初二数学专项训练：动点问题综合

初二上必考专题：动点问题综合

一.动点问题-将军饮马（共7小题）

1.如图，等腰三角形/8C底边8C的长为4cm,面积是12c%2,腰的垂直平分线交/C于点尸,

若。为3c边上的中点，M为线段跖上一动点，则△RDM的周长最短为（）

2.如图，在Rt/X/BC中，ZACB=90°,/C=6,BC=8,AB^IO,4D是NA4c的平分线.若尸，。分

别是AD和NC上的动点，则PC+P0的最小值是（）

2

3.如图，△/BC中，AB=AC,BC=6cm,SAABC=18cm,E尸是/C的垂直平分线，分别交NC,于

点E,R点。是边的中点，点M是线段所上一动点，则CM+D”的最小值为（）

4.如图，Rt4/BC中，NC=90°,/C=4,2C=3,点尸为/C边上的动点，过点P作尸于点，

则PB+PD的最小值为.

B

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5.如图，在△48C中，4B=AC,边/C的垂直平分线"N分别交AB,/C于点"，N,点。是边3c的

中点，点尸是上任意一点，连接尸73PC,若//=a,ZCPD=^,△PC。周长最小时，a,0之间

B.a<pC.a=pD.a=90°-p

6.如图，在等腰三角形48c中，AB=AC^13,3c=10,的垂直平分线即交ZC于点尸，若点D为

8C边上的中点，〃为昉上的动点，则8A/+DW的最小值为

点C、。分别在边04、03上，且00=2,00=4,点、M、N分别在03、OA

上，则CM+MN+ND的最小值是.

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二.动点问题-等腰/直角三角形分类讨论（共18小题）

8.如图，△48C中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按C-N-3/C的路径

运动，且速度为每秒low,设出发的时间为f秒.

（1）出发2秒后，求△48P的周长.

（2）问f为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点。，从点C开始，按。一8-4-。的路径运动，且速度为每秒2c〃?，若P、。两点同时

出发，当尸、0中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当/为何值时，直线P。把△NBC的周长分

成相等的两部分？

9.如图，已知在△NBC中，Z5=90°,AB=8cm,5c=6CHZ,点尸开始从点/开始沿△45C的边做逆

时针运动，且速度为每秒1cm,点。从点3开始沿△/8C的边做逆时针运动，且速度为每秒2c〃z,它

们同时出发，设运动时间为f秒.

（1）出发2秒后，求的长；

（2）在运动过程中，△尸08能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不

能，则说明理由;

（3）从出发几秒后，线段P。第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？

第3页（共55页）

10.如图，在中，AB=20cm,/C=12c，"，点P从点2出发以每秒3cm的速度向点/运动，点0

从点/同时出发以每秒2c加的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运

动，当△NP。是以P。为底的等腰三角形时，运动的时间是()

11.如图，在△/8C中，AB=AC=2,NB=/C=50°，点。在线段3c上运动(点。不与2、C重合),

连接N。，作//。£=50°,交线段NC于E.

(1)在点。的运动过程中，△/£>£的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若

不可以，请说明理由.

(2)若DC=2,求证：△ABD"LDCE.

12.如图，已知在中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是NC上的一点，CD=3,点、P从.B

点出发沿射线2C方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为/.连接/P.

(1)当，=3秒时，求NP的长度(结果保留根号)；

(2)当尸为等腰三角形时，求才的值；

(3)过点。作。产于点E.在点P的运动过程中，当/为何值时，能使£>£=C£>?

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13.如图，△/3C中，BA=BC,CO_L45于点。，A0=6,30=9.

(1)求3C,NC的长;

(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DEL/C于点E,连结。£.

①当点。在线段05上时，若△NOE是以N。为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的0D的长.

②设直线DE交直线2。于点尸连结。尸，CD,若S.OB尸：S^OCF^1：4,则CD的长为

(直接写出结果).

14.如图，在RtZk/BC中，ZACB=9Q°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从3出发沿射线BC以Icm/s

的速度运动，设运动时间为f(s).

(1)求3c边的长.

(2)当尸为等腰三角形时，求/的值.

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15.如图，在△/8C中，NB=/C=13厘米，BC=10厘米，40,3c于点。，动点P从点/出发以每秒1

厘米的速度在线段上向终点D运动.设动点运动时间为1秒.

(2)当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值;

(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线C5上运动.点M与点尸同时出发，且当点P运

1

动到终点。时，点M也停止运动.是否存在3使得鹿〃如=今次/BC?若存在，请求出f的值；若不

存在，请说明理由.

16.如图1,△48。中，C£>_L/8于。，且3D：AD：CD=2：3：4,

(1)试说明△NBC是等腰三角形；

(2)已知麋/疣=40加2,如图2,动点M从点8出发以每秒lc"z的速度沿线段8/向点/运动，同时

动点N从点/出发以相同速度沿线段/C向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点

M运动的时间为，(秒)，

①若△DW的边与3c平行，求/的值；

②若点£是边NC的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出,的值;

若不能，请说明理由.

图①图②备用图

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17.如图，已知△A3C中，48=90°，48=16c〃z,BC=12cm,P、0是△48C边上的两个动点，其中点

P从点/开始沿3方向运动，且速度为每秒law,点。从点8开始沿8-C—N方向运动，且速度

为每秒2c〃?，它们同时出发，设出发的时间为f秒.

管用图

(1)出发2秒后，求尸。的长；

(2)当点。在边3c上运动时，出发几秒钟后，△尸。？能形成等腰三角形?

(3)当点。在边C/上运动时，求能使△8C。成为等腰三角形的运动时间.

18.如图，在中，ZACB^90°,AB=10,2C=6,点尸从点/出发，以每秒2个单位长度的速度

沿折线/-8-C运动.设点P的运动时间为f秒(/>0).

(1)求/C的长.

(2)求斜边N3上的高.

(3)①当点尸在3C上时，PC的长为.(用含/的代数式表示)

②若点P在/BAC的角平分线上，贝h的值为.

(4)在整个运动过程中，直接写出△P2C是等腰三角形时』的值.

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19.如图，在中，ZABC^90°,AB=8,BC=6,点。为/C边上的动点，点。从点C出发，

沿边C4往4运动，当运动到点/时停止，若设点。运动的时间为/秒，点D运动的速度为每秒1个

单位长度.

(1)当1=2时，CD=,AD=；(请直接写出答案)

(2)当△C3。是直角三角形时，/=；(请直接写出答案)

(3)求当/为何值时，是等腰三角形？并说明理由.

20.如图，已知NO=10,尸是射线CW上一动点(即P点可在射线。N上运动)，ZAON=60°.

(1)OP=时，尸为直角三角形.

(2)设。尸=x,则x满足时，△NOP为钝角三角形.

21.已知：如图，在中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点5出发沿射线8C以

2cmis的速度运动，设运动的时间为/秒，

(1)当△NAP为直角三角形时，求，的值：

(2)当尸为等腰三角形时，求才的值.

(本题可根据需要，自己画图并解答)

A

B

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22.如图，在Rt/UBC中，ZACB=90°,8C=40c加，NC=30cm,动点P从点2出发沿射线A4以2c机/s

的速度运动.则当运动时间/=5时，ABPC为直角三角形.

23.如图，在△48C中，AB=4C=5c/n,BC=6cm,AD_L/C交/C于点D.动点尸从点C出发，按C-

/-B-C的路径运动，且速度为2c机/s,设出发时间为K

(1)求BD的长；

(2)当t=3.2时，求证：CPLAB-,

(3)当点尸在3c边上运动时，若△CDP是以。尸为腰的等腰三角形，求出所有满足条件的f的值；

(4)在整个运动过程中，若(”为正整数)，则满足条件的/的值有个.

笛■用图

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24.如图，/ABC=/BCD=90°，AB=BD,BD平分/4BC,AE_LBD于E,尸为线段40上一动点.

(1)求NDAE；

(2)当尸到AD的距离为1,到的距离为2时，求/£的长;

(3)当尸运动至CE延长线上时，连接3P,求证：BPLAD.

25.如图1,点。在线段48上，AO=4,05=2,OC为射线，且/3。。=60°,动点尸以每秒2个单位

长度的速度从点。出发，沿射线0C方向运动，设运动时间为/秒.

(1)当t=l秒时，求OP的长和△NB尸的面积;

求的

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三.动点问题-三角形的全等（共5小题）

26.如图，在Rt448C中，ZC=90°,AC=10,BC=5,线段尸。P,。两点分别在NC和过点N

且垂直于NC的射线4。上运动，当/P=时，△4BC和△PQ4全等.

27.如图，在△48C中，/2=4C=24厘米，16厘米，点。为的中点，点尸在线段8c上以4厘

米/秒的速度由2点向C点运动，同时，点0在线段C4上由C点向/点运动.当点。的运动速度为

厘米/秒时，能够在某一时刻使△8PD与△C0P全等.

28.如图，△45C中，AB=AC^lScm,3C=16"7,点。是48的中点.有一点E在3C上从点2向点C

运动，速度为2c加/s,同时有一点歹在/C上从点。向点N运动，其中一点停止运动另一点也随之停止

运动.问当点厂的运动速度是多少时，△D3E和△EFC全等？

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29.如图，在△/8C中，4B=4C=2,Z5=ZC=40°,点。在线段BC上运动(。不与3、。重合),

连接ND,作N/DE=40°,交线段NC于E.

(1)当=时，/EDC=°,NDEC=°；

(2)当。C等于多少时，AABD出LDCE,请说明理由.

30.如图，在长方形中，AD=BC=6(cm),点尸从点3出发，以1(cm/s)的速度沿3c向点C

运动，设点P的运动时间为:(s)：

(1)经过t秒后，CP=__________厘米；

(2)当△/AP义ADCP时，此时片秒；

(3)在(2)的条件下，当//尸£>=90°时，求的长.

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初二上必考专题：动点问题综合

参考答案与试题解析

动点问题-将军饮马（共7小题）

1.如图，等腰三角形/2C底边的长为4cm,面积是12c/,腰的垂直平分线即交/C于点厂,

若。为边上的中点，M为线段M上一动点，则的周长最短为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】连接N。，由于△NBC是等腰三角形，点。是BC边的中点，故再根据三角形的面

积公式求出的长，再根据跖是线段N3的垂直平分线可知，点3关于直线环的对称点为点/,故

/£＞的长为8M+MD的最小值，由此即可得出结论.

【解答】解：连接4D.

•.•△/3C是等腰三角形，点。是8C边的中点，

：.AD±BC,

11

■,-SAABC=^BC・AD=Ix4XAD=12,解得AD=6cm,

;所是线段N5的垂直平分线，

点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为BM+MD的最小值，

.•.△2ZW的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+^BC^6+x4=6+2=8cm.

故选：D.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

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2.如图，在中，ZACB=90°,NC=6,BC=8,AB^IQ,4D是NA4c的平分线.若尸，0分

别是AD和NC上的动点，则尸C+尸。的最小值是（）

【分析】过点C作CNLN3交48于点M,交/D于点P,过点P作尸0，4c于点0,由是/B/C

的平分线.得出尸Q=PM,这时PC+P0有最小值，即CM的长度，运用Sygc=14小四=3。皿，

得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】解：如图，过点C作CA/L48交于点M,交/。于点P,过点P作PQLNC于点。，

；4D是/B4c的平分线.

：.PQ=PM,这时尸C+P。有最小值，即CA/的长度，

'：AC=6,48=10,ZACB=90°,BC=8,

•：S“BC=^AB-CM=^AC'BC,

即PC+PQ的最小值为w

故选：B.

【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足尸C+尸。有最小值时点P和。的位置.

2

3.如图，△/8C中，AB=AC,BC=6cm,SAABC=18cm,E尸是/C的垂直平分线，分别交NC,于

点E,尸，点。是2C边的中点，点M是线段£下上一动点，则CM+DM的最小值为（）

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c

C.8D.9

【分析】连接4。，由于△Z5C是等腰三角形，点。是5c边的中点，故再根据三角形的面

积公式求出4D的长，再根据斯是线段4C的垂直平分线可知，CM=AM,故4。的长为

CM+Q河的最小值，由此即可得出结论.

【解答】解：连接4。，AM,

,・75=/C,点。是5c边的中点，

C.ADA.BC,

11

**•S^ABC=2BC・AD=2x6X4Z）=18,

解得AD=6,

:即是/C的垂直平分线，

:.CM=AM,

CM+DM=AM+DM^AD,

：.当点M在线段上时，CM+DM的值最小，

CM+DM的最小值为6.

故选：A.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

4.如图，及△48C中，ZC=90°,AC=4,8c=3,点P为NC边上的动点，过点尸作尸D_L48于点D,

24

则PB+PD的最小值为

第15页（共55页）

【分析】作点2关于NC的对称点玄，过点"作女3于点。，交/C于点尸，点P即为所求

作的点，此时尸3+尸£）有最小值，连接48',根据对称性的性质，BP=B'P,证明△48。g/\/夕C,

根据S&ABB，-S^ABC^S^AB'C=2S&ABC，即可求出PB+PD的最小值.

【解答】解：如图，作点3关于/C的对称点小，

过点夕作夕于点。，交/C于点P,

点P即为所求作的点,此时PB+PD有最小值，

连接，根据对称性的性质，

BP=B'P,

在中，ZACB=90°,/C=4,BC=3,

；.AB=y/AC2+BC2=5,

'：AC^AC,NACB=NACB',BC=B'C,

:.AABC冬AAB'C（SAS）,

-S^ABC+S/^AB^C~2S^ABC>

即，•夕D=2x*BOAC,

：.5B'D=24,

：.B'。=等.

24

故答案为：y.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

5.如图，在△N8C中，AB=AC,边/C的垂直平分线九W分别交48,NC于点M,N,点。是边BC的

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中点，点尸是儿W上任意一点，连接PD,PC,若//=a,NCPD=B，△PCD周长最小时，a,0之间

的关系是（）

BDC

A.a>pB.a<pC.a=0D.a=90°-0

【分析】连接/P根据MV垂直平分NC,推出刃=PC,ZPAC=ZPCA,所以尸C+PD=E4+P。，当

4、P、。在同一直线上时，川+尸。最小，最小值为/D据此解答即可.

【解答】解：如图，连接NP

垂直平分/C,

：.PA=PC,ZPAC=ZPCA,

：.PC+PD^PA+PD,

当/、P、。在同一直线上时，我+尸口最小，最小值为/D

△尸CD周长最小值^PC+PD+CD=AD+CD.

点。是边8C的中点，

NBAC=2/CAD,

•?ZCPD=ZPAC+/PCA=2ZCAD,

：./BAC=/CPD,即a=0.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键.

6.如图，在等腰三角形N3C中，AB=AC=13,5C=10,的垂直平分线所交NC于点R若点。为

8C边上的中点，河为斯上的动点，则5M+DM的最小值为12.

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A

【分析】根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及轴对称的性质即可得到结论.

【解答】解：：△NBC是等腰三角形，点。是边的中点，

1

：.AD±BC,BD=CD=^BC=5,

：.AD=7AB2-BD2=12,

:跖是线段NB的垂直平分线，

点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为的最小值，

J.BM+DM的最小值=12,

故答案为：12.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

7.如图，ZAOB=30°,点、C、。分别在边O/、03上，且0c=2,OD=4,点M、N分别在08、OA

上，则CM+MN+ND的最小值是26.

【分析】作点C关于08的对称点C',作点。关于CU的对称点D',连接C'D',与08、。/分

别交于点M、N,连接CM、DN,此时CMWW+ND=UM+MN+ND'=C'D'最小，根据勾股定理

即可求得CM+MN+ND的最小值.

第18页（共55页）

作点C关于。8的对称点C'，

作点。关于。/的对称点。'，连接C'D',

与OB、。/分别交于点M、N,

连接CA/、DN,

止匕时CM+M7V+ND=C，M+MN+ND'=C'D'最小，

...CAZ+TW+ND的最小值是C'D'的长.

连接OC'、OD',

由对称性可知：

"0B=/COB=/COD'=30°,

OC=OC,OD'=OD,

：.ZCOC'=DOD'=60°,

.".△COC,,ADOD'为等边三角形，

AZD'OC=90°,OC=2,OD'=4

由勾股定理得，

CD'=Joe?+OD2=2近.

所以CM+MN+ND的最小值是2V5.

故答案为25

【点评】本题考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是找到点M和点N的位置.

二.动点问题-等腰/直角三角形分类讨论（共18小题）

8.如图，△45C中，/C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按Cf/f3-C的路径

运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为/秒.

（1）出发2秒后，求的周长.

（2）问/为何值时，△8CP为等腰三角形？

（3）另有一点。，从点C开始，按。-2一4一。的路径运动，且速度为每秒2c〃?，若尸、。两点同时

出发，当尸、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当，为何值时，直线尸。把△ASC的周长分

成相等的两部分？

第19页（共55页）

【分析】(1)根据速度为每秒157,求出出发2秒后CP的长，然后就知/尸的长，利用勾股定理求得

P8的长，最后即可求得周长.

(2)因为48与C8,由勾股定理得/C=4因为48为5c加，所以必须使/C=C8,或所以

必须使/C或N3等于3,有两种情况，△BCP为等腰三角形.

(3)分类讨论：当尸点在4C上，。在AB上，则PC=320=2/-3,f+2f-3=6；当尸点在43上，

。在/C上，贝Ij/C=L4,AQ=2t-8,4+2?-8=6.

【解答】解：(1)如图1,由NC=90°,AB=5cm,BC=3cm,

：.AC=4,动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm,

出发2秒后，则CP=2,

VZC=90°,

'.PB=V22+32=V13(cm),

的周长为：AP+PB+AB^2+5+V13=(7+V13)cm.

(2)①如图2,若尸在边NC上时，BC=CP=3cm,

此时3s△BCP为等腰三角形

图4

②若尸在边上时，有三种情况:

i)如图3,若使AP=C2=3c〃?，止匕时4P=2cto,P运动的路程为2+4=6cm,

所以用的时间为6s,△BC尸为等腰三角形；

H)如图4,若CP=BC=3cm,过C作斜边48的高，根据面积法求得高为2.4cm,

作CDLAB于点D,

在RtAPCD中，PD=VPC2-CD2=V32-2.42=1.8(cm),

第20页(共55页)

所以AP=2尸£>=3.6cw,

所以P运动的路程为9-3.6=5Acm,

则用的时间为5.4s,△2CP为等腰三角形；

iii）如图5,若BP=CP,此时尸应该为斜边的中点，尸运动的路程为4+2.5=6.5c加

则所用的时间为6.5s,ABCP为等腰三角形；

综上所述，当/为3s、5.4s、6s、6.5s时，△3C尸为等腰三角形

（3）如图6,当P点在NC上，。在N3上，则尸C=t,BQ=2t-3,

V直线PQ把△/2C的周长分成相等的两部分，

-3—3,

，，=2；

如图7,当尸点在上，。在4c上，贝!J4P=L4,AQ=2t-S,

•：直线PQ把△NBC的周长分成相等的两部分，

t-4+2,-8=6,

.\t=6,

...当，为2或6秒时，直线PQ把△N8C的周长分成相等的两部分.

【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学

生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BC尸为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因

此这是一道难题.

9.如图，已知在△N3C中，ZB=90°,AB=8cm,3c=6CHZ,点尸开始从点N开始沿△48C的边做逆

第21页（共55页）

时针运动，且速度为每秒1。"，点。从点3开始沿△/8C的边做逆时针运动，且速度为每秒2c〃z,它

们同时出发，设运动时间为［秒.

(1)出发2秒后，求尸。的长；

(2)在运动过程中，△尸08能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不

能，则说明理由；

(3)从出发几秒后，线段尸。第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？

【分析】(1)求出NP、BP、2。，根据勾股定理求出即可.

(2)根据等腰直角三角形得出8尸=30,代入得出方程，求出方程的解即可.

(3)根据周长相等得出10+/+(6-2?)=8-t+2t,求出即可.

【解答】解：(1):出发2秒，AP=2cm<8cm,BQ=4cm<6cm,即此时产在上，。在上,

.,.BP=8-2—6(cm),

80=2X2=4(cm),

在RtAPQB中，由勾股定理得：PQ=7PB2+BP2=V62+42=2V13(cm)

即出发2秒后，求尸0的长为2仍

(2)在运动过程中，△PQ8能形成等腰三角形，

AP=t,BP=AB-AP=8-t；BQ=2t

由尸3=30得：8-t=2t

解得f=羡(秒)，

即出发，秒后第一次形成等腰三角形.

(3)RtZ\4BC中由勾股定理得：4C='AB?+BC2=忡+62=10(cm)；

当0<fW3时，P在AB上，0在3c上，'：AP=t,BP=AB-AP=8-t,BQ=2t,QC=6-2t,

又•••线段P。第一次把直角三角形周长分成相等的两部分，

.,.由周长相等得：AC+AP+QC=PB+BQ

第22页(共55页)

10+Z+(6-2?)—8-f+2/

解得：t=4(s),此时不符合；

当3</W8时，P在上，。在/C上，/+10+6-2/=2什8-

解得：t=4,

即从出发4秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分.

【点评】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理的应用，用了方程思想.

10.如图，在中，AB=20cm,4c=12cm,点P从点2出发以每秒3cm的速度向点/运动，点0

从点/同时出发以每秒2c加的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运

动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是()

【分析】设运动的时间为贝！J/P=(20-3x)cm,当△/尸0是以尸。为底的等腰三角形时，AP

=AQ,则20-3x=2x,解得x即可.

【解答】解：设运动的时间为XCM,

在△A8C中，AB=20cm,AC=\2cm,

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点/运动，点。从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当△AP0是等腰三角形时，AP=AQ,

AP—20-3x,AQ=2x

即20-3x=2x,

解得x=4(.cm).

故选：D.

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的

拔高难度，属于中档题.

11.如图，在中，AB=AC=2,/3=/C=50°,点。在线段3C上运动(点。不与3、C重合),

连接作//Z)E=50°,交线段NC于E.

(1)在点。的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若

不可以，请说明理由.

第23页(共55页)

(2)若DC=2,求证：△48。2△DCE.

【分析】（1）分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当的度数为115°或100°时,

AADE的形状是等腰三角形；

（2）利用ND£C+/£DC=130°,ZADB+ZEDC=130°,求出/AD3=/DEC,再利用A8=DC=2,

即可得出△48。m4DCE.

【解答】解：（1）ZB=ZC=50°,ZADE=50°,

：.ZBDA+ZEDC^ZCED+ZEDC^130°,

ZBDA=ZCED,

:点。在线段BC上运动（点。不与8、。重合），

：.AD^AE,

1）如图所示，当&1=即时，/EAD=/ADE=50°,

/.ZBDA=ZCED=50a+50°=100°；

ii)如图所示，当时，/EAD=/AED=65°,

第24页（共55页）

(2)由(1)可得NBD4=/CED,

又：/2=NC=50°,AB=DC=2,

.•.在△Z8。和△DCE中，

/.BDA=MED

Z.B=(C,

AB=DC

：・AABDmADCE(AAS).

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知

识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论.

12.如图，已知在RtZX/BC中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是NC上的一点，CD=3,点尸从3

点出发沿射线2。方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为人连接/P.

(1)当/=3秒时，求NP的长度(结果保留根号)；

(2)当尸为等腰三角形时，求才的值；

(3)过点。作。尸于点E.在点P的运动过程中，当/为何值时，能使。£=CD?

【分析】(1)根据动点的运动速度和时间先求出PC,再根据勾股定理即可求解;

(2)根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；

(3)根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解.

【解答】解：(1)根据题意，得BP=2f,PC=\6-2t=\6-2X3=10,AC=8,

在RtA^PC中，根据勾股定理，得AP=VXC2+PC2=V164=2V41.

答：4P的长为2俯.

(2)在Rt4/8C中，NC=8,5C=16,

根据勾股定理，得AB=V64+256=V320=84

若BA=BP,贝U2t=8相,解得t=4遍；

^AB=AP,则3P=32,2t=32,解得f=16；

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若PA=PB,则⑵)2=(16-2力2+82,解得(=5.

答：当尸为等腰三角形时，，的值为4代、16、5.

(3)①点尸在线段8C上时，过点。作。尸于E,如图1所示：

则//矶》=/尸£。=90°,

AZPED=ZACB=90°,

:.PD平分/APC,

：.ZEPD=ZCPD,

2PED=/-PCD

乙EPD=4CPD,

PD=PD

.♦.△PDE沿APDCCAAS),

：.ED=CD=3,PE=PC=16-2t,

：.AD=AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

；.4P=AE+PE=4+16-2f=20-2t,

在RtZ\4PC中，由勾股定理得：82+(16-It}2=(20-2/)2,

解得：t=5；

②点尸在线段8c的延长线上时，过点。作。4P于£,如图2所示:

同①得：XPDE空XPDC(44S),

:.ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

：.AP=AE+PE^4+2t-16=2f-12,

在RtZ\4PC中，由勾股定理得：82+(2Z-16)2=(2Z-12)2,

解得：/=11；

综上所述，在点P的运动过程中，当/的值为5或11时，能使。E=CD.

第26页（共55页）

A

图2

图1

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的

等腰三角形.

13.如图，ZX/BC中，BA=BC,C0_L/2于点。，/。=6,80=9.

（1）求3C,NC的长；

（2）若点。是射线03上的一个动点，作于点E,连结。E.

①当点。在线段08上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的。。的长.

②设直线。£交直线BC于点尸连结。凡CD,若SM：S^OCF=1：4,则CO的长为4V1U或12⑦

（直接写出结果）.

（2）①分两种情况：NO=OE和NO=N£时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等

可解决问题；

②分两种情况：

力当。在线段。2上时，如图3,过2作3GL即于G,根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，

BF1

得77=了，可得5b=5,证明△5。尸是等腰三角形，得BD=BF=5,最后利用勾股定理可得结论；

CF4

第27页（共55页）

ii）当。在线段05的延长线上时，过5作5GJ_Z）E于G,同力计算可得结论.

【解答】解：⑴・.7。=6,50=9,

・・・4B=15,

•：BA=BC,

・・・5C=15,

'：COLAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

由勾股定理得：CO=VBC2-OB2=V152-92=12,

AC=7Ao2+CO2=7a+122=6V5；

（2）①分两种情况：

z）当4。=。月=4时，过。作ONJ_4C于N,如图1所示：

：.AN=EN,

•：DEL4C,

：.ON//DE,

：・ON是AADE的中位线，

.*.OD=AO=6；

而）当4。=4£1=4时，如图2所示：

在△C4O和△£）/£1中，

乙4=乙4

AO=AE,

Z40C=^AED=90°

：.ACAO^ADAECASA）,

：.AD=AC=645,

：.OD=AD-40=-6；

综上所述，。。的长为6或64一6；

②分两种情况：

i）当。在线段08上时，过2作8G_LM于G,如图3所示:

■:SAOBF：S^OCF—1：4,

BF1

•*•____—__，

CF4

BF1

•••_—，

CB3

第28页（共55页）

'：CB=15,

:・BF=5,

U：EF1.AC,

：.BG//AC,

:・NGBF=ZACB,

■:AE〃BG,

：.NA=NDBG,

•；AB=BC,

：.NA=NACB,

：./DBG=/GBF,

■:BGLDF,

・・・△5。尸是等腰三角形，

：.BD=BF=5,

：.OD=OB-BD=9-5=4,

CD=70c2+0D2=V122+42=4V10；

而）当。在线段05的延长线上时，过B作于G,如图4所示:

DZ7[

同理得：—=

CF4

9：BC=15,

:・BF=3,

同理得：△5。歹是等腰三角形，

:.BD=BF=3,

：.OD=BO+BD=9+3=12,

RtZiCO。中，CD="。2+。。2=“22+122=12鱼;

综上所述，CD的长为4V1U或12V2,

故答案为：4VIU或12或.

图4

第29页（共55页）

c

图2

图1

【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定

和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明△8Db是等腰三角形是解题的关键.

14.如图，在RtZX/BC中，ZACB=90°,AB=10cm,4c=6cm,动点P从3出发沿射线2C以Icm/s

的速度运动，设运动时间为f(s).

(1)求3c边的长.

(2)当△NB尸为等腰三角形时，求，的值.

【分析】利用勾股定理求解8C的长，再分3中情况讨论：当时，当48=2尸时，当4B=AP

时，分别计算可求解.

【解答】解：在中，ZACB=90°,AB=10cm,AC6cm,

:.BC=7AB2-AC2=V102-62=8,

当/尸=3P时，如图1,贝!]4P=3PC=BC-BP=8-t,

第30页(共55页)

图1

在RtZMCP中，AC2+CP2=AP2,

：.62+(8-t)2=t2,

解得t=~

当48=3P时，如图2,则2尸=/=10；

图3

.,"=2X8=16,

25

综上，t的值为T或10或16.

4

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键.

15.如图，在△/8C中，/2