等腰三角形-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第四单元三角形

《第18讲等腰三角形》

【知识梳理】

1.等腰三角形的概念和性质

(1)定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)性质：

①等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.

②等腰三角形的两个底角相等.这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角.

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合,简称等腰三角形三线合

(3)拓展:

①等腰三角形两腰上的高线相等.

②等腰三角形两腰上的中线相等.

③等腰三角形两底角的平分线相等.

④等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.

⑤等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.

⑥等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线长.

⑦等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线长.

2.等腰三角形的判定

(1)判定定理:如果一个三角形有」个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单地说成:

在同一个三角形中，等角对等边.

(2)拓展:

①一边上的高线与该边上的中线重合的三角形是等腰三角形.

②一边上的高线与该边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.

③一边上的中线与该边所对角的平分线」^的三角形是等腰三角形.

3.等边三角形的概念和性质

(1)定义:三边都的三角形叫做等边三角形.

(2)性质:等边三角形的各内角都等于60。.

4.等边三角形的判定

判定定理：

①三个角都相等的三角形是等边三角形.

②有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

5.线段的垂直平分线

(1)定义:垂直于一条线段，并且上“这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

(2)性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离一

性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的3Ai^^上.

【考题探究】

类型一等腰三角形的性质

【例1][2024•内江]如图，在AABC中，ZDCE=40°,AE=AC,BC=BD,则NAC3的度数

为100

【解析】'：AC=AE,5C=5Z>,.•.设NAEC=NACE=x。，ZBDC=ZBCD=y°,则NA=(180

-2x)°,ZB=(180-2j)°.

■:ZACB+ZA+ZB=180°,ZBDC+ZAEC+ZDCE=180°,

.,.ZACB+(180-2x)o+(180-2j)o=180°,180。一(x+y)。=NDCE,

ZACB+360°-2(x+j)°=180°,:.ZACB+2ZDCE=18Q°.

•.,NDCE=40°,Z.ZACB=100°.

变式1如图，已知在锐角三角形ABC中，AB=AC,AD是AABC的角平分线，E是AD上一点,

连结EbEC.若NE3C=45。，BC=6,则AEBC的面积为(B)

A.12B.9

C.6D.3V2

【解析】,：AB^AC,4。是△ABC的角平分线,

1

[BD=CD=*C=3,AD±BC.

2

在R3EBD中，/EBD=45°,

：.S^EBC=^BC•ED=|X6X3=9.

类型二等腰三角形的判定

【例2】如图，C为NA03平分线上一点，CD〃03交。4于点D求证:△DOC是等腰三角形.

例2图

证明:丁0C平分NA05,:.ZAOC=ZBOC.

'：CD//OB,：.ZDCO=ZBOC,

:.ZAOC=ZDCO,

:.OD=CD,：.ADOC是等腰三角形.

变式2—1如图，在ZkABC中，AB=AC,ZABC,NAC3的平分线相交于点。，过点。作直线

EF//BC,交A3于点E,交AC于点F图中等腰三角形的个数是（D）

A

变式2—1图

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【解析】'：AB=AC,ZABC,NAC5的平分线相交于点

，ZABD=ZDBC=ZBCD=ZDCF,

：.^EBD,ADBC,△f'DC是等腰三角形.

\'AB=AC,：.ZABC=ZACB,且△A5C是等腰三角形.

■:EF//BC,:.ZAEF=/AFE=ZABC,

.•.△AEF是等腰三角形.

所以共有AEBD,ADBC,4FDC,^ABC,ZkAEFS个等腰三角形.

变式2—2如图，3。是△ABC的角平分线，DE//BC,交A3于点E.

⑴求证:NE3D=NEDB

(2)当A3=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.

变式2—2图

解是AAbC的角平分线,

：.ZCBD=ZEBD.

'JDE//BC,:.ZCBD=ZEDB,

，ZEBD=ZEDB.

(2)CD=ED.理由如下:

'：AB=AC,：.ZC=ZABC.

'：DE//BC,

：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,

/.ZADE=ZAED,：.AD=AE,：.CD=BE.

由(1),^ZEBD=ZEDB,：.BE=DE,

：.CD=ED.

变式2—3如图，已知AB=AC,AD=AE,3。和CE相交于点。

(1)求证:△A3。m△ACE.

(2)判断ABOC的形状，并说明理由.

变式2—3图

解:(1)TA5=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS).

(2)ABOC是等腰三角形.理由如下：

■:AABD/△ACE,:.ZABD=ZACE.

"：AB=AC,:.ZABC=ZACB,

:.ZABC-ZABD=ZACB-ZACE,

即N05C=N0C5,

：.OB=OC,即△BOC是等腰三角形.

类型三线段的垂直平分线

【例3][2023•丽水]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交3c于点。，交AC于点E,NB

=NAD8若AB=4,则DC的长是4.

例3图

变式3—1如图，在ZkABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交3C,AC于点。，E,ZB=

60°,ZC=25°,则/痴。的度数为(B)

变式3-1图

A.5O0B.7O0

C.750D.8O0

变式3—2[2024•广西]如图，在AABC中，ZA=45°,AOBC.

⑴尺规作图:作线段A3的垂直平分线，分别交AB,AC于点。，E.(要求:保留作图痕迹，不写作

法，标明字母)

(2)在(1)所作的图中，连结3E,若AB=8,求BE的长.

解:(1)作图如答图所示.

(2)丁DE垂直平分线段A5,

：.EB=EA,：.ZEBA=ZA=45°,

：.ZBEA=9Q°.

1

'：BD=DA,：.DE=DB=DA=-AB=4,

2

：.BE=V2BD=4V2.

类型四等边三角形的性质与判定

【例4][2023•荆州]如图，3。是等边三角形A3C的中线，以点。为圆心，的长为半径画

弧，交3c的延长线于点E,连结DE.求证:CD=C£

证明:二5。是等边三角形ABC的中线，

1

：.BD±AC,ZACB=60°,ZDBC^-ZABC=3Q°.

2

又YBD=DE,

：.ZE=ZDBC=30°.

又,/ZCDE+/E=ZACB=60°,

:.NE=ZCDE=30°,:.CD=CE.

变式4[2023•台州]如图，点C,D在线段AB上（点C在点A,D之间），分别以AD,BC为边

向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF,边长分别为a,b.CF与DE相交于点H,延长AE,

3R相交于点G,AG长为c.

CL

⑴若四边形以"6的周长与△CDH的周长相等，则a,b,c之间的等量关系为5a+5方=7c.

（2）若四边形EHFG的面积与△CD"的面积相等，则a,b,c之间的等量关系为层+方2=,2.

【解析】（1）;及4。£和ACS歹都是等边三角形，

/.ZA=ZFCD=60°,ZB=ZEDC=60°9

：.AG//CF,DE//BG,△CDH和△AbG都是等边三角形，

四边形EHFG是平行四边形，

：.HF=EG=c-a,EH=GF=c~b,

:.C四边形EHFG=2(c-a+c—b)=4c—2a—2b.

易知CD=a+b—c,C\cDH=3(a+b—c),

；・4c—2〃-2万=3(a+8-c),・工5。+5。=7c.

⑵由图形，得SAADE~HSACBF—SACDH+S四边形EHFGSAABG・

L,:SxCDH=S8建形EHFG，•e•SLADE+SACBF=S^ABG^

：.^a2+^-b2=^c2,：.a2+b2=c2.

444

类型五等腰三角形的探究

【例5］［2024•滨州］［问题背景］

某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：

①如图，在AABC中，^ADLBC,BD=CD,则有NB=NC

②某同学顺势提出一个问题:既然①正确，那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.

若把①中的3D=CD替换为AB+3D=AC+CD,还能推出N3=NC吗？

基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出NB=NC,并分别提供了不同

的证明方法.

小军|小民

证明:分别延长。3,证明:'.•ADLBC,

DC至E,R两点，使:.XADB与△ADC均为直角三角形.

得……根据勾股定理，得……

［问题解决］

(1)完成①的证明.

(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.

AA

备用图

典例5图

解:(1)TAZ＞，5C,:.ZADB=NADC=90。.

'AD=AD,

^.AADB和△AOC中，"：＜^ADB=^ADC,

、BD=CD,

，△AO5SAOC(SAS),:./B=ZC.

(2)小军的证明过程：

分别延长。5,。。至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA,如答图.

典例5答图

'：AB+BD=AC+CD,:.BE+BD=CF+CD,

：.DE=DF.

'：AD±BC,:.ZADE=NAZ＞F=90。.

(AD=AD,

在AADE和AADF中，；(乙ADE=^ADF,

\DE=DF,

，"OE0△AOF(SAS),ZE=ZF.

,:BE=BA,CF^CA,：.ZE=ZBAE,ZF=ZCAF.

又丁ZABC=ZE+ZBAE=2ZE,ZACB^ZF+/CAF=2/F,

：.ZABC=ZACB.

小先的证明过程:

'：AD±BC,：.^ADB与△AOC均为直角三角形.

根据勾股定理，得AZ>2+5Z)2=A52,AD2+CD2=AC2,

：.AB2~BD2=AC2~CD2,：.(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD\AC~CD).

^'：AB+BD=AC+CD®,：.AB-BD=AC~CD@,

=

两式相加，得2AB2ACJ

：.AB=AC,：.ZB=ZC.

【课后作业】

1.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长为（D）

A.8cmB.13cm

C.8cm或13cmD.llcm或13cm

2.[2024•凉山州]如图，在R3ABC中，ZACB=90°,OE垂直平分AB交5C于点。，若△AC。

的周长为50cm,贝ljAC+5C=(C)

第2题图

A.25cmB.45cm

C.50cmD.55cm

【解析】垂直平分A5交5c于点。，

：.AD=DB.

■:&ACD的周长为50cm,

即AC+AD+CD^AC+CD+DB=AC+BC^5Qcm.

3.[2023•台州]如图，在锐角三角形A3C中，AB=AC,点D,E分别在边A3,3c上,连结3E,

CD下列命题中，假命题是（A）

A

第3题图

A.若CD=BE,则/DC3=NE3C

B.若/DCB=/EBC,贝I]CD=3E

C.若BD=CE,则/DC3=NE3C

D.若/DCB=NEBC,则3D=CE

【解析】由AB=AC,得NA5C=NAC5,而BC=CB,ZDCB=ZEBC,可得

EBC(ASA),瞅CD=BE,BD=CE,B,D是真命题.

根据BC=CB,ZABC=ZACB,BD=CE,得ADCB名AEBCBAS),故/DCB=/EBC,C

是真命题.

不能通过CD=5E,CB=BC,ZABC=ZACB证明△5CD之△C5E,从而推出ZDCB=ZEBC,

A是假命题.

4.如图，在AABC中，NA3C和NAC3的平分线相交于点E,过点E作MN〃3C交A3于点M,

交AC于点N.若3舷+CN=9,则线段MN的长为(D)

[解析】•/ZABC,NAC5的平分线相交于点E,

:.ZMBE=ZEBC,ZNCE=ZECB.

,:MN〃BC,：.ZEBC=ZMEB,ZECB=ZNEC,

:.ZMBE=ZMEB,ZNCE=ZNEC,

：.BM=ME,CN=EN,

:.MN=ME+EN=BM+CN=9.

5.[2024•湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40。，则它的顶角的度数为100°

6.［2024•绥化］如图，AB//CD,ZC=33°,。。=。£则/4=66°

第6题图

【解析］\'OC=OE,NC=33。,

，NE=NC=33°,

:.ZDOE=NE+NC=66°.

'JAB//CD,:.ZA=ZDOE=66°.

7.小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件=

60°（答案不唯一）.

第7题图

8.[2024•重庆B卷]如图，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,3。平分NABC交AC于点。.若

BC=2,则AD的长度为2.

第8题图

【解析】'：AB=AC,：.ZABC=ZC.

•/ZA=36°,ZABC=ZC=72°.

,：BD平分/ABC,：.ZCBD=ZABD=36°,

：.ZBZ)C=180°-ZC-ZCB£>=180°-72°-36°=72°,

：.ZBDC=ZC,：.BD=BC=2.

VZA=36°,ZABZ>=36°,：.ZA=ZABD,

：.AD=BD^2.

9.如图，已知A3=DC,NA=ND,AC与。5相交于点Q求证:N03C=N0C8

AD

第9题图

证明:在及4。5和△DOC中，

(乙4=20,

'：\^AOB=LDOC,

\AB=DC,

：.AAOB^ADOC(AAS),:.OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB.

10.[2024•自贡]如图，在AABC中，DE//BC,/EDF=/C.

(1)求证:ZA.

(2)若NA=45。，DF平分NBDE,请直接写出的形状.

第10题图

解:(1)：DE〃5C,，ZC=ZAED.

■:ZEDF=ZC,；.ZAED=ZEDF,

：.DF//AC,：.ZBDF=ZA.

(2)VZA=45°,AZBDF=45°.

■:DF平分/BDE,：.ZBDE=2ZBDF=90°.

,JDE//BC,：.ZB=9Q°,

：.^ABC是等腰直角三角形.

11.[2024•自贡]如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD,A3于点D,A3长12nl.现将钢架立柱

缩短成DE,/3成＞=60。.则新钢架减少用钢(D)

C

/支

/I''

/E\

ADB

第n题图

A.(24-12V3)mB.(24—8百)m

C.(24-6V3)mD.(24-4V3)m

【解析】•/AABC是等边三角形，

：.ZABC=60°,AB=BC=AC=12m,BD=6m,：.CD=643m.

"：ZBED=60°,：.DE=2y/3m,BE=AE,

.•.减少用钢(A5+AC+5C+CD)-(AE+5E+A5+OE)=AC+5C+CO-AE-5E-DE=(24

—4V3)m,故选D.

12.定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角

形ABC是“倍长三角形”，底边的长为3,则腰45的长为6.

【解析】•.,等腰三角形A5C是“僖长三角形"，，A5=2X3=6或A5=|X3=L5.

若AB=6,则△ABC的三边长分别是6,6,3,符合题意，•■•腰AB的长为6;

若A5=L5,则△△5c的三边长分别是1.5,1.5,3.

又,.•1.5+1.5=3,，此时不能构成三角形，.•.这种情况不存在.

综上所述，腰AB的长为6.

13.[2024•绍兴模拟]如图，在锐角三角形A3C中，AB=AC,点。在A3上，DELAC^AC^

点E,连结CD,/CDE=/B.

【特例探索】(1)如图1,若NA=60。，求NACD的度数.

【类比迁移】(2)如图2,若NA=a,求NACD的度数(用含a的代数式表示).

【拓展提升】(3)在图2中，猜想3。与AE的数量关系，并给出证明.

图1图2

第13题图

1?:(1)VAB=ACZA=60°,

.'.△ABC是等边三角形，

：.ZB=ZACB=60°.

,:DELAC,ZCED=90°.

VZCDE=ZB=60°,

：.ZACD=90°-60°=30°.

(2)'：AB=AC,ZA=a,

.•.加皿6=卞=".

'：DE±AC,/.ZCED=90°.

VZCDE=ZB=9O0--,

2

/.Z4C