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文档简介

二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用

一、微分的概念函数的微分

一、微分的概念

引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x

,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到响，其边长由

的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即1.微分的定义在点可微,

2.可微与可导的关系定理:函数在点可微的充要条件是即

可微可导，且定理的结论可简单表示为说明:按可微的定义所以时很小时,有近似公式与的差是比Δx高价无穷小,故当微分计算公式：自变量的微分,记作

例1.解:设例2.已知求解：因为所以

3.微分的几何意义当很小时,这是利用微分作近似计算的基础从而导数也叫作微商曲线上纵坐标的增量切线上纵坐标的增量

例如,基本初等函数的微分公式又如,利用微商作参数方程一阶、二阶导数公式的推导。

二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数

例3.求解:

例4.解:设

例5.解:设例6.设求解:利用一阶微分形式不变性,有

例7.在下列括号中填入适当的函数使等式说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.成立:

三、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:

特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得

的近似值.解:设取则例8.求

的近似值.解:例9.计算

思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.

作业P742;3(2,4,

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