2025年中考数学几何模型综合训练专题10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型解读与提分精练（教师版）

专题10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型

特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并

且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在

处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三

角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论

情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。

.........................................................................................................................................................................................2

模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型.................................................2

模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型.....................................................................5

模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型..............................13

模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型...............................................................15

.................................................................................................................................................26

模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型

1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角

与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和

腰的原理相同。

2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上

高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。

例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰VABC内接于O，ABAC，BOC100，则VABC底角的

度数为（）

A．65B．25C．65或25D．65或35

【答案】C

【分析】画出相应图形，分VABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．本题考查的是三角形外

接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：

同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．

【详解】解：（1）圆心O在VABC外部，

在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．

1

∵，BDCBOC50，BAC180BDC130；

CBCB2

ABAC，ABC(180BAC)225；

1

（2）圆心O在VABC内部．∵CBCB，∴BACBOC50，

2

ABAC，ABC(180BAC)265．综上所述，VABC底角的度数为65或25，故选：C．

例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50，那么这个等

腰三角形的顶角等于（）

A．40B．140或40C．15或75D．140

【答案】B

【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角

形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】如图1，三角形是锐角三角时，ACD50，顶角A905040；

如图2，三角形是钝角时，ACD50，顶角BAC5090140，

综上所述，顶角等于40或140．故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更

形象直观．

例3．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足4xy80，则以，的值为两边长的等

腰三角形的周长是（）

A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对

【答案】B

【分析】利用非负数的性质，求出x，y的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．

【详解】解：|4x|y80，又4x0，y80，x4，y8，

当等腰三角形的边长为4，4，8时，不符合三角形的三边关系；

当等腰三角形的三边为8，8，4时，周长为20，故选：B．

【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识，属于中考常考题型．

例4．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为a，2a3，3a5，则等腰三角形的周长

为（）

A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，

分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解．

【详解】解：①当a为底边长时，腰长为2a3，3a5，

∵三角形为等腰三角形，2a33a5，解得a2，∴a2，3a51，∵112，∴构不成三角形；

5

②当2a3为底边长时，腰长为a，3a5，∵三角形为等腰三角形，a3a5，解得a，

2

555

∴3a5，2a32，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为27；

222

③当3a5为底边长时，腰长为a，2a3，∵三角形为等腰三角形，a2a3，解得a3，

∴2a33，3a54，符合三角形三边关系，等腰三角形的周长为33410．

综上，等腰三角形的周长为7或10，故选：B．

例5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为6cm和

15cm两部分，那么这个等腰三角形的底边长是．

【答案】1cm/1厘米

【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、

三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①

ABAD6cm，BCCD15cm；②ABAD15cm，BCCD6cm两种情况，再分别根据等腰三角形

的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检

验即可得．

【详解】解：如图，VABC是等腰三角形，BD是腰AC上的中线，

设BCx，ADy，则CDy，ABAC2y，由题意，分以下两种情况：

2yy6x13

①当ABAD6cm，BCCD15cm时，则，解得，

xy15y2

此时等腰三角形的三边长分别为4cm，4cm，13cm，不满足三角形的三边关系定理，舍去；

2yy15x1

②当ABAD15cm，BCCD6cm时，则，解得，

xy6y5

此时等腰三角形的三边长分别为10cm，10cm，1cm，满足三角形的三边关系定理，

因此，这个等腰三角形的底边长为1cm．故答案为：1cm．

模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型

1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。

2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。

等腰三角形的两种分类讨论方法

方法1.“两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。

如图：已知A，O两点是定点，在坐标轴上找一点P构成等腰△OAP。

①以已知线段OA为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）；

②以已知线段OA为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以O为圆心的有4个，

以A为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。

方法2.“三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。

若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两

圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。

例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为1,3，若M为x轴上

一点，且使得MOA为等腰三角形，则满足条件的点M有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】A

【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分

线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．

【详解】解：如图，

满足条件的点M的个数为2．故选A．

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没

有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个

三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直△角三角形，则称这条直线为ABC的关于点B的二分割线．如

图1，RtABC中，显然直线BD是ABC的关于点B的二分割线．在图2△的ABC中，∠ABC＝110°，若直

线BD是△ABC的关于点B的二分割△线，则∠CDB的度数是．△

△

【答案】40°或90°或140°

【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．

【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线，

∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，△

∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；

②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD

时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线，；△

③如图，当∠AB△D=90°，CD=BD时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线，

∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵C△D=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．

综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是ABC的关于点B的二分割线．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角△三角形的性质，理解二分割线是本题关键．

例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，ABC中，ABAC，A30，射线CP从射线CA开始绕

点C逆时针旋转角075，与射线AB相交于点D，将ACD沿射线CP翻折至△ACD处，射线CA

与射线AB相交于点E．若ADE是等腰三角形，则的度数为．

【答案】22.5或45或67.5

【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知AA30，ACPACP，再画出图形，利用三角形

的外角性质列式计算即可求解．

【详解】解：由折叠的性质知AA30，ACPACP，

当ADDE时，DEAA30，

由三角形的外角性质得DEAAACDACD，即30302，此情况不存在；

1

当时，A30，DEAEDA1803075，

ADAE2

由三角形的外角性质得75302，解得22.5；

当EADE时，EDAA30，∴DEA1803030120，

由三角形的外角性质得120302，解得45；

1

当时，ADEAED15，∴ADCADC1801582.5，

ADAE2

∴ACD1803082.567.5；

综上，的度数为22.5或45或67.5．故答案为：22.5或45或67.5．

【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题关键．

例4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），点P是

y轴正半轴上的一点，且AOP为等腰三角形，则点P的坐标为．

△5

【答案】(0,5),(0,4),0,

4

【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以

OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定

理求出OC即可．

【详解】有三种情况：

①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝12225；∴D（0，5）；

②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×yA=4，∴P（0，4）；

2

③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝122OC，

555

∴OC＝，∴C（0，）；故答案为：(0,5),(0,4),0,．

444

【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知

识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，ABC中，CDAB于D，且BD:AD:CD2:3:4，

2

(1)试说明ABC是等腰三角形；(2)已知SABC40cm，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线

段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个

运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中

点，问在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

49

【答案】(1)见解析(2)①5或6；②9或10或

6

【分析】（1）设BD2x,AD3x,CD4x，则AB5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；

（2）由ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AMAN；当DN∥BC时，ADAN；

得出方程，解方程即可；

②由直角三角形的性质得出DE5,，根据题意得出当点M在DA.上，即4t10时，MDE为等腰三角形，

有3种可能：DEDM；EDEM；MDMEt4；分别得出方程，解方程即可．

【详解】（1）证明：设BD2x,AD3x,CD4x，则AB5x，

在RtACD中，ACAD2CD25x，∴ABAC，∴ABC是等腰三角形；

（2）解：设BD2x,AD3x,CD4x，则AB5x，

1

S5x4x40cm2，而x0.，∴x2cm

ABC2

则BD4cm,AD6cm,CD8cm,ACAB10cm，

由题意可知当点M到达点A时点N刚好到达点C，此时t10．

①当MN∥BC时，AMAN，即10tt，∴.t5；

当DN∥BC时，ADAN，得：t6；

∴若DMN的边与BC平行，t值为5或6．

1

②∵点E是边AC的中点，CDAB，∴DEAC5cm，

2

当点M在BD上，即0t4时，MDE为钝角三角形，但DMDE；

当t4时，点M运动到点D，不构成三角形

当点M在DA上，即4t10时，MDE为等腰三角形，有3种可能．

如果DEDM，则t45，∴t9；

如果EDEM，则点M运动到点A，∴t10；

如果MDMEt4cm，过点E作EFAB于F，如图3所示：

11

此时EFCD4cm，∵EDEA，∴.DFAFAD3cm

22

∵BMtcm,BF437cm，∴FMt7cm，

49

∵EF4cm，则在RtEFM中，(t4)2(t7)242，∴t．

6

49

综上所述，符合要求的t值为9或10或．

6

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难

度，需要进行分类讨论才能得出结果．

例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A2，6的直

线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OBOC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为27

(1)求直线AB的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x

轴的平行线交AD于点E，设PE的长为yy0，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范

围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；

若不存在，请说明理由．

3

【答案】(1)yx4，D5，0(2)ym3，2m4

2

2168

(3)存在，点F的坐标为,0或,0或,0

557

【分析】（1）据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OBOC，设直线AB解析式为yxn，

把A的坐标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的

值，从而求出D点的坐标；（2）直接根据待定系数法求出AD的解析式，先根据B、A的坐标求出直线AB

的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线AD的解析式

就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使PEF为等腰直角三角形，分三种

情况分别以点P、E、F为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中m的值，就可以求出F点的坐标．

【详解】（1）解：OBOC，∴设直线AB的解析式为yxn，

∵直线AB经过A2，6，2n6，n4，

∴直线AB的解析式为yx4，B4，0，OB4，

，，1

ABD的面积为27A26，SABDBD627，

2

BD9，OD5，D5，0，直线AB的解析式为yx4，D5，0

（2）解：设直线AD的解析式为yaxb，

2ab6a2

A2，6，D5，0∴，解得．∴直线AD的解析式为y2x10；

5ab0b10

∵点P在AB上，且横坐标为m，Pm，m4，PE∥x轴，∴E的纵坐标为m4，

m6m6

代入y2x10得，m4=2x10，解得x，E,m4，

22

m63m3

PE的长ym3；即ym3，2m4；

222

（3）解：在x轴上存在点F，使PEF为等腰直角三角形，

3

①当FPE90时，如图①，有PFPE，PFm4，PEm3，

2

322

m4m3，解得m，此时F,0；

255

②当PEF90时，如图②，有EPEF，EF的长等于点E的纵坐标，

32

EFm4，m4m3，解得：m，

25

m61616

∴点E的横坐标为x，∴F,0；

255

③当PFE90时，如图③，有FPFE，FPEFEP．

FPEEFPFEP180，FPEFEP45．作FRPE，点R为垂足，

1

PFR180FPEPRF45，PFR=RPF，FR=PR．同理FR=ER，FRPE．

2

1310

∵点R与点E的纵坐标相同，FRm4，∴m4m3，解得：m，

227

1018101888

PRFRm44，∴点F的横坐标为，F,0．

777777

2168

综上，在x轴上存在点F使PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为,0或,0或,0．

557

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式

的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．

模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型

若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。

例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（）

7

A．2或2.5B．5或7C．2.5或7D．2.5或

2

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分

类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．

5

【详解】解：当3和4为直角边时，则斜边32425，中线2.5，

2

4

当斜边为4时，中线2，∴斜边的长为2或2.5，故选：A．

2

例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，AD是ABC的角平分线，CE是ABC的高，BAC60，

ACB78，点F为边AB上一点，当VBDF为直角三角形时，则ADF的度数为．

【答案】60或18

【分析】分情况讨论：①当BFD90时，②当BDF90时，根据角平分线和三角形高线的定义分别

求解即可．

【详解】解：如图所示，当BFD90时，

∵AD是ABC的角平分线，BAC60，

∴BAD30，∴RtADF中，ADF60；

如图，当BDF90时，同理可得BADDAC30，

∵ACB78，∴ADBDACACB3078108，

∴ADFADBBDF1089018，

综上所述：ADF的度数为60或18．故答案为：60或18．

【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想

是解题的关键．

例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在Rt△ABC中，C90，A30，BC2，点D是AC的中点，

点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把VADE翻折到ADE的位置，AD交AB于点F，若△BAF为

直角三角形，则AE的长为．

6

【答案】1或

5

【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分BFA90，

BAF90两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答案；

【详解】解：如图，当BFA90时．

在Rt△ABC中，∵A30，BC2，∴AB2BC4，AC23，

∵ADCD，∴ADCD3，∵AFD90，∴ADF60，∴EDAEDF30，

AD3

∴AEDA30，∴EAED，DEA120，∴AE1，

33

，，

如图，当BAF90时，作EHBA交AB的延长线于H．设AEx，

∵BDBD，CDDA，∴RtBDC≌RtBDA(HL)，∴BCBA2，

113

∵DAE30，∴EAH60，在RtEHA中，AHAEx，EH3AHx，BE4x，

222

316

在Rt△BEH中，∵EH2BH2BE2，∴(x)2(2x)2(4x)2，解得x，

225

66

综上所述，满足条件的AE的值为1或，故答案为：1或．

55

模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型

直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，

如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。

“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。

问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使PAB为直角三角形．

△

分三种情况，如图：

①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；

②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；

③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点

P3，P4即为所求．

代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②

AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况

不存在。

几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角

形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．

例1．（2023九年级·广东·专题练习）如图，已知A2,6、B8,2，C为坐标轴上一点，且ABC是直角三

角形，则满足条件的C点有()个．

A．6B．7C．8D．9

【答案】B

yy

【分析】过点A作的垂线，交x轴于点C1，交轴于点C2；过点B作的垂线，交x轴于点C3，交轴

于点C4；根据直径�所�对的圆周角为直角，以为直径作圆，根据A和B的𝐴坐标求出的长度，即为圆的直

径，可得出半径的长，进而判断得出圆与y轴𝐴相切，可得出圆与y轴有1个交点，与�x�轴交于2点．所以满

足条件的点共有7个．

【详解】解：分三种情况考虑：

y

①当A为直角顶点时，过A作ACAB，交x轴于点C1，交轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；

y

②当B为直角顶点时，过B作BCAB，交x轴于点C3，交轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；

③当C为直角顶点时，以为直径作圆，由A2,6、B8,2，可得此圆与y轴相切，

𝐴

y

则此圆与轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．

综上，所有满足题意的C有7个．故选：B．

【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注

意：若VABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．

例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知A(4，0)，B(0，3)，以AB为一边在AOB

外部作等腰直角ABC．则点C的坐标为．

77

【答案】(7，4)或(3，7)或,

22

【分析】分三种情形讨论求解即可．当ABAC，BAC90时，作CEx轴于E，由△AOB≌△CEA(AAS)，

推出AEOB3，CEOA1，可得C点坐标，同法可得，当ABBC，ABC90，C(3，4)，当AB是

等腰直角三角形的斜边时，C是BC的中点，C(2，2)．

【详解】解：如图，当ABAC，BAC90时，作CEx轴于E，

∵BACAOBAEC90，∴ABOBAO90，OABCAE90，∴ABOCAE，

∵ABAC，∴△AOB≌△CEA(AAS)，∴AEOB3，CEOA4，∴C(7，4)，

同法可得，当ABBC，ABC90，C(3，7)，

77

当AB是等腰直角三角形的斜边时，C是BC的中点，C,，

22

7777

综上所述，满足条件的点C的坐标为7，4或3，7或,．故答案为：7，4或3，7或,．

2222

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题．

例3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在VABC中，ABBC8,OAOB,AOC60，点M

是射线CO上的一个动点．（1）当AOM为直角三角形时，AM的长为．

（2）若点M在边AB的下方，当ABM为直角三角形时，AM的长为．

【答案】2343或47

【分析】本题主要考查了勾股定理，含30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用．

1

（1）画出图形，在AOM中得到OMOA2，再用勾股定理计算即可；

2

（2）分两种情况讨论：①当AMB90时，②ABM90时，分别画出图形，然后根据含30直角三角

形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．

1

【详解】（1）∵ABBC8,OAOB∴OAOBAB4，

2

当AOM为直角三角形时，即AMO90，

1

∵AOC60，∴MAO30，OMOA2，AMOA2OM223故答案为：23．

2

（2）如图1所示，当AMB90时，OAOBOM4，AOCBOM60

△BOM为等边三角形，∴BMOB4AMAB2BM243；

如图2所示，当ABM90时，AOCBOM60，

∴OMB30,OM2OB8，BM3OB43，

又AM2AB2BM2．AM47．故答案为：43或47．

例4．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边VABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P

以2cm/s的速度从点A出发沿ABA方向运动，设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是直角三角形

时，则t的值为秒．

【答案】0.5或2或3.5

【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．此题属于动点问题，难度适中，注意

掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．由等边VABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，可求得AQ的

长，然后根据A60，得出另外的一个锐角为30，根据直角三角形的性质即可得出答案．

【详解】解：连接BQ，如图所示：∵等边VABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，

1

∴AQAC2cm，A60，BQAC，∴AQB90，

2

1

当APQ90时，AQP90A30，∴APAQ1cm；

2

∴当P从AB时，t120.5，当P从BA时，t44123.5；

当AQP90时，点P运动到点B，t422．

综上分析可知，t的值为0.5或2或3.5．故答案为：0.5或2或3.5．

例5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，ABO为等

边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点△的对应点为

点Q，连接OQ，BQ。

(1)点B的坐标为；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°；

②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；

(3)在点P运动的过程中，若OBQ是直角三角形，直．接．写出点P的坐标.

△

43

【答案】(1)(3，1)(2)①见解析；②补全图②见解析，成立(3)(，0)或(3，0)

3

【分析】（1）过点B作BCx轴，由等边三角形的性质可知OBOA2，AOB60，从而可求出

BOC30，再由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出BC1，OC3，从而得出B(3，

1)；（2）①由旋转的性质可知AP=AQ，PAQ60，根据等边三角形的性质可知AO=AB，OAB60，

从而可求出PAQOAB60，进而可求出PAOQAB，即易证PAOQAB(SAS)，得出

AOPABQ90；②由题意画图即可，由①同理可证PAOQAB(SAS)，即得出AOPABQ90；

（3）先求出OBQ90，再分类讨论：①当QOB90时，此时点P在x轴负半轴和②当OQB90时，

此时点P在x轴负半轴，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理和全等三角形的性质即可求出答案．

【详解】（1）解：如图，过点B作BCx轴，

∵点A的坐标为(0，2)，ABO为等边三角形，∴OBOA2，AOB60，∴BOC30，

1△

∴BCOB1，∴OCOB2BC222123，∴B(3，1)；故答案为：(3，1)；

2

（2）①由旋转的性质可知AP=AQ，PAQ60．

∵ABO为等边三角形，∴AO=AB，OAB60，∴PAQOAB60，

∴PAOQAB，∴PAOQAB(SAS)，∴AOPABQ．∵∠AOP90，∴ABQ90；

②补全图②如图，①中的结论仍然成立．

由①同理可证PAOQAB(SAS)，∴AOPABQ90；

（3）当点P在x轴负半轴运动时，∵ABO60，ABQ90，∴OBQ30．

当点P在x轴正半轴运动时，∵ABO60，ABQ90，∴OBQ150．

综上可知OBQ90，故可分类讨论：①当QOB90时，如图，此时点P在x轴负半轴，

1

∵OBQ30，QOB90，∴OQBQ．

2

22212224343

∵OQOBBQ，∴(BQ)2BQ，解得：BQ或BQ（舍）．

233

4343

∵PAOQAB，∴POQB，∴P(，0)；

33

②当OQB90时，如图，此时点P在x轴负半轴，

1

∵OQB90，OBQ30，∴OQOB1，∴BQ3OQ3．

2

∵PAOQAB，∴POQB3，∴P(3，0)．

43

综上可知当OBQ是直角三角形时，点P坐标为(，0)或(3，0)．

3

△

【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的

直角三角形的性质以及勾股定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．

例6．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】

如图，将含有45的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了

两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型

在数学解题中被广泛使用．

【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线yx4与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则

OAB_________；②C，D是正比例函数ykx图像上的两个动点，连接AD，BC，若BCCD，BC3，

则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数y2x2的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直

线AB绕点A逆时针旋转45得到直线l，求直线l对应的函数表达式；

【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，OA8，过点A作ABx轴交直线y2x3于点B，P

是直线y2x3上的动点，Q是y轴上的动点，若△APQ是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角

形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

1519

【答案】(1)①45；②7(2)yx2(3（)1,1）或（3,3）或（11,19）或（,）

333

【分析】（1）①先根据函数解析式确定A4,0，B0,4，进而得到OAOB4，然后根据等腰直角三角

形的性质即可解答；②根据点到直线的距离垂线段最短，可得当ADCD时，AD有最小值，然后判定

BOC≌OADAAS可得ODBC3，最后根据勾股定理求解即可；（2）先证AOB≌BDC可得

CDOB1，BDAO2，进而得到C3，1，最后根据待定系数法即可解答；（3）分APQ90，点P

在x轴上方或下方和AQP90点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和

二元一次方程组解答即可

【详解】（1）解：①∵yx4与x轴，y轴交于A，B两点，∴A4,0，B0,4，∴OAOB4，

又∵AOB90，∴AOB为等腰直角三角形，∴OAB45；故答案为45；

②∵A是定点，∴如图：当ADCD时，AD有最小值；

∵ADCD,BCCD,∴BCOODA90，

∵BOCAOD90，BOCOBC90，∴AODOBC，

在BOC和△OAD中，BCOODA90,OBCAOD,OBOA

∴BOC≌OADAAS，∴ODBC3在Rt△OAD中，由勾股定理得：AD2OA2OD242327，

∴AD7