二次函数（讲义）-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第13讲二次函数［2大考点12大题型】

知识网络

题型1由二次函数解析式及图象判断顶点坐标、对称轴及增减性

题型2二次函数图象与系数的关系

题型3抛物线的平移、旋转、轴对称

题型4抛物线对称性的应用

题型5二次函数与方程、不等式的关系

题型6二次函数的解析式的确定

题型7二次函数中与面积有关的实际应用）

题型8以真实问题情境为背景考查二次函数的实际应用

卜（题型9二次函数的综合应用之角度问题

『｛题型10二次函数的综合应用之线段问题

题型11二次函数的综合应用之面积问题

题型12二次函数与一次函数的实际应用

新考向：新考法）

新考向：新趋势）

特色专项练新考向：新情境）

新考向：跨学科）

1、二次函数的概念

一般的，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a#0）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函

数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

二次函数解析式的表示方法：

（1）一般式：>=加+/?%+。（其中b,。是常数，。9）；

（2）顶点式：y=a（x—h）2+k（a^O'）,

它直接显示二次函数的顶点坐标是（加Q；

（3）交点式：y=〃（x—xi）（x一12）（。？0），

其中修，%2是图象与冗轴交点的横坐标.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即62一4m20时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的

这三种形式可以互化.

2、二次函数的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当。<0时，抛物线开口向下。间越大，

抛物线的开口越小；⑷越小，抛物线的开口越大。

y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx=------

2a

(b4ac—Z?2'

(0)0)(0,k)(h,0)(h,k)

Ila'4a,

顶点。>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；。<0时，顶点是最高点，此时y有最大

4/7C—/

值，最小值（或最大值）为0（左或--------）o

4a

bb

%vO（/z或----）时，y随x的增大而减小；x>0（力或-----）时，y随x的增大而增大。

2a2a

增a>0

即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随％的增大而增大。

减

bb

x<O（/z或----）时，y随x的增大而增大；x>0（%或-----）时，y随x的增大而减小。

性a<02a2a

即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随1的增大而减小。

3、二次函数的平移：

方法一：在原有函数的基础上“〃值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

任意抛物线y=a（x-h）2+k可以由抛物线y=ax2经过平移得到，具体平移方法如下:

上加下减

y=ax2y=ax^+k

可

回

比

小M

(v

s-o

ov)

)，

吊

，ftst(

tAtHAA

OAM)o

5)卡

p盛

㈱

-H-

hu

s

y=a(x-h^y=a{)c-h^+k

向上伏>0）、下伏V0）平移出个单位

方法二：

⑴y=ax?+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移加个单位，y=ax?+/?%+c变成

y=ax1+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m}

⑵y=ax?+加；+。沿x轴平移：向左(右)平移加个单位，y=ax2+bx+c

y=tz(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-m)+c)

4、二次函数的图象与各项系数之间的关系

4决定了抛物线开口的大小和方向，〃的正负决定开口方向，同的大小决定开口的大小.

b的符号的判定：对称轴％=-2b在y轴左边则〃匕>0,在y轴的右侧则〃b<。，概括的说就是“左同右

2a

日,,

开

C决定了抛物线与y轴交点的位置

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

QVO开口向下

b=0对称轴为y轴

bab>Q(a与b同号)对称轴在y轴左侧

ab<O(a与b异号)对称轴在y轴右侧

c=0经过原点

cc>0与y轴正半轴相交

cVO与y轴负半轴相交

5、二次函数与一元二次方程之间的关系

当b2—4ac<0时

1,当a>0时，图象落在无轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；

2,当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，者B有y<0.

典例分析

【题型1由二次函数解析式及图象判断顶点坐标、对称轴及增减性】

【例1】（2024・吉林长春・中考真题）已知二次函数y=-/一2x+3,当a4x<|时，函数值y的最小值为

1-则。的值为.

【答案】-1-V3/-V3-1

【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当x>-l时，y随x的增大而减

小，然后分两种情况讨论：若a2-1；若a<-1,即可求解.

【详解】解：y=—/一2%+3=—（％+I）2+4,

.,.当x<—l时，y随x的增大而增大，当%>-1时，y随尤的增大而减小，

若a2—1,当a《无。时，y随x的增大而减小，

此时当x=［时，函数值y最小，最小值为%不合题意，

若a<-1,当X=G［时，函数值y最小，最小值为1,

**•—a?-2a+3=1,

解得：a=-1—或—1+百（舍去）；

综上所述，。的值为一1-遮.

故答案为：-1-W

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

【变式1-1］（2024.广西来宾・中考真题）已知函数y=—/—2x,当_________时，函数值y随x的增大而

增大.

【答案】x<-1.

【详解】试题分析：,.•？=一一―2x=—（x+1）2+1,a=-1<0,抛物线开口向下，对称轴为直线x=-l,

...当烂-1时，y随x的增大而增大，故答案为x<-1.

考点：二次函数的性质.

【变式1-2］（2024.湖北荆门・中考真题）抛物线y=/+3上有两点A（如”），B（尤2,»），若”C/，则

下列结论正确的是（）

A.0<%/<%2B.X2<xi<0

C.X2<Xl<0或0<Xl<X2D.以上都不对

【答案】D

【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定.

【详解】••,抛物线y=/+3开口向上，在其图象上有两点A（尤/,山），B（尤2,»），且〃<»，

0<X7<X2，或X2<Xl<0,或x2<xl<0或0<-X1<X2或0<JC]<-X2,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键.

【变式1-3]（2024・四川成都・中考真题）在平面直角坐标系xOy中，B（x2,y2）>。（盯，内）是二次函

数y=-x2+4%-1图象上三点.若0</<1,久2>4,则％____y2（填“〉"或"<"）；若对于g</<m+1,

m+l<x2<m+2,m+2<x3<m+3,存在％<为<旷2，则瓶的取值范围是.

【答案】>一]<爪<1

【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关

键.先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：由y=-/+4x-1=-（％—2尸+3得抛物线的对称轴为直线x=2,开口向下，

*.*0<<1,x2>4,

\xr—2\<\x2—2\,

"1>y2；

<m

m<m+1<m+2,m<<m+1,m+l<x2+2,m+2<x3<m+3,

••X]<%2V%3，

:存在yi<y3<y2,

**.xi<2,x3>2,且4（x>yi）离对称轴最远,8（%2，丫2）离对称轴最近，

-

2—%1>%3—2>|%22|,即刀1+%3<4,且亚+尤3>4,

V2m+2<%1+与<2m+4,2m+3<冷+%3<27n+5,

2m+2<4且27n+5>4,

解得-（<m<1,

故答案为：>；-[<m<1.

【题型2二次函数图象与系数的关系】

[例2]（2024.新疆乌鲁木齐•中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（—1,0）,且对称轴为直线x=1,

有下列结论：

①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点（4,月）与点（一3,丫2），则、1>丫2；④无论。,仇。取何值，抛

物线都经过同一个点0）;⑤am?+67Tl+。20,其中所有正确的结论是.

【答案】②④⑤

【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则〃>0,

顶点在y轴右侧，则。V0,

抛物线与y轴交于负半轴，则cVO,

/.abc>0,故①错误；

•抛物线广加+bx+c过点（-1,0）,且对称轴为直线x=l,

・,•抛物线产加+笈+。过点（3,0）,

当x=3时，y=9a+3b+c=Of

Vtz>0,

J10〃+3。+。>0,故②正确；

•・•对称轴为A1,且开口向上，

・・・离对称轴水平距离越大，函数值越大，

：.yi<y2,故③错误；

当广―工时，y”（-£）2+".（_£）+彳£!士竺

aaaaa

•.•当-1时，y=a-b+c=O,

・••当x=—£时，y=a*（--）2+Z7*（—-）+c=0,

ClClCL

即无论e'c取何值，抛物线都经过同一个点（一，°），故④正确;

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,

x=l对应的函数值为广。+A+C,

又・・・x=l时函数取得最小值，

ar^+bm+c^a+b+c,BParr^+bm^a+b,

Vb=-2a,

/.ar^+bm+d^O,故⑤正确；

故答案为②④⑤.

【变式2-1](2024•湖北鄂州•中考真题)如图，二次函数y=ax?+bx+c(a#))的图象与x轴正半轴相交于A、

B两点，与y轴相交于点C,对称轴为直线x=2,且OA=OC,则下列结论：@abc>0；②9a+3b+c<0；③c

>-1；④关于X的方程ax2+bx+c=0(a#0)有一个根为上，其中正确的结论个数有(填

a

【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置以及与y轴交点位置判定①，由图象上横坐标为3的点在x轴上

方判定②，根据点A的位置判定③，把一(代入方程加+6x+c=0(存0)判定④.

【详解】由图象可知抛物线开口向下，可得。<0,

由抛物线的对称轴在y轴的右侧，说明a、b异号,可得6>0,

抛物线与y轴的交点在x轴下方，可得c<0,所以。儿>0,

即①正确；

当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c>0,所以②错误；

已知C(0,c),OA=OC,可得A(-c,0),

由图知，A在1的左边

/.-C<1,即C>一1,

即③正确；

把一（代入方程“f+Zzx+c="0"（[#））,得ac-。+1=0,

把A（-c,0）代入产加+。%+。得-》c+c=。，

即ac-4+1=0,

所以关于x的方程加+云+。=0（存0）有一个根为一3

即④正确；

故答案选C.

【点睛】本题考查利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键.

【变式2-2］（2024•江苏连云港・中考真题）已知抛物线y=a%2+b%+c（〃、8、。是常数，a<0）的顶点

为（1,2）.小烽同学得出以下结论：①abc<0；②当'>1时，y随汽的增大而减小；③若a/+必+c=0的

一个根为3,则a=④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+b%+c向左平移1个单位，再向下平移

2个单位得到的.其中一定正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】B

【分析】根据抛物线的顶点公式可得一白=1,结合a<0,a+b+c=2,由此可判断①；由二次函数的增

2a

减性可判断②；用。表示b、C的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④.

【详解】解：根据题意可得：一?=1,

2a

—b=a,

2

a<0,

*,*——<0即b>0,

•••a+b+c=2,b——2a

*'•c=2—d—b=2+a,

。的值可正也可负，

・•・不能确定Me的正负；故①错误；

,:a<0,

・•・抛物线开口向下，且关于直线久=1对称，

当%>1时，y随x的增大而减小；故②正确；

b=-2a,c=2+a,

二抛物线为y=ax2—2ax+2+a,

0=9a-6a+2+a,

a=-I，故③正确；

r抛物线y=ax2+bx+c=a(%—l)2+2,

将y=a(x—l)2+2向左平移1个单位得：y=a(%—1+l)2+2=ax2+2,

••・抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位得到的，故④错误;

・•・正确的有②③，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二

次方程，一元二次方程的解的定义，用。表示从c的值是本题的关键.

【变式2-3］（2024•山东枣庄•中考真题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结.如图，二次函数

y=ax2+bx+c（存0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线x=-1,结合图像他得

出下列结论：①且c>0；②a+b+c=0；③关于尤的一元二次方程加+6尤+c=。（a/））的两根分别为

-3和1；④若点（-4,"），（-2,>2）,（3,券）均在二次函数图像上，则⑤3a+c<0,

其中正确的结论有—.（填序号，多选、少选、错选都不得分）

【答案】①②③

【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1,0）,即可判断②；由抛

物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得6=2a,由抛物线

过点（1,0）,可判断⑤.

【详解】•••抛物线对称轴在y轴的左侧,

ab>Q,

•..抛物线与y轴交点在x轴上方,

.,.c>0>①正确；

•.•抛物线经过（1,0）,

a+b+c=Q,②正确.

•.•抛物线与无轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线x=-l,

另一个交点为（-3,0）,

二关于x的一元二次方程./+版+o=0（存0）的两根分别为-3和1,③正确；

•；-1-（-2）<-1-（-4）<3-（-1）,抛物线开口向下，

：.y2>yi>y3,④错误.

:抛物线与尤轴的一个交点坐标为（1,0）,

a+Z?+c=0,

•：--=-1,

2a

・・。=2〃,

3a+c—0,⑤错误.

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及

不等式的关系.

【题型3抛物线的平移、旋转、轴对称】

【例3】（2024•四川巴中・中考真题）函数y=\ax2+bx+c|（a>0,fo2-4ac>0）的图象是由函数y=ax2+

bx+c（a>0,。2-4ac>0）的图象光轴上方部分不变，下方部分沿久轴向上翻折而成，如图所示，则下列结

论正确的是（）

①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点.

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为-3=1,进而可得2a+b=0,故①正确；由函数

图象与y轴的交点坐标为（0,3）,y=a/+日+c（a>0,/-4ac>0）的图象X轴上方部分不变，下方

部分沿X轴向上翻折而成可知c=-3,故②错误；根据对称轴求出b<0,进而可得abc>0,故③正确；求出

翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确.

【详解】解：由函数图象可得：3/=。/+6%+(;与天轴交点的横坐标为一1和3,

.,.对称轴为久=上吧=1,即—2=1,

22a

...整理得：2a+6=0,故①正确；

=|a久2++c|(a>0,炉—4ac>0)与y轴的交点坐标为(0,3),

37=。/+6久+。(a>0)可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿刀轴向上翻折而成，

•,-c=-3,故②错误；

"."y=ax2+bx+c(a>0,b2—4ac>0)中a>0,—^=1,

：.b<0,

又•.,c=-3<0,

.".abc>0,故③正确；

设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=a(x+1)(%-3),

代入(0,3)得：3=-3a,

解得：a——I,

y=—(x+l)(x-3)=一久之+2x+3=—(x—1)^+4,

顶点坐标为(1,4),

•.•点(1,4)向上平移1个单位后的坐标为(1,5),

,将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键.

【变式3-1](2024•湖北孝感・中考真题)将抛物线G：y=/—2久+3向左平移1个单位长度，得到抛物线。2,

抛物线与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为()

A.y=—x2—2B.y=-x2+2C.y=x2—2D.y=x2+2

【答案】A

【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式C2,再因为关于x轴对称的两个抛物

线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线C3的解析式.

【详解】解：抛物线G：y=x2-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2：y=(x+1)2-2(x+l)+3,

即抛物线C2：y=x2+2；

由于抛物线。2与抛物线C3关于％轴对称，则抛物线C3的解析式为：y=-X2-2.

故选：A.

【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函

数解析式以及关于X轴对称的两个抛物线，自变量X的取值相同，函数值y互为相反数.

【变式3-2］（2024•广西玉林・中考真题）如图，一段抛物线y=-x?+4（-2<x<2）为Ci，与x轴交于Ao，

Ai两点，顶点为Di；将Ci绕点Ai旋转180。得到C2,顶点为D?；G与C2组成一个新的图象，垂直于y轴

的直线1与新图象交于点Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）,与线段D1D2交于点P3（X3,y3），设xi,X2,X3均

为正数，t=Xl+X2+X3，则t的取值范围是（）

A.6<t<8B.6<t<8C.10<t<12D.10<t<12

【答案】D

【详解】【分析】首先证明XI+X2=8,由2<X3<4,推出10<XI+X2+X3<12即可解决问题.

【详解】翻折后的抛物线的解析式为y=（x-4）2-4=x2-8x+12,

,设Xl,X2,X3均为正数,

二点Pi（X1，yi）,P2（X2，y?）在第四象限，

根据对称性可知：Xl+X2=8,

V2<X3<4,

10<Xl+X2+X3<12,

即10庄12,

故选D.

【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二

次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键.

【变式3-3］（2024.山东淄博.中考真题）已知抛物线产d+2>3与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），

将这条抛物线向右平移机（相>0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C,。两点（点C在点D的左

侧)，若B,C是线段A。的三等分点，则机的值为.

【答案】2或8

【分析】分两种情况：当点C在点B左侧时，如图，先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD,由平移m个

单位可知：AC=BD=m,计算点A和B的坐标可得AB的长，进一步即可求出m的值；当点C在点B右侧

时，根据m=2AB求解即可.

【详解】解：①如图，当点C在点B左侧时，

VB,C是线段AD的三等分点，

；.AC=BC=BD,

由题意得：AC=BD=m,

当y=0时，X2+2X-3=0,解得：xi=l,X2=-3,

AA(-3,0),B(1,0),

；.AB=3+1=4,

；.AC=BC=2,

/.m=2；

当点C在点B右侧时，AB=BC=CD=4,

；.m=AB+BC=4+4=8；

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的平移及解一元二次方程等知识，属于常考题型，利用数

形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键.

【题型4抛物线对称性的应用】

【例4】(2024・四川泸州・中考真题)已知二次函数y=/一2bx+2b2-4c(其中x是自变量)的图象经过

不同两点4(1—b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点，贝g+c的值()

A.-1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】根据二次函数y=/一2b%+2坟一4c的图像经过/(I一力，m),B(2b+c,m),可得到二次函数

的对称轴X=1二2b+c,又根据对称轴公式可得x=6,由此可得到6与C的数量关系，然后由该二次函数的图

象与X轴有公共点列出不等式解答即可

【详解】解：•.,二次函数y=/一2b%+2Z?2-4c的图像经过4(1一b,m),B(2b+c,m),

.—tIAI1—匕+2Z)+Cart1+ZJ+C

..对称轴户——-——，即x=—^―,

•.•对称轴x=b,

...1+；+£=%，化简得c=h-],

•••该二次函数的图象与x轴有公共点，

△=(—2b)2-4x(2b2-4c)

=-4b2+16c

=-4b2+16(b—1)

=-4(b-2)2>0

b=2,c=L

/./?+c=3,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与X轴交点的情

况列出不等式，求得b,C的值.

【变式4-1](2024•湖南益阳•中考真题)已知y是X的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：

X-2-i01234

ya323611

由此判断，表中a=.

【答案】6

【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线x=1,由此即可得.

【详解】解：由表格可知，％=0和刀=2时的函数值相等，

则二次函数的对称轴为直线％=等=1，

因此，乂=一1和％=3的函数值相等，即a=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

【变式4-2](2024・湖南娄底•中考真题)如图，抛物线y=a/+bx+c与x轴相交于点4(1,0)、点B(3,0),

与y轴相交于点C,点。在抛物线上，当CD||x轴时，CD=.

【答案】4

【分析】与抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点4(1,0)、点B(3,0),可得抛物线的对称轴为直线x=—=2,

由CDII久轴，可得C,。关于直线x=2对称，可得D(4,c),从而可得答案.

【详解】解：：抛物线y=a/+b久+c与左轴相交于点4(1,0)、点8(3,0),

.••抛物线的对称轴为直线x=等=2,

.当x=0时，y=c,即C(0,c),

VCD||x轴,

'.C,。关于直线％=2对称，

，O(4,c),

."£)=4-0=4；

故答案为：4

【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键.

【变式4-3](2024•浙江嘉兴•中考真题)在二次函数y=/一2改+3(匕>0)中，

(1)若它的图象过点(2,1),贝卜的值为多少？

(2)当0Wx<3时，y的最小值为—2,求出f的值：

(3)如果做爪-2,£1),8(4,6)((犯£1)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3,求机的取值范围.

【答案】(l)t=|

(2)t=V5

(3)3<m<4或m>6

【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值；

(2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分0<tW3,当x=t时，函数值最小，以及t>3,当x=3

时，函数值最小，求得相应的“直即可得；

(3)由2,a),C(a,a)关于对称轴对称得机-1=t,且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线

与y轴交点(0,3),此交点关于对称轴的对称点为(26-2,3),结合已知确定出血>3；再分类讨论：A,B

都在对称轴左边时，A,8分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可.

【详解】(1)将(2,1)代入y=——2比+3中，

得1=4—41+3,

解得，仁|;

(2)抛物线对称轴为％=t.

若0Vt<3,当久二t时，函数值最小，

/—2t2+3——29

解得t=±V5.

t>0,

t—V5

若t>3,当久=3时，函数值最小，

*'•-2=9—6t+39

解得t(不合题意，舍去)

综上所述土=V5.

(3)vA(m—2,a),C(m,a)关于对称轴对称

竺/=t,m-l=t,且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧

,•,抛物线与y轴交点为(0,3),抛物线对称轴为直线久=t,

•••此交点关于对称轴的对称点为(2爪-2,3)

a<3,b<3且t>0

4<2m—2,解得zn>3.

当A,3都在对称轴左边时，

a<b

•••4<m—2,

解得m>6,

m>6

当A,8分别在对称轴两侧时

-：a<bB到对称轴的距离大于A到对称轴的距离

4—（m—1）>m—1—（m—2）,

解得m<4

3<m<4

综上所述3<m<4或m>6.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解

题的关键.

【题型5二次函数与方程、不等式的关系】

【例5】（2024•江苏常州•中考真题）已知二次函数y=ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应函数值y如

下表：则在实数范围内能使得y-5>0成立的无取值范围是.

X-2-10123

y50-3-4-30

【答案】x>4或尤<-2

【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y=5的自变量x的值即可.

【详解】解：,••根据表格可得：A0,x=2的函数值都是-3,相等，

由二次函数的对称性可知：二次函数的对称轴为直线x=1,

:当x=-2时，y=5,

'.x=4时,y=5,

根据表格得：自变量x<l时，函数值逐点减小；；当时，函数值最小；当x>l时，函数值逐点增大；

抛物线的开口向上，

；.y-5>0成立的x取值范围是x<-2或x>4；

故答案为：x>4或x<-2.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是

解题的关键；此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定.

【变式5-1]（2024・广东・中考真题）若一元二次方程/+bx+c=O（b,c为常数）的两根右,右满足一3</<

-U<%2<3,则符合条件的一个方程为一.

【答案】%2-4=0(答案不唯一)

【分析】设y=/+。与y=o交点为久根据题意一3V/V-1,1V外<3关于y轴对称和二次函

数的对称性，可找到%、％2的值(%1，％2只需满足互为相反数且满足1V|x|<3即可)即可写出一个符合条

件的方程

【详解】设y=x2+bx+c与y=0交点为久1，久2，

根据题意一3<xr<-1,1<x2<3

则1<|%|<3

y=x2+bx+c的对称轴为％=0

故设%1=-2,X2=2

则方程为：x2—4=0

故答案为：x2—4=0

【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根

的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键

【变式5-2](2024・山东济宁・中考真题)如图，抛物线y=a/+c与直线y=血％+九交于A(-1,P),B(3,q)

两点，则不等式a/+租％+。>几的解集是.

【答案】t<-3或无>1.

2

【分析】由a/+mx+c>几可变形为a/+。〉—mx+n,即比较抛物线y=ax+c与直线y=—mx+九之

间关系，而直线PQ：y=-mx+九与直线AB：y=mx+九关于与y轴对称，由此可知抛物线y=ax2+c与

直线y=-血％+九交于P(1，P)，Q(—3,q)两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.

【详解】解：:抛物线y=a/+。与直线y=血久+九交于/"Lp),8(3,q)两点，

—m+ri=p,3m+九=q,

丁・抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+九交于P(l,p),Q(-3,q)两点，

观察函数图象可知：当久<一3或久>1时，直线y=-mx+九在抛物线y=ax2+b%+c的下方，

不等式a/+mx+c>n的解集为x<—3或x>1.

故答案为％<-3或x>1.

【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键.

【变式5-3](2024•辽宁•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx+3与x与相交于点2,

B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上，贝m8的长为.

【答案】4

【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解

题的关键.先利用待定系数法求得抛物线y=—/+2%+3,再令y=0,得0=—/+2x+3,解得x=-1

或x=3,从而即可得解.

【详解】解：把点B(3,0),点C(2,3)代入抛物线丫=(1K2+成+3得，

f0=9a+3b+3

[3=4a+2b+3'

解得仁？，

・•・抛物线y=—x2+2%+3,

令y=0,得0=—x2+2久+3,

解得％=-1或第=3,

・•・/(-1,0),

・・・48=3—(-1)=4；

故答案为：4.

【题型6二次函数的解析式的确定】

【例6】(2024•浙江杭州•中考真题)在“探索函数y=a/+b久+。的系数①b,c与图象的关系”活动中，老

师给出了直角坐标系中的四个点：4(0,2),C(3,l),0(2,3),同学们探索了经过这四个点中的三个

点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为()

1

C.-D.

62

【答案】A

【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过4(0,2),B(l,0),C(3,l),。(2,3)中的三个点的二次函数解

析式，继而解题.

【详解】解：设过三个点4(0,2),5(1,0),C(3,l)的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分另ij代入4(0,2),F(l,0),C(3,l)得

'c=2

a+b+c=0

9a+36+c=1

a=|

解得

c=2

设过三个点力(0,2),B(l,0),D(2,3)的抛物线解析式为:y=ax2+bx+c

分另lj代入4(0,2),8(1,0),D(2,3)得

'c=2

a+b+c=0

Aa+2b+c=3

a-

h%.

解得

.c=2

设过三个点4(0,2),C(3,l),0(2,3)的抛物线解析式为：yax2+bx+c

分另IJ代入Z(0,2),C(3,l),0(2,3)得

c=2

9a+3b+c=1

Aa+2b+c=3

解得］b=—;

L：2

设过三个点C(3,l),0(2,3)的抛物线解析式为：y=Q/+b%+c

分别代入8(1,0),C(3,l),D(2,3)得

'a+b+c=0

9a+3b+c=1

Aa+2b+c=3

5555

*/->->——>——

2662

a最大为I，

故选:A.

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

【变式6-1](2024•江苏苏州•中考真题)二次函数y=a/+6%+武。。0)的图象过点/(0,血)，B(l,-m),

C(2,n),£>(3,-m),其中相，”为常数，则；的值为.

【答案】-|/-0.6

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、。的坐标代入y=a/+bx+c(a40),求出

a、b、c,然后把C的坐标代入可得出〃2、w的关系，即可求解.

【详解】解：把B(l,—m),0(3,—血)代入y=a/+力％+C(Qwo),

c=m

{a+b+c=—TH,

9a+3b+c=­m

2

a=-m

3

解得8

b入=——m，

3

c=m

・28.

..y=-mx2——%+TH,

,33

把C(2,n)代入y=|mx2-^mx+m,

得n=-mx22--mx2+m,

33

・5

..n=——m,

3

,m_m_3

九--m5'

3

故答案为：—

【变式6-2](2024•四川攀枝花.中考真题)如图，抛物线y=a/+bx+c(a70)经过坐标原点0,且顶点

为4(2,—4).

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线与x轴正半轴的交点为B,点P位于抛物线上且在久轴下方，连接。4、PB,若N40B+NPB。=90°,

求点P的坐标.

【答案】(l)y-x2—4x

17

Q)pq，-；)

【分析】(1)设抛物线的表达式为y=a(x—2)2—4,将。(0,0)代入可得y=/一位；

(2)过4作AT_Ly轴于T,过P作PK1x轴于K,^P(m,m2-4m),求出B(4,0)；根据N40B+44。7=90。,

AAOB+^PBO=90°,得乙AOT=4PBO,AOT^^PBK,从而■~刍—=—,即可解得答案.

-mA+4m4-m

【详解】(1)解：设抛物线的表达式为y=以久一2)2—4,

将0(0,0)代入得：4a-4=0,

解得a=1,

y=(x-2/—4=x2—4x；

(2)过2作ATIy轴于T,过P作「4_1%轴于长，如图：

设P(m,ni2—4m),

在y二/一4%中，令y=o得久=0或％=4,

・・・8(4,0)；

•••Z.AOB+乙AOT=90°,Z,AOB+乙PBO=90°,

・•.Z.AOT=乙PBO,

•・•/.ATO=90°=乙PKB,

•••△AOTfPBK,

.AT_OT

PKBK

・・•4(2,-4