2025版高考数学大一轮复习第六章数列1第1讲数列的概念与简单表示法新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第1讲数列的概念与简洁表示法[基础题组练]1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则()A．3不是数列{an}的项B．3只是数列{an}的第2项C．3只是数列{an}的第6项D．3是数列{an}的第2项和第6项解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3.整理，得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.故选D.2．已知数列{an}的前n项和Sn满意log2(Sn＋1)＝n，则an＝()A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n，n≥2)) B．2nC．2n－1 D．2n－1－1解析：选C.log2(Sn＋1)＝n⇒Sn＋1＝2n.所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝2－1＝1，适合an(n≥2)，因此an＝2n－1.故选C.3．(2024·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()A.eq\f(17,6)升 B.eq\f(7,2)升C.eq\f(113,66)升 D.eq\f(109,33)升解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝eq\f(3,2)＋eq\f(4,3)＝eq\f(17,6).选A.4．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.“|an＋1|>an”⇔an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.5．数列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的一个通项公式an＝________．解析：由已知得，数列可写成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通项公式可以为eq\f(n,2n－1).答案：eq\f(n,2n－1)6．若数列{an}满意a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，当n＝1时，a1＝6；当n≥2时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1·a2·a3·…·an－1·an＝（n＋1）（n＋2），,a1·a2·a3·…·an－1＝n（n＋1），))故当n≥2时，an＝eq\f(n＋2,n)，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*.))答案：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*))7．已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2×3n－1＋2，n≥2.))8．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满意Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an，①当n≥2时，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.[综合题组练]1．(2024·广东惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则eq\f(S6,a6)＝()A.eq\f(63,32) B.eq\f(31,16)C.eq\f(123,64) D.eq\f(127,128)解析：选A.因为Sn＝2an－1，所以n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化为an＝2an－1.所以数列{an}是等比数列，公比为2.所以a6＝25＝32，S6＝eq\f(26－1,2－1)＝63，则eq\f(S6,a6)＝eq\f(63,32).故选A.2．(创新型)(2024·德阳诊断)若存在常数k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得无穷数列{an}满意an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋d，\f(n,k)∉N*，,qan，\f(n,k)∈N*，))则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”，若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，则b2016＝()A．3 B．4C．5 D．6解析：选D.因为{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，所以b2014＝0×b2013＝0，所以b2015＝b2014＋3＝3，所以b2016＝b2015＋3＝6.故选D.3．若数列{an}满意an＝eq\f(n＋3,n＋2)，则该数列落入区间(eq\f(13,12)，eq\f(5,4))内的项数为________．解析：由eq\f(13,12)<eq\f(n＋3,n＋2)<eq\f(5,4)得，eq\f(13,12)<1＋eq\f(1,n＋2)<eq\f(5,4)，即eq\f(1,12)<eq\f(1,n＋2)<eq\f(1,4)，4<n＋2<12，2<n<10，明显，落入区间(eq\f(13,12)，eq\f(5,4))内的项数为7.答案：74．(综合型)(2024·临汾期末)已知数列{xn}的各项均为正整数，且满意xn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xn,2)，xn为偶数，,xn＋1，xn为奇数，))n∈N*.若x3＋x4＝3，则x1全部可能取值的集合为________．解析：由题意得x3＝1，x4＝2或x3＝2，x4＝1.当x3＝1时，x2＝2，从而x1＝1或4；当x3＝2时，x2＝1或4，因此当x2＝1时，x1＝2，当x2＝4时，x1＝8或3.综上，x1全部可能取值的集合为{1，2，3，4，8}．答案：{1，2，3，4，8}5．(2024·山东青岛调研)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}为等差数列，Tn为其前n项和，b2＝a5，b11＝S3，求Tn的最值．解：(1)由Sn＝3×2n－3，n∈N*，得(ⅰ)当n＝1时，a1＝S1＝3×21－3＝3.(ⅱ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3×2n－3)－(3×2n－1－3)＝3×(2n－2n－1)＝3×2n－1(*)．又当n＝1时，a1＝3也满意(*)式．所以，对随意n∈N*，都有an＝3×2n－1.(2)设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，由(1)得b2＝a5＝3×25－1＝48，b11＝S3＝3×23－3＝21.由等差数列的通项公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝b1＋d＝48，,b11＝b1＋10d＝21，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝51，,d＝－3.))所以bn＝54－3n.可以看出bn随着n的增大而减小，令bn≥0，解得n≤18，所以Tn有最大值，无最小值，且T18(或T17)为前n项和Tn的最大值，T18＝eq\f(18（b1＋b18）,2)＝9×(51＋0)＝459.6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n