二次函数的应用与综合篇（原卷版）-2023年中考数学必考考点总结+题型专训

专题16二次函数的应用与综合

知识回顾

1.二次函数的性质与图像:

形式一般式：y=aj?+fer+c(aw0)顶点式y=tz(x-/z)2+k(aw0)

。的符号a>0a<0a>0a<0

开口方向开口向上开口向下开口向上开口向下

h

x=--,若Q,b同号，则对称轴在y轴

lax-h,若/iX）,对称轴在y轴右边；若

对称轴左边；若a,b异号，则对称轴在y轴右边。

hVO,对称轴在y轴左边，

简称左同右异。

bb

当%二—2时取得当%二—2时取得

2ala当x=/z时取得最小当了=〃时取得最大

最值22

口..4ac-b口一+4ac-b

最小r值一-——最大值一-——值左值上

4a4a

/,oA

b4ac-b

顶点坐标仇，女）

2a9a

\7

图像在对称轴左边图像在对称轴左边图像在对称轴左边图像在对称轴左边

y随x的增大而减y随x的增大而增y随x的增大而减y随x的增大而增

增减性小；图像在对称轴右大；图像在对称轴右小；图像在对称轴右大；图像在对称轴右

边y随x的增大而边y随x的增大而减边y随x的增大而边y随x的增大而减

增大；小；增大；小；

①若二次函数是一般形式时，则二次函数与y轴的交点坐标为（0,c）。若c>0,则二次函数与y

轴交于正半轴；若cVO,则二次函数与y轴交于负半轴。

②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的

函数值越小。

③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。

④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。

2.二次函数的平移:

①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。

②若函数进行上下平移，则在函数解析式整体后面进行加减。上加下减。

3.一次函数的对称变换：

①若二次函数关于x轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。

②若二次函数关于y轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。

③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。

4.二次函数与一元二次方程：

①若二次函数y=ax2+bx+c(aw0)与x轴有两个交点o一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不

相等的实数根=△=后-4ac>0。

②若二次函数y=ax2+bx+c(aw0)与x轴只有一个交点o一元二次方程ax2+6x+c=0有两个

相等的实数根=八=庐一4知=0。

③若二次函数y=ax2+bx+c(aw0)与x轴没有交点=一元二次方程ax2+bx+c-G没有实数根

=△=》__4acV0o

④若二次函数y片0)与直线丁=相交，则一元二次方程为a』+6x+c=7〃。交

点情况与方程的解的情况同与X轴相交时一样。

5.二次函数与不等式(组)

若二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)与一次函数y=kx+b(kw0)存在交点，则不等式：

a/+6x+c>区+6的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；

ad+6x+cV丘+6的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。

6.利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。解此类题的关键是通过题意，确

定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在

求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。

7.几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中

的最值的讨论。

8.构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数

据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题

或其他问题。

9,二次函数的综合应用：

①二次函数与方程、几何知识的综合应用：

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善

于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘

题目中的一些隐含条件。

②二次函数在实际生活中的应用题。

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直角

坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使

实际问题有意义。

微专题

1.端午节前夕，某超市从厂家分两次购进4、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第

一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B

品牌粽子120袋，总费用为8100兀.

（1）求A、8两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

（2）当3品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进

行降价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋.当8品牌粽子每

袋的销售价降低多少元时，每天售出2品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？

2.某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价

的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当

尤=15时，y=50；当x=17时，y=30.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？

3.某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进

价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个.

（1）求第二批每个挂件的进价；

（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售

价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖

90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

4.掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名女生投实心球，实心球行进路

线是一条抛物线，行进高度y（相）与水平距离无（相）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度

为当水平距离为时，实心球行进至最高点3根处.

3

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的

水平距离大于等于6.70m此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.

图1

图2

5.某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价无（元）

之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？

(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多

少元?

6.2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台

高度。4为4米，以起跳点正下方跳台底端。为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所

示平面直角坐标系.已知抛物线最高点B的坐标为(4,12),着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，

若斜坡。的坡度7=3：4(即C匕E=二3).

DE4

求：（1）点A的坐标；

（2）该抛物线的函数表达式；

（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离0C的长.（精确到0.1米）

（参考数据：若-L73）

7.第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为

了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动.运

动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，

经过助滑后，从倾斜角9=37°

的跳台A点以速度vo沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变.同时，由于受

重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该

运动员在2点着陆，42=150相.且sin37°=0.6.忽略空气阻力，请回答下列问题：

（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少机？

（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式;

（3）若该运动员在空中共飞行了4s,求他飞行2s后,

垂直下降了多少机？

8.某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行

核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化

情况，发现其变化规律符合函数关系式：-c（0WxW8）,数据如表.

640（x>8）

时间X（分钟）0123…8x>8

累计人数y0150280390…640640

（人）

（1）求a,b,c的值；

（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排

队人数的最大值（排队人数=累计人数-已检测人数）；

（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完

成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

9.某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价

x（元）之间存在一次函数关系（其中8/无（15,且x为整数）.当每件消毒用品售价为9元时，每天的

销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利

润最大？最大利润是多少元？

10.如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查

询结果发现，该二次函数的解析式为y=/-4x+l.

已知二次函数？=/+版+<:的图象经过点A(0,1),8(1,-2),—"邀爨.

求该二次函数的解析式.

(1)请根据已有信息添加一个适当的条件：;

（2）当函数值y<6时，自变量尤的取值范围：；

（3）如图1,将函数y=/-4x+l（x<0）的图象向右平移4个单位长度，与>=/-4x+l（尤24）的图

象组成一个新的函数图象，记为L若点尸（3,相）在L上，求相的值；

（4）如图2,在（3）的条件下，点A的坐标为（2,0）,在L上是否存在点。，使得SAOAQ=9.若存

在，求出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图（1）,二次函数y=-/+bx+c的图象与x轴交于4、8两点，与y轴交于C点，点8的坐标为（3,

0）,点C的坐标为（0,3）,直线/经过8、C两点.

（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

（2）点P为直线/上的一点，过点P作无轴的垂线与该二次函数的图象相交于点再过点M作y轴

的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当尸时，求点尸的横坐标；

2

（3）如图（2）,点C关于x轴的对称点为点。，点尸为线段上的一个动点，连接AP,点。为线段

A尸上一点，且AQ=3P。，连接。。，当3AP+4。。的值最小时，直接写出。。的长.

12.如图，二次函数y=o?+6x+c的图象与x轴交于。(。为坐标原点)，A两点，且二次函数的最小值为

-1,点机)是其对称轴上一点，y轴上一点8(0,1).

(1)求二次函数的表达式；

(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连结必，PB,设点尸的横坐标为f,ABV?的面积为S,

求S与f的函数关系式；

(3)在二次函数图象上是否存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由.

13.如图，抛物线y=o?+x+c经过8(3,0),0(-2,-1)两点，与x轴的另一个交点为A,与y轴相

交于点c.

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;

(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B,C不重合)，求使△AffiC面积最大时M点的坐标,

并求最大面积；(请在图1中探索)

(3)设点。在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A,B,P,。为顶点的四边形是平行四边形，求所

有满足条件的点P的坐标.(请在图2中探索)

14.如图，抛物线y=-7+6x+c与x轴相交于A,8两点(点A在点8的左侧)，顶点。(1,4)在直线/：y

4一、

=—x+t,E,动点尸(〃2,n)在x轴上方的抛物线上.

3

(1)求这条抛物线对应的函数表达式;

(2)过点P作轴于点PNLI于点、N,当1＜相＜3时，求PM+PN的最大值;

(3)设直线AP,8尸与抛物线的对称轴分

别相交于点E,F,请探索以A,F,B,G

(G是点E关于x轴的对称点)为顶点的