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文档简介

一、数列的概念

二、数列的极限三、数列极限的性质

数列的极限

一、数列的概念定义xn=f(n)按照一定的法则排列的有次序的数x1，x2

称为数列，记作：，且

,…,xn

,…

例（1）（2）（3）（4）（5）→0→0→1→∞无趋向

如果满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤

…，则称设有数列{xn

}，

单调数列的概念如果满足x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…，则称{xn}为单调增加数列；如例中的（4）{xn}为单调减少数列；如例中的（1），（2）

有界数列的概念设有数列{xn}，如果ヨM>0，使得|xn|<M

，称{xn}为有界数列。单调有界数列的图示问题：

n→∞时,xn=f(n)能否无限接近某个确定的常数？趋向

二、数列极限的定义数列极限的描述性定义对于数列{xn}，当n→∞时，相应的项xn如果无限接近于一个确定的常数A，

或如果数列没有极限,则称数列{xn}发散。例1：（1）当|q|＜１时，。（2）。则称常数A为数列{xn}当n→∞时的极限，或称数列{xn}收敛于A，记作

分析：当n充分大时，|xn－A|能够任意小当n大于某个正数N时，|xn－A|<任意的

任给

>0，存在N>0，当n>N

时，|xn－A|<

数列极限的精确定义对于任意给定的

>0，总存在正整数N，使当n>N的一切

xn

，有|xn－A|<

成立，则称常数A是数列xn当n→∞时的极限，记作

极限定义的几何意义对于给定的ε，存在正整数

N，使得N项后面所有的项

xn，有|xn－A|<ε

A－

ε

<

xn<A+ε

如果数列{xn}的极限为A，则在A点的附近，聚集了数列{xn}中无穷多项所表示的点定义的简记形式

e

>0

N>0

当

n>N，有|xn－A|<e

例2证明

|q|＜１时，。解

|xn－A|=|qn－0|=|q|n<e,n㏑|q|

<㏑e

e

>0

取

N＝

当

n>N，有|qn－0|<e

即。

用定义证明极限式，这类题型的关键性工作是寻找Ｎ寻找Ｎ的方法：注意：

由|xn－A|<e

解出保证不等式成立的n，其形式为

n>“含e的式子”，取Ｎ＝解出的含e的式子。

三、数列极限的性质性质1

(极限的唯一性)如果数列收敛，则极性质2

(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。

注意：{xn}收敛

{xn}有界

{xn}无界

{xn}发散

{xn}有界

{xn}收敛，如例中的（5）性质3

单调有界数列{xn}必有极限。

限值A唯一。

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