2025年考研求极限测试题及答案

考研求极限测试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共10分）

1.下列函数中，当x→0时，极限存在的是：

A.\(\lim_{x\to0}\frac{x}{x^2}\)

B.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{\sinx}\)

C.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)

D.\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{x}\)

2.设函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)，则\(f(x)\)在\(x=1\)处：

A.无定义

B.极限不存在

C.极限为0

D.极限为2

3.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)，则\(f(x)\)在\(x=0\)处：

A.有极限

B.无极限

C.极限为0

D.极限为无穷大

4.下列极限中，计算错误的是：

A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)

B.\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)

C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)

D.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)

5.设\(\lim_{x\to0}f(x)=L\)，则下列说法正确的是：

A.\(\lim_{x\to0}f(x)=L\)当且仅当\(f(x)\)在\(x=0\)处连续

B.\(\lim_{x\to0}f(x)=L\)当且仅当\(f(x)\)在\(x=0\)处可导

C.\(\lim_{x\to0}f(x)=L\)当且仅当\(f(x)\)在\(x=0\)处有定义

D.\(\lim_{x\to0}f(x)=L\)当且仅当\(f(x)\)在\(x=0\)处可导且导数为L

二、填空题（每题3分，共9分）

6.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\)___________

7.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\)___________

8.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\)___________

三、解答题（每题10分，共30分）

9.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{x^2}\)

10.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{x}\)

11.求极限\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\)

四、计算题（每题10分，共20分）

12.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2\sinx}{x^2}\)

13.计算极限\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)-\ln(1+x)}{x}\)

五、证明题（每题10分，共20分）

14.证明：若\(\lim_{x\to0}f(x)=L\)，则\(\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=L\)，其中\(g(x)\)为任意函数。

15.证明：若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=L\)，且\(\lim_{x\to0}g(x)=0\)，则\(\lim_{x\to0}f(x)=0\)。

六、综合题（每题10分，共20分）

16.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求\(\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)。

17.已知函数\(f(x)=e^{2x}-1\)，求\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\)。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.答案：C

解析：根据三角函数的极限性质，当\(x\to0\)时，\(\sinx\approxx\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

2.答案：D

解析：函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)可以化简为\(f(x)=x+1\)，当\(x\to1\)时，\(f(x)\to2\)。

3.答案：A

解析：因为\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1\)，且\(x\to0\)时，\(x\neq0\)，所以\(f(x)\)在\(x=0\)处有定义。

4.答案：B

解析：\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)应该使用泰勒展开，得到\(\frac{1}{2}\)，而不是1。

5.答案：C

解析：\(\lim_{x\to0}f(x)=L\)表示函数\(f(x)\)在\(x=0\)处有极限，但不一定连续或可导。

二、填空题答案及解析：

6.答案：2

解析：根据双角公式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，当\(x\to0\)时，\(\sin2x\approx2x\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)。

7.答案：2

解析：函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)可以化简为\(f(x)=x+1\)，所以\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)。

8.答案：1

解析：\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)是自然对数的导数，所以极限值为1。

三、解答题答案及解析：

9.答案：9

解析：利用泰勒展开\(\sin3x\approx3x-\frac{9x^3}{6}\)，代入原式得到\(\lim_{x\to0}\frac{3x-\frac{9x^3}{6}-3x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{9x^3}{6}}{x^2}=-\frac{3}{2}\)。

10.答案：1

解析：利用泰勒展开\(\sqrt{x^2+1}\approxx+\frac{1}{2}x^2\)，代入原式得到\(\lim_{x\to0}\frac{x+\frac{1}{2}x^2-x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x}=\frac{1}{2}\)。

11.答案：e

解析：这是一个著名的极限，利用指数函数的性质\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)。

四、计算题答案及解析：

12.答案：4

解析：利用三角恒等式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，化简得到\(\lim_{x\to0}\frac{2\sinx\cosx-2\sinx}{x^2}\)，再利用三角函数的极限性质得到4。

13.答案：3

解析：利用对数的性质\(\lna-\lnb=\ln\frac{a}{b}\)，化简得到\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)-\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln\frac{1+3x}{1+x}}{x}\)，再利用对数的极限性质得到3。

五、证明题答案及解析：

14.答案：证明略

解析：根据极限的定义，对于任意\(\epsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(0<|x-0|<\delta\)时，\(|f(x)-L|<\epsilon\)。由于\(g(x)\)为任意函数，可以取\(g(x)=0\)，则\(|g(x)|<\epsilon\)，所以\(|f(x)+g(x)-L|<2\epsilon\)，即\(\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=L\)。

15.答案：证明略

解析：根据极限的定义，对于任意\(\epsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(0<|x-0|<\delta\)时，\(|f(x)-L|<\epsilon\)。由于\(g(x)\)在\(x=0\)处趋于0，所以对于任意\(\epsilon>0\)，存在\(\delta>0\)，使得当\(0<|x-0|<\delta\)时，\(|g(x)|<\epsilon\)，从而\(|f(x)|<|L|+\epsilon\)，即\(\lim_{x\to0}f(x)=0\)。

六、综合题答案及解析：

16.答案：2

解析：根据导数的定义，\(\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x