多面体与求内切外接问题（八大题型）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

特训09多面体与求内切外接问题（八大题型）

一、外接球问题

若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面体的外接球问

题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置问题，其中球心位置的确定

是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。

如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球

的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论：

结论1：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。

结论2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。

结论3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。

结论4：正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。

结论5：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。

二、内切球问题

若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这

个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。并非所有多面体都有内切球,

下面介绍几种常见多面体内切球问题：

1.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离。

2,正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。

题型归纳

目录：

♦题型01：三棱柱

♦题型02：四棱锥

♦题型03：棱台

♦题型04：侧棱垂直于底面

♦题型05：正方体、长方体

♦题型06：其他多面体

♦题型07：三棱锥

♦题型08:折叠问题

♦题型01：三棱柱

1.在一个封闭的直三棱柱48。-4百。1内有一个体积为V的球，若AB_LBC,48=6,AC=10,

44=5,则球的体积的最大值为()

A.----71B.—兀C.27KD.36兀

63

【答案】B

【分析】设“BC的内切圆。的半径为「，由等面积法得(/C+/B+8C)xr=6*8,解得「=2.由于

/4=5,所以球的最大半径为2,由此能求出结果.

【解析】由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.

所以球在底面AABC内的投影的圆面最大不能超出的内切圆.

设圆。与“8C内切，设圆。的半径为

由A813C,AB=6,AC=10,则8c=8

由等面积法得(/C+A8+8C)*r=6x8,得r=2.

由于三棱柱高=5,若球的半径R=2,此时能保证球在三棱柱内部，

所以直三棱柱ABC-的内切球半径的最大值为2.

所以球的体积的最大值为：yr3=yx23=^.

2.在正三棱柱/8C-中，AB=AAl=4,E为线段CG上动点，。为2c边中点，贝U三棱锥

外接球表面积的最小值为.

【答案】48兀

【分析】建立边长CE和。到平面42。距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出。尸最小值，建立

外接球半径露=小+4的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值.

【解析】由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心。到平面/AD距离为。尸，设OF=h,

有因为为直角三角形，则。尸经过直角三角形斜边中点，即尸为N2中点.

故取48的中点设为尸，则由正三角形求解高知CF=2"如图，设CE=x,

设球心O到平面ABD距离为OF,设OF=h

;OE=OA=R,OE2=(OF-CE)2+CF2=(h-x)2+(273)2=OA2=OF2+AF2=h2+22,

,x2+8x4,/—

h=-------=-+->2<2,

2x2x

当且仅当x=2近时即CE=2V2取“=”.

R2="+4上8+4=12,.­.5=47tT?2>487C.

故最小为48兀.

故答案为：48Tl.

A

【点睛】立体图形平面化，结合函数和基本不等式的知识求解是问题的关键.

3.已知正三棱柱的底面边长为4vL高为6,经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角,

如图1,得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球。的球面上，则球。的体积为

()

图1图2

47516075

A.80兀B.--------71C.----------71D.-----------71

333

【答案】D

【分析】根据几何体特征、勾股定理及其外接球体积公式计算即可.

【解析】设M、N分别为正棱柱上下底面的中心，即MN=6,

由几何体的特征易知其外接球球心。在"N上，如图所示，

根据正三角形的中心性质可知/"=2、小区『^2^1=4,同理。河=2,

设外接球半径为R,MO=九则ON=6-a，

所以有22+〃2=炉=42+（6-犷=>/7=4,尺=2氐

则外接球体积¥=-^=竺述兀.

33

故选：D

【点睛】思路点睛：对于几何体外接球问题，第一步先确定球心位置，可以先通过确定一面的外接圆圆心

去确定，本题几何体比较规则，容易得出球心在上下中心连线上；第二步，由点在球上及球体的特征结合

勾股定理构建方程组解方程求半径即可.

4.如图，在直三棱柱48C-中，侧棱长为2,AC1BC,/C=8C=1,点。在上底面44G（包含

边界）上运动，则三棱锥ABC外接球半径的取值范围为（)

5

D.

452

【答案】B

【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.

【解析】因为“8C为等腰直角三角形，AC=BC=\,

所以AABC的外接圆的圆心为AB的中点Q,

且/。1=争

设44的中点为E,连接。也,

则QE//44],O|E_L平面/8C,

设三棱锥D-ABC外接球的球心为O,

由球的性质可得点。在。也上，设。a=x,DE=t0<t<^-

外接球的半径为因为CM=a)=R,

._________7

所以=J(2-x)2+产,即〃=4x--,

67

又OVY注，贝片WxWl,

28

因为炉=/+:，所以胃》2VL

2642

则2c

82

故选：B.

⑴棱长为的正方体的外接球半径为公小;

【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法:

(2)长方体的长，宽，高分别为。，b,c,则其外接球的半径为R=土匹巳

(3)直棱柱的高为〃，底面多边形的外接圆半径为厂，则其外接球半径为&=｛户+?.

♦题型02：四棱锥

5.四棱锥P-48CO中，平面尸平面48C。，底面48CD为矩形，PA=PD,48=2,5c=2石，若

四棱锥P-/BCD的外接球表面积为20兀，则四棱锥P-48CD的体积为()

c-¥或4公

A.4A/3B.12GD.4若或12G

【答案】C

【分析】根据面面垂直的性质，结合勾股定理即可求解。'。=1,即可求解四棱锥的高，由体积公式即可求

解.

【解析】取40的中点E,连接PE,

又因为川=尸£>,所以PE_L4D,

又因为平面尸•平面/BCD,且交线为尸Eu平面尸/。，

所以PE_L平面48CD.

设23CD的中心为。'，球心为。，贝!JOO'_L平面23CD,

于是0'2=：3£>=；.22+（2g）=2,OO'UPE.

设四棱锥尸-ABCD的外接球半径为R,其表面积为4兀甯=20兀,故R=VL

过。作OW//O£,则四边形OOEM为矩形，

故。0=板，。"=。'£=3/8=1,

在Rt^OO'B和RT^OMP中，

R2=O'O2+O'B2=（码2=PM2+0M~,

O'B=2,0M=l,

所以。'。=1,PM=2,ME=OO'=1.

当。在平面48CD的上方，此时四棱锥的高为P£=PM+ME=3,

四棱锥P-ABCD的体积|x2x2V3x3=4V3.

当。在平面/BCD的下方，此时四棱锥的高为==

.,.四棱锥尸-/BCD的体积1x2x2石xl=M5.

33

故选:C.

O

【点睛】本题关键要注意外心即可能在平面/BCD上方，也可能在下方，思考问题要周密.

6.己知正四棱锥P-/3C。的侧棱长为加，且二面角P-N8-C的正切值为2a，则它的外接球表面积

为（）

4025

A.12KB.-7iC.8兀D.二~兀

32

【答案】D

【分析】如图，根据线面垂直的判定定理可得尸平面A8C。，则NPHO为二面角尸-N2—C的平面角,

设正方形48。的边长为利用锐角三角函数求出。，即可求出P。，AO,再设球心为G,则球

心在直线P。上，设球的半径为R,利用勾股定理求出R,最后再由球的表面积公式计算可得.

【解析】设正方形N8CD中心为。，取43中点打，连接尸。、PH、OH,

则PH工AB,OH工AB,PHCOH=H,PH、OHu平面48CD,得尸。/平面/8C。，

所以ZPHO为二面角P-AB-C的平面角，即tanZPHO=—=272,

设正方形/BCD的边长为。伍＞0）,则尸0=缶,

22

5iAO=-AC=-^a+a=—a,PA=®,由尸O?+/。2="2,

222

2（B7

即（行a）+\~Ta）=1°'解得a=2（负值已舍去），

则尸0=2后，40=6,设球心为G,则球心在直线尸。上，设球的半径为五,

则斤=7?+（2后一7?『，解得尺=孚，

所以外接球的表面积5=4成2=4兀="兀.

42

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再

由正四棱锥的性质确定球心在尸。上.

♦题型03：棱台

7.已知正四棱台48cz=2,半球的球心。在底面431aol的中心，且半球与该棱台的各棱

均相切，则半球的表面积为（）

A.9兀B.18兀C.27兀D.36兀

【答案】C

【分析】分析半球与各棱的切点位置，利用球的切线性质，用R表示出侧棱长，从不同角度表示出棱台的高,

从而建立关于尺的方程，然后可得.

【解析】由题意可知，为下底面，

记上底面/BCD的中心为Q,过C作CH垂直于平面垂足为"，

易知点//在4G上，记半球与5C,cq,4G分别相切于点民EG,

由正四棱台和球的对称性可知，E,G为BC,B\C\的中点，

因为AB=2,所以/c=2后，CE=CF=1,

记半球的半径为R,则C£=GG=OG=R,

所以CC]=A+1,HG=OC/OH=GR-也,

分别在AOQ£,ACC/中，由勾股定理得OO：-O,E2=R2-1,

22

CH=CC；-CXH-=（7?+l）-（V27?-可,

因为。a=cH,所以（火+1）2-（后R-后y=之一1,

解得R=3或X=0（舍去），

所以半球的表面积为|x4成2+成2=3球2=27兀.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题考查学生的直观想象能力，解题关键在于利用球的切线性质，用r表示出侧棱，然

后根据棱台的高距离方程求出半径即可.

8.在正三棱台ABC-44G中，4耳=2g,=4g,二面角B,-BC-A的正弦值为竽，则ABC-A&G

的外接球体积为（）

A.甄B.⑹.c.406兀D.65届

336

【答案】B

【分析】记正三棱台上下底面的中心分别为a，Q,3C,4C的中点分别为。,2，的中点为£，先判断

为二面角4-5C-N的平面角，然后求出棱台的高，判断球心位置，利用勾股定理求解可得半径，

然后可得体积.

【解析】记正三棱台上下底面的中心分别为O”Q，8C,用G的中点分别为AD，的中点为E,

如图，因为3CG4为等腰梯形，0,2分别为3C,4G的中点，

所以，由等腰梯形性质可知

又。3C为正三角形，所以AD/BC,

所以N4DR为二面角4-8C-4的平面角，

由正棱台性质可知，。。1，平面/8。，

因为4]B[=2-\/3,AB=4-\/3,所以42—3,AD=6,

所以4。1=2。1。1=2,4。2=2。2。=4,O2E=ED=\

易知OQJ/OZE,所以。。2m1为平行四边形，

所以qQ//D]£,所以平面

由题知sinNDQE=半,NDQE©，

所以cosZDQE=f,所以tan/2DE=2,

所以O1O2=RE=DEtan/D、DE=2,

易知，正三棱台/BC-4及G的外接球的球心在射线。。2上，记为。，半径为尺

22

若球心O在线段。。2上，则OO；+O2A=R=40；+（2-）2,

即。。；+16=4+（2-。。2）2,解得。2。=-2,不符合题意；

22

若球心。在下底面下方，则OO；+O2A=R=40：+（2+。。2）2，

即。。；+16=4+（2+。。2）2，解得。2。=2,则＜=j00；+Q/2=2店,

所以NBC-44c的外接球体积为^无炉=gnx（2jTf=@产.

故选：B

C,

♦题型04：侧棱垂直于底面

9.如图，四棱锥P-48CD中，尸2,面/BCD,四边形A8CD为正方形，PA=4,PC与平面48CD所成

角的大小为。，且tan0=2也，则四棱锥P-48CD的外接球表面积为（）

3

A.26兀B.28兀

C.34兀D.14K

【答案】C

【分析】依题意可将四棱锥尸-ABCD补成长方体PEFG-ABCD，则四棱锥P-ABCD的外接球也是长方体

PEFG-48CD的外接球，由tan0=2也可求出4c的长，进而可求尸C,即为外接球的直径，从而可得外

3

接球的表面积.

【解析】如图，因为尸面/BCD,四边形/BCD为正方形,

所以可将四棱锥P-/BCD补成长方体PEFG-ABCD,

则四棱锥尸-4BC。的外接球也是长方体PEFG-/8C。的外接球.

由尸4，面ABCD，所以NPCA就是PC与平面ABCD所成的角巴

则*噂4=乎'所以4=3收

设四棱锥尸-ABCD的外接球的半径为R,

因为长方体尸EEG-23CD的对角线尸C的长即为其外接球的直径,

所以PC=2R={4C?+PT=不（36j+4?=扃,所以夫=孚，

所以四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为4TTR2=3471.

故选：C

10.如图，在四面体/5CD中，△43。与△2C。均是边长为2。的等边三角形，二面角/-8D-C的大小

【答案】20K

【分析】设。为△BCD的中心，。为四面体48CD的外接球的球心，过。作OGL/M,然后在Rt^/GO

中，由G/2+GO2=042求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得.

【解析】如图所示：设。为△BCD的中心，。为四面体/3C。的外接球的球心,

则。。，平面瓦）C.

因为二面角4-8。-C的大小为90。，即平面ABDI平面BCD,

设M为线段的中点，外接球的半径为A,

连接NM,CW,04,

过。作OGL/M于点G,

易知G为△48。的中心，贝!|。。[=OG=MO1=MG,

同

因为MA=—x2-^3=3，

2

故MG=OG=；x3=l,GA=2,

在RtZS/G。中，GA2+GO2=OA2,

故F+22=7?2,贝I]R=JL

所以外接球的表面积为S=4储2=20兀，

故答案为：20限

♦题型05：正方体、长方体

11.已知正方体-44GA的棱长为4,点E是棱CD的中点，尸为四边形CDOG内（包括边界）的一

动点，且满足用P〃平面加建，4P的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（）

A.87671B.24兀C.18兀D.3后兀

【答案】A

【分析】作出辅助线，得到平面48E〃平面瓦MN，确定当P在线段MN上运动时，满足用尸〃平面

B&E,耳尸的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥

求出外接球半径，得到外接球体积.

【解析】分别取G2CG的中点连接〃纥cp,

故MNHCD”

因为42//8C,G=BC,

所以四边形为平行四边形，

所以48//。。，故MN//4B,

因为A/Nu平面B、MN,A[B(Z平面B{MN,

所以48//平面片

又点E是棱CD的中点，所以九e=34，BBJ/ME,

故四边形用8EN为平行四边形，

所以BE//BM,

又qMu平面片MN,8£<z平面*WN,

所以BE//平面片MV,

因为43ng£=8,4民3Eu平面42E,

所以平面48E//平面片MN,

故当尸在线段M2V上运动时，满足片尸//平面8/也，

BF的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分为三棱锥。,

其中C\M，GN，GB\两两垂直，且GM=GN=2,B£=4,

故其外接球半径为6+22+不=后，

2

故较小部分的外接球的体积为g兀V?=8灰兀.

故选：A

【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和

半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.

12.已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,盒内有一个半径为1的小球,

若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（）

2022

A.36——7iB.32——7i

33

40

C.60—12兀D.60------71

3

【答案】B

【分析】分别计算小球在8个顶点和12条棱不能到达的空间体积，然后进行相加即可.

【解析】小球在8个顶点不能到达的空间相当于棱长为2的正方体挖去一个半径为1的球，

4

其体积为8-1兀，

小球在CD,AXBX,G〃这4条棱不能到达的空间相当于一个长为3,宽为2,高为2的长方体挖去

一个底面半径为1，高为3的圆柱，

其体积为3x2x2-3兀=12—3兀,

小球在8C,AD,BG，4。这4条棱不能到达的空间相当于一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为

1,高为2的圆柱，

其体积为2x2x2-271=8—271,

小球在N4，BB、,CC、,。。这4条棱不能到达的空间相当于一个长为2,宽为2,高为1的长方体挖去一

个底面半径为1,高为2的圆柱,

其体积为2x2x1-71=4-71,

422

所以小球不能至!J达的空间的体积为8—§■兀+12—3兀+8-2兀+4—无=32-§兀，

故选：B.

♦题型06：其他多面体

13.如图1,一圆形纸片的圆心为。，半径为4百，以。为中心作正六边形既，以正六边形的各边

为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆。上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图

形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该

正六棱台的高为"，则其外接球的表面积为()

35K

D.——

2

【答案】D

【分析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球

的表面积.

【解析】如图1，设以N2为底边的等腰三角形的中位线为44,连接。/，分别交4月，43于点M，N,

则点河,N分别为4巴,的中点.

设/8=2。，则44="，OV=2axsin60°=底，MN^4^^a@.

折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面书的中心为Q,连接

贝!JOXM=axsin60°=.

连接qo,则。。是正六棱台/BC。跖—44。］。耳耳的高，即qo=«.

过点"作MGLON,垂足为G,则底面45CQEb，故MG=QO=

在RSMVG中，MN=yjMG2+NG2=^MG2+(ON-O^)2=^24+3a"@,

由①②得40-J24+342,解得°=i,

22

所以正六棱台NBCDM-4用的上、下底面的边长分别为1和2.

由。。=指，可知正六棱台的外接球球心&必在线段0,0上，

连接则QRQ4为外接球的半径，设为r.

在RtAQ。0和中，由勾股定理得墨:[2，

可得*+G©2=qQ2+Q42,

又因为QOuQQ+oo,,Q〃=i,OD=2,

即OO；+22=（后一O.y+1，解得OU=手，

2

则/=00；+必=[引+2,

qSTT

所以所求外接球的表面积为4m2=罗.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立

体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问

题，关键在于确定外接球的球心的位置.

14.六氟化硫，化学式为SFf,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作

是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体后-/BCD-尸的棱长为

。，下列说法中正确的个数有（）

①异面直线AE与BF所成的角为45。；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为36;

③若点P为棱EB上的动点，贝小尸+CP的最小值为2®；

④若点。为四边形43。的中心，点。为此八面体表面上动点，且=则动点。的轨迹长度为

---cm.

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】对①：借助等角定理，找到与NE平行，与3尸相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内

切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算

的值,并比较它们的大小，即可得出当点。在平面2CE内时，点。在三角形8CE的内切圆上

运动，结合对称性即可验算.

【解析】对①：连接/C,取/C中点。，连接OE、OF,

由题意可得。尸为同一直线，A、E、C、尸四点共面，

又AE=EC=CF=FA,故四边形为菱形，

板AEIICF,故异面直线NE与8尸所成的角等于直线CF与3尸所成的角，

即异面直线4E■与B尸所成的角等于NCFS=60。，故①错误；

对②：由四边形48co为正方形，有/C?=802+//=£。2+/£2=2/,

故四边形/ECF亦为正方形，即点。到各顶点距离相等，

即此八面体的外接球球心为0,半径为R=卮=叵,

22

设此八面体的内切球半径为〃，

则有七TBCQ—尸='5表'尸=2/_”。£)=2*,*42*^1^=]_*2石42/，化简得尸=2^4,

3（叵1

则此八面体的外接球与内切球的体积之比为=3^,故②正确;

----Q

I6）

对③：将延£3折叠至平面E8C中，如图所示：

则在新的平面中，A、P、C三点共线时，力尸+C尸有最小值，

则（/P+CP'n=gax2=6a,故③错误.

对于④，设三角形5CE的内切圆半径为小则由等面积法，有;.3〃巧二;〃2.1,

角军得斗=^-a，

16

由②可知，点O到平面BCE的距离为〃="Q,

6

这表明当点。在平面8CE内时，点。在三角形2CE的内切圆上运动,

它的周长是2叫，

根据对称性可知动点。的轨迹长度为8*2跖=8x2兀、画=迪而，故④正确.

63

正确的编号有②④.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于得出当点。在平面2CE内时，点0在三角形5CE的内切圆上

运动，根据对称性即可顺利得解.

♦题型07：三棱锥

15.若三棱锥S-48c的所有顶点都在半径为2的球。的球面上，S3为球。的直径，且/C=2亚，则该三

棱锥的最大体积为（）

4816

A.-B.~C.3D.—

333

【答案】B

【分析】由勾股定理逆定理得到。41OC,故S/oc=；0aoe=2,要想该三棱锥的体积最大，则S81平

面NOC,从而求出最大体积.

【解析】S8的中点为。，连接。4。。，则CM=O8=OC=OS=2,

因为NC=20，HOA2+OC2=AC2,

故—，「=”℃=2,

要想该三棱锥的体积最大，贝平面/OC,

11Q

故最大体积展§邑/"9=y2乂4=3

故选：B

16.在正三棱锥/-8CA中，A/、N分别为/C、8C的中点，尸为棱CD上的一点，且尸C=2尸。，

MNLMP,若BD=&,则此正三棱锥/-BCD的外接球的表面积为（）

A.3兀B.6兀C.8兀D.971

【答案】D

【分析】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明481/C,ABLAD,AC±AD,将三棱

锥/-BCD补成以,功、/C为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥”-BCD的外接球，求出外接球

的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.

【解析】如图，取CD的中点。，连接/。、BQ,则MW/4B,

由得4B_L"P,

因为三棱锥/-8CO为正三棱锥，所以

而。是CD的中点，所以

5LAQr>BQ=Q,AQ,BQu平面/2。，所以平面工80,

由48u平面48。，得4BJ.CD,又ABLMP,

MPcCD=P,MP、CDu平面/CD,所以N8工平面/CD,

由NC、/Z)u平面/CD,所以1/C,ABLAD,

根据正三棱锥的特点可得AC1AD,

故可将三棱锥/-BCD补成以”、4D、/C为棱的正方体，如图,

所以正方体的外接球即为三棱锥/-2CD的外接球.

由30=而得AB=出,可得正方体的棱长为6，所以(2R>=(指『+(/『，

oc9

即代=I,所以正三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S=4成2=4兀X：=9九

故选：D

17.已知三棱锥尸-N8C的底面48C是直角三角形，加，平面A8C,PA=AB=AC=2,贝U()

A.三棱锥尸外接球的表面积为12兀

B.三棱锥P-48C外接球的表面积为48兀

C.三棱锥尸-N8C内切球的半径为三m

3

D.三棱锥P-48C内切球的半径为三区

9

【答案】AC

【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径.

【解析】由题意可知AB,AC,/尸两两垂直，

贝U三棱锥尸一48C外接球的半径A满足(2尺丫=u,

从而三棱锥P-ABC外接球的表面积为4成2=12兀,

故A正确，B错误.

114

由题意可得三棱锥尸的体积忆=]X/x2x2x2=§

三棱锥尸一/8。的表面积5=3*2*2、3+字＞＜（2行『=6+2省.

设三棱锥尸-4BC内切球的半径为,，

因为k=；济,

3V43一8

所以〃=3产，则C正确，D错误.

S6+2V33

故选：AC

18.如图，在正三棱锥尸。中，PB=GAC=2娓,分别是棱NC,尸2的中点，又是棱PC上的任

意一点，则下列结论中正确的是（）

B

A.PBLAC

B.异面直线。E与48所成角的余弦值为:

C.NM+M8的最小值为

D.三棱锥尸-NBC内切球的半径是逐（万一1）

10

【答案】ACD

【分析】对于A,易知AC_LBD,ACLPD,可证/C_L平面P3D,再由线面垂直的性质定理即可得证；对

于B,取8C中点尸，连接。尸，EF,由DF//4B,知/助尸即为异面直线。£和所成角，由

PCLAB,可推出斯，。尸，再由三角函数的知识即可求解；对于C,将平面P4C和平面P8C平铺展开,

形成四边形P/CB,连接交PC于点“，此时+=是最小值，再结合二倍角公式与余弦定

理即可求解；对于D,设内切球的球心为O,点P在平面NBC内的投影为0为。8C的重心，球。与

平面尸4C相切于点G,设三棱锥尸-/8C内切球的半径为小由△尸。G相似于APDQ,即可求解.

【解析】对于A,如图1所示，连接AD,PD,

由正三棱锥的性质可知尸/=PC=2而，AB=BC=AC=2y/3,

因为。为NC中点，

所以AC1PD,

又因为8。口尸口=。，8D,P0u平面尸8。，

所以/C_L平面尸8。，

又因为尸3u平面P3D

所以尸8L/C,故A正确；

对于B,如图①，取8C中点尸，连接。尸，EF,

因为。、产分别为/C,2C的中点，

所以DF//4B,DF=5

所以NEDF即为异面直线DE和AB所成角或其补角，

因为E、尸分别为PB,5c的中点，

所以斯=而，

由选项A知，PBVAC,同理可得尸C,23,

所以即_LDP,

所以DE?=所2+。尸2=6+3=9,

所以DE=3,

所以cosZ.EDF=,

DE3

即异面直线。E和所成角的余弦值为"，故B错误；

3

对于C,将平面尸NC和平面P3C平铺展开，形成四边形尸/CB,

如图②所示，连接48,交尸C于点此时+=是最小值，

连接尸尸，贝Ucos/PW=C^=£=e,

PC2764

,3

所以cos"C2=2cos2ZPCF-1=-一,

4

在。3C中，由余弦定理知，

AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=12+12-2x12x(-^)=42,

所以48=住，

即+MB的最小值是疯，故C正确；

对于D,如图③所示，设内切球的球心为。，点P在平面/BC内的投影为Q,J为“8C的重心,

球。与平面尸4C相切于点G,则G在尸D上，且。G,尸。,

在AP4D中，PD^^PA1-AD2=V24-3=V21>

在"BC中，BD=yjAB2-AD2=V12-3=3,

因为G为28C的重心，所以。q=：8D=l,

在△尸。1。中，PO'JPD?-DO；={21-1=2#,

设三棱锥P-/BC内切球的半径为「，

OGPO

由APOG相似于APOO1,得方3"=而，

即2=当二，解得'=，(收T),故D正确；

1V2110

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查了异面直线所成角、最短距离及内切球，解题关键是作出异面直线所成角、

平面展开求最值以及通过相似三角形求内切球的半径.

19.如图，正三棱锥P-/3C的侧面和底面/5C所成角为正三棱锥Q-A8C的侧面和底面/3C所成角

为=2遭，尸和。位于平面28c的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则

NPBQ=,tan(a+B)的最大值为.

【分析】由几何体结构特征可知尸。为外接球直径即得/尸20=90。；先设PN=%,QN=k外接球半径为

R,则由尸行=尸笈+202以及已知条件可求得贴2=牝再根据几何体结构特征得

tana=黑=%,tan）=黑=〃,，再结合两角和正切公式以及基本不等式即可求解.

MNMN

【解析】由几何体结构特征可知尸。为外接球直径，所以/尸30=90。；

连接P。，交平面N8C于点N,取4B中点连接CM,

由正棱锥性质知NeCM,S.CN=^CM=^BC2-BM2=|^（273）2-（73=2,

贝1JBN=2、CM=3,MN=1,设PN=%,QN=%,外接球半径为R,

贝PB-=BN2+PN2=1+片，BQ2=BN2+NQ2=1+公

所以由尸02=必2+802得（4+为）2=1+片+1+公，妫2=4,

又tana==h,tan/="上=k,,

MNMN

tana+tan/3

故tan(a+/)=4+〃24+〃2

1—tanatan/3—3

而4+〃222夜兀=4,当且仅当九=h2=2时取等,

4

故tan(a+/7)max=_§.

4

故答案为：90°;

【点睛】关键点点睛：求解1@口9+。）1_的关键是由202=.2+502以及已知数据求出例2=4.

♦题型08:折叠问题

20.在△45C中，AB=AC=2,ZBAC=U0°,过点A作垂足为点将。BC沿直线4M翻折,

使点5与点。间的距离为3,此时四面体力3CW的四个顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.5厢兀B.10兀C.上叵ED.1371

36

【答案】D

【分析】如图，根据余弦定理求出BC,根据正弦定理求出△BCD的外接圆半径，结合球的性质和勾股定理

求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可.

【解析】如图，

将沿直线/朋•翻折，得到满足题意的几何体为三棱锥,

因为4B=NC=2,ABAC=120。,过点A作/X，3C,贝I]

NBAM=60°,NABM=30°,—=—=-,BM=瓜AM=1,

AB2AB2

在ABCM中，BM=®CM,BC=3,

由余弦定理，得cos/.=BM，+CM厂BC[」,所以，NRMC=I20°

IBM-CM2

设ABCM的外接圆圆心为。，半径为入贝，

由正弦定理，得一空忑=2.，解得,=即M)=。，

smlzO

易知4Ml平面5CN,又是球O的弦，OA=OM,AM=\,

所以OD=9M■=：,

得球的半径为0M=出了+(后=浮，

13

所以球的表面积为S=4兀。/户=4兀x—=13兀.

4

故选：D.

21.如图1,在矩形N8CZ)中，48=1,BC=2,M是边8c上的一点，将沿着折起，使点8

到达点P的位置.

(1)如图2,若河是2c的中点，点N是线段尸。的中点，求证：CN〃平面P/M；

⑵如图3,若点尸在平面AMCD内的射影H落在线段AD上.

①求证：。，平面尸/。；

②求点M的位置，使三棱锥P-"CD的外接球的体积最大，并求出最大值.

【答案】(1)证明见解析

47r

(2)①证明见解析；②M位于点C,y

【分析】(1)根据线面平行的判定即可得证；

(2)①根据线面垂直判定可证；②先分析得。是三棱锥尸外接球的球心，再求得直径

然后根据函数的单调性求出最值，进而利用球的体积公式求出球的体积的最大值即可

【解析】(1)如图，取尸/的中点E,连接九ZE■和EN,则EN是,40的中位线，

BMC

所以EN〃/。且EN=!/。，