专题15 圆中最值问题专训（九大题型）（原卷版）

专题15圆中最值问题专训【九大题型】【题型目录】题型一圆中的线段最值问题题型二圆中的线段之和最值问题题型三圆中的线段平方和最值问题题型四圆中的面积最值问题题型五圆中的周长最值问题题型六圆中的旋转最值问题题型七圆中的翻折最值问题题型八阿氏圆求最值问题（含相似证明）题型九圆中的最值综合问题【经典题型一圆中的线段最值问题】1．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，．点P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值是（

）．

A．5 B． C． D．2．（2023·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，为半径作，为线段上动点从运动到，过作的切线，切点为，则的取值范围是()

A． B． C． D．3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（）A． B． C． D．4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为．6．（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，四边形是矩形，，点是平面内的一个动点，连接，在运动的过程中，始终垂直于，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最大值为．

7．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知中，，则的最大值为．

8．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在矩形中，，连接，点是的中点，点是上一动点，连接，以为斜边向下作等腰直角，连接，当的值最小时，的长为．

9．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______；【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

10．（2023·陕西西安·校考一模）（1）如图1，的半径为，，点为上任意一点，则的最小值为．（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，作于点，点是的内心，求的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若矩形的边长，，，求此时的最小值．【经典题型二圆中的线段之和最值问题】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为（）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是等腰的外接圆，为弧上一点，为的内心，过作，垂足为，若，则的值为（）

A． B． C． D．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，，，点，分别在，的另一边上运动，并保持2，点在边上，，点是的中点，若点为上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为．

5．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是．

6．（2023·四川·统考中考真题）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是．

7．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系中，的半径为2，点M在上，点N在线段上，设，点P的坐标为，将点P沿方向平移2个单位，得到点，再将点作关于点N的对称点Q，连接，当点M在上运动时，长度的最大值与最小值的差为．（用含t的式子表示）

8．（2023·陕西宝鸡·统考一模）问题提出：（1）如图1所示，已知A为上一点，P为外一点，若，的半径为2，则的最小值为_________；问题探究：（2）如图2所示，P为等边三角形内一点，若，求的最小值；问题解决：（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．

【经典题型三圆中的线段平方和最值问题】1．（2023·广西·模拟预测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·全国·九年级期末）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为的上运动，则的最大值为()A． B． C． D．4．（2022春·九年级课时练习）如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则的最大值是．6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为7．（2022·九年级单元测试）如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是．8．（2022秋·湖北黄冈·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是．9．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）在边长为10的正方形中，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一动点，过点作，垂足为，连接．(1)如图1，若直线与圆相切，求线段的长；(2)求的最小值；(3)如图2，若，求的最小值．【经典题型四圆中的面积最值问题】1．（2023春·江苏常州·九年级常州实验初中校考阶段练习）点C是以为直径的半圆O上的动点，D在上，且，点E、F、G分别是、、的中点．若，则的面积最大值为（

）A．2 B．3 C．6 D．92．（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是（

）A．1 B．2 C． D．3．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（）A． B． C．12 D．164．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（）A．5 B．6 C． D．5．（2020·湖北武汉·统考模拟预测）如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（）A． B． C． D．6．（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）在中（线段，，为定长），为线段上一动点，作，，的平分线，，，直线，交于点，点为直线上一点，且，当点移动到线段中点时，，，，，则当点从点向点的运动过程中，取最小值时，．7．（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，在边长为的正方形中，P是边上一动点（不与点A，B重合），连接，过点B作交的延长线于点M，连接，过点A作交于点N，连接，，则面积的最小值为．8．（2023·河南安阳·统考二模）如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是cm2．9．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，点F是上的动点，将矩形沿折叠，使点A落在点处，连接，，则面积的最小值为．10．（2020春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在等腰中，，，为线段上一点，以为半径作交于点．连接、，线段、、的中点分别为D、M、N．

(1)试探究是什么特殊三角形，说明理由．(2)将绕点O逆时针方向旋转到如图的位置，其结论是否仍然成立，并证明结论．

(3)设，把绕点O在平面内自由旋转，求的面积y的最大值与最小值的差（用x表示）．11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）问题研究如图1，是的中线，是边上的高．(1)当，，时，________．(2)求证：．问题解决(3)某地为打造元宵节灯展景观，需按如下要求设计一批灯展造型．如图2，矩形是造型框架，以顶点为圆心悬挂圆形灯架（），以，为顶点钉两个正方形展板（正方形和正方形），接合点点恰好在上．若，，的半径为，求两个正方形展板面积和的最小值．【经典题型五圆中的周长最值问题】1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为(

)

A． B． C． D．2．（2022春·九年级课时练习）如图，∠MON=40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2022·广西河池·统考二模）如图，AB是的直径，AB＝10，点M在上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2021秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则周长的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形内接干圆，线段在对角线BD上运动，若圆O的面积为，，周长的最小值是．

【经典题型六圆中的旋转最值问题】1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，三角形，三角形均为边长为4的等边三角形，点是、的中点，直线、相交于点，三角形绕点旋转时，线段长的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点B旋转一周，连接，点M为的中点，点N为的中点连接，则线段的最大值是（

）A．3 B．6 C． D．3．（2021·山东淄博·统考二模）如图，等边三角形的边长为8，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①点也一定是的外心；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．5．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为．6．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，、，以为直径作，射线交于、两点，为弧的中点，为的中点．当射线绕点旋转时，的最小值为．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，和都是等边三角形，，，固定，把绕点C旋转任意角度，连接AD，BE，设AD，BE所在的直线交于点O，则在旋转过程中，始终有，且的大小保持不变，这时点O到直线AB的最大距离为．8．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）四边形和是正方形，直线交于点P．

(1)如图1，点G在边上，判断线段和的数量与位置关系，并证明；(2)如图2，将正方形绕点A旋转一个锐角．①（1）中线段和的数量与位置关系是否仍成立？说明理由；②若正方形的边长为，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P到直线的最大距离．【经典题型七圆中的翻折最值问题】1．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．3．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（

）A． B．C． D．4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为．5．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是．6（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是．【经典题型八阿氏圆求最值问题（含相似证明）】1．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是．3．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为．4．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．5．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为．6．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是．8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（