二次函数中的最值问题（4大题型）-2024-2025学年苏科版九年级数学下册同步训练（含答案）

专题提优1二次函数中的最值问题

题型01二次函数中的线段最值问题

1.如图，。/半径为1,圆心4（0,3），点3是。/上动点，点。在二次函数y=尤2T图象

上运动，则线段的最小值为（）

2.如图，抛物线y=Y-2x-3交x轴于4、2两点（/在8的右侧），交y轴于点C,点于。

是线段NC的中点，点尸是线段上一个动点，△“尸。沿。尸折叠得则线段48

3.如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于Z,8两点（点4在点2的左边），与y轴交于

点C,点。为燃车一顶点，B,C两点的坐标分别为（3,0）和（0,3）.

试卷第1页，共10页

(1)求抛物线所对应的函数解析式.

(2)若点M是第一象限的抛物线上的点，过点”作x轴的垂线交3C于点N,求线段的

最大值.

4.如图，已知抛物线y=*+2x+3与x轴交于4、3两点(点/在点3的左边)，与y轴交

于点C,连接BC.

⑴直接写出/、B、C三点的坐标和△NBC的面积SJBC；

(2)若点尸为线段上的一点(不与2、C重合)，〃丁轴，且尸M交抛物线于点交

x轴于点N,当线段的长度最大时，求点M的坐标.

题型02二次函数中的线段和差最值问题

5.如图1,在平面直角坐标系中，直线＞=-x+4交两坐标轴于8、C两点，二次函数

y=a久2+。久+c图象经过A,B,C三点且“(一1,0).

(1)求二次函数的解析式.

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P?使得尸/+PC的长度最短.若存在，求出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

6.如图，二次函数图象与x轴交于点/、B,与y轴交与点C,抛物线的顶点坐标是(2,

9),且经过。(3,8).

试卷第2页，共10页

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)求△NBC的面积；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得最短?若存在，求出朋■的坐

标.若不存在，请说明理由.

7.如图，二次函数了=0^+云+4的图象过点4(3,0)和3(-1,0),与了轴交于点C.

(2)若在该二次函数的对称轴上有一点使BM+CM的长度最短，求出”的坐标.

题型03二次函数中的周长最值问题

8.如图，已知抛物线了=-/+加+。与一直线相交于41,0)、C(-2,3)两点，与了轴交于点

N,其顶点为D.

试卷第3页，共10页

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)在对称轴上是否存在一点M,使。2W的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和

“7W周长的最小值；若不存在，请说明理由.

9.如图，二次函数的图象与x轴交于，(-3,0)和8(1,0)两点，交y轴于点C(0,3),点C,D

(1)求二次函数解析式；

⑵求出顶点坐标和点D的坐标；

(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点",使ABCM的周长最小？若存在，求出M点坐标;

若不存在，请说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系xp中，抛物线>=&+桁+2与x轴交于点点

3(4,0),与歹轴交于点C,连接NC,2C.

试卷第4页，共10页

(1)求抛物线的解析式.

(2)点。为抛物线的对称轴上一动点，当A/CD周长最小时，求点。的坐标.

题型04二次函数中的面积最值问题

11.如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一

个矩形苗圃园.如果矩形苗圃园的一边由墙48和一节篱笆构成，另三边由篱笆/CDR

围成，设平行于墙一边⑺长为xm.

,墙

CD

(1)当苗圃园的面积为60B?时，求x的值.

(2)当x为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？

12.如图，抛物线yu-V+bx+c与x轴交于A、5两点(A在B的左侧)，与y轴交于点

N,过A点的直线/：＞=b+"与歹轴交于点C,与抛物线了=-/+加+。的另一个交点为。,

已知£＞(5,-6),尸点为抛物线y=-/+Zzx+c上一动点(不与A、。重合).

(2)当点尸在直线/上方的抛物线上时，连接P4、PD,当△尸4D的面积最大时，求尸点的

坐标.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ad-8"+10°-1(。＜0)与x轴的交点分别为

其中(0＜/＜再)，且4B=4,与y轴的交点为C,直线。〃x轴，在

试卷第5页，共10页

X轴上有一动点E«,o)过点E作直线轴，与抛物线、直线CD的交点分别为尸、Q.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)当0<148时，求当A4PC面积最大值时直线AP的解析式.

提优练习

14.正方形ABCD中，AB=4,P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF,

则4APF的面积最大值为()

A.8B.6C.4D.2加

15.如图，抛物线y=-/+3x+4与了轴交于点力,交x轴正半轴于5,直线/过M是

抛物线第一象限内一点，过点M作儿W〃x轴交直线/于点N,则九W的最大值为.

试卷第6页，共10页

16.如图，抛物线＞=/一2x-3与x轴交于/、8两点，抛物线的顶点为。，点C为的

中点，以C为圆心，/C长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接

DE,取。E的中点尸，当点E沿着半圆从点A运动至点3的过程中，线段/月的最小值

为.

17.已知二次函数y=x2-机x-2（加为常数）的图像与x轴的公共点为/（占,0）,fi（x2,O）.

（1）当王=1时，求工2的值;

⑵当-1＜西＜1,且再30时，求加的取值范围;

（3）线段N8长的最小值为一.

4

18.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数y=-A（x-l）2+4的图像与X轴

9

交于/、8两点（点/在点8的左侧），顶点为C.

（1）求/、B、C三点的坐标；

⑵一个二次函数的图像经过8、C、〃亿4）三点，其中twl,该函数图像与x轴交于另一点

。，点。在线段。上（与点。、2不重合）.

①若。点的坐标为（3,0）,则/=；

②求/的取值范围：

③求。。的最大值.

试卷第7页，共10页

19.如图，抛物线y="2+为+3与无轴交于N(T,O),3(3,0)两点,与了轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使AP4c的周长最小，求AP4c的周长的最小值及此时点

P的坐标；

(3)若为抛物线在第一象限的一动点，则％+"最大值=_.

20.如图1,抛物线『=3+为与x轴交于点/,与直线〉=一》交于点台(4,_4),点。(0,-4)

沿线段8。方向匀速运动，运动到点O时停止.

图1

(1)求抛物线了=-£"的表达式;

(2)当8尸=2及时，请在图1中过点P作尸。CM交抛物线于点。，连接尸C,OD,判断

四边形0cPD的形状，并说明理由;

(3)如图2,点P从点8开始运动时，点0从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正

方向匀速运动，点P停止运动时点。也停止运动.连接80,PC,求CP+8。的最小值.

21.【问题背景】

在平面直角坐标系中，4、B、C的坐标分别是(-1,0)、(拉⑼、(0,3),抛物线

y=ax2+bx+c经过4、B、C,点。坐标是(0,-2),点尸是抛物线上位于》轴上方一•点.

【特殊化探究】

试卷第8页，共10页

(1)若加=3,

①求a、b、c的值；

②求A4D尸面积的最大值.

【一般化思考】

(2)①对于每一个正数〃?，面积都存在最大值，试用含〃7的代数式表示A/DP最大

面积S；

②在①的条件下，试探究：A4D尸的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小

值：若不存在，请说明理由.

22.在平面直角坐标系xp中，己知抛物线了=0^+加一1(36为常数，a>0).

(1)若抛物线与x轴交于/(T，。)、8(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式；

(2)如图，当6=1时，过点C(-l,a)、D(l,a+2亚)分别作了轴的平行线，交抛物线于点M、

N,连接MN、MD.求证：MD平分NCMN；

(3)当。=1,64-2时，过直线V=x-l(lVxW3)上一点G作了轴的平行线，交抛物线于点

H.若G8的最大值为4,求b的值.

23.如图1,抛物线y=/+6x+c(。>0)与了轴交于点C,与x轴交于/,2两点，点/

试卷第9页，共10页

在点2左侧.点3的坐标为（l，0）,0c=308.

⑵若点M是抛物线上的动点，当/、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式;

（3）已知点。、尸在抛物线上，点。的横坐标为m（-3＜加＜-1）,点尸的横坐标为根+1.过

点。作x轴的垂线交直线AC于点M,过点F作x轴的垂线交直线AC于点N.

①如图2,连接。尸，求四边形面积的最大值及此时点。的坐标；

②如图3连接40和FC,试探究与AC/W的面积之和是否为定值吗？若是，请求出

来；若不是，请说明理由.

试卷第10页，共10页

1.A

【分析】本题考查了二次函数图象及性质，圆，熟练掌握二次函数图象及性质是解题关键.

设出点C坐标，求出/C长度的最小值，进而可求出5c长的最小值.

【详解】解：设点C(加，/-1),

:4(0,3),

AC2=(m-0)2+(m2-l-3)2

=m4—7m2+16

(27、215

=(m---)-+y,

tz=1>0,

.•.NC2有最小值为:，

4

,­,4c最小值为史，

2

••・。/半径为1,

3C的最小值为姮-1.

2

故选：A.

2南-30

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识,

先根据抛物线解析式求出点N,B,C坐标，从而得出0/=2,08=3,。。=6,再根据勾股

定理求出/C的长度，然后根据翻折的性质得出H在以。为圆心，PN为半径的圆弧上运动，

当2H,8在同一直线上时，84最小,即可求解.

【详解】解：令歹=0,贝iJy=x2-2x-3=0,

解得再=T，x2=3,

.•.4(3,0),5(-1,0),

.•Q=3,OB=1,

令x=0,则>=-3,

答案第1页，共34页

:♦AC=3亚,

・•・D为NC中点,

vAA'PD由AAPD沿。尸折叠所得,

•••DA=DA',

在以。为圆心，D4为半径的圆弧上运动,

则BD=

则BA'最小值=BD-AD=

故答案为：汽逑

3.(1)y=~x2+2x+3

（2）!

【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象及性质:

（1）把（3,0）和（0,3）分别代入y=-x2+bx+c^i可求解；

（2）设直线8c的解析式为y=ax+",利用待定系数法求得直线8c的解析式为

y=—x+3,设Af—厂+2t+3)(0<t<3),N[t,—t+3),贝！|ACV=—3|根据二次

函数的图象及性质即可求解；

熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.

答案第2页，共34页

【详解】（1）解：把（3,0）和（0,3）分别代入片一一+fox+c得:

0=-9+3b+c

3=。

b=2

解得:

c=3

■■■抛物线所对应的函数解析式为y=-—+2x+3.

（2）设直线8c的解析式为y=^x+”,

把（3,0）和（0,3）分别代入〉="X+”得:

0=3加+〃

3=n

m=—\

解得:

n=3

直线BC的解析式为＞=-X+3,

设d+2/+3）（0<f<3）,N（/,T+3）,

,•・抛物线了=一上-+g的开口向下，

・・・当f=J3时，线段龙W有最大值，最大值为9：.

24

4.（l）C（0,3）,A-1,0）,5（3,0）,S皿=6

⑵M坐标[I",?]

【分析】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形

的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识.本题考查知识点

较多，综合性较强，难度适中.

（1）在抛物线解析式中，令x=0可求得点C坐标，令V=0则可求得A、8的坐标，再求面

积即可；

（2）由8、C的坐标可求得直线8C的解析式为＞=-x+3,则可表示出点"坐标，则可求

得尸M的长，从而可用/表示出ABCW的面积，再利用二次函数的性质可求得当ABCM面积

答案第3页，共34页

最大值时/的值，可求得点M坐标.

【详解】(1)解：对于y=—Y+2x+3,令x=0,贝!Jv=3,

•-C(0,3),

令歹=0,贝Uy——+2x+3=0,解得：x1=3,x2=—1,

「•4-1,0),

••5(3,0),

/.AB=4,

「.S△谢=；x4x3=6；

［0=3k+b

(2)解：设8C的表达式为/而+b,贝叶人’,解得

［b=3

，直线BC的表达式为》=-x+3,

设点夕的坐标为。,-£+3）,则点M的坐标为«,-*+21+3）,

3A29

+

PM=—t?+2t+3+，—3=—r+3/=—2-4-

7

3

£二］时，最大，

此时点M坐标［二,-r］；

5.（1）二次函数的解析式为＞=f2+3x+4

（2）在抛物线的对称轴上存在点尸使得P/+PC的长度最短，点P的坐标为14-

【分析】（1）根据直线的解析式求出点3、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数的解

析式即可;

（2）A、B关于抛物线的对称轴对称，所以抛物线的对称轴与直线＞=-x+4的交点就是点

P,利用对称轴的解析式和一次函数的解析式即可求出点尸的坐标.

【详解】（1）解：当尤=0时，y=4,

•・•点C的坐标为（0,4）,

当尸0时，可得：-x+4=0,

解得：x=4,

.••点8的坐标为（4,0）,

答案第4页，共34页

把点N（T,O）、3（4,0）、C（0,4）的坐标代入y=a%2+bx+c,

a-b+c=0

可得：。=4

16a+4b+c=0

a=-1

解得：6=3,

c=4

二次函数的解析式为y=-x2+3x+4；

（2）解：在抛物线的对称轴上存在点P使得尸N+PC的长度最短.点尸的坐标为141

理由：如下图所示,

把二次函数的解析式V=-―+3无+4化为顶点坐标式,

-r砥（3丫25

可得：y=—卜一万）+—>

二抛物线y=V=-/+3x+4的对称轴为直线x=：,

设抛物线的对称轴与直线2C交于点P,

•••直线x=；为线段4B的垂直平分线，

PA=PB,

:.PA+PC=PB+PC=BC,

此时点P使得PA+PC的长度最短.

335

令x=],贝！ly=_5+4=1,

在抛物线的对称轴上存在点P使得尸/+PC的长度最短，点P的坐标为SI

答案第5页，共34页

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法求

函数的解析式，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

6.(1)y=-(x-2)2+9；(2)=15；(3)M(2,6)

【分析】(1)根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点。的坐标代入即可得；

(2)求出4,B,C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；

(3)先求出点。关于对称轴对称的点。的坐标，从而可得再根据

两点之间线段最短可得当点3,D',〃在一条直线上时，最短，然后利用待定系

数法求出直线8。的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得.

【详解】⑴•••抛物线的顶点坐标为(2,9),

设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+9,

••,抛物线经过点。(3,8),

•••(3-2)22+9=8,解得a=T,

••・抛物线的函数解析式为了=-(x-2)2+%

(2)令y=-(x-2)2+9=0,解得x/=5,x2=-l>

■■.A(-1,0),B(5,0),

令x=0,贝仃=一(0-2)2+9=5

：.c(0,5)

.,.S/3C=；/8,〃=；x6x5=15；

(3)存在，求解过程如下：

••・二次函数y=-(x-2)2+9的对称轴为直线x=2,

：.A(-1,0),B(5,0),

•・•点。(3,8)关于对称轴x=2对称的点的坐标为。(1,8),

由对称性得：DM=D'M,

则BM+DM=BM+DM,

如图，由两点之间线段最短可知，当点2,D',M在一条直线上时，最短，

答案第6页，共34页

设直线的函数解析式为〉="+4

把(5,0),(1,8)代入歹=h+6,

0=5左+6k=—2

得:,解得

8=k+b6=10

•■y=-2x+l0,

取无=2,则-2x2+10=6,

：.M(2,6).

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线

段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键.

48

7.(1)二次函数的关系式为_y=-§/+]X+4

⑵明]

【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型.

4X

(1)用待定系数法即得二次函数的关系式为丁=-§/+：工+4；

4R4o16

(2)由y=-gx2+：x+4=-g(x-l)2+手，得抛物线的对称轴是直线x=l,与y轴交点

。(0,4),根据点2关于直线x=l的对称点是可知NC与对称轴的交点即为点使

BM+CM的长度最短，用待定系数法得直线NC的解析式为＞=-$+4,即得

【详解】(1)解：••・二次函数尸江+为+4的图象过点/(3,0)潭(-1,0),

+36+4=0

[a-b+4=0

答案第7页，共34页

4

a=—

3

解得

78

b=一

3

48

二次函数的关系式为>=-钎2+丁+4；

八216

工一)+T,

333、

••・抛物线的对称轴是直线x=l,与y轴交点。(0,4),

,・,点B关于直线x=l的对称点是/,

・••/C与对称轴的交点即为点M,使+的长度最短，如图:

设直线4C的解析式为〉=丘+6,将4(3,0),。(0,4)代入得：

(3k+b=0k=--

I，解味J

l[b=4

4

・•・直线AC的解析式为y=+4,

48

当x=l时，y=—x1+4=—,

33

・"申.

8.(1)y=—x2—2x+3,y=—x+1

(2)在对称轴上存在一点初(-1,2),周长的最小值为3夜+而

【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数和一次函数关系式即可；

(2)首先确定点N的坐标为(0,3),再结合题意可知点C,N关于抛物线的对称轴对称；

令直线NC与抛物线的对称轴的交点为点由“最短路径”的性质即可求出M的坐标，并

确定。2W周长取最小值.

2

【详解】(1)解：将次L0)、C(-2,3)^Xy=-x+bx+c,

答案第8页，共34页

-l+b+c=0b=-2

可得,解得

一4-26+。=3c=3

•,・抛物线的函数关系式为y=-x2-2x+3；

设直线AC的函数关系式为y=mx+n(m丰0),

将41,0)、。(一2,3)代入了=加工+〃，

m+n=0m=­l

可得,解得

-2m+n=n=1

・•.直线/c的函数关系式为＞=-x+l；

(2)解：当x=0时，y=-x2-2x+3=3,

.••点N的坐标为(0,3),

y=-x2-2尤+3=-(x+1)2+4,

•,・抛物线的对称轴为直线x=-l,

•••点C的坐标为(-2,3),

.・•点C,N关于抛物线的对称轴对称，

令直线/C与抛物线的对称轴的交点为点/，如图所示,

•・•点C,N关于抛物线的对称轴对称,

：.MN=CM,

：.AM+MN=AM+MC=AC,

此时AMW周长取最小值，

当x=-l时，y=—x+1=2,

••・此时点M的坐标为(-1,2),

:/(1,0),C(-2,3),N(0,3),

答案第9页，共34页

•••/C=打+32=3也，AN=Vl2+32=Vw>

■-C^ANM=AM+MN+AN=AC+AN=342+41Q,

・•・在对称轴上存在一点M(-l,2),使“MM的周长最小，A^W周长的最小值为38+所.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函

数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的周长,

有一定的综合性，难度适中.

9.(1)jv=-%?—2x+3

⑵顶点坐标为(T4)，点D的坐标为(-2,3)

(3)存在,”1,2)

【分析】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

(1)由抛物线与x轴的交点坐标/(TO)和8(1,0),设抛物线的解析式为

y=a(x+3)(x-l),将点C(0,3)代入求得°的值，即可得到答案；

(2)由y=---2x+3=-(x+iy+4,得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线x=-l,

得到点D的坐标；

(3)要使ABCM的周长最小，只需+最小即可，点/和8关于直线尤=-1对称，连

接/C交直线x=-l于点求出直线NC的解析式，求得交点M的坐标即可.

【详解】(1)解：由抛物线与x轴的交点坐标/(-3,0)和3(1,0),设抛物线的解析式为

y=a(x+3)(x-l),

将点C(0,3)代入，得：-3a=3,

解得：。=-1,

则抛物线的解析式为>=-(x+3)(x-1)=r2-2x+3；

(2)解：•••y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,

二顶点坐标为(T,4),抛物线的对称轴为直线x=-l,

.•.点C(0,3)关于对称轴的对称点D的坐标为(-2,3)；

(3)解：存在，要使的周长最小，只需"B+MC最小即可，

答案第10页，共34页

•・•点N和8关于直线x=-l对称，连接AC交直线x=-1于点M,

贝+A/C=/C,

.••点〃满足题意，

图1

设直线AC的解析式为y=kx+m,把点/（-3,0）和C（0,3）代入得,

-3k+加=0

则

m=3

.,•直线ZC的解析式为>=尤+3,

设点M的坐标是川（一1,几），则〃=—1+3=2,

即点M（—l,2）为所求.

1Q

10.⑴抛物线的解析式为了=-万/+]X+2

（2）点。

【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题,

解题的关键是求出二次函数解析式.

（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）点/关于对称轴的对称点为点3,连接8c交对称轴于点。，连接4D,此时NO+CO

135/35、

最小，得出直线2c的解析式为了=-gx+2,当x时，y=得出用5,4即可求

解.

答案第11页，共34页

【详解】(1)解：把点/(TO)B(4,0)分另U代入尸4+法+2,得：

JQ-6+2=0

[16〃+4b+2=0'

a=

~2

解得V

3

b=

2

i?

••・抛物线的解析式为y=--x2+-x+2；

(2);/(TO)8(4,0),

-1+43

・•・对称轴为直线x=

22

点/关于对称轴的对称点为点B,连接2C交对称轴于点D,连接40,如图1,此时/O+CD

图1

当x=0时，＞=2,

•••点”0,2).

设直线BC的解析式为y=kx+2,代入B(4,0)得4左+2=0,

k=——,

2

••・直线BC的解析式为y=-;x+2,

35

当工=彳时，＞=

24

・•・点。

11.(1)12

(2)当X的值为85l时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是72.25n?

【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，

(1)用含、的式子表示C4,根据“苗圃园的面积为60m2”列出关于N的方程，求解即可;

答案第12页，共34页

（2）设苗圃园的面积为Sm2,根据面积公式可得到二次函数，通过二次函数的性质即可求

出最值；

本题的关键是利用含x的式子表示线段长度，根据二次函数的性质解题.

【详解】（1）解：•・•篱笆的总长为26m,平行于墙一边长为xm,

••・垂直于墙一边C4长为26+,2x=（]7_x）m,

根据题意得：（17-X）X=60,

解得：西=5（不符合题意，舍去），X2=12,

.•.x的值为12；

（2）设苗圃园的面积为Sn?,

依题意，得：S=（17-x）x,

.•.S=-（X-8.5）2+72.25,

.,.当x=8.5时，Sj1bt=72.25,

答：当x的值为85l时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是72.25m2.

12.（l）y=-x-l,y=-x2+3x+4

⑵尸（2,6）；

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，三角形的面积，解答本

题的关键是分类讨论思想的运用.

（1）分别将"（TO），。（5,-6）代入抛物线解析式与直线/的解析式,即可得解;

（2）过点尸作轴，交直线/于点。，设点尸”,-/+3/+4）,则点得到

22

PQ=-t+4t+5,S&fAD=-3（t-2）+27,结合一1</<5,当f=2时，取最大值，求

得尸（2,6）；

【详解】（1）解：将。（5,-6）代入直线/:了=履+〃得：

[-k+〃=0

15左+几=一6'

答案第13页，共34页

k=-\

解得:

n=-1?

故直线/的解析式为：y=-x-i；

将4（-1,0）,。（5,-6）代入抛物线解析式得:

-l-b+c=0

—25+56+c=—6'

b=3

解得:

c=4

二抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；

（2）解：如图，过点尸作尸。,》轴，交直线/于点。,

由题意设点/（力-产+3/+4）,则点0&V-1）,

PQ=-t2+3t+4-(-t-l)=-t2+4t+5,

22

•v=1x[5-(-l)].(-Z+4f+5)=-3«-2)+27,

一^LPAD

,**—1<£V5,

.•.当"2时，S"〃取最大值27,

此时尸（2,6）.

13.（1）抛物线的解析式为y=-g/+4x-6

⑵直线在的解析式为k-3x+18

【分析】（1）根据抛物线对称性得到土产=4,再由/8=4得到占-马=4,联立方程组

求解得到/（6,0）,3（2,0）,利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案;

答案第14页，共34页

（2）由（1）中所求解析式，得到4（6,0）,C（0,-6）,求出直线/C：y=x-6,根据在x轴

上有一动点E«，0）,过点E作直线轴，与抛物线的交点为尸，分二种情况：①当E在。4

之间时；②当£在/点右侧时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合

抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线/P的解析式.

【详解】⑴解：•.•抛物线了=办2-8办+10。-1（。＜0）,

对称轴为才=—纵=4,

2a

•••抛物线昨办2_8"+10”1（"0）与x轴的交点分别为4（西,0）,8（尤2,0）,其中

（0＜尤2＜玉），且48=4,

xl-x2-4

X{-X2=4,再72=4,贝

玉+%=8'

再=6

解得

x,=2

*4（6,0）,巩2,0）,

将3（2,0）代入得4”16a+10a-l=0,

解得。=」，

••・抛物线的解析式为y=-^x2+4x-6；

（2）由了=-；/+4%-6得：C（0,-6）,

・•・设直线"C：y=kx+b,将/（6,0）,C（0,-6）代入得：

[0=6k+b

[-6=b'

\k=\

解得人小

[6=-6

二直线NC：y=x-6,

•••在x轴上有一动点£（。0）,过点£作直线轴，与抛物线、直线/C的交点分别为尸、

F,根据0＜T8,4（6,0）,分二种情况讨论：

答案第15页，共34页

当E在。/之间时，如图1：

图1

.，.p［，,一+4,一6),/—6),

S4APC=5PF,(猫—％)

=-|--^2+4r-6-/+61x6

2(2)

=3卜产+可

=-|(r-6f)

—<0,0<，V6,

2

抛物线开口向下，当，=3时，邑4也有最大值，最大值为会27;

当E在4点右侧时，过尸作夕尸〃x轴，如图2：

答案第16页，共34页

‘尸上'一；‘2+4’一6），尸（一；/+小一6

:SAPC=1'尸产.（"7C）

=3/-附

=|(^-3)2-1

3

V->0,对称轴为，=3,6<£W8,

・•・抛物线开口向上，贝!］当6</8时，S“pc随着，的增大而增大，即当"8时，S“尸°有最大

值，最大值为24；

〜27

•・•24<—,

2

・•・当％=8时，△/PC面积有最大值，为24；

止匕时，yP=一;x64+4x8-6=-6,

此时，P（8,-6）,

设直线4尸的解析式为：y=mx+n,把点/,点尸的坐标代入得:

|0=6m+n

-6=8m+H'

•,・直线AP的解析式为y=-3x+18.

【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、

抛物线与三角形面积问题，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函

数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键.

14.C

【分析】根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PGLAF,G为垂足，贝U

AG=GF,DG=PG,设DF=x,得至l」AG=手，GD=PG=/，利用三角形面积公式计算得

答案第17页，共34页

到SAAPF=-1^+4,根据函数性质即可得到答案.

【详解】•.-AP=PF,

.,.点P在AF的垂直平分线上，

过P作PG1AF,G为垂足，贝ijAG=GF,DG=PG,

4+Y

设DF=x,贝UAG=-

2

4-x

••,GD=PG=------，

2

SAAPF=-x(4+x)x---=-+4S4,

所以4APF面积最大值为4；

故选：C.

【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正

确引出辅助线并设定未知数解决问题是解题的关键.

15.4

【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点/，点8的坐标，然

后求出直线N8的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N

的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可.

【详解】•.■y=-x2+3x+4

.,.当y=0时，-/+3工+4=0,解得：x=4或-1,

•••点3的坐标为（4,0）,点/的坐标为（0,4）,

设直线的解析式为：^=丘+4,把（4,0）代入，得：k=-\,

二直线48的解析式为：y=-x+4,

设点M的坐标为（a,-/+3。+4）,

答案第18页，共34页

-MN//x^,

:，歹N=加，

***—x+4=—/+3。+4,

2

・•・xN=a-3a,

二点N的坐标为(/-3a,-/+3。+4),

•.•点M在第一象限,

=a-[a2~^=-a2+4a,

4、

当。=一公司=2时，"N有最大值为4.

故答案为：4.

16.2亚-1##-1+2拒

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物

线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定尸点的运动轨

迹是解题的关键.由题意可知E点在以C为圆心，2为半径的半圆上，则尸点在以G(l,-2)为

圆心，1为半径的半圆上，4尸的最小值为/G-1,求出/G即可求解.

【详解】解：如图，作直线CD,则CD为抛物线的对称轴，取CD的中点G,连接CE,

令…，贝2x-3=。，

解得x=3或x=-l,

.•./(TO),8(3,0),

•••c为N2的中点，48=4,

.-.C(1,O),CA=CB=2,

答案第19页，共34页

,•*y-x2_2x_3=(x-1)--4,

.,・顶点。(1,-4),

.•,G(l,-2),CG=2,

由中位线的性质可得：GF=\CE^\,

2

・•・尸点在以G(l,-2)为圆心，1为半径的半圆上运动，

连接/G交OG于F,

■■AG=2y/2,

如图，当/、G、尸三点共线时，即尸与尸重合，/尸最小，

■■AF的最小值为2血-1,

故答案为：20-1.

17.(1)%2=-2

⑵加〉1或加〈一1

(3)272

【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最

值，利用数形结合是解决本题的关键.

(1)把＞=0代入y=f-mX-2得—加工一2=0,可得再工2二一2,即可求解；

(2)把x=l代入y=f_加工_2得y=_加一］,寸巴工=_］代入)=%2_加X_2得,=机一1,分

类讨论，利用数形结合思想即可解决；

(3)先表示出45=|再_引=_工2)2=J('l+工2)2=J-2+8,再由一元二次方程

根于系数的关系即可求解.

【详解】(1)解：才巴＞=。代入＞=一一加工一2得一加工一2=0,

・・•图像与X轴的公共点为4(再,0),5仇,0),

•'(工］%2=2.

x1=1,

/•X］=2•

答案第20页，共34页

(2)解：把x=l代入>=%2一加工一2得歹=一加一1,

才巴x=_]代入y=x2-mx-2^y=m-X,

当加〉0时，则加一1〉0,

m>1.

当加<0时，则一机-1>0,

•••m<-\.

综上所述，机的范围是：加>1或加<-1；

(3)解：才巴V=。代入y=%2一加、一2得J一加x-2=0,

・•・xxx2=-2,x{+x2=m

AB=\xx-X2\=J(X]-%2)2=J(M+々)2—4国入2=J加2+8

m2+8>8,

•*-AB>2V2,

故答案为：2后.

18.⑴4(-2,0),5(4,0),C(l,4)

(2)①6；②3<%<7且"4；③4

【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题

等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础.

(1)根据顶点式可直接得出点。的坐标；令歹=0,解方程，可得出点A,3的坐标；

7

(2)①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线x=],再根据点C,M的坐标可得出

C,M关于对称轴对称，由此可得出I的值；

②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为(―，0),再由对称

〃-3>0

性可知，。(-3,0),由点。在线段02上，且与端点不重合，可得1.即3<7,

[/一3<4

而当f=4时，过点8,C,M三点的二次函数不存在，由此可得3</<7且fw4；

③OD-OB=«-3>(7-)=-r+10f-21=-(—5)。+4,根据二次函数的性质可得结论.

4

【详解】(1)解：・•・二次函数y=-g(x-l)2+4的图象的顶点为C,

.•.C(l,4).

答案第21页，共34页

4

令y=-§(x-l>+4=0,解得x=-2或x=4,

A-2,0),8(4,0)；

(2)解:①由题知，该函数过点3(4,0),C(l,4),0(3,0),

二函数的解析式为：y=«(x-4)(x-3),

7

二函数的对称轴为直线龙=5，

•・•点C,M关于对称轴对称，

,l+t_7

.,.t—6,

故答案为：6；

②设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c,

将4)C(1,4)两点代入，得一)，

[a+b+c=4

—1)+b(t—1)=0f

W1,

•b-Z+1

一一五一〒，

・・・二次函数图象的对称轴与X轴的交点坐标为(号，0),

■■B,。两点关于对称轴对称，点以4,0),

：.D(t-3,0),

•・•点。在线段03上，且与端点不重合，

/-3>0

即3<f<7,