高等数学（第三版）课件：多元微分

推广

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用

第一节一、平面点集n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念

1．邻域一、平面点集n维空间注称为点的去心邻域。2．区域(1)内点、外点、边界点与边界设有点集

E及一点P，

若存在点

P

的某邻域U(P)，使得U(P)

E,

若存在点

P的某邻域U(P)，使得

U(P)∩E=,

若点P

的任一邻域

U(P)内既含属于

E的点，又含不则称P为E的内点；属于E的点,则称

P为

E的边界点；则称P为E的外点;E的边界点的全体称为E的边界。例如：上任一点都是边界点

边界为圆周的边界为圆周及圆周的边界为

(3)开集、闭集

若点集

E

的点都是内点，则称

E

为开集；

若E的边界包含在E内,则称

E

为闭集；例如：开集为闭集

(4)连通集D若集

D

中任意两点都可用一完全属于

D的折线相连,则称

D

是连通集;．．

是开集，但不是连通集是连通集

(5)(开)区域、闭区域D

开区域连同它的边界一起称为闭区域。

连通的开集称为开区域,简称区域;．．例如，（开）区域闭区域

为有界闭区域；为无界开区域．例如，（6）有界点集、无界点集若平面点集E可包含于原点的某个邻域内，则称E为有界点集；否则，称E为无界点集．

以后区域可简单地表示成机动目录上页下页返回结束3．n

维空间注10

设两点为则20平面点集的有关概念均可推广到n维空间中去，如，邻域：在空间中表示闭区域，边界面为二、多元函数的概念两个自变量的函数称为二元函数，一般记为1．多元函数的概念同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为二元及二元以上的函数称为多元函数。，例如例1设求：解：。例2求的定义域．解所求定义域为2.二元函数的图形二元函数的图形通常是一张空间曲面，例如：定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面。当点无限趋近于点时，由于记或的值无限接近于常数A，则称A是当点趋向于点时的极限，记为三、多元函数的极限因此有定义2.设函数f(x,y)的定义域为D，边界点,则称A为函数P0是D的内点或若存在常数A,当都有机动目录上页下页返回结束对任意正数

,总存在正数,时的极限，记作例3.证明证:故总有机动目录上页下页返回结束要证

只要取注：

若点以两种不同方式趋于时，趋于两个不同值，或当点以某种的极限不存在，方式趋于时，则不存在。

例4证明不存在.证故不存在。四、多元函数的连续性定义3如果函数

在

D上的每一点都连续，则称函数在

D上连续，或者称是

D上的连续函数。定义4例5讨论在(0,0)的连续性．解其值随k的不同而变化，因为因此，在点(0,0)处不连续。故极限不存在．定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续．注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。例6求解原式=例7解4．有界闭区域上连续函数的性质

有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值．

有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值。（2）最值性（3）介值性（1）有界性有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界．习题P561,3(1)(4),4,5,6(1)(3)(4)(6),7(1),8(2)思考题解答不能！例如：取但是，不存在.因为若取若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？备用题设求解令机动目录上页下页返回结束第二节偏导数一、偏导数的定义及计算法二、高阶偏导数以前：一元函数

y=f(x)在点x0处的导数

一、偏导数的定义及计算法现在：中的y固定于得一元函数y0处,这个一元函数在将x0

处的导数，称为二元

在点

处对的偏导数

1．函数在点(x0,y0)处的偏导数（一）偏导数的定义定义1.,点存在,则称此极限为如果对z=f(x,y)在点(x0,y0)对

x

的偏导数，记为如果存在,机动目录上页下页返回结束则称此极限为z=f(x,y)在点(x0,y0)对

y

的偏导数,记作或同样地注定义2函数对x的偏导(函)数，或记作其中2．函数的偏导数函数对y的偏导(函)数，或记作其中（二）偏导数的计算法1．偏导函数的计算法（以前的公式与方法）对z=f(x,y)求只要把y看作常量，z对x求导.求只要把x看作常量，z对y求导.2．点处偏导数的计算法方法一（一般方法）：先求偏导函数，再将点的坐标代入．先化成一元函数，再求导数值．方法二：。方法三（用于求分段函数在分段点处的偏导数）：直接按偏导数的定义求。解例1

设 ，求解例2设

求解例3

设其中可导，求例4.设求解解例5

设，求例6解设求对称地（三）偏导数存在与连续的关系偏导数存在连续例如：在点处偏导数存在，但不连续．（见本节例6及上节例4）又如,但fx(0,0)及fy(0,0)不存在.在(0,0)处连续,（四）偏导数的几何意义在几何上表示曲面与平面的交线在点处的切线Tx对x轴的斜率．同理表示切线Ty对y轴的斜率.二、高阶偏导数1.高阶偏导数的定义不记定义函数z=f(x,y)的一阶偏导数的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.n-1阶偏导数的偏导数，……称为函数z=f(x,y)

的n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。2.二阶偏导数的记号对于z=f(x,y)记作：记作：记作：记作：纯偏导混合偏导说明1

z=f(x,y)的三阶偏导数说明2二元以上多元函数的高阶偏导数也有类似的记号及意义.3.

求高阶偏导数举例解例7

设求发现这是否为一般规律？否！定理的混合偏导数及在点(x,y)处连续，如果z=f(x,y)那末注1若式(*)成立,就说混合偏导数与求偏导次序无关。注2式(*)并不总成立.解例8

设求习题P62~631,2(1)(2)(3),4,7(2)(3),8.内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续在混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动目录上页下页返回结束解例1.设求解例2

设求例3

设求解：第三节全微分*二、全微分在数值计算中的应用应用

一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义定义

如果在点的全增量可以表示为其中A,B不依赖于而仅与有关，则称可微(分),在点即即:在点称为的全微分，而记为注10函数在点的全微分记为20函数若在区域D内每点处都可微，则称这函数在D内可微分。二、可微的必要条件定理1那么函数在(x,y)处在点可微分,如果函数(1)必连续.(2)

偏导数且全微分为必存在，【简言之，可微一定连续及可偏导】证(2)①∵z=f(x,y)在点处可微，∴其中在①式中令得如果在点(x,y)可微分，处且在点处则在点存在，同理可得于是，故因此，注10通常记于是，当函数可微时，

计算公式机动目录上页下页返回结束反例:函数易知机动目录上页下页返回结束偏导数存在,函数不一定可微!因该函数在点(0,0)不可微.在(0,0)处不连续(见8.1中例4),由定理1知,三、可微的充分条件定理2的偏导数、在点则该函数在点可微分．若函数连续，【简言之，偏导数连续一定可微】注重要关系：一元函数(不记)多元函数连续可导可微偏导数连续可微连续可偏导推广:

三元函数的全微分为:机动目录上页下页返回结束解∴例1设求dz(2,1).解例2

设求du习题P681(1)(4)(5)(6),2(1),4.内容小结1.微分定义:2.重要关系:机动目录上页下页返回结束偏导数连续可微连续可偏导答案:

第四节目录上页下页返回结束已知备用题第四节多元复合函数的求导法则复习：一元复合函数的求导法则即：函数的导数等于“链”上变化率之积。yux一、求导法则情形Ⅰ

中间变量均为一元函数设则函数的导数这种导数称为全导数则推广:的导数例1.设

求全导数解:情形Ⅱ中间变量是多元函数的情形.机动目录上页下页返回结束

设则复合函数的偏导数设

则的偏导数机动目录上页下页返回结束推广:例2.设解:求常采用下面记号：在多元复合函数求导中，为方便起见，解例3设其中f具有二阶连续偏导数，求：注意：仍然是复合函数！∵f有二阶连续偏导数，

∴解例4设其中f具有二阶连续偏导数，求：例4设求∵f有二阶连续偏导数，∴情形Ⅲ

中间变量既有一元函数，又有多元函数。则函数

设zuvwxyxy解：zuvwxyxy例5.设

求zuvwxyxy例5.设

求例5

求设另解：题设函数可看作由复合而成，利用情形Ⅱ中的公式可得同样结果或者先式两边取对数，后求得偏导数多元复合函数求导法则：(1)复合函数对某自变量的变化率等于若干项乘积之和;(2)和式中的项数=

中间变量的个数;(3)每一项均为因变量对中间变量的变化率对这个自变量的变化率.乘以中间变量注:

变化率即为偏导数(或导数)例如而则的导数再如,注意:这里表示固定

y对x

求导,表示固定

v对x求导与不同,例6.设机动目录上页下页返回结束求解：例7.设解：

f具有二阶连续偏导数，求二、多元复合函数的全微分法则(1)设则(2)设，而则可证可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

其全微分表达形式都一样,这一性质叫做全微分形式不变性。1.全微分形式不变性设u,v是某些自变量的多元函数，则有（C为常数）；证明(3),由全微分形式不变性，有2.全微分运算法则例8.设，求一阶偏导数.解：即设例9.解：即求全微分。习题P75~763,5,6(提示),8(1)(4),9,11.思考与练习机动目录上页下页返回结束1.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束2.已知求解:由两边对

x

求导,得机动目录上页下页返回结束第五节隐函数的求导公式一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数1．一元隐函数的求导公式一、一个方程的情形设由二元方程确定了一元函数则两边对

x求导得：证：将代入得：所以：即：例1求导数设解（新方法）另解（老方法）方程两边同时对x求导，得：（注意：y不是常数，是x的函数）所以：2．二元隐函数的求导公式设由三元方程确定了二元函数则 两边对x求偏导得：同样可得推导：∴当时，有解（新方法）例2.设求代入原方程，得z=2另解（老方法）两边对x求偏导（注意:y是常数,z是x的函数）例2.设求故：两边对y求偏导（注意:x是常数,z是y的函数）解例3.设由方程确定,其中f证明：具有连续导数，记…求隐函数一阶导数（或偏导数）的新方法的步骤：1.原方程（或恒等变形后的方程）移项，使一边为零，另一边记为F;求F的偏导数，利用公式求出隐函数的导数（或偏导数）。解令则例4设求二、方程组的情形1．一元隐函数的求导确定了一元函数方程组取微分:解得：则有求例5.设求解：解之得等式两边取微分，得2．二元隐函数的求导方程组确定了两个二元函数求u和v

的偏导数。取微分:解得：则有解：解之得例6.设求确定了u=f(x,y),v=h(x,y),等式两边取微分，得例6.u=f(x,y),v=h(x,y).习题P83~841,3,4,5,6习题P116:5备用题1.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x

求导,得(99考研)机动目录上页下页返回结束解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动目录上页下页返回结束可得第六节微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线复习目录上页下页返回结束空间曲线G

在点M

处的切线为MT;一、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线垂直的平面P称为曲线在该点的法平面.

（

对应）处切线的方向向量为1．设曲线G的参数方程：在点

处曲线G的点—三个导数(1)切线:(2)法平面:

称为切向量。向量注：上式分母同除以得割线的方程为推导：点对应参数点对应参数在上式中令，得注若曲线则视z为参数，即切向量G在(x0,y0,z0)的解切线为法平面为切向量例1求在点处的切线及法平面方程.点对应

解切线方程为切向量。曲线即为

例2求曲线在点处的切线方程.切平面的法向量为——三个偏导数二、曲面的切平面与法线设曲面则曲面在点处在点处切平面为:

法线为:

处的切平面解令切平面法线则即。例3.求曲面在点及法线方程.解设切点为依题意得则①令则的切平面方程例4.求曲面平行于平面①②所以故切平面:即解①②得：平面G(x,y,z)=0在点的方向向量为结论

F(x,y,z)=0处的切线空间曲线处的切线就是曲面处切平面的交线.及G(x,y,z)=0在点曲线G

在点F(x,y,z)=0例5求曲线

在点

处的切线方程.

解:点(1,1,-1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:这是前例2的另解习题P91~921(2)(3),3(1),5,8.习题P11715(提示)备用题：机动目录上页下页返回结束1.确定正数

使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录上页下页返回结束,因此有推导:对应参数任一曲线在该点的切线都垂直下面先证明：曲面上过点的设曲面上过点的任一曲线为点下证：切向量。上式两边对t求导得：令所以则第七节方向导数与梯度一、方向导数

二、梯度三、向量场一、方向导数1．方向导数的概念方向导数或记为在P0(x0,y0)处,

其中的方向导数•xoy沿方向2．方向导数的计算法定理注2

可微,那末若函数z=f(x,y)在函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有其中的方向余弦．为a,b

是向量

l

与x,y

轴正向的夹角；注1则有若证xyaβo在可微等式两边同除r得（*）（*）令(*)式两边取极限得注意到注可类似地定义三元函数u=f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处的方向导数.沿方向l计算公式为：有其中cosa,cosb,cosg为l的方向余弦。解例1

求在点方向导数。到点处沿下列方向的（1）（2）沿点xyPabo点(1,1)处（1）(2)例1

求在点的方向导数。到点处沿下列方向（2）沿解例2

求函数在点P(1,1,1)处沿点P到点D(3,2,-1)方向的方向导数.的方向余弦为点(1,1,1)处二、梯度1．梯度的定义定义

称向量为z=f(x,y)在点(x,y)处的梯度，记为gradf(x,y),即类似地，规定：对于例3设解：求点(1,2)处2．梯度与方向导数的关系（1）推导：其中q为gradf与l的夹角.（1）则注1

沿梯度方向的方向导数最大，（2）若l与同向,其中q为gradf与l的夹角.最大则若l与反向,最小的最大值等于梯度的模。方向导数注2

对三元函数也有类似于(1)和(2)的结论。解(1)所以例4

设（2）求f在点P处沿该点梯度方向的方向导数；（1）求f在点P处的梯度；其值是多少？（3）f在点P处沿哪个方向的方向导数最小？点P

(1,-2,1),(2)则（3）f在点P处沿的方向导数最小，例4

设（2）求f在点P处沿该点梯度方向的方向导数；其值是多少？（3）f在点P处沿哪个方向的方向导数最小？点P(1,-2,1),令方向导数的最小值为三、向量场物理量在空间的分布数量场(场中物理量为数量)场向量场(场中物理量为向量)如:温度场,电位场等机动目录上页下页返回结束场：在三维空间中向量场：例如由可微函数（这个场称为梯度场）可确定一个向量场如:力场,速度场等习题P99~1001,2,5,7,8,10.内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l

(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l

(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在•可微机动目录上页下页返回结束备用题1.设

求函数在点M(1,1,1)

处沿曲线在该点切线方向的方向导数;机动目录上页下页返回结束解点M(1,1,1)处切线的方向向量第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值一、多元函数的极值

定义则称函数在点(x0,y0)例1.在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.称为函数z=f(x,y)的某邻域内有机动目录上页下页返回结束1．二元函数极值的定义若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极大值(或极小值).的极大值点[或极小值点].2．极值的必要条件注10

方程组的解称为f(x,y)的驻点．20

30

极值嫌疑点：【简言之：可偏导函数的极值点必是驻点】驻点不一定是极值点.定理1在点有偏导数，且在处有极值，则必有设驻点、偏导数不存在的点.（例如z=xy,驻点(0,0)不是极值点)．定理2

的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令若函数机动目录上页下页返回结束3．极值的充分条件则（1）当是极值，时为极大值；时，可能是极值,且当时为极小值；（2）当时，不是极值，（3）当时，也可能不是极值，需另作讨论。在点

当机动目录上页下页返回结束即解得驻点

第二步：求第三步：求A、B、C，的符号，判定f(x0,y0)是否为极值。对每个驻点由求f(x,y)的驻点第一步：4．求二元函数z=f(x,y)极值的步骤：例2.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(3,2),(3,-2)第二步解的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束例2.求驻点:在点(3,2)

处点（3，2）不是极值点;的极值.机动目录上页下页返回结束第三步在点(3,-2)处为极大值.的符号，判别。定(3,-2)(3,2),二、应用问题中的多元函数的最值在实际问题中，而f(x,y)在D

内只有唯一驻点，所求的最值点．机动目录上页下页返回结束如果f(x,y)在D内的最值存在，那么该驻点就是例3解

距离平方之和由得驻点在xoy面上求一点,使它到x=0,y=0,x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小.所以,当所求点为时,u最小.机动目录上页下页返回结束•P(x,y)Eyx三、条件极值1.条件极值概念无条件极值.例如：（1）求的极值.机动目录上页下页返回结束条件极值.（2）例如:求在条件下的极值.2.条件极值的求法

拉格朗日乘数法

步骤：机动目录上页下页返回结束求在条件下极值①作拉格朗日函数②解方程组得③判别是否就是所求极值点.（应用题不必判别）机动目录上页下页返回结束注求在条件下条件极值的拉格朗日乘数法:得（2）解方程组是极大（小）值（3