自动控制 第七章第一二讲(新)学习资料

第七章线性离散系统的分析由于数字技术的迅速发展，特别是计算机技术的发展，数字控制在许多场合取代了模拟控制器，作为分析与设计数字控制系统的理论基础，离散系统控制理论发展也非常迅速。离散控制系统与连续控制系统既有本质上的不同，又有分析研究方面的相似性，利用z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法推广到线性离散系统。通过本章学习，使学生建立有关离散控制系统的概念，掌握数字控制中采样和保持这二个信号变换过程及数学描述，了解z变换理论，建立离散系统的数学模型，掌握离散系统的分析方法。学习目的1、采样过程的数学描述和香农采样定理2、信号保持过程－零阶保持器3、z变换理论4、离散系统的数学模型－脉冲传递函数5、离散系统的稳定性与稳态误差6、离散系统的动态分析学习要点7-1离散系统的基本概念1一、什么是离散系统？如果系统中所有信号都是时间变量的连续函数，即这些信号在全部时间上都是已知的，这样的系统称连续时间系统，简称连续系统。如果系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，即这些信号仅定义在离散时间上，这样的系统称离散时间系统，简称离散系统。模拟信号（时间和幅值都连续）采样信号（时间离散幅值连续）数字信号（时间离散幅值离散）7-1离散系统的基本概念21、采样控制系统：把系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统。2、数字控制系统：把系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。离散控制系统又分为采样控制系统和数字控制系统。二、采样控制系统采样控制系统中不仅有模拟元件，还有脉冲元件。通常测量元件、执行元件和被控对像是模拟元件，其输入和输出是连续信号，即时间和幅值上都连续的信号，称模拟信号；而控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲序列，即时间上离散而幅值上连续的信号，称离散模拟信号。为了使这两种信号在系统中能相互传递，在连续信号和脉冲序列之间要用采样器（将连续信号变成脉冲序列），而在脉冲序列和连续信号之间要用保持器（将脉冲序列变成连续信号）。采样器和保持器是采样控制系统中的二个特殊环节。7-1离散系统的基本概念37-1离散系统的基本概念4采样：把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样。实现采样的装置称为采样器，或采样开关。T：表示采样周期，单位是s；fs：表示采样频率，fs＝1/T，单位是1/s，即Hz；ωs：表示采样角频率，ωs＝2πfs＝2π/T，单位是rad/s。1、信号采样和复现如果在相等的时间间隔采样，则称为周期采样，本章仅讨论周期采样。如果采样的时间间隔是时变或随机的，则称为非周期性采样或随机采样。如果系统中有几个采样器，则它们应该是同步等周期的。7-1离散系统的基本概念47-2信号的采样与保持1e(t)teτ*(t)tτT+τT

采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关来表示，开关每T秒闭合一次，闭合时间为τ，采样开关的输入e(t)为连续信号，输出为宽度等于τ的调幅脉冲序列eτ*(t)。在t=0时，s闭合τ秒，此时eτ*(t)＝e(t)在t=τ后，s打开，此时eτ*(t)＝0在t=T秒时，s又闭合τ秒，eτ*(t)＝e(t)为了简化分析，可以认为τ→0，即可以把采样器的输出eτ*(t)近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲e*(t)。在实际应用中，采样开关多为电子开关，闭合时间极短，所以采样持续时间τ远小于采样周期T，也远小于系统连续部分的最大时间常数。7-1离散系统的基本概念5在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程，实现复现的装置叫保持器。保持器的功能：保持器不仅把脉冲序列转变为连续信号，完成两种信号之间的转换，同时还因为采样器输出的脉冲信号e*(t)中含有高频分量，如果不经滤波，则相当于给系统中的连续部分加入了噪声，影响控制质量，因此需要在采样器后加一个信号复现滤波器。最简单的复现滤波器由保持器实现。7-1离散系统的基本概念8te*(t)teh(t)保持器输入信号保持器输出信号

保持器可把脉冲信号e*(t)复现为阶梯信号eh(t)

当采样频率足够高时，eh(t)接近于连续信号7-1离散系统的基本概念7采样－保持全过程2、采样系统的典型结构图根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采样系统。

a.开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外，或系统本身不存在闭合回路。

b.闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。而在实践中用得最多的是：误差采样控制的闭环系统。Gh(s)Gp(s)H(s)Se(t)e*(t)eh(t)c(t)r(t)误差采样：采样开关设在误差比较点之后。s:理想采样开关，τ→0Gh(s)：保持器传递函数，Gp(s):被控制对象传递函数，H(s):反馈元件传递函数7-1离散系统的基本概念8

采样控制系统典型结构图数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。因此，该系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两部分。

A/D、D/A转换器是计算机控制系统中的两个特殊环节。三、数字控制系统数字控制系统中的连续信号和数字信号的转变是由A/D、D/A转换器完成的。7-1离散系统的基本概念9

A/D转换器把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。包括三个过程：一是采样；二是量化，将离散的模拟信号表示成最小二进制数（量化单位）的整数倍；三是编码，将量化后的结果用二进制代码（或其他进制）表示。1、A/D转换器

D/A转换器把离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括两个过程：一是解码过程，把离散数字信号变为离散的模拟信号；二是复现过程，也称保持过程，因为离散的模拟信号无法直接控制连续的被控对象，需经过保持器将其复现为连续模拟信号。2、D/A转换器7-1离散系统的基本概念10小口径高炮高精度伺服系统小口径高炮高精度伺服系统四、离散控制系统的特点采样和数字控制技术与连续系统相比有以下特性：1、由数字计算机构成的数字校正装置效果比连续校正装置好，而且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。2、数字信号的传递可以有效抑制噪声，提高系统抗干扰能力。3、提高系统的控制精度。4、可以用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率。7-1离散系统的基本概念11五、离散系统的研究方法连续系统用微分方程、传递函数、频率特性建立数学模型，而离散系统采用z变换法建立离散系统的数学模型。因为在离散系统中存在脉冲或数字信号，如果仍沿用连续系统中的拉氏变换方法来建立系统各环节的传递函数，则在运算过程中会出现复变量s的超越函数。通过z变换处理后的离散系统，可以把用于连续系统中的许多方法，如稳定性分析、稳态误差计算、时间响应分析以及系统校正方法等经适当等效变换后，直接用于离散系统的分析和设计中。7-1离散系统的基本概念12一、采样过程：采样时，采样开关闭合时间τ很小，τ<<T，所以连续信号e(t)在τ时间内变化很小，分析时，可将采样开关等效为一个理想采样关。采样过程相当于一个幅值调制过程，载波信号为理想单位脉冲序列。理想采样器的输出：7-2信号的采样与保持1

为定量研究离散系统，须对信号的采样和保持过程用数学的方法加以描述。由于连续信号e(t)的数值在采样瞬时才有意义，l令理想采样器的输出信号又可以表示为：式中，e(nT)是连续信号在t=nT时的值。7-2信号的采样与保持2采样信号的数学表达式！！二、采样过程的数学描述1、采样信号的Laplace变换由位移定理：7-2信号的采样与保持3对e*(t)进行Laplace变换所以，说明，δ(t)函数仅在[0－，0＋]起作用，而t＝0时，e-st=1采样信号的Laplace变换形式。注意，e(nT)与e-nTs的区别，e(nT)是连续信号在t=tn时的值，

e-nTs是以s为变量的指数函数。7-2信号的采样与保持4例1：设连续信号为e(t)=1(t)，求脉冲序列e*(t)的Laplace变换。解：上式是一个等比数列，公比为：q=e-Ts，而e-Ts＜1，由无穷递减等比数列求和公式：7-2信号的采样与保持5例2：设e(t)=e-at

t≥0

a为常数，求E*(s)解：用nT代替e(t)中的t，则有：上式无穷递减等比数列的公比为：e-T(a+s)7-2信号的采样与保持62、采样信号的频谱

由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息（在采样间隔有信号丢失），所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化，那么连续信号E(s)与采样信号E*(s)之间有什么关系呢？

δT(t)是单位脉冲序列，是一个周期函数，研究频谱问题一般是取傅立叶级数展开。7-2信号的采样与保持7δT(t)=ωs=2π/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：δT(t)=连续信号的频谱为令s=jw，得采样信号的频谱ωh-ωh0取拉氏变换并应用复数位移定理由于n从-∞到+∞，该采样拉氏变换可写成采样信号的频谱为ωh-ωh0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs7-2信号的采样与保持8一般连续信号的频谱E(jω)为单一的连续频谱，设它的最高角频率为ωh（任何模拟信号进行谐波分析时都可以表示为若干正弦信号之和，设谐波中最高频率为ωh

），则采样信号e*(t)的频谱E*(jω)是以采样角频率ωs为周期的无穷个频谱之和。E*(jω)与E(jω)的形状一致，但在幅值上变化了1/T倍。如图ωh-ωh0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωsωh-ωh0当n=0就是原函数的频谱，但幅值为原来的1/T，称采样频谱的主分量；其余频谱都是采样而引起的高频频谱，称为采样频谱的补分量。7-2信号的采样与保持9如果采样率较大，当（即采样频率≥2倍的E

(jω)最高频率）时，E*(jω)频谱中的各个波形不重叠，相互间隔一定的频率（距离）。这种情况下，可以用理想滤波器把ω>ωh的补分量全部滤掉，在E*(jω)中只保留下主分量，原信号频谱通过采样后仍可毫无畸变地复现出来。0ωh-ωhωs-ωs2ωs-2ωsωh-ωh0ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs7-2信号的采样与保持10如果减小采样率ωs(相当于加大采样周期T)，当ωs<2ωh时，

E*(jω)频谱中的补分量相互交叠，此时，用理想滤波器无法恢复原来连续信号的频谱。0ωh-ωhωs-ωs2ωs-2ωs因此，为使采样后的脉冲序列频谱互不重叠，采样频率必须大或等于原信号所含最高频率的二倍。这样才可能通过理想滤波器把原信号频谱毫无畸变地恢复出来－－这就是香农采样定理。7-2信号的采样与保持11香农采样定理：

如果采样器的输入信号具有有限带宽，并有直到的频率分量，则Shannon采样定理描述为：

若（为采样周期），则信号

可以完整地从采样信号

恢复过来。所以，采样频率不能太低，否则信息损失太多，原信号不能准确恢复，但采样频率也不能太高，否则实现起来会有困难。7-2信号的采样与保持12采样过程所应遵循的规律，称采样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。关于采样定理1、零阶保持器

零阶保持器将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号，其传递函数为零阶保持器的数学表达式：e(nT+Δt)=e(nT)式中，nT为采样时刻；

Δt为本次采样时间与下次采样之间的某一个时间值。三、信号保持：把离散信号转换为连续信号的装置称为保持器，从数学上讲，保持器的任务是解决各采样点之间的插值问题。7-2信号的采样与保持13

由零阶保持器的数学表达式表明，零阶保持器能把采样时刻nT的采样值恒定不变地保持到下一采样时间(n+1)T，从而使采样信号e*(t)变成阶梯信号eh(t)。如图7-2信号的采样与保持14由于保持器的相邻两个采样间隔之间的输出是一个宽度为T，高度为e(nT)的脉冲信号，所以它可以用二个单位阶跃信号来模拟。eh(t)=e(nT)[1(t-nT)-1(t-nT-T)];nT<t<(n+1)T对于全部的输出信号，则要加求和符号：7-2信号的采样与保持15对于全部的输出信号：取Laplace变换，由位移性质：保持器E＊(s)eh(s)E*(s)：保持器的输入Eh(s)：保持器的输出7-2信号的采样与保持16保持器将离散信号转换为连续信号，近似重现作用在采样器上的信号。

零阶保持器将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号，其传递函数为7-2信号的采样与保持17附：零阶保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=3令：s=jω，并使用欧拉公式下面分析零阶保持器的频率特性7-2信号的采样与保持18ωs2ωs3ωsT-π-2π-3π相频幅频零阶保持器的幅频特性相频特性由极限当ω→0时，7-2信号的采样与保持19由零阶保持器的幅、相频图可见，零阶保持器具有如下特性：

1、低通特性。由幅频特性看出，幅值随频率增大而迅速衰减。说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但它不是理想的滤波器，它的截止频频率有很多个，高频分量仍有部分通过，造成数字控制系统的输出中存在纹波。

2、相角迟后特性。由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，随着ω增大，迟后角加大，在ω＝ωs,相角迟后可达-180°，从而使闭环系统稳定性变差。但与其他高阶保持器相比，零阶保持器相位滞后最小，所以普遍采用零阶保持器。7-2信号的采样与保持207-3

z变换理论11、z变换定义在线性连续系统的动态和稳态性能分析中，可以用Laplace变换的方法进行分析，将微分方程化为以s为变量的代数方程。在线性离散系统的性能分析中，采用z变换的方法来分析，将含有e-nTs的超越方程化为线性代数方程。根据采样信号的Laplace变换：令：z＝eTs，则：e-nTs=z-n或：E(z)就称为e*(t)的z变换，用Z[e*(t)]表示。E(z)=Z[e*(t)]通过这种代换，可将s的超越函数转换为z的幂级数或有理分式。2、z变换方法：z变换常用两种主要方法(1)级数求和法：根据z变换的定义，写成展开式然后求这个无穷级数之和。7-3

z变换理论2例1：求单位阶跃函数e(t)=1(t)的z变换。解：因为：e(t)=1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1e(nT)=1(n=0,1,2,……)7-3

z变换理论3例2：设求其z变换因为理想脉冲函数δ(t-nT)在nT时刻是强度为1的理想脉冲，在其它时刻都为0。由上二例看出，相同的z变换不一定对应于相同的时间连续函数。7-3

z变换理论47-3

z变换理论5(2)部分分式法：利用部分分式法求出z变换时，a、先求出已知连续函数e(t)的Laplace变换E(s)b、将有理分式函数E(s)展开成部分分式之和的形式，而每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的z变换是已知的，于是可以方便地求出E(s)函数对应的z变换E(z)。7-3

z变换理论6例4、已知连续函数的Laplaec变换式为：求z变换E(z)。应用例1和例3的结果，7-3

z变换理论77-3

z变换理论8

常见的时间函数的z变换表见P250表7－27-3

z变换理论93、z变换性质(1)线性定理：若E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]

则有：Z[e1(t)±e2(t)]=E1(z)±E2(z)

Z[ae(t)]=aE(z)其中a为常数说明z变换是一种线性变换，满足齐次性与均匀性（叠加性）。7-3

z变换理论10(2)实数位移定理－－平移定理

实数位移的含义，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。

实数位移定理定义如下：如果函数e(t)是可以Laplace变换，其z变换为E(z)。（说明：因为z变换是e*(t)的拉氏变换，所以e(t)必须是能有拉氏变换，才有z变换。）7-3

z变换理论11附1：证明z变换滞后定理附1：证明z变换滞后定理由于z变换的单边性（详见P251)当m<0时，e(mT)=0。所以m必定大于0。作变量代换，令m=n附2：证明z变换超前定理令：m=n+k，则，n=0时，m=k；n=∞时，m=∞附2：证明z变换超前定理作变量代换：令n=m

在实数位移定理中，e(t-kT)是一个延迟函数，是e(t)函数滞后kT时间；e(t+kT)是e(t)超前kT时间。物理意义是：z-k代表时域中的延迟环节，它将采样信号延迟了k个采样周期；zk代表了超前环节，它把采样信号超前了k个采样周期。7-3

z变换理论11实数位移定理是一个重要定理，其作用相当于Laplace变换中的微分和积分定理。应用实数位移定理，可以将描述离散系统的差分方程转换为z域的代数方程。7-3

z变换理论12例6、用实数位移定理求的z变换，其中a为常数。而原式中k=1,7-3

z变换理论13(3)复数位移定理若函数e(t)是可以Laplace变换，其z变换为E(z)，则有：证明：由z变换定义含义：采样信号e*(t)乘以指数序列的z变换，等于在e*(t)的z变换表达式E(z)中以取代原算子z。7-3

z变换理论14例7、计算函数的z变换。解：函数可看作e(t)=t，而指数函数是e-at7-3

z变换理论15(4)终值定理：如果函数e(t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值（n=0,1,2,……），且极限存在，则函数的终值为在离散系统中，常用终值定理求取输出序列的稳态误差。7-3

z变换理论16Z变换的终值定理形式也可表示为：(5)卷积定理：若x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义必有7-3

z变换理论17则卷积定理：若卷积定理指出：两个采样函数卷积的z变换，等于相应z变换的乘积。4、z反变换

所谓z反变换，是从已知的z变换表达式E(z)，求相应采样序列e*(t)的过程。记：常用的z反变换方法有三种：部分分式法、幂级数法、反演积分法。7-3

z变换理论18a、部分分式法在部分分式法中，考虑到z变换表中的所有z变换函数E(z)在其分子上普遍都有因子“z”，为了便于展开为部分分式后查表，可先按E(z)/z展开，然后将结果的每一项都乘以z，即得到E(z)的部分分式，再将分解后的部分分式的每一项逐一查表，取得相应的信号序列。7-3

z变换理论19例8、设z的变换函数为求其z反变换。注意：现在得到的是采样序列在各采样点的值e(nT)，而采样序列为：7-3

z变换理论20b、幂级数法（综合除法、长除法）如果E(z)可以表示为按z-1升幂排列的二个多项式之比：

注：按z变换定义，式中cn为采样脉冲序列e*(t)的脉冲强度e(nT)。而Z-1[z-n]=δ(t-nT)----滞后位移定理。上式是一个无穷多项式之和，但在实际应用中常常只需要计算有限的几项就