第2章 有理数知识归纳与题型突破（14类题型清单）（解析版）

第2章有理数知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

正数：大于。的数叫做正数

正数和负数

负数：在正数前面加上负号“一”的数叫做负数

按定义分类

有理数

按性质分类

数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线

相反数只有居不同的两个数互称为相反数

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的

有理数绝对值

绝对值是它的相反数；0的绝对值是0

有理数的加减法

有理数的运算有理数的乘除法

有理数的乘方

（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0,。大于

有理数的大小比较负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3）

作差比较法.（4）作商b匕较法；（5）倒数比较法

科学记数法

02知识速记

一、正数和负数

（1）概念正数：大于o的数叫做正数.负数：在正数前面加上负号“一”的数叫做负数.

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.

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（不是带“一”号的数都是负数，而是在正数前加“一"的数.）

（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.

二、有理数

1.有理数的分类:

（1）按定义分类:（2）按性质分类:

正整数

非负整数自然匏

零V

非正整数

有理数〈负整数-

非正数分数《正分数

1负分数

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.

诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如乃.

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.

诠释：⑴一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的.

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可.

（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负.

4.绝对值:

（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.数a的绝

对值记作同.

（2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

三、有理数的运算

1、法则：

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取

绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.

（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+（-b）.

（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0.

（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a+b=a-L（b¥0）.

（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；②正数的任何次幕都是正数,

0的任何非零次募都是0.

（6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

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③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

诠释：“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：-[-（-3）]=-3,-[+（-3）]=3.

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：

（—3）x（-2）x（-6）=—36,而（一3）x（-2）*6=36.

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幕为负；指数为偶数，则幕为

正，例如：（—3）2=9,（—3）3=—27.

2.运算律：

（1）交换律：①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；

（2）结合律：①加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；②乘法结合律：（ab）c=a（bc）

（3）分配律：a（b+c）=ab+ac

四、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；

两个负数，绝对值大的反而小；（3）作差比较法.（4）作商比较法；（5）倒数比较法.

五、科学记数法

把一个大于10的数表示成ax10"的形式（其中1〈同＜10,“是正整数），此种记法叫做科学记数法.例

如：200000=2xlO3.

03题型归纳

题型一相反意义的量

例1.（2024・湖北宜昌・模拟预测）若长江水位升高1m时水位变化记作+hn,那么水位下降0.5m时水位变化

记作（）

A.0mB.0.5mC.-0.5mD.-Im

【答案】c

【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，根据水位升高记为正，则水位下降记为负即可得出答

案.

【详解】解：若长江水位升高1m时水位变化记作+lm,那么水位下降0.5m时水位变化记作-0.5m,

故选：C.

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巩固训练

1.（2024・陕西榆林•三模）两千多年前，中国人就开始使用负数.若某仓库运进小麦3吨，记为+3吨，那么

仓库运出小麦2吨应记为（）

A.+1吨B.-1吨C.-2吨D.-5吨

【答案】C

【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键.运进小麦3吨，记为+3吨,

可得运进为正，运出为负，直接得出结论即可.

【详解】解：•••运进小麦3吨，记为+3吨，

/.运出小麦2吨应记为-2吨.

故选C.

2.（23-24九年级下•海南省直辖县级单位•阶段练习）我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谛

语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象.若某市某日上午温度上升15（记作+15℃,那么傍晚温度下

降9℃记作（）

A.9℃B.-9℃C.-15℃D.+15℃

【答案】B

【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键.正数和负数是一组具有相反意义的

量，据此即可求得答案.

【详解】解:温度上升15℃记作+15℃,那么傍晚温度下降9℃记作-9.C,

故选：B.

3.（2024・湖北荆州•模拟预测）某地冬季里某一天的气温为-3℃,那么“-3C”的含义是（）

A.零下3摄氏度B.零上3摄氏度

C.降低3摄氏度D.升高3摄氏度

【答案】A

【分析】本题考查了相反意义的量，生活中习惯上用正数表示零上温度，用负数表示零下温度，掌握“正

数和负数是一对具有相反意义的量”是解题的关键.

【详解】“-3℃”的含义是零下3摄氏度.

故选：A.

题型二求一个数的相反数、绝对值

例2.（2024・四川达州•中考真题）有理数2024的相反数是（）

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【答案】B

【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0,据此求

解即可.

【详解】解：有理数2024的相反数是-2024,

故选：B.

巩固训练

1.（23-24七年级上•浙江金华•期中）-3的绝对值是,-g的相反数是.

【答案】3y

【分析】本题主要考查绝对值与相反数的定义，熟练掌握绝对值与相反数的定义是解题的关键.根据绝对

值与相反数的定义即可得到答案.

【详解】解：-3的绝对值是3,的相反数是

故答案为：3,y.

2.（23-24七年级上•广东惠州•阶段练习）-3.5的相反数为；-5的绝对值是；绝对值

是2的数是.

【答案】3.55±2

【分析】本题主要考查了绝对值和相反数.根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，数字相同，那

么这两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对数是它的相

反数，0的绝对值是0,进行求解即可

【详解】解：-3.5的相反数为3.5；-5的绝对值是5；绝对值是2的数是±2.

故答案为：3.5；5,±2.

3.（23-24七年级上•广东广州•期中）（1）卜3.7|=；（2）|0|=；（3）-卜3.3卜；

（4）-|+0,751=.

【答案】3.70-3.3-0.75

【分析】根据相反数的定义、绝对值的性质计算可得.

【详解】|-3.7|=3.7,

|0|=0,

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-|-3.3|=-3.3,

-|+0.75|=-0.75,

故答案为：3.7；0；-3.3；-0.75；

【点睛】本题主要考查绝对值计算，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义，正数的绝对值是是正数，负数

的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.

题型三化简多重符号

例3.（23-24六年级下•全国•假期作业），的相反数是.

【答案】-j

6

【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反

数是0是解题的关键.先化简数字，根据相反数的定义求解即可.

【详解】解：•.•+1]=•!，

二。的相反数是-3，

66

巩固训练

1.（23-24七年级上•湖北孝感・期末）化简-（-5）的结果是.

【答案】5

【分析】本题考查的是相反数的含义，直接根据相反数的定义求解即可.

【详解】解：-（-5）=5,

故答案为：5

2.（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）化简-.

【答案】一/-0.25

4

【分析】本题考查相反数，解题的关键是切记求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了,

若原数带有符号（不论正负），则应先添括号,根据相反数的定义即可得到答案.

【详解]解：一卜卜：=一切=一：；

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故答案为：

4

3.（23-24七年级上•四川眉山•阶段练习）若-。的相反数为,若。-3与。+1互

为相反数，则a为

【答案】T1

【分析】本题考查了相反数及化简多重符号，先根据化简多重符合得。=1,则可得。的相反数，根据相反

数的性质得3+。+1=0,进而可得。=1,熟练掌握相反数的定义及化简多重符合的运算法则是解题的关

键.

【详解】解：若一则—Cl=-1,即：4=1,

，。的相反数为：-1,

若。-3与a+1互为相反数，则。-3+a+l=0,即：a=1,

故答案为：-1；1.

题型四绝对值的非负性

例4.（23-24六年级下•全国•假期作业）若|3-a|+|b-l|=0,则。=,b=.

【答案】31

【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得3-。=0,b-l=0,即可求解.

【详解】因为|3-a|+|6-l|=0,M|3-a|>0,|Z>-l|>0,

所以3—a=0,6—1=0,所以“=3,b=}.

故答案为：3,1.

巩固训练

1.（23-24七年级上•江苏泰州•阶段练习）已知6、c满足l|+c-g=0,则6+c的值是.

31

【答案】-/1-/1.5

22

【分析】本题考查了绝对值的性质，根据|6-1|+。-；=0,得到方=l,c=g,

代入计算即可.

【详解】•••|6-l|+c-g=0,

・・b—1,c—,

2

.入113

22

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_31

故答案为：5或5或3

2.（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）已知。为有理数，则卜-2|+4的最小值为.

【答案】4

【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相

反数，0的绝对值是0.根据绝对值的非负性即可解答.

【详解】解：：|。一2上0,

—2|+4>4,

•••|。-2|+4的最小值为4,

故答案为：4.

3.（23-24七年级上•山东青岛•阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足|“+可+卜-5|=0.那么。=,

b=,c=.

【答案】-115

【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到。的值，然后根据绝对值的非负性得到从

c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键.

【详解】解：是最大的负整数，

••d——1,

V|（2+/J|+|C-5|=0,

|a+/）|=0,|c-5|=0,

a+b=0,。-5=0,

•**—1+6=0,c—5—0,

解得：6=l,c=5,

a=—1,b=1,c=5,

故答案为：-1,1,5.

题型五有理数大小的比较

例5.（2024六年级下•上海•专题练习）比较大小：|-1：|_一（一0.2）（填“>”或“〈”或“=”）.

【答案】>

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【分析】利用绝对值性质及相反数定义将两数计算后进行比较即可.本题考查绝对值性质，相反数的定义

及有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

【详解】解：••卜1%=?，-(-0.2)=0.2,11>0,2,

4

故答案为：＞.

巩固训练

73

1.（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）比较大小：_________--（填“＞”或

84

【答案】＜

【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大

其值越小进行求解即可.

77336

【详解】解：：—二一、..————

88448

._Z<_3

84

故答案为：＜.

（六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）比较大小--：2

2.23-24-—（填“或“=”）

0

【答案】＜

【分析】本题考查的是两个负数的大小比较，先比较两数的绝对值，再根据绝对值大的反而小即可得到答

案.

5_52_2_4

【详解】

6"6'-3-6

•2/

"66'

52

:.----<--

63

故答案为：＜.

3.（23-24六年级下•上海杨浦•期中）比较大小：一2；-2；］（请用“＜”、"＞”或“="填空）.

【答案】＜

【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较方法;

先化简，再根据有理数的大小比较法则比较即可.

【详解】__2：=_2：

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故答案为：<.

题型六数轴的三要素及其画法

例6.（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）下列数轴画得正确的是（）

A.1~J~>B.~―>

rill〉n___I_____I_____I______>

J-101u-10-1

【答案】C

【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即

可求解.

【详解】A,没有原点，故该选项不正确，不符合题意；

B,单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意；

C,正确，故该选项符合题意；

D,单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

巩固训练

1.（23-24七年级上•天津•期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）

.......................................>__I_________1111_______

A-12345B--10123

.....................................111A

c--2-1012D--2-1012

【答案】D

【分析】本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握数轴的基本要素是解题关键.规定了原点、正方向和规定

长度的直线叫数轴，数轴的三要素缺一不可，据此分析判断即可.

【详解】解：A.没有原点，故此选项错误，不符合题意；

B.单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；

C.没有正方向，故此选项错误，不符合题意；

D.符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意.

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故选：D.

2.（23-24七年级上•四川泸州•阶段练习）下列图形是数轴的是（）

____I____I____I_IIIII»IIIII»___I__I___I___III______

A.-101B.-2-1012C,01234D.-2-1o12

【答案】B

【分析】本题主要考查的是数轴的定义，数轴是规定了原点，正方向和单位长度的直线；根据上述定义，

逐一判断各选项，即可得到结论.

【详解】解：A.没有规定正方向，不是数轴，故本选项不符合题意；

B.有了原点，正方向和单位长度，是数轴，故本选项符合题意；

C.没有负半轴，且不是直线，故不是数轴，故本选项不符合题意；

D.单位长度不均匀，不是数轴，故本选项不符合题意；

故选：B.

3.（23-24七年级上•四川凉山•阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（）

1।।1A।1।11A

A--1-2012B.-2-1123

]___________I___________I___________I___________I___IIIII>

C.-2-1012D--2-1012

【答案】D

【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键.据此对各选

项逐一分析判断即可.

【详解】解：A.数轴上的点应该越向右越大，-2与-1位置颠倒，故此选项不符合题意；

B.没有原点，故此选项不符合题意；

C.没有正方向，故此选项不符合题意；

D.数轴画法正确，故此选项符合题意.

故选：D.

题型七用数轴上的点表示有理数

例7.（2024六年级下•上海・专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数.

-3,+1,2—1—1.5

2

（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：.

________1111111A

-3-2-10123

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【答案】(1)见解析；-3<-1.5<+1<2|；(2)负有理数

【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的

点表示数是解题的关键.

(1)首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的

数总比左边的数大，把这些数由小到大用“〈”号连接起来即可；

(2)根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数.

【详解】解：(1)数轴表示如下：

-3-1.5+122

——i——------1——A——~►-

-3-2-10123

-3<-1.5<+l<2-.

2

(2)在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数.

故答案为：负有理数.

巩固训练

1.(23-24七年级上•河南周口•阶段练习)给出下面六个数：

一..3

2.5，1j—2，—2.5，0,—.

2

(1)先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来.

(2)用将上面的各数连接起来.

【答案】(1)见解析

_3_

(2)-2.5<-2—<0<1<2.5

【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对值和化简多重

符号：

(1)在数轴上表示出各数即可；

(2)根据(1)所画数轴结合数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可.

【详解】(1)解：数轴表示如下所示：

OZ5

-2.5-2-2IIII>

—J-----1-----1~~••4一._J4O-2345

-5-4-3-2-1

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3

(2)解：由(1)得一2.5<—2<—一<0<1<2.5.

2

2.(23-24七年级上•山西临汾•阶段练习)如图，数轴上点4表示的数是-3,点5表示的数是4.

AB

(1)在数轴上标出原点O.

(2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“〈”连接起来.

2.5,-4,|-1,5|,_(+Tj

【答案】(1)见解析

(2)见解析，-4<一(+<]<]一1.5|<2.5

[分析】本题主要考查在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较:

(1)根据点/表示的数是-3,点3表示的数是4找出原点即可；

(2)把各数在数轴上表示出来，从左到右用“〈”连接起来即可.

【详解】(1)解：原点。如图，

A

3

(2)解：卜1.5|=1.5,

2

各点在数轴上表示为:

-4-(+当|-1.5|2.5

A-2O123B

故-4<<|-1-5|<2.5.

3.(23-24七年级上•广东佛山•阶段练习)如图，数轴的单位长度为1,点3表示的数是4.

(1)在数轴上标出原点，点A表示的数是.

(2)在数轴上表示出下列各数：-5,-2；,卜3|,并将这些数及点A,8表示的数用号连接起来.

【答案】(1)数轴见解析，-3

(2)数轴见解析，-5<-3<-23<卜3]<4

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【分析】

此题考查了有理数的比较大小，用数轴上的点表示有理数，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置.

（1）根据点8表示的数是4即可得原点位置，进一步得到点Z所表示的数；

（2）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用

，，<，，号把这些数连接起来即可.

【详解】（1）如图，。为原点，点/所表示的数是-3,

I141Ijl1Ijl

A0B

故答案为：-3；

（2）

如图所示：

1,,

-5-2y|-3|

-4——।————।——•——।——।——ii——।——

AOB

由数轴可知：-5<-3<-21<|-3|<4.

题型八数轴上两点之间的距离

例8.（23-24七年级下•上海•阶段练习）数轴上，点42所对应的实数分别是2和-3,则42两点的距离

AB=.

【答案】5

【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点间距离公式是解题关键.根据数轴

上两点间距离的定义进行解答即可.

【详解】解：：在数轴上，点43所对应的实数分别是2和-3,

二48两点的距离=|2-（一3）卜5.

故答案为：5.

巩固训练

1.（2024•江苏徐州•二模）如图，数轴上/、5两点之间的距离为.

-103

【答案】4

【分析】本题考查了数轴间的距离，根据/、3两点分别表示为-1,3,再求出/、3两点之间的距离，即可

作答.

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【详解】解：依题意，由数轴得出4、5两点分别表示为-1,3,

则3-(-1)=4,

数轴上/、8两点之间的距离为4,

故答案为：4

2.(2024•陕西西安•三模)如图，点/是数轴上的点，若点8在数轴上点/的左边，且48=4,则点3表

示的数是.

4

•t•

1O2

X1

【分析】本题考查数轴上两点的距离，根据两点之间的距离公式求解即可.

【详解】解：由数轴，点/表示的数为1,又点2在数轴上点/的左边，且48=4,

，点B表示的数是1-4=-3,

故答案为：-3.

3.(22-23七年级上•江西宜春•期中)在数轴上有尸，M,N三点，点尸在点河左侧，M,N两点所表示的数

分别是1,-8,点P到与点N其中一点距离等于点尸到另一点距离的2倍，则满足条件的点尸所表示

的数是.

【答案】-2,-5或-17

【分析】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法.

利用分类讨论思想，当点P在线段上时且=2尸N时，设点尸表示的数为乙用代数式表示出尸

的长度，即可求出点尸所表示的数；当点P在线段上时且PN=2尸M时，用代数式表示出尸的长

度，即可求出点P所表示的数；当点尸运动到点N的左边时，那只有府=2小，用代数式表示出尸尸N

的长度，即可求出点?所表示的数.

【详解】设点P表示的数为乙当点P在线段上时且PM=2尸N时，如图所示，

NPM

--1----1--------J--->

=8t1

,:M,N两点所表示的数分别是1、-8,

PN=t—(—8)=Z+8,PM=l—tj

PM=2PN,

.，.，+8=2(1—%),

解得：，=-2；

第15页共31页

当点尸在线段跖V上时且尸N=2尸M时，如图所示,

NPM

IJ_______I_____=2(/+8),

-8

解得：才=-5；

当点P运动到点N的左边时，那只有尸M=2尸N,如图所示,

PNM

--------------J----------1--------1----------►・•/—二2(-8-0,

解得：/=-17；

故点尸表示的数为-2,-5或-17.

故答案为：-2,-5或-17.

题型九有理数的加减中的简便运算

例9.(2023・江苏•七年级假期作业)计算:

⑴-9.2-(-7.4)+9；+f-6)+卜3|；

【答案】(1)0

(2)-16

【分析】(1)先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可;

(2)先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可;

(3)先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可.

【详解】(1)解：-9.2-(-7.4)+91+p|^+(^4)+^3|=-9.2+7.4+91-61-4+3=-1,8+2.8-1=0；

(2)-14-+11--I-12-1-14+1-11^L-14-+12-+11--11--14=-2-14--16；

3513)15)3355

(3)+=1--=-.

3813八338822

【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，先把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运

算，求出结果.其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合.另外，同号各数先结合；同分

第16页共31页

母或易通分的各数先结合.方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律.在交换加

数的位置时，要连同前面的符号一起交换.(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相

加，这样计算简便.(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，

要看哪一种计算简便.

巩固训练

1.(2023•浙江•七年级假期作业)计算下列各式：

⑴(-1.25)+(+5.25)(2)(-3^-)+(+7^-)-8

⑶0.36+(-7.4)+0.5+0.24+(-0.6)(4)31+(-0.5)+(-3.2)+5p

【答案】⑴4

(2)-^

(3)-6.9

⑷5

【分析】(1)根据有理数的加法法则计算，即可解答；

(2)根据有理数的加减运算法则计算，即可解答；

(3)利用加法的结合律和交换律，即可解答；

(4)利用加法的结合律和交换律，即可解答.

【详解】(1)原式=5.25-1.25=4；

(2)原式=(-3)+什7)-8+(-1)+!=_4_」=_§；

2366

(3)原式=0.36+0.24+(-0.6)+0.5+(-7.4)=0.5+(-7.4)=-6.9；

(4)原式=3.2+(-3.2)+(-0.5)+5.5=5.

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算.

2.(2023•全国•七年级假期作业)计算题：

(1)8+(-11)-|-5|；⑵12+(-8)_g；

⑶0.125+3/+5225；(«5#-臼-W+6..

【答案】⑴-8

⑵17

(3)8|

第17页共31页

⑷10

【分析】(1)先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得；

(2)先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得；

(3)先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得；

(4)先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得.

【详解】(1)解：原式=8-11-5=-3-5=-8.

(2)解：原式=]2—<+8—g=(12+8)—[万+^)=20—3=17.

,、⑼11121<1L1<2八。2o2

(3)解：原式=—+3-------F5-------=Z-77+——0+3+5—=8—.

84834(88八4333

1443rl4、(43、

(4)解：原式=—5—+12—3—1-6———5—■F3—+12—F6—=—9+19=10.

5757(55八77)

【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键.

3.(2023•浙江•七年级假期作业)计算：

7

⑴卜7|+-9—

(3)(+4.85)+(—3.25)(4)(-7)+(+10)+(-1)+(-2)

(5)(-2.6)+(-3.4)+(+2.3)+1.5犬-2.?

7

【答案】⑴16石

23

⑵一彳

(3)1.6

(4)0

(5)-4.5

(6)5

【分析】(1)先去绝对值，再按照有理数的加法运算顺序计算.

(2)先去括号,再按照有理数的加法运算顺序计算.

(3)先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算.

(4)先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算.

(5)先去括号，再按照有理数的加法运算顺序计算.

(6)先去小括号，后去中括号，再按照有理数的加法运算顺序计算.

第18页共31页

777

【详解】(1)解：|-7|+-9-=y+9-L=16^

(3)解：(+4.85)+(-3.25)=4.85-3.25=1.6

(4)解：(-7)+(+10)+(―1)+(―2)=—7+10—1—2=0

(5)解：(-2.6)+(—3.4)+(+2.3)+1.5+(-2.$=—2.6—3.4+2.3+1.5—2.3=—4.5

+总+(-3.36)+(+7.36)+[T[]=1+/+(-3.36)+(+7.36)+1+

(6)解:

=(+总+(+3)+(-3.36)+(+7.36)=1+4=5

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后

算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.是解答此题的关

键.

题型十有理数的乘除混合运算

例10.(2023・江苏•七年级假期作业)计算:

⑵(-32)+4x；；⑶24+(-2)—一11

【答案】⑴;

⑵-2

⑶10

【分析】(1)根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算

即可;

(2)根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可;

(3)先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解：卜;卜卜=

(2)解：(-32)^4xl=(-32)x-xl=-32x-xl=-2；

44444

(3)解：24+(—2)+(Tg]=24x(-g]x]-*]=24x：xg=10.

【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键.

第19页共31页

巩固训练

1.(2023・全国•七年级假期作业)计算：

(1)(-8)X(-6)X(-1.25)X|；⑵(-81)+12£|x2+(-8).

【答案】⑴-20

⑵-2

【分析】(1)根据有理数乘法运算法则进行计算即可；

(2)根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】(1)I?：(-8)x(-6)x(-!.25)x-=-8xl.25x6x-=-10x2=-20；

(2)解：+(-8)=(-81)x[4)4(1)O1441

9J9<8J998

【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算,解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算.

2.(2023・全国•九年级专题练习)计算

(1)-20+(-5)-(-18)(2)49--X|^--J-(-16

⑶(信11一7十3二五13、卜/(叫Q(4)^-1…992-4jx、5，

【答案】(1)-7

(2)1

(3)2

4

(4)-999y

【详解】(1)解：-20+(—5)—(-18)=—20—5+18=—7；

(2)解:49+彳*[_：)_(_16)=49x：x1_g]+(T6)=28x1_g)+

(-16)=(-16)-(-16)=1；

⑶解:-48)

117313

=—x(-48)--x(-48)+—x(-48)--x(-48)=-44+56-36+26);

4

(4)解：I-199—x5=|--200lx5=—x5-200x5=--1000:=-999-.

(25J125J2555

【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律、两个有理数的

乘法运算.掌握各运算法则是解题关键.

3.(2023•全国•七年级假期作业)计算：

(1)(-3)+(T*0.75+H(-6)；

第20页共31页

【答案】⑴18

(2)-5

(3)54

【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案.

【详解】(1)解：(一3)+1—l：］x0.75+1—T］x(—6)=3xgxjx：x6=18；

(2)解：［一］］义(一0.1)+*、(一10)二—25x10］=-5；

kJJN/J\JJL\JJ

(3)解:

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键.

题型十一含乘方的有理数四则混合运算

例11.计算：-23+|5-11|+15X^-1^

【答案】-5

【分析】按照先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法的运算顺序求解即可.

【详解】解:-23+5-11+15X^-^=-8+6-3=-5.

【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

巩固训练

1.(2023秋•陕西渭南•七年级统考期末)计算：-12。22+(_5)\(_$一卜1一5|.

【答案】-22

【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可.

［详解］原式=—1+25x(―y)—6=—1—15—6=-22.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序.

2.(2023・全国•七年级假期作业)计算：

+(T2)；⑵-呼+(-5)x［(-2)3+2］-(-4)2+

第21页共31页

(3)4+(-2『x2-(-36)+4；(4)-14+(-2)3^4X[5-(-3)2].

【答案】(1)1

(2)61

(3)21

(4)7

【分析】(1)根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解；

(2)根据含有乘方的有理数运算法则即可求解；

(3)根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解；

(4)根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解.

【详解】(1)解：Q+1-^X(-12)

=；x(-12)+1x(-12)-£x(-12)

=-3-2+6

=1.

(2)解：-I2022+(-5)x[(-2)3+2]-(-4)2

=-1+(-5)x(-8+2)-16x(-2)

=—1+30+32

=61.

(3)解：4+(—2『x2—(一36)+4

=4+8-(-9)

=21.

(4)解：一「+(—2)，4x[5—(―3月

=-1+(-8)x—x(-4)

=-1+8

=7.

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键.

题型十二有理数的混合运算中错题复原问题

第22页共31页

例12.(2023秋•山东东营•六年级统考期末)课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查

了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？

原题是:计算：

这是小刚的计算过程：

W：原式=-24x；+(_24)x(_gj_4+1；_g]第——步

=-6+8-4+；+(-4)+[-；]第二步

=2-8+12第三步

=6.第四步

观察小刚的计算过程回答下列问题：

(1)小刚在进行计算第一步时运用了律；

(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第步出错了？

(3)请你给出正确的解答过程.

【答案】(1)乘法分配

⑵二

(3)见解析

【分析】(1)观察运算过程可知第一步运用了乘法分配律；

(2)观察运算过程可知第二步运用了除法分配律，而除法没有分配律，由此即可得到答案；

(3)根据有理数四则混合计算法则求解即可.

【详解】(1)解：由题意得，小刚在进行计算第一步时运用了乘法分配律，

故答案为：乘法分配；

(2)解：由题意得，在第二步的时候，运用了除法的分配律，而除法没有分配律，从而导致运算结果错误,

故答案为：二；

(3)解：

“24x；+(一24卜卜:_4—"]

=_6+8_4+『|]

=-6+8-4」

6

=-6+8-24

第23页共31页

=-22.

【点睛】本题主要考查了有理数四则混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键，注

意除法没有分配律.

巩固训练

1.在计算(-5)-(-5)xA+\x(-5)时，小明的解法如下：

解：原式二节一卜1+-.(第一步)

=-5-1(第二步)

=-4(第三步)

回答：

(1)小明的解法是错误的，主要错在第步，错因是;

(2)请在下面给出正确的解答过程.

【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算

(2)见解析

【分析】(1)观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误；

(2)按照有理数混合运算顺序和法则计算即可.

【详解】(1)解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的

顺序依次计算导致错误，

故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算；

(2)解：(-5)-(-5)X^^X(-5)

=-5-1-；JxlOx(-5)

=-5-(-5)x(-5)

=-30.

【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键..

2.阅读下列解题过程：(-15)^Q-l1-3jx6

解：原式=(-15))x6(第一步)

=(-15)^(-25)(第二步)

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3

=-1（第三步）

解答问题：

（1）上面解答过程有两个错误，第一处是第