2025年中考数学几何模型综合训练专题04三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型解读与提分精练（学生版）

专题04三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模

型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.高分线模型..........................................................................................................................................1

模型2.双垂直模型..........................................................................................................................................3

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）......................................................................................................5

...................................................................................................................................................7

模型1.高分线模型

三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线

段叫做三角形的角平分线.

高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。

1

1）条件：如图1，在ABC中，AD，AE分别是ABC的高和角平分线，结论：DAECB．

2

1

2）条件：如图2，F为ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FDBC于D，结论：DFA(CB)．

2

图1图2

1

1）证明：∵AE平分BAC，∴EACBAC，

2

111

∵BAC180BC，∴EAC180BC90BC，

222

111

∴EADEACDAC90BC90CCB；

222

1

2）证明：如图，过A作AGBC于G，由（2）可知：EAG(CB)，

2

AGBC，AGB90，FDBC，FDC90，AGDFDC，FD∥AG，

1

AFDEAG，AFD(CB)．

2

例1．（23­24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，AE分别是VABC的角平分线和高线，且B50，

o

C70，则EAD．𝐴

例2．（23­24八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在VABC中，AD为BC的高，AE为BAC平分线

交BC于点E，B20,C50．(1)求EAD的度数；(2)EAD与B,C之间有何数量关系？

(3)若将题中的条件“B20”改为“ABC100”（如图②），其他条件不变，则EAD与ABC,C之间

又有何数量关系？请说明理由．

例3．（23­24八年级上·广东·校考期中）已知：在VABC中，CB，AE平分BAC交BC于点E．

(1)如图①，ADBC于点D，若C60,B30，求DAE的度数；

(2)如图①，ADBC于点D，若B,C，求DAE的度数（用含,的式子表示）；

(3)如图②，在VABC中，ADBC于点D，F是AE上的任意一点（不与点A，E重合），过点F作FGBC

于点G，且B30,C80，请你运用（2）中的结论求出EFG的度数；(4)在（3）的条件下，若点F在

AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则EFG的度数会发生改变吗？说明理由．

模型2.双垂直模型

双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之

间的关系。

条件：如图所示，在ABC中，BD，CE是两条高，

结论：①∠ABD=∠A△CE；②∠A=∠BOE=∠COD；③ABCEACBD。

证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，

∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，

∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。

11

∵，是的两条高，∴，∴。

BDCEABCS△ABCABCEACBD

22ABCEACBD

△

例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，并且CD,BE交于点

P，若A50，则BPC的度数为（）

A．130B．120C．110D．100

例2．（23­24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在VABC中，A55，BD,CE是它的两条高，直线BD,CE交

于点F，DFE．

例3．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在ABC中，CD和BE分别是AB，AC边上的高，若CD12，

AC

BE16，则的值为（）．

AB

3345

A．B．C．D．

5438

模型3.子母型双垂直模型（射影模型）

子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。

条件：在RtABC中，∠ACB=90°，CD是ABC的高线，

结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③ACBCCDAB。

证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，

∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，

11

∵∠ACB=90°，CD是高线，∴S△ABCABCDACBC，∴。

22ACBCCDAB

例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在△ACB中，ACB90，CDAB于D，求证：

BACD．

例2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在Rt△ABC中，ACB90,AC6,BC8，CD为AB边上

的高．(1)求斜边AB的长；(2)求CD的长．

例3．（23­24八年级·江苏·假期作业）如图①，在VABC中，BAC90，AD是BC边上的高．

（1）求证：DACABC；（2）如图②，VABC的角平分线CF交AD于点E．求证：AFEAEF；

（3）在（2）的条件下，BAD的平分线分别与CF，BC相交于点H、点G，如图③，若AH6，CH8，

CG10，求AD的长．

1．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在ABC中，ABC90，BDAC，垂足为D．如果AC6，

BC3，则BD的长为（）

333

A．2B．C．33D．

22

2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，ABC中，BDAC，BE平分ABC，若ÐA=2ÐC，DBE20，

则ABC（）

A．50B．60C．70D．80

3．（23­24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在VABC中，BAC45，ADBC，CEAB，垂足

分别为点D、E，AD、CE交于点H，EHEB．下列结论：①ABC45；②AHBC；③AEBECH；

④BHAC．你认为正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

4．（23­24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在VABC中，BAC和ABC的平分线AE，BF相交于

1

点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作ODBC于D，下列三个结论：①AOB90C；

2

②当C60时，AFBEAB；③若ODa，ABBCCA2b，则S△ABC2ab．其中正确的是（）

A．①②B．②③C．①②③D．①③

5．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角ABC中，2为钝角，AD为BC边上的高，AE为BAC

的平分线，则DAE与1、2之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发

现的是（）

21212

A．DAE21B．DAEC．DAE1D．DAE

222

6．（2023下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE

与BF相交于O，CABC以下结论正确的有（）

1

①BADABDCADC；②S△ABFS△CBF；③EADCABC；④S△:S△AB:AC；

2ABEACE

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在ABC中，ACBB，AD，AE分别是高和角平分线，

点F在BC的延长线上，FHAE交AD于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）

11

A．DAEFB．AEFACFBC．FACBBD．AGHCAEB

23

8．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图，ABC是等腰三角形，ABAC，A45，在腰AB上取一

点D，DEBC，垂足为E，另一腰AC上的高BF交DE于点G，垂足为F，若BE3，则DG的长

为．

9．（2024·重庆·三模）如图，ABC中，BDAC于点D，AB^CE于点E，CE与BD相交于点H，已知

ADHD2，CD6，则ABC的面积为．

10．（23­24八年级上·安徽六安·期中）如图，在VABC中，ABC48，ACB76，两条高BD、CE交

于点O，连接AO，则OAE．

11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在ABC中，BAC90，C40，AH、BD分别是ABC

的高和角平分线，点E为BC边上一点，当BDE为直角三角形时，则CDE．

12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB

交CD于E，交BC于F．(1)如果CFE70，求B的度数；(2)试说明：CEFCFE．

13．（23­24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在VABC中，AD平分BAC，P为线段AD上的一个点，

PEAD交直线BC于点E．(1)若B35，ACB85，求E的度数．(2)猜想E与B、ACB的

数量关系．

14．（23­24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求

证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在RtABC中，∠C=90°△，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判

断ADE的形状？并说明理由？（3）△如图③，在RtABC和RtDBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，

E在△同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与A△C，DE有什△么等量关系，并证明．

15．（23­24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在VABC中，ADBC于点D．

(1)如图1，若BAC的平分线交BC于点E，B35，C25，则DAE的度数为______．

(2)如图2，点M、N分别在线段AB、AC上，将VABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕

分别为DM和DN，点G、F均在直线AD上，若BAC120，试说明AMFANGBC．

16．（22­23八年级上·广西桂林·期中）如图，VABC中，A40，B=60，CE平分ACB，CDAB

ACAE

于D，DFCE，交CE于F，求：(1)CDF的度数；(2)当CE平分ACB时，，若ACm，BCn，

CBBE

AB=a，请用含m，n，a的代数式表示BE的长．

17．（2024·河北邢台·八年级校考期中）在ABC中，ACBABC，D，E分别是边BC和BC延长线上的

点，连接AD，AE，CAEB．(1)如图1，若ADE60，CAE40，求BAD的度数；(2)如图2，

已知DAEADE．①判断AD是否平分BAC，并说明理由；②F为射线AD上一点（不与点D重合），

过点F作FGBC，垂足为G．若B，ACB，直接用含，的式子表示出AFG的度数．

18．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在ABC中，ACB90，D、E分别在边AB、BC

上，AE、CD相