2025版高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件与古典概型分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第4讲随机事务与古典概型1．设事务A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，则A，B之间的关系肯定为()A．两个随意事务 B．互斥事务C．非互斥事务 D．对立事务解析：选B.因为P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＝eq\f(8,15)＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系肯定为互斥事务．故选B.2．(2024·安徽“江南十校”联考)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：选D.令选取的a，b组成实数对(a，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15种状况，其中b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)3种状况，所以b>a的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故选D.3．(2024·沈阳市教学质量检测(一))将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：选B.A，B，C，D4名同学排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法．所以所求概率为eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4)，故选B.4．满意a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的概率为()A.eq\f(7,12) B.eq\f(11,12)C.eq\f(11,16) D.eq\f(13,16)解析：选D.满意条件的方程共有4×4＝16个，即基本领件共有16个．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时共组成四个不同的方程，且都有实数解；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13.因此，所求的概率为eq\f(13,16).5．(2024·福建省一般中学质量检查)某食品厂制作了3种与“福”字有关的精致卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为()A.eq\f(3,16) B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,8) D.eq\f(8,9)解析：选B.将3种不同的精致卡片随机放进4个食品袋中，依据分步乘法计数原理可知共有34＝81种不同放法，4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×Ceq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(2,2)＝36种，依据古典概型概率公式得，能获奖的概率为eq\f(36,81)＝eq\f(4,9)，故选B.6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则eq\f(0.42,21)＝eq\f(0.3,n)，故n＝15.答案：157．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采纳随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321421191925271932800478589663531297396021546388230113507965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．解析：由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6组随机数，所以所求概率为eq\f(6,20)＝0.30.答案：0.308．如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,1×2×3)＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)9．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)求x，y的值；(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.(2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟．A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟．A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．将频率视为概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)＝0.3，所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.10．(2024·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；(ii)设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．(ii)由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).1．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选A.不妨设取出的三个数为x，y，z(x<y<z)，要满意x＋y＝z，共有20种结果，从十个数中取三个数共有Ceq\o\al(3,10)种结果，故所求概率为eq\f(20,Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6).2．已知函数f(x)＝logax－3loga2，a∈{eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，2，4，5，8，9}，则f(3a＋2)>f(2a)>0的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(3,7)C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,7)解析：选B.因为a∈{eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，2，4，5，8，9}，所以3a＋2>2a，又f(3a＋2)>f(2a)>0，所以函数f(x)为单调递增函数．因为f(x)＝logax－3loga2＝logaeq\f(x,8)，所以a>1，又f(2a)>0，所以logaeq\f(2a,8)>0，所以eq\f(2a,8)>1，即a>4，则f(3a＋2)>f(2a)>0的概率P＝eq\f(3,7).故选B.3．某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e>eq\r(5)的概率是________．解析：由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.当a＝1时，b＝3，4，5，6四种状况；当a＝2时，b＝5，6两种状况，总共有6种状况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．所以所求事务的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)4．连续抛掷同一颗匀称的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．解析：连续抛掷同一颗匀称的骰子3次，所含基本领件总数n＝6×6×6，要使a1＋a2＋a3＝6，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种状况，其所含的基本领件个数m＝Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)＋1＝10.故幸运数字为3的概率为P＝eq\f(10,6×6×6)＝eq\f(5,108).答案：eq\f(5,108)5．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A，B两组，每组4支，求：(1)A，B两组中有一组恰好有2支弱队的概率；(2)A组中至少有2支弱队的概率．解：(1)法一：3支弱队在同一组中的概率为eq\f(Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(4,8))×2＝eq\f(1,7)，故有一组恰好有2支弱队的概率为1－eq\f(1,7)＝eq\f(6,7).法二：A组恰有2支弱队的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))，B组恰好有2支弱队的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))，所以有一组恰好有2支弱队的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))＋eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(6,7).(2)法一：A组中至少有2支弱队的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(4,8))＋eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(4,8))＝eq\f(1,2).法二：A，B两组有一组中至少有2支弱队的概率为1(因为此事务为必定事务)．由于对A组和B组而言，至少有2支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有2支弱队的概率为eq\f(1,2).6．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参与A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参与A岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参与A岗位服务”为事务EA，那么P(EA)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,40)，即甲、乙两人同时参与A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)记“甲、乙两人