多选题加练(六)　数　列

多选题加练(六)数列1.(2024·温州模拟)Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则()A.a＋c＝0B.b是数列{an}的公比C.ac<0D.{an}可能为常数列答案ABC解析设等比数列{an}的公比为q.当q＝1时，Sn＝na1，显然是一次函数，不是常数函数形式，故不满足，所以D错误；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，所以c＝eq\f(a1,1－q)，a＝－eq\f(a1,1－q)，b＝q，即a＋c＝0，ac＝－eq\f(aeq\o\al(2,1),（1－q）2)<0，所以A，B，C正确.2.(2024·岳阳模拟)已知各项均为正数的等差数列{an}，且an＋1>an，则()A.a3＋a7＝a4＋a6B.a3·a7>a4·a6C.数列{a2n＋1}是等差数列D.数列{a2n}是等比数列答案AC解析设等差数列{an}的公差为d(d>0)，对于A，由等差数列性质可得a3＋a7＝a4＋a6，故A正确；对于B，a4·a6－a3·a7＝(a1＋3d)·(a1＋5d)－(a1＋2d)·(a1＋6d)＝3d2>0，则a3·a7<a4·a6，故B错误；对于C，因为a2n＋1－a2n－1＝2d，则数列{a2n＋1}是等差数列，故C正确；对于D，如数列{an}为1，2，3，4，5，6，…，显然数列{a2n}不是等比数列，故D错误.3.(2024·盐城模拟)已知数列{an}对任意的整数n≥3，都有n2an－2an＋2＝(n2－4)aeq\o\al(2,n)，则下列说法中正确的有()A.若a2＝2，a4＝2，则a6＝2B.若a1＝1，a3＝3，则a2n＋1＝2n＋1(n∈N)C.数列{an}可以是等差数列D.数列{an}可以是等比数列答案BC解析若a2＝2，a4＝2，当n＝4时，16a2a6＝12aeq\o\al(2,4)，解得a6＝eq\f(3,2)，故A错误；若a1＝1，a3＝3，当n＝3时，9a1a5＝5aeq\o\al(2,3)，解得a5＝5，当n＝5时，25a3a7＝21aeq\o\al(2,5)，解得a7＝7，…，根据推递关系可知，当n为奇数，即n＝2n＋1时，a2n＋1＝2n＋1(n∈N)，故B正确；若an＝n，则n2(n－2)(n＋2)＝(n2－4)n2成立，故数列{an}可以是等差数列，即C正确；若数列{an}是等比数列，假设公比为q，则由n2an－2an＋2＝(n2－4)aeq\o\al(2,n)，得(n＋1)2an－1an＋3＝[(n＋1)2－4]aeq\o\al(2,n＋1)，两式相除得，eq\f(（n＋1）2,n2)eq\f(an－1,an－2)eq\f(an＋3,an＋2)＝eq\f([（n＋1）2－4],[n2－4])eq\f(aeq\o\al(2,n＋1),aeq\o\al(2,n))，即eq\f(（n＋1）2,n2)q2＝eq\f(（n＋1）2－4,n2－4)q2，解得n＝－eq\f(1,2)，不符合题意，故D错误.4.(2024·武汉模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是()A.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＋a8＝2a6恒成立B.若数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6，…为等差数列C.若数列{an}为等比数列，则a3＝7，S3＝21，则a4＝－eq\f(7,2)D.若数列{an}为等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列答案BD解析若数列{an}为等差数列，不妨设其公差为d，则a1＋a3＋a8＝3a1＋9d，2a6＝2a1＋10d，显然当a1＝d才相等，故A错误；(S6－S3)－S3＝9d＝(S9－S6)－(S6－S3)，故B正确；若数列{an}为等比数列，且a3＝7，S3＝21，设其公比为q，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,a1（1＋q＋q2）＝21，))作商可得q＝1或q＝－eq\f(1,2)，所以a4＝7或a4＝－eq\f(7,2)，故C错误；由题意得{an}各项均不为0，可得(S6－S3)÷S3＝q3＝(S9－S6)÷(S6－S3)，故D正确.5.(2024·广州调研)设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)(n≥2，n∈N*)，若S1＝－50，则下列结论正确的有()A.a5>0B.数列{an}单调递减C.当n＝4时，Sn取得最小值D.Sn>0时，n的最小值为7答案AC解析由nSn＝(n＋1)Sn－1＋(n－1)n(n＋1)(n≥2，n∈N*)，得eq\f(Sn,n＋1)－eq\f(Sn－1,n)＝n－1，eq\f(Sn,n＋1)＝eq\f(S2,3)－eq\f(S1,2)＋eq\f(S3,4)－eq\f(S2,3)＋…＋eq\f(Sn,n＋1)－eq\f(Sn－1,n)＋eq\f(S1,2)＝1＋2＋…＋(n－1)－eq\f(50,2)，解得2Sn＝n3－51n－50(n≥2，n∈N*)，当n＝1时，S1＝－50满足上式，所以Sn＝eq\f(n3－51n－50,2)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(3n2－3n－50,2)，所以a5＝eq\f(3×52－3×5－50,2)＝5>0，故A正确；当n≥2时，an＝eq\f(3n2－3n－50,2)单调递增，又a1＝－50，a2＝－22，所以数列{an}单调递增，且a1<a2<a3<a4<0<a5<a6<…，所以当n≤4时，{Sn}单调递减，当n≥5时，{Sn}单调递增，且S4<S5，所以当n＝4时，Sn取得最小值，故B错误，C正确；又S7＝eq\f(73－51×7－50,2)＝－32<0，S8＝eq\f(83－51×8－50,2)＝27>0，故D错误.6.(2024·锦州模拟)如果有限数列{an}满足ai＝an－i＋1(i＝1，2，…，n)，则称其为“对称数列”，设{bn}是项数为2k－1(k∈N*)的“对称数列”，其中bk，bk＋1，…，b2k－1是首项为50，公差为－4的等差数列，则()A.若k＝10，则b1＝10B.若k＝10，则{bn}所有项的和为590C.若k＝13，则{bn}所有项的和最大D.{bn}所有项的和可能为0答案BC解析∵{bn}是项数为2k－1(k∈N＋)的对称数列，∴b1＝b2k－1，b2＝b2k－2，…，bk－1＝bk＋1，{bn}的和S2k－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50k－\f(k（k－1）,2)×4))×2－50＝－4k2＋104k－50＝－4(k－13)2＋626，对于A，k＝10，则b1＝b19＝50－4×9＝14，错误；对于B，k＝10，则所有项的和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50×10－\f(10×9,2)×4))×2－50＝590，正确；对于C，{bn}的和S2k－1＝－4(k－13)2＋626，当k＝13时，和最大，正确；对于D，S2k－1＝－4k2＋104k－50＝0，方程无正整数解，错误.7.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2，则()A.S4＝S7B.当n＝5或6时，Sn取得最小值为30C.数列{|an|}的前10项和为50D.当n≤2023时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N*)共有671项互为相反数答案AC解析因为a1＝10，d＝－2，所以an＝10－2(n－1)＝－2n＋12，Sn＝eq\f(n（10－2n＋12）,2)＝－n2＋11n，所以S4＝－16＋44＝28，S7＝－49＋77＝28，所以A正确；因为Sn＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(121,4)，根据二次函数的对称性及开口向下可知，Sn取得最大值为S5＝S6＝eq\f(121,4)－eq\f(1,4)＝30，故B错误；记{|an|}的前10项和为T10，因为an＝－2n＋12，当an＝－2n＋12≥0时，解得n≤6，当an＝－2n＋12<0时，解得n>6，所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10，因为Sn＝－n2＋11n，所以S10＝10，所以T10＝2×30－10＝50，故C正确；记bm＝3m＋10，因为an＝－2n＋12，n≤2023，所以a2023＝－4034，所以当n≤2023时，an≥－4034，由an＝－2n＋12，n≤2023，可知an为偶数，若bm与an互为相反数，则bm≤4034，且bm为偶数，由bm＝3m＋10，所以bm－10为偶数，即3m为偶数，即m为偶数，即3m≤4024，即m≤eq\f(4024,3)，且m为偶数，所以m≤1341，且为偶数，故这样的m有670个，故D错误.8.(2024·威海模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.设λ与k是常数，若对任意n∈N＋，均有成立，则称此数列为“λ－k”数列.若数列{an}是“eq\f(\r(2),2)－2”数列，且an>0，则()A.Sn＝9n－1B.{an}为等比数列C.{Sn－an}的前n项和为eq\f(9n－1－1,8)D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))为等差数列答案AC解析由条件可知，λ＝eq\f(\r(2),2)，k＝2，则eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝eq\f(\r(2),2)eq\r(an＋1)＝eq\f(\r(2),2)eq\r(Sn＋1－Sn)，两边平方后，整理得Sn＋1－4eq\r(Sn＋1Sn)＋3Sn＝0，即(eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn))(eq\r(Sn＋1)－3eq\r(Sn))＝0，得eq\r(Sn＋1)＝eq\r(Sn)或eq\r(Sn＋1)＝3eq\r(Sn)，若eq\r(Sn＋1)＝eq\r(Sn)，则Sn＋1＝Sn，则an＋1＝0，这与an>0矛盾，所以不成立，若eq\r(Sn＋1)＝3eq\r(Sn)，则Sn＋1＝9Sn，S1＝a1＝1，所以数列{Sn}是首项为1，公比为9的等比数列，即Sn＝9n－1，故A正确；由Sn＋1＝9Sn可得Sn＝9Sn－1(n≥2)，两式相减得，an＋1＝9an，并且n＝1时，S2＝9S1，即a1＋a2＝9a1，得a2＝8，那么eq\f(a2,a1)＝8≠9，所以{an}不是等比数列，故B错误；an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,8·9n－2，n≥2，))当n＝1时，S1－a1＝0，当n≥2时，设数列{Sn－an}的前n项和为Tn，则Tn＝(S1－a1)＋(S2－a2)＋…＋(Sn－an)＝(S1＋S2＋…＋Sn)－(a1＋a2＋…＋an)＝eq\f(1－9n,1－9)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(8×（1－9n－1）,1－9)))＝eq\f(9n－1－1,8)，当n＝1时，T1＝0成立，故Tn＝eq\f(9n－1－1,8)，故C正确；eq\f(S1,a1)＝1，eq\f(S2,a2)＝eq\f(9,8)，eq\f(S3,a3)＝eq\f(9,8)，eq\f(S1,a1)＋eq\f(S3,a3)≠2eq\f(S2,a2)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))不是等差数列，故D错误.9.(2024·唐山模拟)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则()A.Mn＝eq\f(\r(3),4)aeq\o\al(2,n)B.aeq\o\al(2,4)＝a3a5C.a1＋a2＋…＋an＝2－22－nD.M1＋M2＋…＋Mn<eq\f(\r(3),3)答案ABD解析显然△AnBnCn是正三角形，因此Mn＝eq\f(\r(3),4)aeq\o\al(2,n)，A正确；由中位线性质易得an＝eq\f(1,2)an－1，即{an}是等比数列，公比为eq\f(1,2)，因此aeq\o\al(2,4)＝a3a5，B正确；a1＝eq\f(1,2)AB＝1，a1＋a2＋…＋an＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＝2－21－n，C错误；M1＝eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4)，{an}是等比数列，公比为eq\f(1,2)，则{Mn}也是等比数列，公比是eq\f(1,4)，M1＋M2＋…＋Mn＝eq\f(\f(\r(3),4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(n))),1－\f(1,4))＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))<eq\f(\r(3),3)，D正确.10.(2024·漳州模拟)已知数列{an}是首项为eq\f(1,2)的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4a3eq\o(OC,\s\up6(→))，则()A.a3＝2a2B.数列{bn}的前6项和为eq\f(63,64)C.数列{log2an}是递减的等差数列D.若bn＝eq\f(1,log2an·log2an＋1)，则数列{bn}的前n项和的最大值为1