2024-2025学年新教材高考数学 第2章 平面解析几何 6.1 双曲线的标准方程教学实录 新人教B版选择性必修第一册

2024-2025学年新教材高考数学第2章平面解析几何6.1双曲线的标准方程教学实录新人教B版选择性必修第一册主备人备课成员教学内容2024-2025学年新教材高考数学第2章平面解析几何6.1双曲线的标准方程教学实录新人教B版选择性必修第一册

本节课主要围绕双曲线的标准方程展开，包括双曲线的定义、标准方程的推导、性质及几何意义等内容。通过实例分析和课堂练习，使学生掌握双曲线的标准方程及其应用，为后续学习双曲线的图像和性质打下基础。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过双曲线标准方程的推导，使学生理解从几何图形到代数表达式的转化过程。提升逻辑推理能力，引导学生通过分析双曲线的性质，推导出其标准方程，并理解其几何意义。同时，强化直观想象能力，通过图形与方程的对应关系，帮助学生建立空间观念。重点难点及解决办法重点：双曲线标准方程的推导及性质的理解。

难点：从双曲线的定义到标准方程的推导过程，以及双曲线性质的应用。

解决办法：首先，通过几何直观展示双曲线的定义，引导学生观察其几何特征，然后通过坐标变换引入参数方程，帮助学生理解从几何到代数的过渡。在推导标准方程时，强调几何变换与代数运算的结合，利用对称性简化推导过程。对于双曲线性质的应用，通过实例分析和课堂练习，让学生在实践中掌握应用方法，并通过小组讨论和合作学习，突破难点。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有新教材选择性必修第一册《平面解析几何》。

2.辅助材料：准备双曲线图像、标准方程的推导过程图表、性质总结表格等。

3.实验器材：无实验器材需求。

4.教室布置：设置多媒体教学设备，布置分组讨论区，提供白板或黑板用于板书和绘图。教学过程一、导入新课

同学们，我们已经学习了抛物线的标准方程和性质，今天我们来探索一种新的圆锥曲线——双曲线。请大家回顾一下圆锥曲线的定义，并思考双曲线与抛物线有何不同？

二、新课导入

同学们，通过回顾，我们知道圆锥曲线是由一个平面截圆锥面所得到的曲线。今天我们要学习的双曲线，就是这种截面与圆锥母线斜率的关系不同所形成的曲线。

三、讲授新课

1.双曲线的定义

首先，我们来看双曲线的定义。同学们，双曲线可以理解为平面上所有点到两个固定点的距离之差的绝对值是一个常数。这两个固定点我们称之为焦点，这个常数我们称之为双曲线的实轴长。请同学们拿出教材，仔细阅读双曲线的定义，并尝试用文字描述。

2.双曲线的标准方程

3.双曲线的性质

现在我们已经得到了双曲线的标准方程，接下来我们来看双曲线的性质。首先，我们知道双曲线有两条渐近线，它们分别与双曲线的左右两支相切。这两条渐近线的方程分别为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。请同学们观察这两个方程，思考它们与双曲线的关系。

4.双曲线的图像

四、课堂练习

1.请同学们完成教材中的例题，验证双曲线的标准方程及其性质。

2.请同学们观察双曲线的图像，分析双曲线的渐近线、顶点、焦点之间的关系。

五、课堂总结

六、课后作业

1.请同学们回顾本节课的内容，完成教材中的练习题。

2.请同学们尝试将双曲线应用于实际问题，如计算地球表面某点到两个城市的距离差等。知识点梳理1.双曲线的定义

-双曲线是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值是一个常数（大于两焦点距离）的点的轨迹。

-焦点位于双曲线的实轴上，实轴是连接两个焦点且垂直于虚轴的线段。

2.双曲线的标准方程

-当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a\)是实轴半长，\(b\)是虚轴半长。

-当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)。

3.双曲线的性质

-双曲线有两个渐近线，其方程分别为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。

-双曲线的顶点是实轴的端点，即\((\pma,0)\)。

-双曲线的焦点距离原点的距离是\(c\)，其中\(c^2=a^2+b^2\)。

-双曲线的实轴长是\(2a\)，虚轴长是\(2b\)。

4.双曲线的参数

-\(a\)：实轴半长，决定双曲线的横向宽度。

-\(b\)：虚轴半长，决定双曲线的纵向宽度。

-\(c\)：焦点到中心的距离，与\(a\)和\(b\)的关系为\(c^2=a^2+b^2\)。

5.双曲线的图像

-双曲线的图像是两个分支，分别向左右或上下无限延伸。

-双曲线的分支与渐近线相交但不相切。

-双曲线的顶点是图像的最宽处。

6.双曲线的应用

-在物理学中，双曲线常用于描述抛体运动的轨迹。

-在天文学中，双曲线可以用来描述行星轨道。

-在工程学中，双曲线可以用于设计光学系统。

7.双曲线的几何作图

-通过给定焦点和实轴长，可以作图得到双曲线。

-通过给定渐近线和焦点，也可以作图得到双曲线。

8.双曲线的方程推导

-从双曲线的定义出发，通过几何推导可以得到双曲线的标准方程。

-通过坐标变换，可以将双曲线方程转换为标准形式。

9.双曲线的性质证明

-证明双曲线的渐近线方程。

-证明双曲线的焦点与顶点的关系。

-证明双曲线的实轴与虚轴的关系。

10.双曲线的图像变换

-通过改变参数\(a\)和\(b\)，可以观察双曲线图像的变化。

-通过平移和旋转，可以研究双曲线图像的对称性。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学史上的双曲线》

学生可以通过阅读这篇材料，了解双曲线在数学发展史上的地位和作用，以及双曲线理论的发展历程。

-视频资源：《双曲线在生活中的应用》

观看这个视频，学生可以了解双曲线在现实生活中的应用，如建筑设计、光学系统等。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间，自主阅读相关材料，观看视频，拓展自己的知识面。

-学生可以尝试将所学知识应用到实际问题中，如设计一个简单的光学系统，或者分析一个建筑物的设计是否合理。

-学生在阅读和观看过程中，遇到不理解的地方，可以记录下来，并在下节课上向教师提问，或者与同学进行讨论。

-教师可以推荐一些额外的阅读材料，如《高等数学》中关于双曲线的章节，以及《数学之美》中关于双曲线应用的章节，供学生进一步学习。

3.拓展活动建议：

-小组讨论：学生可以组成小组，讨论双曲线在不同领域的应用，并准备一个简短的报告，分享给全班同学。

-实验设计：学生可以设计一个实验，验证双曲线的性质，如焦点距离、实轴与虚轴的关系等。

-数学建模：学生可以尝试使用双曲线模型来解决实际问题，如优化建筑设计、分析数据等。

4.拓展作业建议：

-完成教材中与双曲线相关的问题，尤其是那些要求学生自己推导性质或证明的问题。

-寻找生活中的双曲线实例，如电视屏幕、相机镜头等，并分析其设计原理。

-设计一个关于双曲线的数学游戏或教学工具，如制作一个双曲线的动态模型。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-双曲线的定义

-双曲线的标准方程

-双曲线的渐近线

-双曲线的焦点

-双曲线的性质（对称性、中心性、渐近性）

②关键词：

-轨迹

-焦点

-实轴

-虚轴

-渐近线

-对称中心

③关键句：

-双曲线是平面上所有点到两个固定点的距离之差的绝对值是一个常数（大于两焦点距离）的点的轨迹。

-当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

-双曲线有两条渐近线，其方程分别为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。

-双曲线的焦点距离原点的距离是\(c\)，其中\(c^2=a^2+b^2\)。

-双曲线的实轴长是\(2a\)，虚轴长是\(2b\)。教学反思与总结今天这节课，我们学习了双曲线的标准方程及其性质。我觉得整体上教学效果还不错，但也有些地方可以改进。

首先，我觉得我在教学方法上做得不错的地方是，我尽量通过直观的几何图形来引导学生理解双曲线的定义和性质。比如，我让学生们动手画双曲线，通过实际操作来感受双曲线的对称性和渐近线的概念。这种教学方法让学生们在实践中学习，效果比单纯讲解要好很多。

但是，我也发现了一些问题。比如，在讲解双曲线的标准方程时，我发现有些学生对于坐标变换的理解不够深入，导致他们在推导方程的过程中遇到了困难。这让我意识到，我在讲解过程中可能需要更加详细地解释坐标变换的原理，以及如何应用它来推导双曲线的方程。

在教学管理方面，我发现课堂上的互动不够充分。有些学生虽然积极参与讨论，但也有一些学生显得比较沉默。我意识到，我需要更好地调动每个学生的积极性，让每个学生都能参与到课堂活动中来。

当然，也存在一些不足。比如，部分学生在理解双曲线的渐近线时遇到了困难，这说明我在讲解渐近线的概念时可能没有做到位。另外，课堂上的互动不够，有些学生参与度不高，这也是我需要改进