•江苏南通・统考模拟预测）在4ABC中，角A,8,C的对边分别是a,b,c,已知b=4,且6cosc+Jc=a.

⑴求5

（2）若。在AC上，且BOLAC,求的最大值.

【答案】（1）/；（2）26

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解;

（2）根据余弦定理和面积公式即可求解.

bcosC+；c=a,sinBcosC+gsinC=sinA=sin（B+C）

【详解】（1）方法一:

所以sinBcosC+—sinC=sinBcosC+cosBsinC,

所以一sinC=sinCcosB,CG（0,7i）,.\sinC>0,/.cosB=—,

方法二：在.ABC中，由正弦定理得：sinBcosC+^sinC=sinA=sin（B+C）,

所以sinBcosC+—sinC=sinBcosC+cosBsinC,

2

所以，sinC=cosBsinC.

2

因为。£（0,兀），所以sinCwO,所以cos3=）,

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因为=

（2）?去'Z??=/+/—2accosB—a2+c?—etc22cle—etc—ac,

「.ac<16当且仅当a=c=4时取“="，

11^acsinB百

—acsinB=—BDb,BD=Z---------=—ac<2^f

2228

:.BD隆=2瓜

方法二：

在_ABC中，由余弦定理得：

b1=a2+c2-2accosB=^>16=a2+c2-ac>2ac-ac（当且仅当a=c取“=”）

所以ac416,

所以ABC的面积S4月「=LacsinB=3^ac44g.

ABC24

S.ABC=gbxBD=2BDnBDM2后

2-3、（2023•江苏徐州彳余州市第七中学校考一模）已知在；ABC中，边。,6所对的角分别为A,B,C,

sin（B-A）+sinA_]

sinAsinC

（1）证明：”,b,c成等比数列；

（2）求角B的最大值.

【答案】⑴见解析；（2）gJT

【分析】（1）结合内角和关系，通过三角恒等变换化简条件等式可得sid5=sinAsinC,再利用正弦定理化

角为边即可证明；（2）根据余弦定理和基本不等式可求cosg的最小值，由此可得角5的最大值.

【详解】（1）通分化简可得sin（3-A）sinC+sin2A=sinAsinC,

sin(B-A)sin(B+A)+sin2A=sinAsinC,BPsin2Bcos2A-cos2Bsin2A+sin2A=sinAsinC,

即sin2B^l-sin2-(1-sin2B)sin2A+sin2A=sinAsinC,

整理得sin?3=sinAsinC,由正弦定理可得〃=，所以。、6、c成等比数列;

Ba2+c2—b?/+/-ac〉2ac-etc1

由⑴可得又0<B<-

(2)8s2aclac~2ac所以3,当且仅当a=c

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71

即-ABC为正三角形时等号成立，所以8的最大角为了

题组三、正余弦定理与其它知识点的结合