二次函数的实际应用（原卷版）

第三讲二次函数的实际应用

目录

必备知识点..............................................................................1

考点一运用二次函数求最大利润...........................................................1

考点二二次函数与几何图形..............................................................4

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必备知识点

知识点1二次函数的应用

1.利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定

出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此

在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

2.几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的

最值的讨论.

考点一运用二次函数求最大利润

L某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元.经

过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数

关系.

（1）求夕与x之间的函数关系式；

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2.如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意.其主门洞的截面

如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边为16米，8C为6米，最高处

点E到地面的距离为8米.

图①图②

（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式.

（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线.车辆必须在双黄线两侧行驶，不

能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判断一辆大型货运

汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由.

3.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每台售价（元）与月

销量（台）满足的函数关系式如下表所示.已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35

元.设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为卬元.

每台售价（元）303132•••30+x

月销售量（台）180170160•••y

（1）上述表格中，夕=（用含x的代数式表示）；

（2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应上涨多少元？

（3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润W最大？最大利润是多少？

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4.随着国内疫情得到有效控制，某产品的销售市场逐渐回暖.某经销商与生产厂家签订了一份该产

品的进货合同，约定一年内进价为0.1万元/台.根据市场调研得知，一年内该产品的售价y（万

4

元/台）与签约后的月份数x（1WXW12且为整数）满足关系式“=卜°.°5x+°-（]<x<4）.

[0.2（4<x<12）

估计这一年实际每月的销售量〃（台）与月份X之间存在如图所示的变化趋势.

（1）求实际每月的销售量P（台）与签约后的月份数X之间的函数表达式；

（2）请估计这一年中签约后的第几月实际销售利润少最高，最高为多少万元？

5.某大型农贸市场新建了100个固定摊位，经调查分析发现，去年1月至12月，每个固定摊位的

租金y（元）与月份x之间满足关系式如下表，每月租出的固定摊位的个数p（个）与月份x之间

的函数图象如图所示.每个固定摊位租用者支付月租金给市场管理公司，由市场管理公司为每个

摊位支付管理费，管理费加（元）与月份x之间关系满足加=20x（1WXW12,且x为正整数）.

X（X为正整数）1WxW674W12

W元400-40x+820

（1）试求p与x之间的函数关系式；

（2）分别时算3月份和8月份市场管理公司的收益（收益=租金-摊位管理费）;

（3）请你通过计算说明市场管理公司哪个月的收益最大？

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考点二二次函数与几何图形

6.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图，已有的铁皮是等腰直角三角形/8C,它的

底边48长20厘米.要截得的矩形EFGD的边尸G在48上，顶点分别在边C4、上.设

所的长为x厘米，矩形的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，

并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积.

7.问题探究

(1)如图1,在四边形/BCD中，连接/C,AD=CD=IO,AC=\2,S四边形RBCD=72,求AABC

的面积；

问题解决

(2)如图2,有一个菱形广场48C3,已知/。=60米，/DAB=60°,连接NC.现计划对这

个广场进行绿化.在和△DVP区域种植绿植，且满足点尸、M、N分别在NC、48、CB

上，PM//AD,PN//CD,为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问△。儿很与^

DVP的面积之和是否存在最小值，若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2

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8.问题提出：（1）如图①，等边△48C的边长为1,。是3c边上的一点，过点。作DEIAB,

垂足为£,设线段的长度为x,的面积为乃求y与x的函数关系式.

问题解决：（2）某路口拐角处有一个五边形空地，为方便市民出行的需要，市政局准备在这片空

地上给广大来往群众搭建一个既能遮阳又能避雨的遮阳棚.经过勘测发现，在如图②所示的五边

形ABCDE中，N/=/2=150°,NC=/D=60°,OE=2/E=8米，AB=\[3BC,根据该路

口的实际条件限制，需将遮阳棚形状设计为三角形，且△FGH的顶点足G、〃分布在边

CD、DE上，点尸为中点，DH=DG,为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可

能大.请问，是否存在符合设计要求的面积最大的△/G”?若存在，求△FG"面积的最大值，若

不存在，请说明理由.

图1

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9.如图，矩形ABC。中，AB6cm,5c=12。〃，点E在边/。上，点P从点C出发沿C3运动到

点2停止，点。从点/出发，沿折线N£f£C运动，它们同时出发，运动速度都是Icm/s,点P

运动到点3时同时停止，设点尸运动时间为f(s),A8P。的面积为S(c相2).当点。到达点£

时，S=24(cm2).

(1)填空：AE=,CE=；

(2)求S关于/的函数关系式，并直接写出自变量/的取值范围.

10.如图，在△/8C中，ZC=90°,BC=8,/C=6,点尸，。同时从点3出发，点尸以每秒5个

单位长度的速度沿折线BA-NC运动，点。以每秒3个单位长度的速度沿折线3C-C运动，当

点P,。相遇时，两点同时停止运动，设点尸运动的时间为f秒，△尸3。的面积为S.

(1)当尸，。两点相遇时，/=秒；

(2)求S关于/的函数关系式，并直接写出，的取值范围.

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II.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC.8c的长恰好为方程，-i4x+a=0的两根，且/C-

BC=2,。为的中点.

(1)求a的值.

(2)动点尸从点/出发，沿/一。一。的路线向点C运动；点0从点8出发，沿3-C的路线

向点C运动.若点尸、0同时出发，速度都为每秒2个单位，当点尸经过点。时，点尸速度变

为每秒3单位，同时点。速度变为每秒1个单位.当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设

运动时间为♦秒.在整个运动过程中，设△尸。。的面积为S,试求S与7之间的函数关系式；并

指出自变量/的取值范围.

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12.问题探究

（1）如图1,在菱形/BCD中，Z^=120°,/8=4,点尸为边CD的中点，0为边/。上一点,

且。尸+。。=5,连接AP、PQ、BQ,求△AP0的面积；

问题解决

（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边

形45。休闲广场，ZA=ZABC=ZC=90°,/8=40米，8C=60米.按照规划要求，点尸、

。分别在边CD、4D上，满足DP+DQ=40米，连接AP、PQ、BQ,其中△尸为健身休闲区，

其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此

要求修建的这个健身休闲区（△尸30）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时DP的

长；若不存在，请说明理由.

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13.问题提出:

(1)如图①，在四边形4BCD中，NA=/B=90°,AB=8,N£>=11,点£在线段8C上，且

BE=5,连接。E,作所_LOE,交AB于点、F,求四边形/。斯的面积；

问题解决:

(2)精密仪器厂要生产一种特殊的四边形/BCD金属部件，如图②所示，部件要求是：2C=4cm,

点。到3c的距离为5c%,Z£>=90°,且CD=2/O.已知生产这种金属部件的材料每平方厘米

造价60元，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，请你帮忙求出一个这种四

边形金属部件的最低造价.

图①图②

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14.为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造.如图，在老旧小区改造中,

某小区决定用总长27加的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带中间用栅栏隔成两个小

矩形，已知房屋外墙长9加.

（1）当长为多少时，绿化带/BCD的面积为42ff?2?

（2）当48长为多少时，绿化带48co的面积最大，最大面积是多少？

~A1ID~

B----------------c

15.如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观.我

校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.