第3章 实数 单元检测能力提升卷（含解析）

第3章实数单元检测能力提升卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.在实数o,3,J5，-1中，最大的数是（）

4

A.V2B.旦C.0D.-1

4

2.下列计算正确的是（）

A.V25=±5B.G=-2c.V4-V3=lD--V27=-3

3.的算术平方根是（）

V16

A.AB.-Ac.AD.+A

4422

4.下列七个实数：o,y,22,3.14159265,炯,0,101001000100001-,其中无理数的个

73

数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

5.设〃为正整数且口＜也维返＜n+1，则n的值为（）

V2

A.5B.6C.7D.8

6.下列各式正确的有（）①疝%=0.2；②《1卷=±-1;③-22的平方根是±2；(-3)2

的算术平方根是-3；⑤+工是1卫的平方根.

636

A.I个B.2个C.3个D.4个

7.下列各式正确的是()

A.VO.64=±0.8B.^^=-3c-V(-5)2=-I-5|D-3-(-V7)2=-4

8.如图，面积为5的正方形ABC。的顶点A在数轴上，且表示的数为1,若点E在数轴上，（点E

在点A的右侧）且AB=AE,则E点所表示的数为（）

C2正

A.V5B.1W5D.娓+2

,2

9.若（x-JI5）2取到最小值，则整数尤的值是（）

A.4B.V10C.3D.-3

b(a<b)

10.对实数a、b,定义“★”运算规则如下：crkb=<，则小★（&★如）

Va2-b2(a>b)

A.1B.2C.-1D.-2

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.写出一个小于4的正无理数是.

12.一次的立方根是,病的平方根是,2f6的绝对值

27

是.

13.比较下列实数的大小（填上〉、<或=）.

①-V2；②娓-1

22

14.一个正数根的平方根是2。-8和54+15,那么。的值是.

15.如图，数轴上有A,B,C三个点，其中点48表示的有理数分别是-4,12,点C位于A,B

之间，将以AC为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次.此时点A的对应点4落在数轴上，并

且4,B两点之间的距离为4,则点C表示的有理数是.

ACB

16.规定：用符号印表示不大于实数尤的最大整数.例如：[3.69]=3,[V3+l]=2,[-2.56]=-3.

（1）填空[炳]=;

⑵[-^5]—；

（3）若[2+Vx]=6，则x的取值范围是.

三.解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分,

第23、24题每题12分，共72分）

17.（1）计算：+J（-2）2+|1-&

（2）解方程：4（x-1）2-16=0.

18.计算：|+（-1严4+点）

19.已知5a+2的立方根是3,3a+b的算术平方根是4,c是丁五的整数部分.

（1）求”，b,c的值；

(2)求〃+b+c的平方根.

20.将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上：

①-VI5，②16,③-4,@3.14,⑤0,⑥丝⑦2L.

74

整数：；

分数：；

负数：；

无理数：.

2

21.在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式s-J,其中v表示刹车前

300

汽车的速度(单位：千米/时).一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s=27米，若该路段限速

100千米/时，判断该汽车刹车前有没有超速，并说明理由.

22.定义：若无理数比的被开方数(T为正整数)满足〃2<T<(/I)2(其中〃为正整数)，则称

无理数JT的“共同体区间"为("，〃+1).例如：因为仔<3<22,所以«的“共同体区间”为

(1,2).请回答下列问题：

(1)J云的“共同体区间”为；

(2)若无理数4的“共同体区间”为(2,3),求心话的“共同体区间”；

(3)若整数满足关系式：4R+12023+0-4)21=2024,求-x(y+1)的“共同体区间”.

23.三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例

如：-3、-12、-27这三个数，V(-3)X(-12)=6，7(-3)X(-27)=9，

V(-12)X(-27)=1&其结果6、9、18都是整数，所以-3、-12、-27这三个数称为“完美

组合数”.

(1)-2、-8、-18这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；

(2)若三个数-5、〃?、-20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20,求机的

值.

24.如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点。与数轴上的原点重合.(所有结果保留TT)

(1)若圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点。到达点Q',设点。'表示的数为跖

①求a的值；

②求-(a-J正)-兀的算术平方根.

(2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录

如下：

+2,-19+3,-4,-3.

①第几次滚动后，点。距离原点最近？第几次滚动后，点。距离原点最远？

②当圆片结束运动时，点。运动的路程共有多少？此时点。所表示的数是多少？

答案与解析

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.在实数o,3,我，-1中，最大的数是（）

4

A.A/2B.旦C.0D.-1

4

【点拨】根据负数小于0,。小于正数，进行比较即可.

【解析】解：＜近，

4

最大.

故选：A.

【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是掌握实数大小比较的方法.

2.下列计算正确的是（）

A.V25=±5B.V^8=-2C.V4-V3=1D._^/27=-3

【点拨】根据二次根式的性质判断A、B；根据二次根式的减法判断C；根据立方根的定义判断D

【解析】解：A.每=5计算错误，不符合题意；

B.J两没有意义，计算错误，不符合题意；

C.返与百不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；

»-^27=-3）计算正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的减法，立方根，熟知相关知识并灵活运用

是解题的关键.

3.的算术平方根是（）

V16

A.AB.-Ac.AD.+A

4422

【点拨】直接利用算术平方根的定义得出答案.

【解析】解：工的算术平方根是：1.

V1642

故选：C.

【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键.

4.下列七个实数：0,F，22,二，3,14159265,炯,0.101001000100001-,其中无理数的个

数是（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【点拨】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理

数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由

此即可判定选择项.

【解析】解：。、y=2是整数，属于有理数；

型是分数，属于有理数；

7

3.14159265是有限小数，属于有理数；

无理数有2L,炯,0.101001000100001共有3个.

3

故选：A.

【点睛】此题考查了无理数的定义.解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无

理数有：m2n等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）,

等有这样规律的数.

5.设“为正整数且组返<n+1，则”的值为（）

V2

A.5B.6C.7D.8

【点拨】将原式计算后利用无理数的估算即可求得答案.

【解析】解：原式=/就-b

V49<63<64,

•,-7<V63<8>

/-6<V63-1<7,

则w=6,

故选：B.

【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键.

6.下列各式正确的有（）①疝4=0.2；②±9；③-22的平方根是±2；④，（一3）2

的算术平方根是-3；⑤+工是1」旦的平方根.

-636

A.1个B.2个C.3个D.4个

【点拨】根据算术平方根的定义判断①②；根据负数没有平方根判断③；先化简｛（一3）2,再求

算术平方根判断④；根据平方根的定义判断⑤.

【解析】解：①疝％=4=手，故①不符合题意；

②机工=樽=_|,故②不符合题意；

③-22=-4,负数没有平方根，故③不符合题意；

④1（-3）2=3,3的算术平方根是正，故④不符合题意；

⑤1」旦=里的平方根是土工，故⑤符合题意；

36366

符合题意的有1个，

故选：A.

【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握一个正数的平方根有2个，0的平方根是0,负数没

有平方根是解题的关键.

7.下列各式正确的是（）

A.Vo.64=±0.8B.c-V（-5）2=-I-5|D-3-（-V7）2=-4

【点拨】根据算术平方根的定义对A进行判断；

根据二次根式的加减法对B进行判断；

根据二次根式的性质对C、。进行判断.

【解析】解：A.原式=0.8,所以A选项不符合题意；

B・知再W-3,所以8选项不符合题意；

C.，（-5）2=5,-|-5|=-5,所以C选项不符合题意；

D.原式=3-7=-4,所以。选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了实数的运算，立方根，掌握相应的运算法则是关键.

8.如图，面积为5的正方形A5CZ）的顶点A在数轴上，且表示的数为1,若点E在数轴上，（点E

在点A的右侧）且则E点所表示的数为（）

A.炳B.1->V5C.2电D.疾+2

2

【点拨】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD=AE=遍，结合A点所表示的数及AE间

距离可得点E所表示的数.

【解析】解：：正方形ABC。的面积为5,且AD=AE,

：.AD=AE=4^）,

•点A表示的数是1,且点E在点A右侧，

...点E表示的数为1+V5，

故选：B.

【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的

数是关键.

9.若（xHI5）2取到最小值，则整数尤的值是（）

A.4B.V10C.3D.-3

【点拨】根据3＜百5＜4,（xWIU）2取到最小值，x为整数，则整数x的取值要更接近行，

由此即可得出答案.

【解析】解：：3＜收＜4,

又（xWI5）2取到最小值，x为整数,

整数尤的取值要更接近折，

：3更接近JT5，

，当（x-VTU）2取至!J最小值，x=3.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了实数的性质，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较，算术平方根的意

义是解决问题的关键.

b(a4b)

10.对实数°、b,定义“★”运算规则如下：（rkb=＜则（&★技

,7a2-b2(a>b)

()

A.1B.2C.-1D.-2

【点拨】先依据法则知料*a=加，据此得出原式再次利用法则计算可得.

【解析】解：：&＜我，

•••&★我=我，

则原式

=V（V7）2-（V3）2

=77^3

=y

=2,

故选：B.

【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定

义的理解.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.写出一个小于4的正无理数是

【点拨】根据4=W1，以及无理数的特征，一个小于4的正无理数是加.

【解析】解：一个小于4的正无理数是让.（答案不唯一）

故答案为：V2.

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要

明确：无限不循环小数叫做无理数.

12.一次的立方根是_病的平方根是±3,2/的绝对值是岳）-2.

273—

【点拨】直接利用立方根以及算术平方根和平方根、绝对值的性质分别分析得出答案.

【解析】解：一生的立方根是上；

273

V81=9的平方根是±3；

I2^5l=V5-2.

故答案为：上，±3,V5-2.

3

【点睛】此题主要考查了平方根，算术平方根和立方根和绝对值，熟练掌握相关概念和性质是关

键.

13.比较下列实数的大小（填上〉、<或=）.

①-V3<-V2；②娓T〉

22

【点拨】①根据实数的大小比较解答即可.

②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可.

【解析】解：①•••|-丘|,I-V2|=V2,且F>a,

/.-V3<-V2；

故答案为：<.

@vV5>V4=2,

.*.V5-l>0

.•导〉0，

V,是负数，

2

•遍-1、1

22

故答案为：＞.

【点睛】本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关

键.

14.一个正数根的平方根是2a-8和5.+15,那么。的值是-1.

【点拨】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数列式求解即可.

【解析】解：；一个正数m的平方根是2a-8和5a+15,

2a-8+5a+15=O,

••Cl—~1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数和相反数的定义是解题的关

键.

15.如图，数轴上有A,B,C三个点，其中点A,B表示的有理数分别是-4,12,点C位于A,B

之间，将以AC为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次.此时点A的对应点4落在数轴上，并

且4,8两点之间的距离为4,则点C表示的有理数是-1或1.

ACB

【点拨】设点C表示的数是x,根据AB=16,48=4,求出即可.

【解析】解：设点C表示的数是无，贝!|AC=x-(-4)=x+4,

VAB=12-(-4)=16,AiB=4,

.*.A4i=16-4=12或A4i=16+4=20,

•.•点4是以AC为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次得到的，

.•.AC=2=3或叱=皎=5,

44

.•.x+4=3或x+4=5,

解得冗=-1或冗=1,

故答案为：-1或1.

【点睛】本题考查了实数和数轴，利用数形结合的思想是解题的关键.

16.规定：用符号国表示不大于实数尤的最大整数.例如：[3.69]=3,[V3+l]=2,[-2.56]=-3.

(1)填空[在]=1;

(2)[-75]=-3；

（3）若［2+Vx］=6，贝1Jx的取值范围是16Wx<25.

【点拨】（1）先估算我的范围，再根据国表示不大于实数x的最大整数，即可得出答案；

（2）先估算小的范围，再根据印表示不大于实数x的最大整数，即可得出答案；

（3）根据题意，可得6<2+«<7,进而得出44«<5,不等式两边都平方，即可得出答案.

【解析［解：（1）〈娟（2,

［通］=1

故答案为：1;

（2）,/2<V5<3,

-3<-V5<-2,

；•［-V5］=-3.

故答案为：-3；

⑶V［2小］=6，

6<2+Vx<7,

44«<5,

；.16Wx<25.

故答案为：16Wx<25.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键.

三.解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分,

第23、24题每题12分，共72分）

17.⑴计算：石^+J（-2）2+|1-&1.

（2）解方程：4（尤-1）2-16=0.

【点拨】（1）先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可；

（2）利用平方根的定义解方程即可.

【解析】解：（1）返+4（一2）2+|1-&1

=-2+2+42-1

=&-1；

（2）4（x-1）2-16=0,

4（x-1）2=16,

（%-1）2=4,

x-1=±2,

x=3或％=-1.

【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握运算法则及平方根的定义是解题的关键.

18.计算：（«-1）。+上&-1|+（-1严4+®）I.

【点拨】根据负整数指数幕、零指数嘉、绝对值的性质依次化简计算即可.

【解析】解：原式=lr历-1+1+2=我+3.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟知负整数指数累、零指数累、绝对值的性质是解题的关键.

19.已知5a+2的立方根是3,3a+b的算术平方根是4,c是丁五的整数部分.

（1）求4,b,c的值；

（2）求〃+Z?+c的平方根.

【点拨】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出〃，儿。的值；

（2）将mb,。的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可.

【解析】解：（1）・・・5〃+2的立方根是3,3〃+。的算术平方根是4,

5〃+2=27,3〃+。=16,

・•〃=5,b—1,

vV9<VTi<Vi6,

3<VT1<4,

.*.c=3；

（2）将a=5,b—1,c=3,

代入得：a+b+c=9,

：.a+b+c的平方根是±3.

【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数

式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键.

20.将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上：

①-VI5，②16,③-4,@3.14,⑤0,⑥驾_,⑦2L.

74

整数：②③⑤；

分数：④⑥；

负数：①③；

无理数：①⑦.

【点拨】根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可.

【解析】解：整数：②③⑤；

分数：④⑥；

负数：①③；

无理数：①⑦；

故答案为：②③⑤；④⑥；①③；①⑦.

【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键.

2

21.在平整的路面上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式s-Z-,其中v表示刹车前

300

汽车的速度（单位：千米/时）.一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s=27米，若该路段限速

100千米/时，判断该汽车刹车前有没有超速，并说明理由.

2

【点拨】根据题意，将s=27代入求得尸90,与限速比较，即可求解.

300

【解析】解：汽车刹车前没有超速，理由：

2.

当s=27时，97^—>即12=8100,

300

解得：v=90或v=-90（舍去），

V90<100,

.•.汽车刹车前没有超速.

【点睛】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键.

22.定义:若无理数行的被开方数为正整数）满足〃（n+1）2（其中〃为正整数），则称

无理数的“共同体区间”为（“，〃+1）.例如：因为12<3<22,所以的“共同体区间”为

（1,2）.请回答下列问题：

（1）丁西的“共同体区间”为（5,6）；

（2）若无理数心的“共同体区间”为（2,3）,求心话的“共同体区间”；

（3）若整数满足关系式：+|2023+（y-4）21=2024,求-x（y+1）的“共同体区间”.

【点拨】（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；

（2）先根据无理数4的“共同体区间”求出。的取值范围，再求出a+6的取值范围，再根据“共

同体区间”的定义求解；

（3）先根据已知得JR+（y-4）2=l，进而得出或（或分另U代入Jx（y+1）求

值，再根据“共同体区间”的定义即可求解.

【解析】解：（1）V52<26<62,

二技的“共同体区间”是（5,6）,

故答案为：（5,6）；

（2）•••无理数«的“共同体区间”为（2,3）,

：.21<a<32,即4<aV9,

.•.10<a+6<15,

.,.32<a+6<42,

•••JT记的“共同体区间”为(3,4)；

⑶7+I2023+(y-4)2|=2024;

解得卜=4或卜=3或0=3,

\y=4Iy=5\y=3

分以下三种情况：

当x=4,y=4时，尤(y+1)=20,

V42<20<52,

Wx(y+1)的“共同体区间”为(4,5)；

当尤=3,y=5时，x(j+1)=18,

V42<18<52,

(y+1)的“共同体区间”为(4,5)；

当x=3,y=3时，x(j+1)—12,

V32<12<42,

Wx(y+1)的”共同体区间”为(3,4)；

综上，4x(y+l)的“共同体区间”为(4,5)或(3,4).

【点睛】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点.

23.三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例

如：-3、-12、-27这三个数，v(-3)X(-12)=6，V(-3)X(-27)=9，

V(-12)X(-27)=18,其结果6、9、18都是整数，所以-3、-12、-27这三个数称为“完美

组合数”.

(1)-2、-8、-18这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；

(2)若三个数-5、"7、-20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20,求相的

值.

【点拨】(1)对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称

这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；

(2)分两种情况讨论：①当-5〃z=400时，②当-20»7=400时，分别计