初中数学 第五章 相交线与平行线知识点 典型题（附解析）

初中数学第五章相交线与平行线知识点-+典型题附解析

一、选择题

1.如图，直线a,b被直线c所截，且2〃必若N1=55。，则N2等于（）

2.如图，直角三角形ABC的直角边AB=6,BC=8,将直角三角形ABC沿边BC的方向平移

到三角形OEF的位置，0E交AC于点G,BE=2,三角形CEG的面积为13.5,下列结论：①

三角形ABC平移的距离是4；②EG=4.5；③AD//CF；④四边形AOFC的面积为6.其中正确

的结论是

C.③④D.②④

3.如图，在△ABC中，EF//BC,ED平分NBEF,且NDEF=70°,则的度数

为（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

4.如图，已知AB〃CD,EF〃CD,则下列结论中一定正确的是（）

A.NBCD=/DCE;B.ZABC+ZBCE+ZCEF=360°;

C.ZBCE+ZDCE=ZABC+ZBCD;D.ZABC+ZBCE-ZCEF=180°.

5.下列说法中正确的是（）

A.两条射线组成的图形叫做角

B.小于平角的角可分为锐角和钝角两类

C.射线就是直线

D.两点之间的所有连线中，线段最短

6.如下图，在下列条件中，能判定AB〃CD的是()

A.Z1=Z3B.Z2=Z3C.Z1=Z4D.Z3=Z4

7.下列语句是命题的是()

(1)两点之间，线段最短；(2)如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；(3)请

画出两条互相平行的直线；(4)一个锐角与一个钝角互补吗？

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)

8.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是

()

已知：如图，ZBEC=ZB+ZC,求证：

AB//CD

A

证明：延长BE交X于点F,则NBEC=

_O_+ZC

又：NBEC=/B+/C,

D

NB=▲

・・・AB〃CD(—□—相等，两直线平行)

A.。代表NFECB.口代表同位角C.▲代表NEFCD.※代表AB

9.下列各命题中，属于假命题的是()

A.若贝!IB.若a—Z?=0,则MNO

c.若a-Z><0,贝UaV/?D.若。一万。0,贝UabwO

10.如图，给出下列条件：(1)Z1=Z2：@Z3=Z4：@AB//CE,且/A0C=N8：

@AB//CE,且/BCD=/BAD.其中能推出BC〃/W的条件为()

C.②③D.②③④

二、填空题

11.如图，ABHCD,G尸与AB相交于点“，与CD于F,FE平分NHFD，若

/EHF=50。，则NHFE的度数为

12.一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点3,。重合，若固定三角形将三角

形ACD绕点A顺时针旋转一周，共有次出现三角形ACD的一边与三角形

AOB的某一边平行.

13.设。、b、c为平面上三条不同直线，

(1)若//C,则。与c的位置关系是；

(2)若。，。/，。，则a与c的位置关系是；

(3)若a//b.blc,则a与c的位置关系是.

14.如图，把直角梯形ABC。沿A。方向平移到梯形EEG",HG=28cm,

MG=5cm,MC=4cm,则阴影部分的面积是—

15.如图，直线a〃匕〃c,直角NBAC的顶点A在直线b上，两边分别与直线a,c相交于

点B,C,则N1+N2的度数是.

16.如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么/a等于.

17.如图，AB//CD,ZB=75°,Z£=27°,则/。的度数为

D

B

18.如图，AD/7BC,ZD=100°,CA平分/BCD,贝!J/DAC二

R4------------------------------------------4c

19.如图，CB//OA,ZB=ZA=100°,E、F在CB上，且满足NFOC=NAOC,OE平分

ZBOF,若平行移动AC,当NOCA的度数为时，可以使NOEB=NOCA.

BJF

0A

20.如图，直线a////c,直角三角板的直角顶点落在直线6上，若4=35°,则N2等

于.

三、解答题

21.（感知）如图①，AB〃CD,点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE,试说明

/BAE+NDCE=/AEC；

（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明/AEC+/BAE+NDCE=360。；

（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG,其他条件不变，如图

③，若NEFG=36°,贝!]NBAE+/AEF+NFGC+/DCG=°.

ABABAB

CD

图①图③

22.已知：直线/分别交AB、C。与E、F两点，且

（1）说明：Z1=Z2；

（2）如图2,点、M、N在AB、CD之间，且在直线/左侧，若NEMN+NFNM=26Q°,

①求：ZAEM+ZCFN的度数；

②如图3,若EP平分NAEM,FP平分NCFN,求NP的度数；

（3）如图4,N2=80。，点G在射线EB上，点”在AB上方的直线/上，点Q是平面内一

点，连接QG、QH,若NAGQ=18°,NFHQ=24°,直接写出NGQH的度数.

23.问题情境：如图1,AB\\CD,ZPA5=130°，ZPCD=120°.求NAPC度数.

小明的思路是：如图2,过p作通过平行线性质，可得

ZAPC=500+60°=110°.

问题迁移：

（1）如图3,AD||5C,点尸在射线OM上运动，当点尸在A、B两点之间运动

时，ZADP=Za,ZBCP=ZjS./CPD、Na、之间有何数量关系?请说明

理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点尸与点A、B、

O三点不重合）,请你直接写出ZCPD、Na、N/间的数量关系.

24.问题情境：如图1,AB//CD,ZPAB=130°,4CD=120°,求NAPC的度

数.

BBM

图i图203

小明的思路是：如图2,过尸作PE〃A3,通过平行线性质，可得NAPC=.

问题迁移：如图3,A£>〃BC,点P在射线31上运动，ZADP=Za,

ABCP=Z/3.

（1）当点尸在A、3两点之间运动时，NCPD、Na、4之间有何数量关系？请说明

理由.

（2）如果点P在A、5两点外侧运动时（点尸与点A、B、。三点不重合），请你直接

写出NCPD、Na、”之间有何数量关系.

25.将一副三角板中的两个直角顶点。叠放在一起（如图①），其中NA=30°,

ZB=60°,ND=NE=45°.

（1）猜想N6CD与NACE的数量关系，并说明理由；

（2）若NBCD=3NACE,求/BCD的度数；

（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点。转动三角。CE,试探究NBCD等于多少度时

CE//AB,并简要说明理由.

26.如图1,已知直线PQ〃/WN,点A在直线PQ上，点C、。在直线MN上，连接AC、

AD,ZPAC=50°,ZADC=30a,AE平分CE平分NACD,AE与CE相交于E.

（1）求/AEC的度数；

（2）若将图1中的线段A。沿MN向右平移到如图2所示位置，此时4E平分

ZAAID-L,CE平分/AC。I，4E与CE相交于E,ZPAC^50°,N4DiC=30°,求N&EC

的度数.

（3）若将图1中的线段A。沿MN向左平移到4。1如图3所示位置，其他条件与（2）相

同，求此时N4EC的度数.

AAA,

Oop&乂o

McNMcNM~c

图1图2图3

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.C

解析：C

【解析】

试题分析：根据图示可得：N1和N2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：

Z2=Z1=55°.

考点：平行线的性质

2.B

解析：B

【解析】

分析：（1）对应线段的长度即是平移的距离；⑵根据EC的长和4CEG的面积求EG；⑶平移

前后，对应点的连线平行且相等；⑷根据平行四边形的面积公式求.

详解：（1）因为点B,E是对应点，且8£=2,所以△ABC平行的距离是2,则①错误；

②根据题意得，13.5x2=（8-2）EG,解得EG=4.5,则②正确；

③因为A,。是对应点，C,F是对应点，所以ADUCF,则③正确；

④平行四边形ADFC的面积为AB-CF=AB-BE=6x2=12,则④错误.

故选8.

点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的

形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，

对应角相等；对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等.

3.D

解析：D

【分析】

由角平分线的定义求出NBEF=140°,再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”

求出/B的度数即可.

【详解】

；ED平分NBEF,且见F=70°,

ZDEB=76。

：.ZBEF=2x70°=140°

•/EFUBC

/.ZB+ZBEF=18Q°

：.ZB=180°—ZBEF=180°-140°=40°

故选D

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用

4.D

解析：D

【解析】

分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.

详解：延长DC到H

­,'ABIICD,EFIICD

ZABC+ZBCH=180"

ZABC=NBCD

ZCE+ZDCE=180°

ZECH=NFEC

ZABC+ZBCE+ZCEF=180°+ZFEC

ZABC+ZBCE-ZCEF=ZABC+ZBCH+ZECH-ZCEF=180°.

故选D.

点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相

等，同旁内角互补，同位角相等.

5.D

解析：D

【解析】根据真假命题的概念，可知：

A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；

B、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误.

C、射线是直线的一部分，选项错误；

D、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；

故选：D.

6.C

解析：c

【解析】

根据平行线的判定，可由N2=Z3,根据内错角相等，两直线平行，得到ADUBC,由

Z1=Z4,得至I]ABHCD.

故选C.

7.A

解析:A

【分析】

根据命题的定义对四句话进行判断.

【详解】

解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；

（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；

（3）请画出两条互相平行的直线，它不是命题；

（4）一个锐角与一个钝角互补吗？，它不是命题.

所以，是命题的为（1）（2）,

故选：A.

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两

部分组成，题设是己知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那

么…形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

8.C

解析：c

【分析】

延长BE交CD于点F,利用三角形外角的性质可得出NBEC=NEFC+/C,结合/BEC=

NB+NC可得出NB=NEFC,利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB〃CD,找出各符号

代表的含义，再对照四个选项即可得出结论.

【详解】

证明：延长BE交CD于点F,则

NBEC=/EFC+NC.

又：/BEC=/B+/C,

；./B=NEFC,

...AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.

※代表CD,。代表NEFC,▲代表/EFC,□代表内错角.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出/B=NEFC

是解题的关键.

9.D

解析：D

【分析】

根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可.

【详解】

A、正确，符合不等式的性质；

B、正确，符合不等式的性质.

C、正确，符合不等式的性质；

D、错误，例如a=2,b=0；

故选D.

【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大.

10.D

解析：D

【分析】

根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案.

【详解】

解：①

，AB〃CD,不符合题意；

②：/3=/4,

；.BC〃AD,符合题意；

③：AB〃CD,

/.ZB+ZBCD=180°,

VZADC=ZB,

.•.ZADC+ZBCD=180°,由同旁内角互补，两直线平行可得BC〃AD,故符合题意；

④；AB〃CE,

.•.ZB+ZBCD=180°,

VZBCD=ZBAD,

.1.ZB+ZBAD=180°,由同旁内角互补，两直线平行可得BC〃AD,故符合题意；

故能推出BC/7AD的条件为②③④.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行.内错角相

等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.

二、填空题

11.65°

【分析】

由AB〃CD可得NHFD=130°,再由FE平分NHFD可求出NHFE.

【详解】

ZEHF+ZHFD=180°

:.ZHFD=130°

•••平分，

ZHFE=ZHFD=

解析：65°

【分析】

由AB〃CD可得/HFD=130°,再由FE平分/HFD可求出/HFE.

【详解】

VAB//CD

.•.ZEHF+ZHFD=180°

NEHF=50。

.•.ZHFD=130°

•/FE平分/HFD，

.•.ZHFE=—ZHFD=-X130°=65°

22

故答案为：65°.

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线

的定义是解题的关键.

12.【分析】

要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的

关系，再计算.

【详解】

解：分8种情况讨论：

(1)如图1,AD边与0B边平行时，ZBAD=45°；

(2)如图2,

解析：8

【分析】

要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计

算.

【详解】

解：分8种情况讨论：

(1)如图1,AD边与0B边平行时，NBAD=45°

(2)如图2,当AC边与0B平行时,ZBAD=90a+45°=135°

(3)如图3,0c边与AB边平行时，NBAD=60°+90°=150°

(4)如图4,DC边与0B边平行时，ZBAD=135C+30°=165°

(5)如图5,0c边与0B边平行时，ZBAD=45°-30°=15°

(6)如图6,0c边与边平行时，ZBAD=15°+90°=105°

(7)如图7,DC边与AB边平行时，NB/W=30°

(8)如图8,DC边与A。边平行时，NBAD=30°+45°=75°；

综上所述：的所有可能的值为：15°,30°,45°,75：105°,135°,

150°,165°.

本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键.

13.平行平行垂直

【解析】

根据平行公理的推论，可由，得出a〃c；根据垂直的性质以及平行线的判定,

可由，得到a〃c；根据，，得到a，c.

故答案为平行，平行，垂直.

点睛：由平

解析：平行平行垂直

【解析】

根据平行公理的推论，可由a//b///c,得出allc；根据垂直的性质以及平行线的判定,

可由a_L"b_Lc,得到a〃c；根据a//b,bLc,得到a_Lc.

故答案为平行，平行，垂直.

点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解(1)，因为在同一平面内，垂直

于同一条直线的两条直线互相平行，可求解(2),再根据平行线的性质可求解(3).

14.130cm2.

【分析】

根据平移的性质可知梯形EFGH咨梯形ABCD,那么GH=CD,BC=FG,观察可知梯

形EFMD是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD,再根

据梯形的面积计

解析:130cm2.

【分析】

根据平移的性质可知梯形EFGH0梯形ABCD,那么GH=CD,BC=FG,观察可知梯形EFMD

是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD,再根据梯形的面积计算

公式计算即可.

【详解】

解：•••直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，

梯形EFGH0梯形ABCD,

；.GH=CD,BC=FG,

•.•梯形EFMD是两个梯形的公共部分，

•'•S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD,

S阴影=S梯彩MGHD=-(DM+GH)»GM=—(28-4+28)x5=130(cm2).

22

故答案是130cm2.

【点睛】

本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等.

15.270°

【分析】

根据题目条件可知Nl+N3=N2+N4=180°,再结合NBAC是直角即可得出结

果.

【详解】

解：如图所示，

：a〃b,

/.Zl+Z3=180°,贝!!N3=180°-Z1,

解析：270。

【分析】

根据题目条件可知/1+/3=/2+/4=180。，再结合/BAC是直角即可得出结果.

【详解】

.•.Zl+Z3=180°,则N3=180°-Z1,

：b〃c

.•.Z2+Z4=180°,则N4=180°-Z2,

VZBAC是直角，

.•.Z3+Z4=180°-Z1+18O0-Z2,

；.90°=360°-(Z1+Z2),

.•.Zl+Z2=270°.

故答案为：270°

【点睛】

本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

16.70°.

【分析】

依据平行线的性质，可得NBAE=NDCE=140°,依据折叠即可得到Na=70°.

【详解】

解：如图，

：AB〃CD,

/.ZBAE=ZDCE=140°,

由折叠可得：，

/.Z

解析：70°.

【分析】

依据平行线的性质，可得NBAE=/DCE=140。，依据折叠即可得到Na=70。.

【详解】

解：如图，

0\尸

IA/；B

J-----------C.a............%

'JAB//CD,

：.ZBAE=ZDCE=1^0°,

由折叠可得：ZDCF=-ZDCE,

2

：.Za=70°.

故答案为：70。.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等.

17.48°

【分析】

将BE与CD交点记为点F,由两直线平行同位角相等得出NEFC度数，再利用三

角形外角的性质可得答案.

【详解】

解：如图所示，将BE与CD交点记为点F,

VAB/7CD,ZB=75°

解析：48°

【分析】

将BE与CD交点记为点F,由两直线平行同位角相等得出NEW度数，再利用三角形外角

的性质可得答案.

【详解】

解：如图所示，将8E与CD交点记为点F,

'：AB//CD,ZB=75°,

：.ZEFC=ZB=75°,

又；NEFC=/D+/E,且NE=27°,

:.ND=/EFC-NE=75。-27°=48°,

故答案为:48°.

【点睛】

本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这

一性质.

18.40°

【分析】

本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平

分线的定义进行做题.

【详解】

VAD/7BC,

/.ZBCD=180°-ZD=80°,

又：CA平分/BCD,

解析：40。

【分析】

本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义

进行做题.

【详解】

VAD/7BC,

.•.ZBCD=180°-ZD=80°,

又；CA平分/BCD,

1

；./ACB=—ZBCD=40°,

2

.•.ZDAC=ZACB=40°.

【点睛】

本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目.

19.60°

【分析】

设N0CA=a,NA0C=x，利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.

【详解】

解：设N0CA=a,ZA0C=x,

已知CB〃0A,ZB=ZA=100°,

即a+x=80

解析：60°

【分析】

设N0CA=a,/A0C=x，利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.

【详解】

解：设/0CA=a,ZA0C=x,

已知CB〃0A,ZB=ZA=100°,

即a+x=80°,

又因为N0EB=NE0C+NEC0=40°+x.

当NOEB=NOCA,a=80°-x,40°+x=a,

解得/0CA=60°.

【点睛】

本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.

20.【分析】

如图，利用平行线的性质得出N3=35°,然后进一步得出N4的度数，从而再

次利用平行线性质得出答案即可.

【详解】

如图所示，

Z4=90°-N3=55°,

Z2

解析：55°

【分析】

如图，利用平行线的性质得出/3=35°,然后进一步得出N4的度数，从而再次利用平行

线性质得出答案即可.

【详解】

如图所示，

allb,Z1=35°,

N3=35°,

.•.Z4=900-Z3=55°,

Va!lbI!c，

，/2=/4=55°.

故答案为:55。.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

三、解答题

21.【感知】见解析；【探究】ZBAE+ZAEC+ZDCE=360°；【应用】396°.

【分析】

感知：如图①，过点E作EF〃AB.利用平行线的性质即可解决问题；

探究：如图2中，作EG〃AB,利用平行线的性质即可解决问题；

应用：作FH〃AB,利用平行线的性质即可解决问题；

【详解】

解：理由如下，

【感知】

过E点作EF//AB

VAB//CD

.1.EF//CD

VAB//CD

；./BAE=/AEF

EF//CD

；./CEF=/DCE

.•.ZBAE+ZDCE=ZAEC.

【探究】

过E点作AB//EG.

率②

VAB//CD

AEG//CD

VAB//CD

.•.ZBAE+ZAEG=180°

EG//CD

；.NCEG+/DCE=180°

ZBAE+ZAEC+ZDCE=360"

【应用】

过点F作FH〃AB.

AB

:AB〃CD,

；.FH〃CD,

/.ZBAE+ZAEF+ZEFH=360°,ZHFG+ZFGC+ZGCD=360°,

.•.ZBAE+ZAEF+ZEFH+ZHFG+ZFGC+ZGCD=720°,

.•.ZBAE+ZAEF+ZEFH+ZHFG+ZFGC+ZGCD+ZEFG=720°+36°,

/.ZBAE+ZAEF+ZFGC+ZDCG=720°-360°+36°=396°

故答案为396°.

【点睛】

本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常

考题型.

22.(1)理由见解析；(2)①80°,②40°；(3)38°、74°、86°、122°.

【分析】

(1)根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；

(2)①过拐点作AB的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；

②过点P作AB的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数；

(3)分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可.

【详解】

(1)QAB//CD

Zl=ZEFD，

:Z2=/EFD

.•/=/2；

(2)①分别过点M,N作直线G”，〃与AB平行，MABIICDIIGHIIIJ,如图：

ZAEM=/FMH,4CFN=NFNJ,ZHMN+ZMNJ=180°,

ZAEM+ZCFN=ZEMH+NFNJ=ZEMN+ZMNF-(ZHMN+ZMNJ)=80°

②过点P作AB的平行线,

根据平行线的性质可得：Z3=ZAEP,Z4=ZCFP,

"：EP平分NAEM,FP平分NCFN,

Z3+Z4=ZAEP+NCFP=-ZAEM+-ZCFM=40°,

22

即NP=40。；

（3）分四种情况进行讨论：

由已知条件可得ZBEH=80°,

①如图：

NEPG=180。—NBEH-ZAGQ1=82°

ZHPQl=ZEPG=82°

NGQH=180。—NEHQi—ZHPQl=74°

②如图：

ZBPH=ZFHP+ZBEH=104°,

NBQ2H=ZBPH+ZAGQ2=122°；

③如图：

ZBPH=ZBEH—/FHP=56。,

NB。3H=ZBPH-ZAGQ,=38°；

④如图：

NBPH=NBEH+NFHP=104。，

NGQ&H=ZBPH-ZAGQ4=86°；

综上所述，ZGQH的度数为38。、74。、86。、122°.

【点睛】

本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及

分类讨论的思想.

23.（1）ZCPD=Za+Zp,理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，

NCPD=/0-/a；②当点P在B、0两点之间时，ZCPD=Za-Z|3

【分析】

（1）过点P作PE〃AD交CD于点E,根据题意得出AD〃PE〃BC,从而利用平行线性质可

知Na=NDPE,N^=/CPE,据此进一步证明即可；

（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、。两点之间时两种情况逐一

分析讨论即可.

【详解】

（1）NCPD=/a+/〃，理由如下：

如图3,过点P作PE〃AD交CD于点E,

VAD/7BC,PE〃AD,

；.AD〃PE〃BC,

Na=NDPE,N^=NCPE,

.•.NCPD=/DPE+NCPE=/a+/月；

(2)①当点P在A、M两点之间时，ZCPD=Z/?-Zcf,理由如下:

如图4,过点P作PE〃AD交CD于点E,

；.AD〃PE〃BC,

AZ«=ZEPD,N£=/CPE,

AZCPD=ZCPE-ZEPD=Z/7-ZdZ；

②当点P在B、。两点之间时，NCPD=No—N分，理由如下:

如图5,过点P作PE〃AD交CD于点E,

；.AD〃PE〃BC,

,Na=NDPE,N^=/CPE,

.•.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Z(Z-Z^,

综上所述，当点P在A、M两点之间时，ZCPD=Zp-Za；当点P在B、0两点之间时，

ZCPD=Za-Zp.

【点睛】

本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

24.110°；(1)NCPD=Na+N0；理由见解析；(2)当点P在3、。两点之间

时，NCPD=Na-N0；当点尸在射线AM上时，4CPD=/(3-4a.

【分析】

问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到PE〃AB〃CD,通过平行线性质来求

ZAPC.

(1)过点尸作得到PQ〃A。〃3c理由平行线的性质得到

ZADP=NDPQ,NBCP=NCPQ,即可得到

ZCPD=ZDPQ+ZCPQ=ZADP+ZBCP=Na+N/7

（2）分情况讨论当点尸在3、。两点之间，以及点尸在射线A"上时，两种情况，然后

构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案.

【详解】

解：问题情境：

图2

VAB/7CD,PE//AB

；.PE〃AB〃CD,

.•.ZA+ZAPE=180",ZC+ZCPE=180°,

VZPAB=130°,ZPCD=120°,

.•.ZAPE=50°,ZCPE=60°,

/APC=/APE+/CPE=50°+60°=n0°；

(1)NCPD=Na+//3

过点尸作

又因为,所以PQ〃AO〃3c

则NADP=NDPQ,NBCP=NCPQ

所以ZCPD=ZDPQ+ZCPQ=ZADP+ZBCP=Ne+N/7

(2)情况1:如图所示，当点P在3、。两点之间时

过P作PE//AD,交ON于E,

VAD/7BC,

；.AD〃BC〃PE,

；./DPE=NADP=Na,NCPE=NBCP=NB,

/.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Za-ZB

情况2：如图所示，当点P在射线40上时,

过P作PE〃AD,交ON于E,

VAD/7BC,

；.AD〃BC:〃PE,

，/DPE=NADP=/a,/CPE=/BCP=/B,

ZCPD=ZCPE-ZDPE=ZB-Za

【点睛】

本题主要借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理.

25.（1）ZBCD+ZACE=1SO°,理由详见解析；（2）135°；（3）/BCD等于

150。或30。时，CE//AB.

【分析】

（1）依据NBCD=NACB+/ACD=90°+ZACD,即可得至IjNBCD+NACE的度数；

（2）设NACE=a,则NBCD=34,依据NBCD+NACE=180",即可得到NBCD的度数;

（3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当/BCD等于150。或30°时，

CE/AB.

【详解】

解：（1）ZBCD+ZACE=180°,理由如下：

ZBCD=ZACB+ZACD=90°+