不等式与复数（练习）解析版-2025年高考数学二轮复习专练

专题1.4不等式与复数

【新高考专用】

题型基础练

题型一不等式性质及其应用

1.（2024•青海西宁*一模）下列命题中，正确的是（）

A.若abW0且a<b,贝壮〉：B.若a>b,则小>按

ab

C.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a>b,则a+c>b+c

【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解.

【解答过程】对于A选项，令a=—1,6=1,则所以工>，不成立，故A错误；

-11ab

对于B选项，令。=-1）=一2,贝!!（一1）2V（—2）2,所以小>炉不成立，故B错误；

对于C选项，令a=-1,b=-2,c=3,d=1,则（一1）x3V（-2）x1,所以ac>bd不成立，故C错误;

对于D选项，由Q>b及不等式的可加性可得a+c>b+c,故D正确.

故选：D.

23

2.（2024•江苏南通•模拟预测）设为实数，满足34盯2<8,4W]W9,则会的最大值为（）

A.27B.24C.12D.32

【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解.

【解答过程】由3W犷W8,得演奈Wp

又4W且W9,所以16W马<81,

yy

43

1X1X

<<8即2<<

--X----X----

8y23y427

3

所以会v的最大值为27.

故选：A.

3.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）已知有三个条件：①因2>儿2；爵>2；③&2>非，中能成为，的

CC

充分条件的是①.（填序号）

【解题思路】根据充分条件的判定一一分析即可.

【解答过程】①由>儿?可知>0,即。>b,故“四2>反2”是“Q>b”的充分条件;

②当cV0时，a<b；

③当aVO,bV0时，满足小>房，有a<b；

故②、③不是Q>b的充分条件.所以能成为“a>b”的充分条件的只有①,

故答案为：①.

4.（24-25高一上•河北石家庄•阶段练习）已知实数居y满足一14%+y<4且24%-y<3,则％-3y的

取值范围是_.

【解题思路】由已知条件结合不等式的性质即可求解.

【解答过程】因为实数%,y满足一1W%+yW4且24％-y<3,

设％—3y=m(x+y)+n(x—y),贝!1｛二二"；二；，

得m=-1,n=2,故％—3y=—(%+y)+2(%—y),

又因为-4<—(%+y)<1,4<2(%—y)<6,

所以0<-(%+y)+2(x-y)<7.

故答案为：[0,7].

题型二X基本不等式与最值。|

5.（2024・河北•模拟预测）已知%>Ly>0,且<+；=1,则4%+y的最小值为（）

n15+5遮

A.13B-C.14D.9+V65

【解题思路】由4%+、=40-1）+丫+4=［40-1）+田（2+5+4,利用基本不等式即可求.

【解答过程】•；x>Lx-1>0,又y>0,且」-+工=1,

X-1y

1+3+4=9+y4(x—1)

•，•4%+y=4(x—1)+y+4=[4(%—1)+y]

,x—1yfx—1y

军2=13,

>9+2

户+工=if_5

当且仅当自［1］）,解得“15时等号成立，故4x+y的最小值为13.

G-ly，

故选：A.

6.（2024・湖北黄冈•一模）若瓶>0,71>0,且3根+2几一1=0,则色+2的最小值为（）

mn

A.20B.12C.16D.25

【解题思路】利用三+4=(N+2)(3m+2n),结合基本不等式可求和的最小值.

mnmn

【解答过程】因为3爪+2n-1=0,所以3巾+2几=1,

所以&+三=(-+-)x1=(-+-)(3m+2n)=9+—+—+4

mnmnmnmn

>13+2l—x—=13+12=25,

ymn

当且仅当?=㈣，即巾=71==时取等号，

mn5

所以三+白的最小值为25.

mn

故选：D.

7.(2024・上海奉贤•三模)若a+匕=1,则仍有最大值为

【解题思路】根据基本不等式即可求解.

【解答过程】因为a+b=l,显然当a,b>0时，ab取得最大值，所以。+6=122届,

当且仅当a=6时等号成立，所以0<a6W；,

所以ab有最大值为"

故答案为：).

8.(2024•吉林长春•模拟预测)设见bNO且2a+b+2ab=1,则a+b的最小值为

【解题思路】根据已知条件得出(2a+l)(b+1)=2,再应用基本不等式求出最小值即可.

【解答过程】因为2a+b+2ab=1,所以(2a+1)(6+1)=2,

因为a,b20,所以a+b=*2a+l)+(b+l)—gN2/(2a+1)(：+1)一|=2一|=.

当且仅当“2a+l)=b+l,即a=g,b=O时取等号，所以a+b的最小值为去

故答案为：!

题型三N基本不等式中的恒成立问题

9.(24-25高一上•四川达州•期中)已知a>0,b>0,若不等式艺恒成立，则实数小的最大值

a4-0ab

为()

A.64B.25C.13D.12

【解题思路】将不等式变形为爪<(鬻)(a+b),利用基本不等式即可得出答案.

【解答过程】a>0,b>0,则a+b>0,

不等式急<鬻恒成立，即m<（若艺）（a+b）恒成立,

(鬻)(a+6)=G+?(a+6)=13+^+?“3+2F=25,

当且仅当中=手，即小须寸等号成立，

所以znW25,即实数机的最大值为25.

故选：B.

10.（24-25高一上•安徽池州•期中）已知第>0,y>0,JLx+y=5,若/-+」—N2m+1恒成立，则实

x+1y+2

数机的取值范围是（）

A.（-00,|］B.（-8日

D.(—8,4]

【解题思路】由已知条件得出（久+l）+（y+2）=8,将代数式W+W与?0+1）+3+2）］相乘，展开后

利用基本不等式求出‘7+2的最小值，根据题意可得出关于小的不等式，解之即可.

x+1y+2

【解答过程】因为％>0,y>0,且x+y=5,则x+1+y+2=8,

所以京岛+W）®+】）+（y+2）］=葩+,+羽+

4（y+2）_x+1

（x+1*（；金=8时，即当"最y号时,所以击+盍的最小值为］

{%>0,y>0

因为士+二？2m+l恒成立，所以2m+iw］,解得mW白，

x+1y+2816

盍］

故选：B.

11.（24-25高三上•上海•期中）若对任意正实数a、b,不等式a?+4房2kab恒成立，则实数k的取值范围

（-00,41.

【解题思路】变形可得+竺，利用基本不等式求得三+竺的最小值即可.

baba

【解答过程】因为a、b为正实数，所以ab>0,

所以由小+4b2>kab,可得k<°尊=:+竺,

又E+竺22&X竺=4,当且仅当？=竺，即a=2b时取等号，

因为对任意正实数。、b,不等式4+4匕2之上。》恒成立，所以攵工4,

所以实数攵的取值范围是（-8,4].

故答案为：（—8,4].

12.（2024・辽宁・模拟预测）若关于x的不等式竺+二24对任意久>2恒成立，则正实数a的取值集合为

ax—2一

{a|Q<a<4}_.

【解题思路】分析可得原题意等价于处出24对任意%>2恒成立，根据恒成立问题结合基本不等

ax—2a

式运算求解.

【解答过程】..•把+二24,则竺出+224-士

ax—2ax—2a

原题意等价于四乌+^->4-取寸任意x>2恒成立，

ax—2a

由a>0,%>2,则处@>0,二一>0,

ax—2

可得处出+工22乒二=七

ax—27ax—2yja

当且仅当曳曰=二，即x=2+”时取得等号,

ax—22

~a-^,解得0<aW4.

Ia>0

故正实数a的取值集合为{a[0<a<4].

故答案为：{a|0<aW4}.

题型四N二次不等式及其参数问题

13.（2024・甘肃张掖•模拟预测）不等式—3引<2-2%的解集是（）

A.（一闾B.（44）C.（T手）D.（T&

【解题思路】按照%2-3%正负分类讨论取绝对值，运算得解.

【解答过程】当久2-3%>0,即％>3或工40时，

不等式忸—3x|<2—2%等价于%2—3%<2—2x,即%2—%—2<0,

解得一1V%V2,所以一1〈工工0；

当工2—3久V0,即0V%<3时，不等式J/—3%|<2—2支等价于不等式3%——<2—2%,即％2—5%+2>

0,

解得X>处弃或X（书I,所以0<%<咨土.

综上，不等式|/一3司<2-2x的解集是（-1,书，

故选：C.

14.（2024•广东•一模）已知a,2ce「且。丁0,则“a—十）式+c>。的解集为｛划x71｝”是％+b+c=0”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.

【解答过程】由题意，二次不等式a/+bx+c>0的解集为｛x|x片1｝,

'a>0

则等价于，—^=1,即a=c>0,b=-2a,即a+b+c=0,

<△=b2—4ac=0

当a+b+c=0时，不能推出a=c>0,b=—2a,

所以“a/+人工+。>o的解集为｛6％工1｝”是“a+b+c=0”的充分不必要条件，

故选：A.

15.（24-25高一上•上海•阶段练习）若不等式a，+人工+1>o的解集是（一g,i）,则+的

解集为一Ui—.

【解题思路】由一元二次不等式的解集与方程根的关系可求出再根据一元二次不等式的解法求解即可.

【解答过程】不等式a/+以+1>。的解集是（―9,1），

则一g1是方程a/+bx+l=0的两根，

所以']"，所以｛:品，

I2a

由b/+ax+1<0,得%2—2%+1<0,

即（％—1）240,解得第=1,

所以b/4-ax+1<0的解集为｛1｝.

故答案为：｛1｝.

16.（24-25高一上•天津津南・期中）关于%的不等式%2一（血+2）%+2血40恰有三个整数解，则实数租的

取值范围是一（—l,0]U[4.5）.

【解题思路】由题可得不等式的解集为[2,前或[成2],由不等式有3个整数解可得答案.

【解答过程】%2—(m+2)x+2m<0=>(x—m)(x-2)<0.

若m=2,贝！J(x-2)2W0=>x=2不合题意；

若m>2,不等式解集为[2,m|,因恰有三个整数解，则三个整数为2,3,4,则4式6<5；

若m<2,不等式解集为[血,2],因恰有三个整数解，则三个整数为0,1,2,则-1<MW0.

故答案为:(―1,0]U[4,5).

题型五N一元二次不等式恒成立、有解问题

17.(24-25高一上•安徽宿州•期中)已知Vx6[0,+8),x2+ax+4>0恒成立，则实数a的取值范围为()

A.[-4,4]B.[-4,+oo)

C.(-oo,4]D.(-oo,-4)U(4,+oo)

【解题思路】利用分离常数法，结合基本不等式来求得a的取值范围.

【解答过程】当x=0时，420恒成立；当x6(0,+8)时，a2-(x+。恒成立,

又x+士22万=4,当且仅当比=立即x=2时取等号，

XyXX

所以一(久+今三一4,所以a2—4.

故选：B.

18.(24-25高一上•广东佛山•阶段练习)若存在xeL，3],使不等式/—a久+120成立，则实数。取值

范围是()

A.-2<a<2B.«<|

C.a4一—1°DTA.-2rW一a<一一1°

33

【解题思路】令f(x)=/—ax+1,将问题等价转化为fmax(x)>0,xe[j,s],然后讨论f(x)的最大值，从

而求出a的取值范围.

【解答过程】令f(%)=%2-ax+l,对称轴方程为％=p

若存在久€悖目，使不等式/一a%+120成立，

等价于/'(X)max2。,％6停,3卜

当三写=：时，即aW次寸，f(x)msx=/(3)=10-3a>0,解得aW日,

因为(-oo,|］n(—8搂］=(-8,曰］,所以ae(—oo,^］；

当与>：时,即a>决寸，/(x)max=/6)=>牌。，解得aw|，

因为6,+8)n(一00,|］=0,所以aC0；

因为(-8,弓］u0=(-8,宇］,所以ae(-8,果.

故选:C.

19.(24-25高一上,上海,阶段练习)已知好+(2-a)x+4-2a>0对任意xG(-2,+8)恒成立，则实数a

的取值范围为aW2.

【解题思路】变形得到今浮Na在x6(-2,+⑹上恒成立，由基本不等式求出胃/=(x+2)+京—

2>2,得到aW2.

【解答过程】/+(2—a)x+4—2a>0=>x2+2x+4>a(%+2),

因为Xe(-2,+00),所以问题等价于立竿>a在xe(-2,+8)上恒成立，

x+2

其中=a+2)［j；+2)+4=(X+2)+嗫_222+2)•圭―2=2,

当且仅当％+2=士，即％=0时，等号成立，

x+2

故a<2.

故答案为：aW2.

20.(24-25高一上•江苏苏州•阶段练习)已知关于x的不等式/一(a+2)久+a+5W0在x€(1,4］上有解,

则实数a的取值范围是—［4,+8)_.

【解题思路】把关于乂的不等式/-(a+2)尤+a+5W0在“e(1,4］上有解的问题，利用分离参数求最值转

化为a2立竽，在x6(1,4］上有解，再求£=三竿，尤6(1,4］的最小值即可.

x—1x—1

【解答过程】要使不等式尤2-(a+2)久+a+5W0在xC(1,4］上有解,

则。2匕手，在x6(1,4］上有解,

令土=/2x+5

xe(1,4],

x—1

贝山=皆=*=(“-1)+六2216—1)乂六=4,

当且仅当x—1=二，即x=3时等号成立,

故％=3时，tmin=4，

因此要使不等式/-（a+2）x+a+5<0在xG（1,4］上有解,

则a>4,

故答案为：［4,+8）.

题型六卜复数的四则运算

21.（2024・四川・一模）已知1为虚数单位，贝鼠1+。2+2（1-。的值为（）

A.4B.2C.0D.4i

【解题思路】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.

【解答过程】因为（1+i）2+2（1-i）=1+2i+i2+2-2i=2

故选：B.

22.（2024•安徽安庆•三模）若复数z的实部大于0,且2（z+l）=含，贝ijz=（）

A.l-2iB.2-iC.2+iD.1+2i

【解题思路】根据复数的运算和复数相等计算即可.

【解答过程】令2=a+bi,且a>。，bER,

则穴z+1)=(a—/?i)(a+1+hi)=a2+a+b2-hi

20(3-i)/

因为芸=—o2i

3+1(3+i)(3-i)

根据复数相等有「+二片6,解得：b=2.

所以z=l+2i.

故选：D.

23.（2024・上海•模拟预测）复数2=署，则z-2=_\

3+415.

【解题思路】先利用复数的除法运算化简Z,再利用复数的乘法计算即可.

(l+2i)(3-4i)ll+2i11,2.

【解答过程】z=E----------------=---------=------1-----1

(3+4i)(3-4i)252525

-_/II2A/II2A_1214_125工

z，z=(云+元1)(云—王+5

故答案为：

24.（2024•广东广州•模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足iz+2=z-2i,则z=2i

【解题思路】根据题意化简出z=22,利用复数的除法运算，即可得答案.

【解答过程】由复数z满足iz+2=z-2i,

化简得z=半1==(1+i)2=2i.

1-1(1+1)(1-1)

故答案为：2i.

题型七4复数的几何意义

25.（2024・福建・三模）若复数2满足1-2=21+12,则复数2在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用复数的除法求复数，进而判断对应点所在象限.

【解答过程】由题设1.2i=z（l+i）nz=*=（（二；）=_»|i,

则对应点为（-g,-1）在第三象限.

故选：C.

26.（2024・安徽•一模）已知复数z满足z（2-i）=（1+i）2,则复数z的共辗复数2在复平面内对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用复数的四则运算法则可求z,进而可得共规复数2在复平面内对应的点所在的象限.

【解答过程】由z(2-i)=(1+i)2,可得z(2-i)=1+2i+i2=2i,

2i(2+i)—2+4i24.r-rr>j—24.

所以z=^-5―=-g+gL所以L

(2-i)(2+i)5

所以复数z的共辗复数2在复平面内对应的点的坐标为-g）,位于第三象限.

故选：C.

27.（2024・安徽・模拟预测）若复数z=（a+4）-（a+5）i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的

取值范围是（一5.—4）.

【解题思路】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.

【解答过程】由题意得，｛一解得一5＜。＜一4,

实数a的取值范围是（一5,-4）.

故答案为：（—5,-4）.

28.（2024•江苏南通•二模）复数z==（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为

-1

【解题思路】利用复数的除法运算化简复数z,由几何意义可得z所对应的点的坐标，进一步可得答案.

【解答过程】由已知，z=2==?—中3所以Z所对应的点为（?，一竽），

l+i（l+i）（l—I）2222

此点在实轴上，所以一等=0,解得a=-l.

故答案为：-1.

模拟提升练（19题）

一、单选题

1.（2024・广东广州•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,则维>2B.若Q>b,c>d,则Q—d>b—c

a+ca

C.若aVbvO,则Mv。匕</D.若Q>b,则^―>工

a-ba

【解题思路】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.

【解答过程】对于A,可以取a=2,b=l,c=-l,此时比<9,所以A错误.

a+ca

对于B：丁c>d,.*•-d>—Cf因为a>b,所以a—d>b—c,故B正确；

对于C：取Q=-2,b=-l时，则/=4,ab=2,b2=1,则次>山）>力2,故c错误；

对于D：当a=l,匕=一1时，-^―=-=1,则」7V工，故D错误；

a—b2aa—ba

故选：B.

2.（2024•广东•模拟预测）已知复数z=2i（l—i）+l,则|z|=（）

A.V5B.V13C.5D.13

【解题思路】先化简z的表达式，然后求得z的模.

【解答过程】z=2i（l-i）+l=2i-2i2+l=3+2i,

所以|z|=V32+22=V13.

故选：B.

3.（2024•浙江金华•模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则

（）

A.N<PB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【解题思路】根据作差法比较大小，首先将要比较的M,N,P,用a”,c表示，后作差变形，运用a>b>c这个条件,

判断正负即可比较出大小.

【解答过程】根据题意得,M=-N=+,P=等=乎=号,

|_.、小丁工nr门a+ba+b+2ca+b—2c.

对于A选项,N—P=-------------=---,a>b>c,a—c>0,b—c>0,­•ab—2c>0,Nr—P=

>0,N>P.

对于B选项,M-P=小空-a+b+2c=a+b^2c

a+b—2c

a>b>c,•>a—c>0,b—c>0,ab—2c>0,M—P=----------->0,・••M>P.

对于C选项,M—N=--------------=----------a>b>c,c—a<0,c—b<0,2c—a—b<0,M—

326

N=ii+2c<0,...M<N.

对于D选项,M>P,N>P,：.M+N>2P.

故选：B.

4.（2024・全国•模拟预测）若（2-i）a=32其中a,b是实数，i是虚数单位，则a+及对应点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】依题意可得a+2ai=2+bi,根据复数相等的充要条件求出a,b,再根据复数的几何意义判

断即可.

【解答过程】因为（2—i）a=—j—,所以（2—i）ai=2+bi,即a+2ai=2+bi,其中a,6是实数，

所以｛MW,，艮吧工，

则a+bi=2+4i,在复平面内对应的点为（2,4）,位于第一象限.

故选：A.

5.（2024•云南大理•模拟预测）已知a20,620且2a+b=l,则^+二的最小值为（）

a+1a+b

A.4B.6C.8D.10

【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.

【解答过程】言+磊=（京+£）Ka+1）+（a+班xT

9(a+b)+(a+1)1

9++1x-

a+1a+b2

。+用1

“12X-

28（当且仅当a=g,b=0时取等号）.

故选:c.

6.（2024•浙江宁波・一模）不等式（/—ax—1）（%—h）>0对任意%>0恒成立，则小+块的最小值为（）

A.2V2-2B.2C.2V2D.2企+2

【解题思路】先由题意得到x=b是/—ax-1=0的一个根，从而得到a,b之间的关系式为a=b消元

b

并利用均值不等式求解即可.

【解答过程】由题意可得，需满足X=6是/-ax-1=o的一个根，

即b2—ab—1=0,且6>0,所以a=b—工，

b

+匕2=（b—§+h2=2b24-p--2>2V2—2,

当且仅当2b2=/，即b=芈时取等号.

所以。2+〃的最小值为2位—2.

故选：A.

7.（2024•宁夏银川•一模）下列结论正确的个数有（）个

①ab>0是（>0的充要条件

②己知实数小y满足5x>y>0,则｛+'的最小值为噜

5x—yy5

③命题'勺x>1,x2-%<0”的否定是“Vx>1,/一久>0"

④关于x的不等式/一ax+1<0有解，实数a的范围是a<—2或a>2.

A.IB.2C.3D.4

【解题思路】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由存在量词命题的否定:

存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得△>0求参数范围判断④.

【解答过程】①由ab>0,即a,6同号，故£>0；由（>。，即a,b同号，故ab>0,

所以ab>0是£>0的充要条件，正确；

②因为5x>y>。，所以>1>。，即

,12V5+1

所以4+三=；+工=_^+工_9+：22H—=---------

5x-yy--iy5(---)y5555

y\y5/

当且仅当4=GY）,即营=萼时等号成立,

5（H）5；丫5

所以十+工的最小值为芽，错误；

5x—yy5

③由存在量词命题的否定为全称量词命题知命题，

命题叼”>1,/一％w0”的否定是“Vx>1,x2-x>0",正确；

④由题设△=a?-4>0,解得a<-2或a>2,正确.

故选：C.

8.(2024・福建南平•二模)关于t的实系数二次不等式产+(b-l)t+a<0的解集为(一2,-1),若

曲一/=1,(x,yeR),则的最小值为()

A.1B.V2C.2D.2V2

【解题思路】由已知可得一2,-1是一元二次方程t2+(b—l)t+a=0的根，进而可得｛;二j,可得=

詈=2〉+/,可求2尸》的最小值.

【解答过程】因为关于t的实系数二次不等式t2+伯-l)t+a<0的解集为(一2,-1),

所以一2,-1是一元二次方程产+(。一1)1+£1=0的根，

所以尸「)=一，7,解得£=所以乃—4〃=1,所以乃="+1,

所以=詈=2丫+£22J2yxl=2,

当且仅当y=0,x=1时取等号.

所以乃-y的最小值为2.

故选：C.

二、多选题

9.(2024•江苏徐州•模拟预测)在复平面内，若复数z对应的点为(1,3),则()

A.z+z=2B.z2=10

C.Z2=10D.卜-舟=5

【解题思路】根据题意写出复数的标准式，再写出其共匏复数，再利用复数的乘除、模长公式，可得答案.

【解答过程】由题意可得z=l+3i,贝版=1一3i,

对于A,z+z=2,故A正确；

对于B,z2=(1+3i)(l+3i)=1+3i+3i+9i2=-8+6i力10,故B错误；

对于C,zz=(1+3i)(l-3i)=l2-(3i)2=1+9=10,故C正确；

对于D,z--=(1+3i)--=1+3i-'出/匕D=1+3i-i+3Yi2

=l+3i-1(4+2i)=-l+2i,\z--^=V1T4=V5,故D错误；

故选：AC.

10.(2024•广东佛山•一模)已知a,b>0,且ab=a+2b+6,贝!]()

A.ab的最小值为18B.42+房的最小值为36

C.冬+：的最小值为；D.a+b的最小值为3+4位

ab3

【解题思路】对于A,根据基本不等式可得ab=a+26+622&^+6,进而求解即可判断；对于B,根

据基本不等式可得a2+b222a6236,验证取等条件即可判断；对于C,由题意可得白+<=1-进而

结合M218即可判断；对于D,结合题意可得b=省，a>2,进而得到a+b=a—2+三+3,再根据

a—2a—2

基本不等式求解即可判断.

【解答过程】对于A,由于ab=a+26+6>2、2ab+6,BP(Vab—3V2)(Vab+V2)>0,

则>3V2,即ab>18,当且仅当a=2b=6时等号成立，

所以ab的最小值为18,故A正确；

对于B,由4+ft2>2ab>36,当且仅当a=b且a=2b时等号成立，

显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；

对于C,由于ab=a+2b+6,所以有白+；=5三=或三二1一三21一白二：

abababab183

当且仅当。=2b=6时等号成立，

即2+4的最小值为$故c正确；

ab3

对于D,因为a>0,6=上与>0,所以a>2,

a—2

所以Q+b=a+———ci—2H---F3221(a-2),—--F3=4V2+3,

u—2a-27a-2

当且仅当a-2=-J,即a=2+2VLb=1+2企时等号成立，

则a+6的最小值为3+4或，故D正确.

故选：ACD.

11.(2024•广东深圳•模拟预测)下列说法正确的是()

A.不等式4久2—5x+1>0的解集是｛xk>[或x<1j

B.不等式2久2一x―6W0的解集是｛x|x4一|或x>2j

C.若不等式a%2+8ax+21<0恒成立，则。的取值范围是0

D.若关于x的不等式2/+px-3<0的解集是(q,1),则p+q的值为

【解题思路】对于AB,直接解一元二次不等式即可判断；对于C,对a分类讨论即可判断；对于D,由一

元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q,然后即可判断.

【解答过程】对于A,一5x+1>0=(x-l)(4x-1)>0=x<1或x>1,故A错误；

对于B,2x2-x-6<0<^>(%-2)(2%+3)<01<x<2,故B错误；

若不等式a/+8ax+21<0恒成立，

当a=0时，21<。是不可能成立的，

所以只能｛△=64，：\4a<0，而该不等式组无解，综上，故C正确；

对于D,由题意得q,1是一元二次方程2/+p%-3=0的两根，

从而]qxi=v,解得1.

而当p=1,q=-1时，一元二次不等式2/+X—3<0Q(X—1)(2%+3)<0=-|<x<1满足题意，

所以p+q的值为一5故D正确.

故选：CD.

三、填空题

12.(2024•河北•模拟预测)已知复数z=l+i,设卬=2+工，若复数w在复平面内对应的点为P,点P关于

Z

实轴的对称点为P',则PH的值为1.

【解题思路】根据条件，利用复数的运算，得到W=|+1i,从而有P(|‘)，P’《，一T)，即可求解.

【解答过程】因为z=l+i,贝l]w=z+L=l+i+六=l+i+==：+；i,所以点P4；),

z1+122222

得到p'(j,-所以EH=卜一(_/|=1,

故答案为：1.

13.(2024・广西•模拟预测)若不等式a/>/一万一1对％e(一8,0)恒成立，则a的取值范围是.

【解题思路】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围.

【解答过程】由不等式a/>%2-%-1对％G(一叫0)恒成立，

可转化为a>=Aue（-co,。）恒成立，即a>（宁）鹏

G+9+京

当久=—2时，—（：+；7+3有最大值,，所以

故答案为：a>p

4

14.（2024•全国•模拟预测）设max{a,瓦c}为实数a,b,c中最大的数.若,％>0,y>0,z>0,则max以z+；,%+

—+斗的最小值为2.

yzxz）

【解题思路】设4=maxbz+Lx+L/+4,分0<zWl,z>l,分类讨论代数式间的大小关系，利用

Iyyzxz）

基本不等式求得a的最小值，即可求解.

【解答过程】设4=maxbz+Lx+Z3+n，

Iyyzxz）

则力2XZ+L>0,A>x+—>0,A>-+->Q,

yyzxz

因为A之xzH—=z(x—),当0Vz〈l时，只需考虑A2九4—>0,XH—>0,

yyzyzxz

又因为42工+工之工+工之2R,A>^+->^+l>2E,

yzyylyxzxylx

两式相乘得力2>2J|-2J|=4,可得A>2,当且仅当x=y=z=l时取等号，

当z>l时，0<久+工<%2+工，只需考虑力Nxz+工，>1>-+-,

yzyyxz

两式相乘得邓>(xz+-)f-+=x+-+yz+—>2lxx-+2I—xyz=4,

\yj\xzjxyzyjx-Jyz

则2>2,当且仅当x-y-z-1时取等号，

因为z>l,故力>2,综上所述，4的最小值为2.

故答案为：2.

四、解答题

15.（24-25高二上•江苏无锡・期中）已知复数2=5（bER）,分为实数.

1+1

⑴求|z+z2|;

（2）若复数（TH+Z/在复平面内对应的点在第四象限，且Z为实系数方程%2+（血2-9）%+4=0的根，求实数

HI的值.

【解题思路】（1）根据复数为实数求出匕，代入化简后求复数模即可；

（2）由复数是实系数方程的根代入求出小，再结合所在象限舍去不合适的值.

【解答过程】（1）由2=济，咎为实数，则昔=察察=警+彳i为实数，

1+11+1（1+1）（1-1）22

所以^2=0,b=2,即z=2i,z2=-4,

所以|z+z2|=|-4+2i|=2V5.

（2）由（?n+z）2=（m+2i）2=m2—4+4mi在复平面内对应的点在第四象限，

所以｛巾:—4；0^m<-2,

I4m<0

又z=2i为实系数方程久2+（m2-9）%+4=0的根，

贝！］4+2（小-9）-4=0,

所以-9=0,m=±3,

又小<一2,所以巾=一3.

16.（2024・吉林长春•模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出

行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每

次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.

（1）若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平

均价格（平均价格=总价格/总升数）；

（2）分别用加，n表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出