2025年禹州一模数学试题及答案

禹州一模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共30分）

1.已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列说法正确的是（）

A.a>0，b>0，c>0

B.a>0，b<0，c<0

C.a<0，b>0，c>0

D.a<0，b<0，c<0

2.在直角坐标系中，点A（-1，2）关于直线y=x的对称点为B，则直线AB的斜率为（）

A.-1

B.1

C.2

D.-2

3.已知等差数列{an}的公差为d，且a1+a5=8，a3+a7=16，则d的值为（）

A.2

B.4

C.6

D.8

4.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，则sinB：sinC的值为（）

A.1：2

B.2：1

C.1：√3

D.√3：1

5.已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在x=1处取得极值，则f(1)的值为（）

A.-2

B.0

C.2

D.3

二、填空题（每题5分，共25分）

6.已知等比数列{an}的公比为q，且a1=1，a3=8，则q的值为______。

7.在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点为Q，则点Q的坐标为______。

8.已知函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=1处取得极值，则f(1)的值为______。

9.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，则cosA的值为______。

10.已知等差数列{an}的公差为d，且a1+a5=8，a3+a7=16，则d的值为______。

三、解答题（每题15分，共45分）

11.（1）已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的对称轴方程。

（2）若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），求a、b、c的值。

12.（1）已知等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a3=8，求d的值。

（2）已知等比数列{bn}的公比为q，且b1=2，b3=32，求q的值。

13.（1）在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点为Q，求直线PQ的方程。

（2）已知函数f(x)=2x^2-3x+1，若f(x)在x=1处取得极值，求f(1)的值。

四、解答题（每题15分，共45分）

14.（1）已知正方体的边长为a，求证：对角线长为√3a。

（2）若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，求证：an=a1+(n-1)d。

15.（1）已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，求证：bn=b1*q^(n-1)。

（2）若函数f(x)=x^3-3x+1，求证：f(x)在区间（-∞，+∞）内单调递增。

16.（1）在直角坐标系中，已知点A（1，2）和点B（4，5），求证：线段AB的中点坐标为（2.5，3.5）。

（2）已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(x)在x=1处取得极值，求证：f(1)=a+b+c。

五、计算题（每题10分，共20分）

17.计算下列各式的值：

（1）(3^4)^2

（2）(a^2*b^3)^3/(a^4*b^6)

18.计算下列各式的值：

（1）sin(45°)+cos(45°)

（2）(sin^2(60°)+cos^2(60°))^3

六、综合题（每题20分，共40分）

19.（1）已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），求f(x)的解析式。

（2）若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1+a5=8，a3+a7=16，求等差数列{an}的前10项和。

20.（1）在直角坐标系中，已知点A（1，2）和点B（4，5），求直线AB的斜率和截距。

（2）若函数f(x)=2x^2-3x+1，求函数f(x)的导数f'(x)，并求f'(x)的零点。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B.a>0，b<0，c<0

解析思路：二次函数开口向上，a>0，顶点坐标为（1，-2），根据顶点公式b=-2a，c=-a。

2.B.1

解析思路：点A（-1，2）关于直线y=x对称，则B点坐标为（2，-1），斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=(2-(-1))/(-1-2)=1。

3.B.4

解析思路：由等差数列的性质，a3=a1+2d，a7=a1+6d，联立a1+a5=8，a3+a7=16，解得d=4。

4.D.√3：1

解析思路：由三角形内角和公式，∠C=180°-∠A-∠B，代入∠A=60°，∠B=45°，解得∠C=75°。由正弦定理，sinB/sinC=b/c=a/c，即sinB：sinC=√3：1。

5.B.0

解析思路：函数f(x)在x=1处取得极值，f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=0。

二、填空题

6.2

解析思路：由等比数列的性质，a3=a1*q^2，a1=1，a3=8，解得q=2。

7.（2，-3）

解析思路：点P（-2，3）关于y轴对称，则点Q的x坐标为-(-2)=2，y坐标不变，即Q（2，-3）。

8.0

解析思路：函数f(x)在x=1处取得极值，f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=0。

9.√3/2

解析思路：由正弦定理，sinA/a=sinC/c，代入∠A=60°，∠C=75°，解得sinA=√3/2。

10.4

解析思路：由等差数列的性质，a3=a1+2d，a7=a1+6d，联立a1+a5=8，a3+a7=16，解得d=4。

三、解答题

11.（1）对称轴方程为x=2。

解析思路：二次函数的对称轴为x=-b/2a，代入b=-4，a=1，解得x=2。

（2）a=1，b=-4，c=-2。

解析思路：由顶点公式，b=-2a，c=-a，代入顶点坐标（1，-2），解得a=1，b=-4，c=-2。

12.（1）d=4。

解析思路：由等差数列的性质，a3=a1+2d，a7=a1+6d，联立a1+a5=8，a3+a7=16，解得d=4。

（2）q=2。

解析思路：由等比数列的性质，b3=b1*q^2，b1=2，b3=32，解得q=2。

13.（1）直线PQ的方程为x+y=0。

解析思路：点P（-2，3）关于y轴对称，则点Q的x坐标为-(-2)=2，y坐标不变，即Q（2，-3）。由两点式方程，得x+y=0。

（2）f(1)=0。

解析思路：函数f(x)在x=1处取得极值，f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=0。

四、解答题

14.（1）对角线长为√3a。

解析思路：正方体的对角线长等于边长的√2倍，而√2^2=2，√3^2=3，所以对角线长为√3a。

（2）an=a1+(n-1)d。

解析思路：由等差数列的定义，an=a1+(n-1)d，其中d为公差。

15.（1）bn=b1*q^(n-1)。

解析思路：由等比数列的定义，bn=b1*q^(n-1)，其中q为公比。

（2）f(x)在区间（-∞，+∞）内单调递增。

解析思路：函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-3，导数大于0时，函数单调递增，即3x^2-3>0，解得x>1或x<-1，所以在区间（-∞，+∞）内单调递增。

16.（1）线段AB的中点坐标为（2.5，3.5）。

解析思路：由中点公式，x坐标为(1+4)/2=2.5，y坐标为(2+5)/2=3.5。

（2）f(1)=a+b+c。

解析思路：函数f(x)在x=1处取得极值，f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=1，代入f(x)，得f(1)=a+b+c。

五、计算题

17.（1）(3^4)^2=81^2=6561。

解析思路：幂的乘方，底数相同，指数相乘。

（2）(a^2*b^3)^3/(a^4*b^