导数常考经典压轴小题全归类-2025高考数学重难点

导数常考经典压轴小题全归类

【新高考专用】

导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用

导数研究函数的单调性、极值和最值，函数零点问题、不等式恒（能）成立问题等，考查分类讨论、数形

结合、转化与化归等思想.

从近几年的高考情况来看，导数的运算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查,

难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上,

属综合性问题，解题时要灵活求解.

►知识梳理

【知识点1导数的运算的方法技巧】

1.导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【知识点2切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数y=/U)在广无。处的导数，即曲线y/尤)在点(尤o次尤o))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(xo<xo))(不出现加)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=flxo)+f(xo)(x-xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点3导数中函数单调性问题的解题策略】

1.确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数五尤)的定义域；

(2)求了(尤);

(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式了(无)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

3.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：在m◎上单调，则区间m力)是相应单调区间的子集.

(2求x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xG(a,6)都有/(x)>0(/(x)<0),且在3/)内的任一非空子区间

上，/(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点4函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数/(x)极值的一般步骤：

(1)确定函数八元)的定义域；

(2)求导数/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(x)在/(无)=0的根xo左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

（1）利用导数求函数1x）在［a用上的最值的一般步骤：

①求函数在（a,b）内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值八a）,fib）;

③将函数小）的各极值与穴a），火6）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点5导数的综合应用】

1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略

（1）利用导数研究方程根（函数零点）的技巧

①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.

②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置.

③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

（2）已知函数零点个数求参数的常用方法

①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建

关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,

将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略

恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数

单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函

数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，

利用导数来求解.

3.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

►举一反三

【题型1导数的运算】

【例1】(2024・湖北.一模)已知函数/(%)=湖—尸(l)x,则(J

A./⑴=-1B.ra)=-|

C./(2)=e2-eD./，(2)=e2—e

【变式1-1](2024.全国.模拟预测)已知函数/•(%)的定义域为R,若f(2x-l)+3,尸(％-2)都是奇函数,

旦尸⑴=-2/(-1),则£凿5尸㈤=()

A.6B.-9C.3D.-12

【变式1-2X2024•山东•二模)已知f(x)为定义在R上的奇函数,设/(%)为/O)的导函数，若/(%)=/(2-%)+

4%-4,则广(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【变式1-3](2024•山西晋中•模拟预测)已知函数f(x)=2%(x-2)(久-22)(x-23)(x-24)(x-25)(x-

26),则/(0)=()

A.220B.221C.222D.223

【题型2函数的切线问题】

【例2】(2024.江西景德镇.一模)过点4(0,1)且与曲线/(%)=炉+2%相切的直线方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y—x+1D.y——2x+1

【变式2-1](2024•山东•模拟预测)若过点(1,巾)可以作y=(x+l)e，的三条切线，则实数m的取值范围是

()

A.(―4e-2,o)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

【变式2-2](2024•广东佛山•一模)若直线y=质与曲线y=lnx+或相切，则/c=.

【变式2-3](2024.四川成都.模拟预测)已知函数y=声的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同

的切线，则公共点坐标为.

【题型3导数中函数的单调性问题】

【例3】(2024•黑龙江佳木斯•模拟预测)若函数/⑴=|/—3x—41nx,则函数的单调递减区间为()

A.(4,+8)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)

【变式3-1](2024・湖北•一模)已知函数f(%)=一]n%+2%是减函数，贝Ua的取值范围为()

A.(—00,0]B.(-oo,-1]C.D.(-8,—]

【变式3-2］（2024.吉林长春.模拟预测）已知a=sin3b=ln|,c=3-5,贝lj（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

ex--x2+3a,0<x<2,

【变式3-3］（2024•河南•模拟预测）若函数/（%）=/°,在(0,+8)上单调递增，则实

ex+-x—2a,x>2

数Q的取值范围是（）

A.一丁B.C.D-[-pf]

【题型4导数中函数的极值问题】

【例4】（2024.辽宁•模拟预测）已知函数/（%）=%•（%-c）2在久=1处有极大值，则。=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1］（2024•吉林•模拟预测）若函数f（x）=alnx+:-％既有极大值也有极小值，则实数a的取值范

围为（）

A.(0,2⑸B.(-oo,-2V3)U(2V3,+oo)

C.(-co,-2V3)D.(2V3,+00)

x2

【变式4-2］（2024•陕西铜川•模拟预测）已知函数/（%）=e-|x-ax-小恰有两个极值点，则a的取值

范围是（）

A.[0,1]B.(0,1)C.[l,+oo)D.(1,+oo)

【变式4-3］（2024•江西宜春•模拟预测）已知函数/（%）=e*+e2T+a（%一1/有3个极值点汽力冷,冷，则

/+%3=(

A.2aB.3aC.2D.3

【题型5导数中函数的最值问题】

【例5】（2024.陕西西安.二模）函数/（%）=品在［—3,3］上的最大值和最小值分别是（）

.66~11

A.——,-----Bc.D-5,一5

1313-l-l10io

【变式5-1］（2024.陕西渭南.模拟预测）已知函数/（%）=%e%+a在区间［0,1］上的最小值为1,则实数〃的

值为（）

A.-2B.2C.-1D.1

【变式5-2](2024•宁夏固原•一模)函数/(%)=sinx-(%+2)cosx-1在区间上的最小值、最大值分

别为()

A.-21T—3,TC+1B.—21T—3,-3C.-3,n+1D.-3,2

【变式5-3](2024•福建•三模)函数/(久)的定义域为(0,+8),广(久)为人行的导函数，满足2(/(久)+/)=

%(r(x)+x),f(l)=-|,则/(久)的最小值为()

,e2

A.-eB.eC.—eD.---

2

【题型6利用导数解不等式】

【例6】(2024•四川泸州•一模)已知函数/(久)=e，+x,则满足/。)〉/(2x—1)的x的取值范围是()

A.(一8,—1)B.(—oo,l)C.(—1,+8)D.(1,+oo)

【变式6-1](2024•吉林长春.一模)己知定义在(0,+8)上的函数/(%),尸(%)是/(%)的导函数，满足x尸(x)-

2/(%)<0,且/(2)=4,则不等式/(2专—空>0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+00)D.(-oo,l)

【变式6-2](2024.广东佛山.一模)设尸0)是函数/0)的导数，/(I一久)+f(l+K)=0,f⑵=0,当x>1

时，(x-1)尸0)-/(%)>0,则使得/(%)<0成立的x的取值范围是()

A.(0,1)U(1,2)B.(0,1)U(2,+oo)C.(-00,0)U(1,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

【变式6-3](2024.海南海口.模拟预测)已知定义在[-3,3]上的函数/(久)=二一6--2%+1,若/(m?)+

f(m-2)<2,则ni的取值范围是()

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.[-1,V3]D.[-1,1]

【题型7导数中的函数零点(方程根)问题】

[例7](2024.黑龙江大庆.三模)己知函数/O)=llmcl---2有2个零点，则实数k的取值范围是()

A.(~e谭)B.[o,2)C.(-1,0]UD.(—e,0]u图

【变式7-1](2024.河北衡水.模拟预测)已知函数/(%)=In%+1-<2%有两个零点%1，%2，且%1<%2，则下

列命题正确的是()

2

A.a>1B.xr+x2<-

i

C.•冷<1D.x2—xr>--1

f|3-2x\+l,x>0,

【变式7-2](2024・四川•模拟预测)已知函数f(%)=(x+2)2/八若函数y=有5

---<0.

个不同的零点，贝必的取值范围是（）

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,4-00)

【变式7-3］（2024・四川南充・一模）已知函数/（%）=1n%—：+2|-m（0<m<3）有两个不同的零点比i，

%2，下列关于久1，&的说法正确的有（）个

①二<e2m②％1>---③eW<x<---④％i%2>1

771+223-tn

A.1B.2C.3D.4

【题型8导数中的不等式恒成立问题】

【例8】（2024•陕西铜川•模拟预测）已知函数/(%)=-ln(x-1)-Ina+1,若/(%)>。对任意的％E

（1,+8）恒成立，贝必的取值范围是（)

A.(0,,]B.(0,e]C.0,QD.(0,e2]

【变式8-1］（2024•河南•模拟预测）已知4>0,对任意的x>1,不等式e?"-（ine对Inx>0恒成立，则

实数4的取值范围为（）

A.卜+8）B.区+8)

C.[2e,+oo)D.[e,+8)

【变式8-2］（2024•陕西商洛•三模）已知4>0,对任意的久>1,不等式e2菽-等20恒成立，贝版的取值

2Z

范围为（）

A.[2e,+oo)B.后,+8)C.[e,+oo)D.[…)

【变式8-3］（2024•甘肃兰州•三模）已知函数f（%）=9五一X3,对于任意的x£（1,2］,不等式f（含）+

<1恒成立，则实数t的取值范围为（）

A.(1,+oo)B.[-1,1]c.STD.(-00,-1)

【题型9导数中的能成立问题】

【例9】（2024•全国•模拟预测）若关于％的不等式（e-l）（lnX+a%）2-1在久E悖,1］内有解，则正实

数a的取值范围是（）

A.(0,2+21n2]B.e,e]C.(0,4]D-[加

【变式9-1］（2024・重庆•模拟预测）已知函数/（%）=?,g（%）=axe-。”,若存在/E（0,1）,第2E（-8,0）使

得人叼)=9(*2)，则实数a的取值范围为()

A.(—oo,-2)B.(—2,—1)C.(—L+8)D.(0,+8)

【变式9-2](2024•吉林延边•一模)若对任意工€(e,+8),存在实数九使得关于％的不等式ln(%-e)+4%+

1NO成立，则实数4的最小值为.

【变式9-3](2024•浙江•模拟预测)已知函数/(%)=9+2/,^(%)=2m-In%,若关于%的不等式/(%)4

有解，则他的最小值是.

【题型10双变量问题】

【例10】(23-24高二下•福建福州•期末)已知居y为正实数，ln%+lny=(—汽，贝U()

A.x>yB.x<yC.%+y>1D.%+y<1

【变式10-1】(2024.四川广安.模拟预测)已知且e'sin%=e'siny,其中e为自然对数的底

数，则下列选项中一定成立的是()

A.cosx+cosy<0B.cos%+cosy>0

C.cosx>sinyD.sinx>siny

【变式10-21⑵-24高二下•四川遂宁•期中)已知函数/(%)==|x+1,若f(%i)=93)，则久i一x2

的最小值为.

【变式10-3](2024.湖南郴州.模拟预测)已知函数/(%)=12+(1一q)%一有两个极值点V

%2)，则实数a的取值范围为;若3/>&，贝+lnx2+2a的最大值为.

►课后提升练(19题】

一、单选题

1.(2024.河南新乡.一模)函数/(%)=/_+5的图象在点(1)(1))处的切线方程是()

A.y=5x—1B.y=x+1C.y=—x+5D.y=x+3

2.(2024.山西吕梁二模)已知可导函数f(x)的定义域为R,f仔-1)为奇函数，设仪久)是/(久)的导函数，若

g(2x+1)为奇函数，且g(0)=贝皮松1kgQk)=()

A.-B.--C.-D.--

2222

3.(2024•山东.模拟预测)"a>「戛”函数”x)=[2丫一?在R上单调递增”的()

+a%-a+2,%>0

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024・四川眉山・一模）若函数/（久）=万合笃在％=2时取得极小值，则f（x）的极大值为（）

A.-B.1C.-D.e

e8

5.（2024.河北邯郸•模拟预测）己知/0）在（1,+8）上单调递增，若/（X+1）为偶函数,a=/（£），b=

c=则（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

6.（2024・河南•模拟预测）已知/（*）=X3]n善，则八x+2）>/（3x—2）的解集为（）

A.(-3,3)B.C.(0,2)D.(0,1)

7.(2024■黑龙江大庆•一模)已知函数/'(x)=21nx-ax+b—1,若对任意的久G(0,+oo),/(%)<0,则b—2a

的最大值为()

A.21n2-1B.3-21n2C.1-21n2D.21n2-3

8.(2024・湖南郴州•模拟预测)已知/(久)=memx-lnx(m>0),若f(x)有两个零点，则实数小的取值范围

为()

C.&+8）D.区,+8）

9.（2024・陕西安康•模拟预测）若存在久6（0,+8）,使得不等式a?—+xNe。/+久成立，则实数a的取

值范围为（）

10.（2024・四川成都•模拟预测）已知函数X+L贝U（）

A.f（x）有三个极值点B.f（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（*）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/（久）的切线

二、多选题

11.（2024・全国•模拟预测）设函数/（久）=ax-