2024-2025学年天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列是几个城市地铁标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．13 B．12 C．233．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，若ADABA．ADABB．AEECC．S△ADED．DE4．（3分）已知A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣5，y3）三个点都在反比例函数y=−k2+1x的图象上，比较y1，y2A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°6．（3分）如图，点M是反比例函数y=4x（x＜0）图象上一点，MN⊥y轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△A．2 B．4 C．6 D．无法确定7．（3分）二次函数y＝（x+2m）2﹣1，当x≤5时y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜−52 B．m＞−52 C．8．（3分）如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的110．则路宽xmA．（40﹣x）（70﹣x）＝280 B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝280 C．（40﹣x）（70﹣x）＝2520 D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝25209．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF是位似三角形，且CO＝2FO，若点E（2，﹣1），则点B的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（4，2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）10．（3分）把二次函数y＝3x2的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2+211．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AEA．52 B．3 C．22 12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若ax12+bx1=ax22+bx2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的面积为．14．（3分）一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其它差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率为．15．（3分）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为．16．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AB'C'，点C恰好落在AB上，连接BB'，若∠BB'C'＝30°，则α＝．17．（3分）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，连接AC，BC，OC．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D都在格点上．（Ⅰ）AC的长是；（Ⅱ）将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，点D的对应点为Q，得五边形ABEFQ．请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点E，F，Q的位置是如何找到的．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）．19．已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根为x1、x2．（1）当a＝4时，求x1+x2+x1•x2的值；（2）若方程的一个根x1＝6，求a的值与另一个根x2．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OE⊥AC于点E，延长OE至点D，连接CD，且CD是⊙O的切线．（1）求证：∠D＝∠A；（2）若AB＝CD＝2，求AC的长．21．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．22．如图，在△ABC中，D为边AB的中点，点E在边AC上，连结ED，并延长ED至点F，连结AF，使AF∥BC，且AF2＝FD×FE．（1）求证：∠FAD＝∠FEA．（2）若AB＝20，AE＝13，求EC的长．23．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.4m，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围．24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0）、点A（6，0）、点B（0，8）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O、B、C的对应点分别为D、E、F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（2）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（3）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）该抛物线的表达式为；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2024-2025学年天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析题号1234567891011答案BDDCDADDACA题号12答案B一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列是几个城市地铁标志，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B．2．（3分）不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．13 B．12 C．23【解答】解：由题意可得：从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为31+3故选：D．3．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且分别交AB，AC于点D，E，若ADABA．ADABB．AEECC．S△ADED．DE【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AEDEBC=AD∴AEEC=ADS△ADE∴S△ADES四边形DBCE故A、B、C选项正确，D选项错误，故选：D．4．（3分）已知A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣5，y3）三个点都在反比例函数y=−k2+1x的图象上，比较y1，y2A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵反比例函数y=−kk2+1＞0，∴﹣（k2+1）＜0，∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限．∴反比例函数在第二、四象限各个象限内y随x的增大而增大，且第二象限内，函数值都大于0，第四象限内函数值都小于0，∵﹣3＞﹣5，﹣3＜0，2＞0，∵点B（﹣3，y2），C（﹣5，y3）位于第二象限，点A（2，y1）位于第四象限，∴y1＜y3＜y2．故选：C．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，故选：D．6．（3分）如图，点M是反比例函数y=4x（x＜0）图象上一点，MN⊥y轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△A．2 B．4 C．6 D．无法确定【解答】解：设点M坐标为（a，b），∵点M在反比例函数图象上，∴ab＝4，∴S△MNP=12MN•（yP﹣yM）=12×（﹣a）（﹣故选：A．7．（3分）二次函数y＝（x+2m）2﹣1，当x≤5时y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜−52 B．m＞−52 C．【解答】解：抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣2m，∵当x≤5时y随x的增大而减小，∴﹣2m≥5，∴m≤−5故选：D．8．（3分）如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的110．则路宽xmA．（40﹣x）（70﹣x）＝280 B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝280 C．（40﹣x）（70﹣x）＝2520 D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2520【解答】解：设路宽为xm，由题意，得：(40−2x)(70−3x)=70×40×(1−1即：（40﹣2x）（70﹣3x）＝2520，故选：D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF是位似三角形，且CO＝2FO，若点E（2，﹣1），则点B的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（4，2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）【解答】解：由题意可得：位似比为2：1，点E（2，﹣1），∴点B的坐标为（4，﹣2），故选：A．10．（3分）把二次函数y＝3x2的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x﹣1）2﹣2 D．y＝3（x﹣1）2+2【解答】解：根据平移法则可得y＝3（x﹣1）2﹣2．故选：C．11．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AEA．52 B．3 C．22 【解答】解：由题意得，BC＝BD＝6，直线MN为线段AD的垂直平分线，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴AB=6∴AD＝AB﹣BD＝4，∴AF=12∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴AEAB即AE10解得AE=5故选：A．12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若ax12+bx1=ax22+bx2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＞0，−b∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由条件可知二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，∴a﹣b+c＜0，故②正确；③由条件可知x＝1时，函数最大值是a+b+c；∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故③错误；④∵ax∴ax∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，∵x1+x2=−∴x1+x2＝2，故④错误；故正确的有2个，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的面积为2723【解答】解：过F点作FH⊥AO于点H，连接OA，OF，如图：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=360°∵OA＝3，OA＝OF，∴AF＝OA＝3，△AOF是等边三角形，∴AH=OH=1∴FH=O∴等边△AOF的面积为：S=1∴正六边形ABCDEF的面积为：6S=6×9故答案为：27214．（3分）一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其它差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率为411【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，∴口袋中共有7+4＝11个球，∴从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率为411故答案为：41115．（3分）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11．【解答】解：∵关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数有最小值3，当x＝﹣1时，y＝11，∴当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11．故答案为：3≤y＜11．16．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AB'C'，点C恰好落在AB上，连接BB'，若∠BB'C'＝30°，则α＝60°．【解答】解：∵将Rt△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AB'C'，∴AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠BB'A，∵∠BB'C'＝30°，∠BC'B'＝90°，∴∠ABB'＝∠BB'A＝90°﹣30°＝60°，∴∠AB'C'＝60°﹣30°＝30°，∴∠BAB'＝90°﹣30°＝60°，即α＝60°，故答案为：60°．17．（3分）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点C在⊙O外，连接AC，BC，OC．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为1+3【解答】解：如图所示，当BC与⊙O交于点D时，连接OA，OD，AD，过点O作OE⊥AD于E，连接CE，∵∠ABC＝30°，∴∠AOD＝2∠ABC＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝2，∵OE⊥AD，∴E是AD的中点，∴AE＝1，∴OE=O∴∠ACD＝90°，∴CE=1∵OC≤OE+CE，∴当C、E、O三点共线，且点E在线段OC上时，OC有最大值，最大值为1+3如图所示，当直线BC与⊙O交于点D，在优弧AD上取一点T，连接AT，DT，连接OA，OD，AD，过点O作OE⊥AD于E，连接CE，∵∠ABC＝30°，∴∠ABD＝150°，∴∠T＝30°，∴∠AOD＝2∠T＝30°，同理可得CE=1，OE=3则OC＜OE+CE＜3综上所述，OC得到最大值为1+3故答案为：1+318．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D都在格点上．（Ⅰ）AC的长是25；（Ⅱ）将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，点D的对应点为Q，得五边形ABEFQ．请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点E，F，Q的位置是如何找到的取格点O，H，M，N，连接HO并延长交AD，BC于点F，E，连接BN，DM相交于点Q，则点E，F，Q即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC=22+故答案为：25；（Ⅱ）如图所示，取格点O，H，M，N，连接HO并延长交AD，BC于点F，E，连接BN，DM相交于点Q，则点E，F，Q即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）．19．已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0的根为x1、x2．（1）当a＝4时，求x1+x2+x1•x2的值；（2）若方程的一个根x1＝6，求a的值与另一个根x2．【解答】解：（1）a＝4时，方程为x2﹣4x+3＝0，∴x1+x2＝4，x1x2＝3，∴x1+x2+x1•x2＝7；（2）∵方程的一个根x1＝6，∴36﹣6a+a﹣1＝0，∴a＝7，∴方程为x2﹣7a+6＝0，解得x1＝6，x2＝1．∴a＝7，另一个根为1．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OE⊥AC于点E，延长OE至点D，连接CD，且CD是⊙O的切线．（1）求证：∠D＝∠A；（2）若AB＝CD＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，如图，连接OC，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝∠ACO+∠DCE＝90°，∵OE⊥AC于点E，延长OE至点D，∴∠DEC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，∴∠D＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠D＝∠A；（2）解：∵AB＝CD＝2，在直角三角形OCD中，OC＝1，由勾股定理得：OD=C∵S△COD=12OC•CD=12∴CE=OC⋅CD∵OD⊥AC，∴AC＝2CE=421．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC，∴△DOC≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又OD为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：设CB＝x，∵AE⊥EB，∴AE为⊙O的切线，∵CD、CB为⊙O的切线，∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO，∴BD⊥OC，过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4，∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2，解得x＝9，∴CB＝9，∴OC=O∵S△OBC∴BF=OB⋅BC22．如图，在△ABC中，D为边AB的中点，点E在边AC上，连结ED，并延长ED至点F，连结AF，使AF∥BC，且AF2＝FD×FE．（1）求证：∠FAD＝∠FEA．（2）若AB＝20，AE＝13，求EC的长．【解答】（1）证明：∵AF2＝FD×FE，∴AFFD∵∠F＝∠F，∴△AFD∽△EFA．∴∠FAD＝∠FEA．（2）解：∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠B．∵∠FAD＝∠FEA．∴∠B＝∠FEA．又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC∴AD=12AB∵AE＝13，∴1013+EC解得EC=3123．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.4m，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（4，2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+2，将（0，0.4）代入得：0.4＝16a+2，解得a=−1∴y=−1∴抛物线的表达式为y=−1（2）当y＝1.6时，−1解得x＝2或x＝6，结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为2＜x＜6．24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0）、点A（6，0）、点B（0，8）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O、B、C的对应点分别为D、E、F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（2）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（3）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG=12AD＝3，AG=3DG∴OG＝OA﹣AG＝6﹣33，∴点D的坐标为（6﹣33，3）；（2）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE=A∵12AE×DH=12AD∴DH=AD×DE∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6−245=6∴点D的坐标为（65，18（3）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠AOC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，∠AGE=∠ADE=90°∠GAE=∠DAE∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点