北师大版八年级数学常见题型专练：估算和用计算器开方（3种题型）（原卷版+解析）

第06讲估算和用计算器开方（3种题型）

【知识梳理】

一.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实

数比大小，绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

二.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

三.计算器一数的开方

正数。的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数。的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，

即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍.

号【考点剖析】

实数大小比较（共16小题）

1.（2023•福鼎市模拟）在实数TT,0,-1中，最小的数是（）

A.-1B.0C.A/3D.TT

2.（2023春•梁山县期中）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（）

A.-3>-V3B.C.D.78>272

234

3.（2023•邦州区校级模拟）同表示不超过a的最大整数.若实数a满足方程工^^工，则同=

（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022秋•海口期末）比较2&,3,的大小，正确的是（）

A.夜<3<2&B.272<^7<3C.夜<2&<3D.2衣<3<V?

5.（2022秋•和平区校级期末）已知a=-5我，b=-2遥，则a与b的大小关系是（）

A.a<bB.a>bC.a=bD.无法确定

6.（2023•光山县三模）写出一个大于5小于6的无理数：.

7.（2023春•富川县期中）比较大小：-遍+1-返（填或“=”）

2

8.（2023春•龙子湖区期中）比较大小：病-1工（填

33

9.（2023•雁塔区校级模拟）比较大小：2734（填“〈”或“=

10.（2023•临沐县一模）比较大小3一遍______1.

22

11.（2022秋•宜阳县期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用号连接起来：

2&,娓,,0,-1.7.

2

12.（2022秋•晋州市期中）已知如下信息：

①实数。有两个不同的平方根，分别是x-1和7-3尤；

②a+b的立方根是3；

③c的相反数是-5.

请解决以下问题：

（1）求出a,b,c的值；

（2）比较匹工与c的大小，直接写出结果.

13.（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较，五一2与2的大小.

33

小华的方法是:

因为内>4,所以JiG-2_______2,所以_______2（填“>”或“<”）；

33

小英的方法是：

返工.-2=逅二£因为19>42=16,所以标-40,所以U0,所以'历一2

33333

2（填或

3

（1）根据上述材料填空；

（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较返二1与」的大小.

42

14.（2022春•济北区期末）观察表格，回答问题:

a・・・0.00010.01110010000・・・

・・・.・・

0.01X1y100

（1）表格中x=

（2）从表格中探究。与右数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知"75^3.16,则A/IOOO弋；

②已知｛=8.973,若企=897.3,用含机的代数式表示b,贝U6=；

（3）试比较4与。的大小.

当时，y>a；当时，\Ta-a；当时，

15.（2022秋•方城县月考）⑴用或“="填空：M日，炳遍；

（2）由以上可知：①|A/16-VT?I=，②IVn-l-VnI

（3）计算：11-V21+IV2-V31+IV3-V41+……+I.（结果保留根号）

16.（2021秋•正定县期中）已知我+1在两个连续的自然数a和4+1之间，1是b的一个平方根.

（1）求a,b的值;

（2）比较a+6的算术平方根与«的大小.

二.估算无理数的大小（共19小题）

17.（2023春•鼓楼区校级期末）比通大且比、/五小的整数是（）

A.1B.2C.3D.4

18.（2023春•梁子湖区期末）一个正方形的面积是60,那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

19.（2023•台儿庄区模拟）正整数a、b分别满足病强，V2<b<V7,则〃=（）

A.16B.9C.8D.4

20.（2023春•合江县期中）绝对值小于，庖的所有正整数的和是.

21.（2023春•浦东新区校级期末）代在两个连续的整数。和b之间Ca<b）,则〃=.

22.（2022秋•长安区校级期末）近的小数部分为。，则a（a+4）=.

23.（2022秋•永兴县期末）定义国为不大于x的最大整数，如［2］=2,R巧］=1，［4.1］=4,则满足［4］=5,

则n的最大整数为.

24.（2023嗨淀区校级三模）已知a、b为两个连续整数，且贝Ua+6=.

25.（2023春•孝昌县期中）若，石的整数部分为a,小数部分为6,求a2+b-x国的值______-

26.（2023春•临颍县期中）若6-的整数部分为x,小数部分为》则（2尤+，石）>的值为

27.（2022秋•绥宁县期末）己知近的整数部分是a,小数部分是b,则a-工的值为.

b

28.（2023春•忠县期末）已知实数a的平方根为2x+l,1-7尤，的整数部分为从

（1）求a,b的值；

（2）若的小数部分为c,求25a-（b+c）2的平方根.

29.（2023春•常州期末）如图1,已知纸片A是边长为所的正方形，纸片B是相邻两边长分别为皿、

的长方形，且纸片A、8的周长相等.

B

X

Q

（图1）（图3）

（1）当a=5时.

①若x>6,求y的取值范围;

②如图2,以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D,若纸片B的面积比纸片A的面积小

10cm2,求C、。的面积之和;

（2）如图3,将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为

（DM=（用含x、。的代数式表示）;

②若关于x的不等式M<12恰有3个正整数解，则a的取值范围是

30.（2023春•固始县期末）下面是小李同学探索百方的近似数的过程:

;面积为107的正方形边长是声而，且10<。而<11,

.,•设JI57=10+x,其中0<x<l,画出如图示意图，

;图中5正方形=102+2X10・X+X2,s正方形=107

/.lO^XWx+^^lO7

当/较小时，省略一,得20x+100^107,得到尤仁0.35,即。而Q10.35.

（1）J花的整数部分是;

（2）仿照上述方法，探究标的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

10

10

X

31.（2023春•鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道&是无理数，而无理数是无限不循环小

数，因此近的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用丁5-1来表示近的小数部分，你同意小

明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1,将这个数减去其整数

部分，差就是小数部分.又例如：•••22＜（V7）2＜32,即2〈近＜3,.•.4的整数部分为2,小数部

分为（夜-2）.

请解答：

（1）百3的整数部分是，小数部分是

（2）如果旄的小数部分为a,J3的整数部分为6,求a+b-芯的值.

32.（2023春•前郭县期中）已知a-4的立方根是1,3a-6-2的算术平方根是3,W3的整数部分是c,

求2〃-3Z?+c的平方根.

33.（2023春•无为市期中）根据表格解答下列问题:

X1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914

X2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196

（1）190.44的平方根是

（2）《176.9K，718769=

（3）若13.5＜曰＜13.6,求满足条件的整数〃的值.

34.（2023•章贡区校级模拟）已知5a-2的立方根是-3,2a+b-1的算术平方根是4,c是的整数部

分，求3“+6+c的平方根.

35.（2023春•仙游县期中）观察：•../4＜丁7＜。§,即2〈。年＜3,，板的整数部分为2,小数部分为

V7-2,请你观察上述式子规律后解决下面问题.

（1）规定用符号[相表示实数机的整数部分，例如：[9]=0,㈤=3,填空：[JI6+2]=______；[5-

5

7131=.

（2）如果5+的小数部分为a,5-Jj与的小数部分为6,求/-序的值.

三.计算器一数的开方（共8小题）

36.（2021秋•郑县期中）利用计算器求“0.059的值,正确的按键顺序为（）

A.

RSEDESE

c.EDHEHEH

D.SEDEQHH

37.（2020•安丘市二模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“严，“5”，“=”键，若小颖相继按

“4”，“尸'"3”，"=”键，则输出结果是（）

A.6B.8C.16D.48

38.（2022秋•商水县月考）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如表：

X16.216.316.416.516.616.716.816.917.0

X2262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

根据表求得282.24的平方根是.

39.（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如有些数则不能

直接求得，如病，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得,

请同学们观察表：

n0.00160.16161600160000

Vn0.040.4440400

（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小

数点就向移动位；

（2）运用你发现的规律，探究下列问题：

①若#3.65公1.910,V36.5^6.042,则由3650002；

②已知/弋0.000365,则x-.

40.（2021秋•通川区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下:

・・・・・・

VO.0625Vo.625V6.25462.5V625A/6250^62500

・・・0.250.79062.57.9062579.06250・・・

根据以上规律，若J1.69=1.30,V16.9=4.11,则41690=

41.（2023春•兴宁区校级期末）阅读下面材料，解答问题:

【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动.

【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：

.・・V0.0625VO.625A/6.25&2.5V625A/6250162500•・・

・・・0.250.7912.57.912579.1250.・・

(1)根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数

点向右或向左移动______位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动_______位：

(2)已知=732，请运用上述规律直接写出各式的值：Vo.03，

7300^.

(3)你能根据«的值说出何的值是多少吗？请说明理由.

42.(2022•惠阳区校级开学)(1)用计算器计算：Vll-2=

71111-22=

7111111-222=

711111111-2222=

(2)观察题(1)中各式的计算结果，你能发现什么规律？

(3)试运用发现的规律猜想：Vllllllllll-22222=，并通过计算器验证你的猜想.

43.(2022•惠阳区校级开学)用计算器求下列各式的近似值(精确到0.01)：

⑴巨+轲-兀；⑵yyX亚

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋・江苏•八年级专题练习）已知。为整数，且满足而＜a〈/，则。等于（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022秋・河南平顶山•八年级统考期中）用计算器求唬的按键顺序是（）.

A.V08=S0DB.x28V®=S0D

C.=SEIDD.8x2=S0D

3.（2023•全国•八年级假期作业）估计12的算术平方根介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

4.（2022秋•全国•八年级阶段练习）如果整数。满足近＜.＜而，则。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2023春•广东韶关•八年级统考期中）张华是初三的一名男生，今年三月，他参加了招飞体检测评，他

的身高、体重和视力等各项指标均达到了合格标准，你认为他的身高和下面哪一个数值最接近？（）

A.拒米B.G米C.6米D.（若-1）米

6.（2023春•河南安阳•八年级统考期中）一个正方形的面积是21,把此正方形的边长增加1,则新的正方

形的边长范围是（）

A.4与5之间B.5与6之间C.6与7之间D.7与8之间

7.（2022秋・广东梅州•八年级校考阶段练习）估计0+3的值（）

A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间

8.（2023秋•福建宁德•八年级统考期末）面积为20的正方形的边长为加，则加的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

9.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则

大正方形的边长最接近的整数是（）

10.（2023春•安徽亳州•八年级统考期末）满足-忘〈君的整数尤可以是（）

A.—3B.-2C.2D.3

二、填空题

11.（2023春•重庆九龙坡,八年级统考期末）已知有＜〃＜遍，且w为正整数，贝!]〃=.

12.（2022秋・北京昌平•八年级统考期末）若。和b为两个连续整数，且那么。=

,b=.

13.（2022秋•河南周口•八年级校考阶段练习）若△ABC的底A8为4,底边A8上的高为5,面积为S,则

4s4（填“＜"、"="或"＞"）.

14.（2022秋•八年级课时练习）若°＜而＜6,且a、b为两个连续的整数，c为这四个数;，兀，招，

&中的唯一有理数，则abc=.

15.（2023春•黑龙江绥化•八年级统考期中）已知a,b分别是6-旧的整数部分和小数部分，那么2a-6

的值为.

16.（2021春•广东江门•八年级江门市第一中学校考期中）设S'的小数部分为。，则Y的值是.

三、解答题

17.（2022秋,八年级课时练习）已知^/5而■=0.1,a=1，V100=10,710000=100,......

⑴填空：Vo.oooi=；

（2）已知y=1.414,6=141.4用含X的代数式表示y,贝!]＞=；

⑶根据规律写出&与a的大小情况.

18.（2022秋•陕西榆林•八年级统考期中）观察：因为"＜行〈百，即2＜如＜3,所以君的整数部分为

2,小数部分为百-2.

请你观察上述规律后解决下面的问题：

⑴规定用符号[司表示实数加的整数部分，例如：[1]=0,[n]=2.按此规定，那么[、/而+1]的值为

（2）若的整数部分为“，小数部分为6,忖=而，求c（a-b-6）+12的值.

19.（2022秋•陕西渭南•八年级统考期末）已知根-〃是-27的立方根，利+”是万的整数部分，求a+3”的

平方根.

20.（2023・全国•八年级假期作业）如图，把两个面积均为18cm2的小正方形分别沿对角线裁剪后拼成一个

大的正方形.

⑴求大正方形的边长.

（2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为3:1,且面积为

24cm2.若能，试求剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由.

21.（2023春・山东聊城•八年级统考期中）已知5a+2的立方根是3,3a+b-l的算术平方根是4,。是历

的整数部分.

（1）求a,b,c的值；

⑵求2a+6-c的平方根.

22.(2023•江苏•八年级假期作业)用计算器求下列各式的值(精确到0.001)；

(1)->/843；

(2)17557；

(3)^045;

(4)04012.

23.(2023春•山东潍坊•八年级高密市立新中学校考阶段练习)如图图形，每个小正方形的边长为1.

⑴求图中阴影部分的面积和边长；

(2)已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为止的整数部分，求：

①x,丁的值；

②(尤+y)2的算术平方根.

24.(2022秋•湖南常德,八年级统考期末)阅读下面的文字，解答问题.

现规定：分别用［司和⑺表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是［3.14］=3,小数部

分是(3.14)=0.14；实数近的整数部分是［占］=2,小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它

的整数部分减去，就等于它的小数部分，即"-2就是近的小数部分，所以3'=不-2.

(1)［回=;［而］=

(2汝口果求a+6-君的立方根.

25.(2023•江苏•八年级假期作业)材料1：2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可以看成是

2.5-2得来的，类比来看，血是无理数，而1〈万＜2,所以血的整数部分是1，于是可用&-1来表示

V2的小数部分.

料2：若10-《虚=。+6应，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即。，b要满足。=10,b=-}-.

根据以上材料，完成下列问题：

(1)炳的整数部分是，小数部分是;

(2)3+后也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为。＜3+用＜6,求的算术平方根.

26.（2022秋•八年级课前预习）设面积为5冗的圆的半径为a.

（1）。是有理数吗？说说你的理由；

⑵估计。的值（结果精确到0.1）,并利用计算器验证你的估计;

⑶如果结果精确到0.01呢？

27.（2023春・全国•八年级期末）数学张老师在课堂上提出一个问题："通过探究知道：应。1.414…，它是

个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少"，小明举手回

答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用血-1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，

肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：

⑴石的小数部分是多少，请表示出来；

（2）。为g的小数部分，Z?为石的整数部分，求道的值.

⑶已知8+^=x+y,其中x是一个正整数，求2x+（y-招广的值.

第06讲估算和用计算器开方（3种题型）

【知识梳理】

一.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实

数比大小，绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

二.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

三.计算器一数的开方

正数。的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数。的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，

即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍.

一【考点剖析】

实数大小比较（共16小题）

1.（2023•福鼎市模拟）在实数n,0,-1中，最小的数是（）

A.-1B.0C.V3D.TT

【分析】正数＞0＞负数，据此进行判断即可.

【解答】解：由题意可得TT＞百＞0＞-1,

则最小的数是-1,

故选：A.

【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

2.（2023春•梁山县期中）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（）

A.-3＞-V3B.C.D.78＞272

234

【分析】根据实数比较大小的方法，平方法，负数的绝对值大的反而小，逐一进行判断即可.

【解答】解：A,,A3>V3,A-3<-V3,选项错误，不符合题意；

B、|-=1+1>1，选项错误，不符合题意；

c、选项正确，符合题意；

3434

D、78=2^2,选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查实数比较大小.熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键.

3.（2023•郸州区校级模拟）[甸表示不超过。的最大整数.若实数a满足方程a小=小=，则⑷=

（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据二次根式的非负性解决此题.

【解答】解：由题意得，1-—^0,a-o20.

aa

A[a]=l.

故选：A.

【点评】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解决本题的关键.

4.（2022秋•海口期末）比较2&,3,夜的大小，正确的是（）

A.47<3<242B.2\^2<V7<3C.V7<2A/2<3D.2强〈VW

【分析】分别算出2&,V7,3的平方，即可比较大小.

【解答】解：（27^）2=）,32=9,（77）2=7,

V7<8<9,

/.V7<2V2<3,

故选：C.

【点评】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是先算出3个数的平方，即可比较大小.

5.（2022秋•和平区校级期末）已知a=-5、历，b=-2遥，则a与b的大小关系是（）

A.a<bB.a>bC.a=bD.无法确定

【分析】把根号外面的数移到里面，再根据负数比较大小的法则进行比较即可.

【解答】解：a=-5^2=-V50,b=-2A/5=-V20,

V50>20,

AV50>V20,

-V50v-V20,

・・・-5V2<-2、石,

:•a〈b.

故选：A.

【点评】本题考查实数的大小比较，掌握正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数是关键.

6.（2023•光山县三模）写出一个大于5小于6的无理数：_/26_.

【分析】根据5=每，6=736,写出一个大于5小于6的无理数可以是技，注意答案不唯一.

【解答】解：写出一个大于5小于6的无理数：V26.

故答案为：V26.

【点评】此题主要考查了无理数的特征和应用，以及实数大小比较的方法，注意答案不唯一.

7.（2023春•富川县期中）比较大小：一灰+1<一近（填或“=”）

2

【分析】应用放缩法，判断出-75+1与-近的大小关系即可.

2

【解答】解：：-'兀+1<-2+1=-1,-^->-1,

2

-V5+l<-

2

故答案为：<.

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用.

8.（2023春•龙子湖区期中）比较大小：返工>1（填

33

【分析】首先确定-1与1的大小，进行比较即可求解.

【解答】解：：4<5<9,

/.2<V5<3,

：.l<4s-1<2,

-3"

故答案是：>.

【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比

较被减数的大小.分母相同时，分子大的大.

9.（2023•雁塔区校级模拟）比较大小：273<4（填或"=

【分析】先估算2«的值，然后判断即可.

【解答】解：•••：!<«<2,

.•.2<2A/3<4,

，2遥<4.

故答案为：<.

【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练准确估算无理数的大小是解题的关键.

10.（2023•临沐县一模）比较大小3一遍<

22

【分析】先估算出泥的范围，再求出之二区的范围，再得出答案即可.

2

【解答】解：

A-2>-V5>-3,

.\1>3-遍>0,

一遥>0,

22

即生返，

2

故答案为：<.

【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出泥的大小是解此题的关键.

11.（2022秋•宜阳县期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用号连接起来：

2近,通，,0,-1.7.

2

【分析】利用TT的近似值可比较上和-1.7,再根据无理数的估算方法可得出遍进而得出

2

-1.7<0<V5<2V2•

【解答】解：•••旦生<工，

22

.jn

••一1.7<-

又：(“)2=5<(2加产=8，

:.炳<啦,

-1.7<0<泥<2V2•

【点评】本题考查实数的大小比较.将无理数的大小比较转化为整数大小的比较是解题关键.

12.(2022秋•晋州市期中)已知如下信息：

①实数。有两个不同的平方根，分别是彳-1和7-3尤；

②a+b的立方根是3；

③c的相反数是-5.

请解决以下问题：

(1)求出a,b,c的值；

(2)比较匹工与c的大小，直接写出结果.

【分析】(1)根据平方根、立方根和相反数的定义即可得到a,b,c的值；

(2)先求出/「工，再与c比较大小即可求解.

【解答】解：(1).••实数a有两个不同的平方根，分别是尤-1和7-3x,

.'.X-1+7-3x=0,

解得尤=3,

则a=(3-1)2=4；

'：a+b的立方根是3,

・・・4+6=27,

解得人=23；

,・Z的相反数是-5,

••c==5；

(2)vVb7a==V19,c=5,V19<5,

【点评】本题考查了实数大小比较，平方根、算术平方根、立方根和相反数，关键是求出。，b,C的值.

13.（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较'诵一2与2的大小.

33

小华的方法是：

因为任>4,所以小历-2>2,所以“一2>2（填或“<”）；

------3------3

小英的方法是：

义亘二2-2='鱼吆，因为19>42=16,所以-4>0,所以义鱼吆>0,所以义亘二2

33333

>2（填或

一3

（1）根据上述材料填空；

（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较返二1与工的大小.

42

【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；

（2）仿照例题的方法进行计算即可解答.

【解答】解：（1）小华的方法是：

因为WS>4,所以J石-2>2,所以、19.2>2,

33

小英的方法是：

义四二2-2=迎§_型，因为19>42=16,:生，因为19>42=16,所以W5-4

333333

>0,所以'诵一4>0,所以.2>2,

333

故答案为：>,>,>,>,>;

（2）如果选择小华的方法，

,:娓<3,

:.娓-142,

.76-1^1

••-------------,

42

如果选择小英的方法，

氓-1_l_V6-l-2_V6-3

42-~4~~4

V6<9,

.•.遍<3,

:.娓-3<0,

.遍-3<0,

4

•近]

【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键.

14.(2022春•跳北区期末)观察表格，回答问题：

a・・・0.00010.01110010000

・・・

0.01X1y100

(1)表格中x=0.1,y=10；

(2)从表格中探究a与遍数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知心3.16,则“1000-31.6；

②已知伤=8.973,若加=897.3,用含机的代数式表示6,贝Ub=10000〃z；

(3)试比较4与。的大小.

当0<a<l时,Va>a；当a=l或0时,Va=a；当a>l时,Va<a.

【分析】(1)由表格得出规律，求出尤与y的值即可；

(2)根据得出的规律确定出所求即可；

(3)分类讨论。的范围，比较大小即可.

【解答】解：(1)%=Vo.01=0.1,y=^/ioo=io.

故答案为：0.1；10；

(2)①根据题意得：71000^31.6.

②结果扩大100倍，则被开方数扩大1OOOO倍，

/./?=10000m.

故答案为：31.6；10000m；

(3)当〃=0或1时，Va=a；

当OVaVl时，Va>a；

当。=1或。时，Va=a；

当a>\时，Va<a,

故答案为：a=l或0,a>l.

【点评】此题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键.

15.（2022秋•方城县月考）（1）用或“="填空：F<日,炳〈娓;

（2）由以上可知：①b/16-Vl7l=_Vi7^V16_②IOn-1-^JnI=_Vn^Vn-1—；

⑶计算：11-我i+i近-百i+i百-yi+……+i.（结果保留根号）

【分析】（1）根据被开方数越大，它的算术平方根就越大比较即可；

（2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可；

（3）先去掉绝对值符号，再算加减即可.

【解答】解：（1）V3<4,5<6,

••♦

故答案为：V,V;

（2）*.*V16-VTz0,Vn-1

①IV16-V17I=717-V16；

11②1IVn-l~\[nI=Vn-Vn-l；

故答案为：，Vn-Vn-1；

（3）原式=&-l+Vs-^2+V4-V3+--+Vn+l-Vn

="n+l-1.

【点评】本题考查了算术平方根，绝对值和二次根式的加减，能正确去掉绝对值符号是解（2）（3）的关

键.

16.（2021秋•正定县期中）已知我+1在两个连续的自然数。和。+1之间，1是。的一个平方根.

(1)求a,b的值;

（2）比较a+b的算术平方根与我的大小.

【分析】（1）利用“夹逼法”求得a的值，由平方根的定义求得b的值，代入计算即可；

（2）利用（1）的结果进行比较即可.

【解答】解：（1）V4<8<9,

/.2<V8<3.

又我+1在两个连续的自然数。和a+1之间，1是6的一个平方根，

・・。=3,b=l；

（2）由（1）知，a=3,b=l

〃+/?=3+1=4,

*'•a+b的算术平方根是：2.

V4<5,

【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键.

二.估算无理数的大小（共19小题）

17.（2023春•鼓楼区校级期末）比,几大且比JTI小的整数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分别判断和近1在哪两个连续整数之间，继而得出答案.

【解答】解：：4<5<9<11<16

.\2<V5<3<V11<4,

比遍大且比小五小的整数是3,

故选：C.

【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

18.（2023春•梁子湖区期末）一个正方形的面积是60,那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【分析】先求出正方形的边长，再估算出闹的范围，即可得出选项.

【解答】解：正方形的边长为洞,

V7<V60<8,

.•.正方形的边长在7和8之间，

故选：C.

【点评】本题考查了估算无理数的大小和算术平方根，能估算出标的范围是解此题的关键.

19.（2023•台儿庄区模拟）正整数a、b分别满足殡<病，V2<b<V7,则〃=（）

A.16B.9C.8D.4

【分析】结合已知条件，利用无理数的估算分别求得。，6的值，然后代入〃中计算即可.

【解答】解：；53<64<98,2<4<7,

^53<4<^98,V2<2<V7,

・・〃=4,Z7=2,

.".ba=24=16,

故选：A.

【点评】本题考查无理数的估算，结合已知条件求得。，6的值是解题的关键.

20.（2023春•合江县期中）绝对值小于亚的所有正整数的和是10.

【分析】根据无理数的估算方法得到4<亚<5,即亚的整数部分是4,由此得到正整数值，得到

答案.

【解答】解：：16<21<25,

4<V21<5,

.•.绝对值小于历的所有正整数有1,2,3,4,

和为10,

故答案为：10.

【点评】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键.

21.（2023春•浦东新区校级期末）返在两个连续的整数。和。之间Ca<b）,则」=9.

【分析】先估算出通的值的范围，从而求出。，6的值，然后把a,b的值代入式子中，进行计算即可解

答.

【解答】解：V4<5<9,

/.2<V5<3,

:低在两个连续的整数a和b之间(a<b),

.\a=2,b=3,

：.ba=32=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

22.(2022秋•长安区校级期末)的小数部分为a,则a(a+4)=3.

【分析】先根据的范围求出。的值，代入后进行计算即可.

【解答】解；：2<J7<3,

=W-2,

.\a(〃+4)

=(V7-2)(V7-2+2)

=(V7-2)(V7+2)

=7-4

=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式的应用，解此题的关键是求

出a的值.

23.(2022秋•永兴县期末)定义国为不大于尤的最大整数,如⑵=2,