北师大版八年级数学常见题型专练：勾股定理之“图形折叠”模型（原卷版+解析）

重难点02勾股定理之“图形折叠”模型

【知识梳理】

图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求

解.

If

...........°e…

\J/T

----------p~tC卜o

翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应

边和对应角相等.

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为X,

然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理

列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数.

—,【考点剖析】

一.选择题（共9小题）

1.如图，已知矩形ABC。沿着直线8。折叠，使点C落在C'处，BC交于E,AD=8,AB=4,则

的长为（）

A.3B.4C.5D.6

2.矩形纸片A8CD的边长A8=4,AD=2.将矩形纸片沿EE折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面

着色（如图），则着色部分的面积为（

G

22

3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕OE的长

是（）

fx

DA

A.争B谭「25n15

44

4.如图所示，在长方形纸片ABC。中,AB=32cm,把长方形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC

于点F,AF=25cm,则的长为（）

E

月匕................"

A.16cmB.20cmC.24cmD.28cm

5.如图，矩形A3。沿直线3。折叠,使点C落在点C处，BC交A。于点E,AO=8,A8=4,则BE的

长为（）

产c.

A.3B.4C.5D.2M

6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,"现将△ABC如图那样折叠，使点A与点8重合，折痕为。E,

则煦的值是（）

CB

A.24B.7_C.7D.2

T42421

7.将正方形ABC。折叠，使顶点A与。边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于F,边折叠后

与BC边交于点G（如图）.如果DM：MC=3：2,贝UOE：DM：EM=（）

A.7：24：25B.3：4：5C.5：12：13D.8：15：17

8.如图，矩形纸片ABC。中，AB=18cm,把矩形纸片沿直线AC折叠,点8落在点E处，AE交。C于点

F,若AP=13,则的长为（

A.5cmB.6cmC.1OcmD.12cm

9.如图，将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABC。折叠，使C点与A点重合，则折痕所的长是（）

243C.疾D.275

二.填空题（共1小题）

10.已知，矩形A8CD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点8与点。重合，折痕为EF,则4

ABE的面积为

A.6cm2B.8cm2C.10cm1D.12cm2.

11.如图所示，折叠长方形一边AD,点。落在BC边的点尸处，已知3。=10厘米，A3=8厘米，求3户与

尸。的长.

【过关检测】

一.选择题（共11小题）

1.（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形A8CO沿着直线8。折叠，使点C落在C'处，BC'交AD

于E,AO=8,48=4,则。E的长为（）

C.5D.6

2.（2021秋•镇海区校级期中）如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边

形EFGH,若EH=5厘米，EF=12厘米，则边”产的长是（）

A.12厘米B.13厘米C.14厘米D.15厘米

3.（2022春•杭锦后旗期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6c机、BC=8cm,现将AABC折

叠，使点8与点A重合，折痕为。E,则的长为（）

AEB

A.—cmB.—cmC.—cmD.无法确定

444

4.（2021春•永嘉县校级期末）如图,将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E

处，点A落在点F处，折痕为MN,则线段CN的长是（）

--------------\D

S

BEC

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

5.（2021秋•裕华区校级期末）如图是一张直角三角形的纸片.两直角边AC=6on,BC=8cm将△ABC折

叠，使点3与点A重合，折痕为。E,则的长为（）

AEB

9R7

A.—―cmB.10cmC.—cmD.5cm

44

6.（2021春•漳平市期中）如图，在长方形中，AB=3cmAD=9cm,将此长方形折叠，使点3与点

。重合，折痕为EF,则△ABE的面积为（）

/.............D

C

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

7.（2020•饶平县校级模拟）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABC。折叠，使点。落在A2边中点£处,

点C落在点。处，折痕为口，则线段AF的长是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

8.（2021春•环翠区校级期中）如图：长方形纸片ABC。中，AD=4cm,48=10皿按如图的方式折叠,

使点5与点。重合.折痕为ER则。E长为（)

A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm

9.（2021秋•开福区校级期末）如图，将矩形沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上.若

AB=6,BC=9,则的长为（）

A.4B.3-72C.4.5D.5

10.（2021春•宁明县期中）如图，矩形纸片ABC。中，AB^Scm,把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在

点E处，AE交DC于点F,若4尸=空5，则AD的长为（）

4

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

11.（2021秋•东平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-3,0）,点2的坐标是（0,4）,

点〃是上一点，将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点3处，则点M的坐标为（）

C.(20)D.(0,S)

22

二.填空题（共6小题）

12.（2022秋•江北区期末）如图，有一张直角三角形的纸片，ZACB=9Q°,AB=5,AC=3.现将三角形

折叠，使得边AC与AB重合，折痕为AE,则CE长为

13.（2022秋•佛山期末）在长方形48。中，AB=5,BC=12,点E是边上的一个动点，把沿

8E折叠，点A落在4处，当△AOE是直角二角形时，OE的长为

14.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分线交A3、AC于点。、E,

若AC=8,BD=5,则CE的长度是.

15.（2022秋•南关区校级期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm,在容器

内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A

处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm,则该圆柱底面周长为.

16.（2022秋•鼓楼区期中）如图，矩形ABC。中，A2=5,BC=3,将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD

上的点F处，其中E在A。上，连接AF,则AE=.

17.(2022秋•下城区校级期中)在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将它的一个锐角翻折，使该锐

角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E,交斜边于点F,则DE的长

为.

三.解答题(共4小题)

18.(2022秋•西湖区校级期中)如图，在等边△A3C中，点。，E分别是AB,AC上的点，将△ADE沿。E

所在直线对折，点A落在BC边上的点A'处，且。A'±BC.

(1)求的度数.

(2)若4。=百，求线段和CE的值.

19.(2022秋•和平区期末)在△ABC中，AB=25,AC=10遥，”垂直直线BC于点■?.

(1)当2C=25时，求AP的长；

(2)当AP=20时，

①求BC的长；

②将△ACP沿直线AC翻折后得到△ACQ,连接BQ,请直接写出△BCQ的周长

为.

20.(2022秋•武侯区校级期中)在四边形A8CD中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=10,BC=AD

=6,P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点8落在点£处.

(1)若P为BC上一点.

①如图1,当点E落在边CD上时，求CE的长；

②如图2,连接CE,若CE〃AP,则8尸与BC有何数量关系？请说明理由；

(2)如果点P在2C的延长线上，当为直角三角形时，求尸2的长.

图1图2图3

21.(2022秋•绥德县期中)如图所示，折叠长方形一边A。，点。落在8C边的点尸处,已知BC=10厘

米，A8=8厘米.

(1)求与尸C的长.

(2)求EC的长.

重难点02勾股定理之“图形折叠”模型

【知识梳理】

图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直

角三角形进行求解.

g

A—..............0o匕.，

tf1----------p-tcr。

翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到

图形间的关系.

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求

的线段长为无，然后根据折叠和轴对称的性质用含尤的代数式表示其他线段的长度，选择适

当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设

出正确的未知数.

w【考点剖析】

一.选择题（共9小题）

1.如图，已知矩形A5CD沿着直线5。折叠，使点。落在C，处，BC交于E,AD=

8,A8=4,则。E的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据折叠前后角相等可知△ABEgaC'ED,利用勾股定理可求出.

【解答】解：设DE=x,则AE=8-x,42=4,

在直角三角形ABE中，?=（8-尤）2+16,

解之得，x=5.

故选：C.

【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴

对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

2.矩形纸片A2C。的边长AB=4,AD=2.将矩形纸片沿跖折叠，使点A与点C重合，

折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）

22

【分析】着色部分的面积等于原来矩形的面积减去△Eb的面积，应先利用勾股定理求

得FC的长，进而求得相关线段，代入求值即可.

【解答】解：在RtZkGFC中，WFC2-CG1=FG1,

/.FC2-22=（4-FC）2,

解得,FC=25,

阴影部分面积为：AB'AD-iFC'AD^^,

22

故选：B.

【点评】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变

化，本题中没有着色的部分为利用了矩形和三角形的面积公式，勾股定理求解.

3.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图折叠，使点A与点8重合，

则折痕DE的长是（）

•---D.---口•-----U•----

2244

【分析】先通过勾股数得到10,再根据折叠的性质得到4。=。3=5,AE=BE,Z

ADE=90°,设4£=尤，则3E=x,CE=8-x,在RtZ\CBE中利用勾股定理可计算出x,

然后在RSDE中利用勾股定理即可计算得到DE的长.

【解答】解：•••直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,

：.AB=10,

又•••折叠，

：.AD=DB^5,AE=BE,ZA£>£=90°,

设AE=x,则BE—x,CE—8-尤，

在RtZkCBE中，BE2=BC2+CE2,即/=62+(8-x)2,解得尤=至，

4

在中，—=五,2也2=学

故选：D.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也

考查了勾股定理.

4.如图所示，在长方形纸片A2CD中，AB^32cm,把长方形纸片沿AC折叠，点2落在点

E处,AE交。C于点孔AF=25cm,则的长为()

【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明NEAC=NOCA，根据等角对等边证

明尸C=AR则。尸即可求得，然后在直角△AD尸中利用勾股定理求解.

【解答】解：：长方形ABCD中，

J.ZBAC^ZDCA,

又•.•/BAC=/EAC,

J.ZEAC^ZDCA,

.,.FC=AF=25cm,

又：长方形ABC。中，DC=AB=32cm,

:.DF=DC-"=32-25=7cm,

在直角LADF中，AD=N,尸2-DF2=$2_72=24(cm).

故选：C.

【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中注意到相等的角以及相

等的线段是关键.

5.如图，矩形A8CD沿直线8。折叠，使点C落在点C处，8c交于点E,A£）=8,AB

=4,则BE的长为（）

【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出BD=NDBC=NBDA,可得OE=BE,设

BE=DE=x,则AE=8-x.根据勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：./DBC=/BDA,

由折叠的性质得：ZC'BD=/DBC,

：.ZCBD=NBDA,

:.DE=BE,

设BE=DE=x,则AE=8-x.

在AABE中，由勾股定理得：

X2=42+（8-x）2.

解得：尤=5,

BE=5.

故选：C.

【点评】此题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练

掌握矩形和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠，使点A与点8重

合，折痕为DE,则出的值是（）

CB

【分析】先设CE=x,再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x,再根据勾股定理

求出X的值，进而可得出生的值.

CB

【解答】解：设CE=x,则AE=8-x,

,/ABDE是△AOE翻折而成，

：.AE=BE=S-x,

在中，B£2=BC2+CE2,即(8-x)2=6W,解得x=工，

4

7_

.%=工=工

"CB624,

故选：C.

【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它

属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识

是解答此题的关键.

7.将正方形折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交4。于E,交BC于F,

边AB折叠后与BC边交于点G(如图).如果。M：MC=3：2,则DE：DM：EM=()

A.7：24：25B.3：4：5C.5：12：13D.8：15：17

【分析】先根据折叠的性质得EM=EA,再根据勾股定理得ME的长，从而求比值.

【解答】解：由折叠知，EM=EA,

设CD=AD=5a,

：・DE=5a-EM,DM=3a,MC=2a,

在Rt/XEQM中，EM2=DE2+DM2,

即"炉=(5。-ME)2+(3a)2,

解得ME=^-a

5

：.ED=^-a

5

：.DE：DM：EM=3a：3a："a=8：15：17.

55

故选：D.

【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对

称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、通过

设适当的参数，利用正方形的性质，勾股定理求解.

8.如图，矩形纸片ABC。中，AB=lScm,把矩形纸片沿直线AC折叠，点8落在点E处,

AE交QC于点孔若AF=13,则的长为（）

A.5cmB.6cmC.10cmD.\2cm

【分析】根据折叠前后角相等可证AF=PC,在直角三角形ADF中，运用勾股定理求解.

【解答】解：根据折叠前后角相等可知尸丝

设ZM=x,又AP=13,。尸=18-13=5,

在直角三角形/中，?+52=132,

解之得，x—12cm.

故选：D.

【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴

对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

9.如图，将一个边长分别为4,8的长方形纸片A8C。折叠，使C点与A点重合，则折痕

的长是（）

273C.V5D.275

【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应

角相等和勾股定理求解.

【解答】解：根据折叠的性质知，四边形AFE8与四边形CE/ZI全等，＜EC=AF=AE,

由勾股定理得，AB2+B£2=AE2BP42+（8-AE）2=AE2,

解得，AE=AF=5,BE=3,

作EGLAF于点G,

则四边形AGEB是矩形，有AG=3,GF=2,GE=AB=4,由勾股定理得所=蓊.

故选：D.

【点评】本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质.

二.填空题（共1小题）

10.已知，矩形A8CD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点8与点。重合,

折痕为EF,则AABE的面积为A

A.6cnrB.Sc/c.IOCITTD.12cm2.

【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：将此长方形折叠，使点8与点。重合，

：.BE=ED.

"：AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

：.BE=9-AE,

根据勾股定理可知：AB2+A£2=BE2.

解得AE=4.

AABE的面积为3X4+2=6.

故选A.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平

方和等于斜边的平方.

三.解答题（共1小题）

11.如图所示，折叠长方形一边AD,点。落在BC边的点尸处，己知BC=10厘米，AB=

【分析】由图形翻折变换的性质可知，AD=AF,设则"=10-x,在

中利用勾股定理即可求解BF,再由BC=12厘米可得出FC的长度.

【解答】解：:△AEP是沿直线AE折叠而成，AB^Scm,BC=10cm,

.'.AD=AF—10cm,

设BF=x,贝ijFC=10-x,

在RtZXABE中，AF1=AB2+BF2,即1。2=82+7,

解得尤=6,即BF=6厘米.

：.FC=BC-BF=10-6=4cm.

综上可得8尸的长为6厘米、FC的长为4厘米.

【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，解答本题需要表示出BF,AF的长度，在

尸中利用勾股定理，难度一般.

【过关检测】

选择题（共11小题）

1.（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABC。沿着直线8。折叠，使点C落在C'

处，BC交于E,AO=8,A8=4,则。E的长为（）

【分析】先根据翻折变换的性质得出CO=C'D,ZC=ZC=90°,再设。E=x,则

AE=8-x,由全等三角形的判定定理得出RtAABE^RtACzDE,可得出BE=DE=x,

在RtAABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长.

【解答】解：：RtZ\JDC'JB由RtZV）BC翻折而成，

:.CD=CD=A8=8,/C=NC=90°,

设。E=x,贝！］AE=8-x,

=90°,/AEB=/DEC',

：.AABE=ZCDE,

在Rt^ABE与RtZkC'OE中，

rZA=ZC/=90°

-AB=C'D，

ZABE=ZCyDE

.*.RtAAB£^RtAC,DE(ASA),

.".BE=DE=x,

在RtZXABE中，AB2+AE2=BE2,

/.42+(8-x)2=x2,

解得：尤=5,

...OE的长为5.

故选：C.

【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解

答此题的关键.

2.（2021秋•镇海区校级期中）如图，将矩形ABC。的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝

隙无重叠的四边形EFGH,若EH=5厘米，EF=12厘米，则边HF的长是（）

宅

B-…户

A.12厘米B.13厘米C.14厘米D.15厘米

【分析】利用折叠的性质得出NHEP=90°,再利用勾股定理即可求解.

【解答】解：:△AEH折叠得到△加印折叠得到△〃£■£

ZAEH=ZMEH,NBEF=ZMEF,

：.ZHEF=ZMEH+ZMEF=^~(NAEM+/BEM)=90°,

2

...△HEP为直角三角形，

在RtAHEF中，

EH2+EF2^HF2,

:即=5厘米，跖=12厘米,

HF=^52+122=13厘米,

故选：B.

【点评】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到/印亦=90°.

3.（2022春•杭锦后旗期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cs、BC=8aw,

现将△ABC折叠，使点8与点A重合，折痕为OE,则C。的长为（）

C.——cmD.无法确定

4

【分析】设。。=无。w，则8D=BC-a>=（8-X）cm,再根据折叠的性质得

8-x,然后在△AC。中根据勾股定理得到（8-x）2=6?+/,再解方程即可.

【解答】解：设CD=xan,则BO=BC-C£）=（8-x）cm,

「△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为。E,

.,.A£）=B£）=8-x,

在△AC。中，ZC=90°,

：.AD2^A（^+CD2,

（8-x）2=62+X2,解得了=工，

4

即CD的长为工cv”.

4

故选：C.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的

形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理.

4.（2021春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8c加正方形纸片A2CD折叠，使点D落在

2C边的中点E处，点A落在点尸处，折痕为MV,则线段CN的长是（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

【分析】根据折叠的性质，只要求出。N就可以求出NE,在直角△CEN中，若设CN=

x,则。N=NE=8-x,CE=4c加，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长.

【解答】解：由题意设CN=xc:w,则EN=（8-X）cm,

又•.•CE=2OC=4c机，

2

...在RtzXECN中，Ea=Ed+Ca,即（8-尤）2=42+?,

解得：x=3,即CN=3cm.

故选：D.

【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相

等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.

5.（2021秋•裕华区校级期末）如图是一张直角三角形的纸片.两直角边AC=6C«7,BC=

8c相将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为。E,则AD的长为（）

257

A.----cmB.10cmC.—cmD.5cm

44

【分析】首先设A£)=xc/n,由折叠的性质得：BD=AD=xcm,又由3C=8on,可得CD

=8-x(cm)f然后在RtZXAC。中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案.

【解答】解：设AZ)=XCM,

由折叠的性质得：BD=AD=xcm,

•••在中,AC=6cm,BC=8cm,

CD=BC-BD=8-x(cm),

在RtZVIC。中，AC2+CZ)2=AZ)2,

即：624-(8-X)2=%2,

解得：x=空，

4

：.AD=^-cm.

4

故选：A.

【点评】此题考查了折叠的性质与勾股定理的知识.此题难度适中，注意掌握数形结合

思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系.

6.(2021春•漳平市期中)如图，在长方形ABC。中，AB=3cm,AD^9cm,将此长方形折

叠，使点8与点。重合，折痕为ER则aABE的面积为()

【分析】首先根据翻折的性质得到即=BE,再设出未知数，分别表示出线段AE,ED,

8E的长度，然后在中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就

可以利用面积公式求得△ABE的面积了.

【解答】解：•••长方形折叠，使点8与点。重合，

：.ED=BE,

^AE=xcm,则EZ)=8E=(9-x)cm,

在中，

AB2+AE2=BE2,

.'.32+X2=（9-X）2,

解得：尤=4,

.♦.△ABE的面积为：3X4X」=6（tv/）.

2

故选：A.

【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折

叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可.

7.（2020•饶平县校级模拟）如图，将边长为8c机的正方形纸片ABC。折叠，使点。落在

AB边中点E处，点C落在点。处，折痕为M，则线段A尸的长是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根据是直角三角形利用勾股定理求解即可.

【解答】解：由折叠可得=EF,设AF=x,贝|EB=8-x,

\'AF2+AE1^EF2,

.'.^+42—（8-x）2,

解得尤=3.

故选：A.

【点评】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关

键.

8.（2021春•环翠区校级期中）如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=lQcm,按如图

的方式折叠，使点8与点。重合.折痕为EE则。E长为（）

A.4.8cmB.5cmC.5.8cmD.6cm

【分析】在折叠的过程中，BE=DE,从而设8E=r»E=x,即可表示AE,在直角三角形

AOE中，根据勾股定理列方程即可求解.

【解答】解：设DE=xcm,贝l]3E=r)E=x,AE^AB-BE^IO-x,

在Rt^AOE中，DE^=AE1+AD2,

即/=(10-x)2+16.

解得：x=5.8.

故选：C.

【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相

等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形.

9.（2021秋•开福区校级期末）如图，将矩形A8CO沿跖折叠，使顶点C恰好落在AB边

的中点C'上.若AB=6,BC=9,则的长为（）

A.4B.3V2C.4.5D.5

【分析】先求出BC',再由图形折叠特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在RtAC

BE中，运用勾股定理B尸+8C'2=c，产求解.

【解答】解：：点C'是边的中点，AB=6,

：.BC=3,

由图形折叠特性知，CF=CF=BC-BF=9-BF,

在RtZ\C'BF中，BF2+BC2=CF2,

：.BF2+9=（9-BF）2,

解得,BF=4,

故选：A.

【点评】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高.同时也考查了列

方程求解的能力.解题的关键是找出线段的关系.

10.（2021春•宁明县期中）如图，矩形纸片4BCO中，AB=Scm,把矩形纸片沿直线AC折

叠，点8落在点£处，AE交。C于点尸，若人尸=生即，则的长为（）

4

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【分析】由折叠的性质可证AE=FC.在中，由勾股定理求的长.

【解答】解：由折叠的性质知，AE=AB=CD,CE=BC=AD,

.,.△ADC丝△CEA,ZEAC=ZDCA

OR7

：.AF^CF^—cm,DF=CD-CF=L

44

在RtZXADF中，由勾股定理得，AD=6cm.

故选：C.

【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称

的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②全等三角

形的判定和性质，勾股定理求解.

11.(2021秋•东平县期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-3,0),点8的

坐标是(0,4),点M是。2上一点，将沿AM折叠，点2恰好落在x轴上的点

3处，则点M的坐标为()

y

A.(⑤，0)B.(0,—)C.(―,0)D.(0,—)

2222

【分析】设沿直线AM将aABM折叠，点2正好落在x轴上的夕点，则有而

AB的长度根据已知可以求出，所以夕点的坐标由此求出；又由于折叠得到在

直角中根据勾股定理可以求出OM,也就求出M的坐标.

【解答】解：

:将沿AM折叠，

：.AB=AB',

又A(-3,0),B(0,4),

.\AB=5=AB',

.,.点8的坐标为：(2,0),

设M点坐标为(0,b),

则B'M=BM=4-b,

"：B'M2=B'O2+OM2,

：.(4-6)2=22+Z?2,

：.b=^-,

2

：.M(0,3),

2

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，也考查了翻折变换，题中利用折叠

知识与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键.

二.填空题(共6小题)

12.(2022秋•江北区期末)如图，有一张直角三角形的纸片，ZACB=90°,AB=5,AC=

3.现将三角形折叠，使得边AC与A8重合，折痕为AE,则CE长为

【分析】解法一：先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质得到CE=Z)E,AC

=AD,ZC=ZEDA=90°,贝I8。=AB-AD,ZEDB=90°,设CE=OE=x,在RtA

中根据勾股定理列出方程，求解即可.

解法二：先根据勾股定理求得BC的长，再根据折叠的性质可推出/EO8=90°,以此可

得ABDEsABCA,设CE=OE=X,根据相似三角形的性质即可解答.

【解答】解：解法一：在Rt^ABC中，

由勾股定理得BC=«好2_蜕2W52-32=%

根据折叠的性质可知CE=Z)E,AC=AD=3,ZC=ZEDA=9Q°,

：.ZEDB=9Q°,BD=AB-AD=5-3=2,

设CE=DE=x,则BE=4-x,

■△BOE中，

D声+BN=B戌,

即/+2?=(4-x)2,

解得:，

：.CE=^~.

2

故答案为：

2

解法二：在Rt^ABC中，

由勾股定理得BC=JAB2-AC2=V5-3=%

根据折叠的性质可知CE=OE,NC=NED4=90°,

；./EDB=/C=90°,

为公共角，

:.△BDEs^BCA,

.DEBE

••---=---,

ACAB

设CE=DE=x,贝l|BE=4-x,

•.•-x--4---x,

35

•••AQ-，

2

2

故答案为：旦.

2

【点评】本题主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题时，我们常

常设要求的线段长为尤,然后根据折叠和轴对称的性质用含X的代数式表示其他线段的长

度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案

13.（2022秋•佛山期末）在长方形A8C。中，AB=5,8C=12,点E是边上的一个动

点，把△A4E沿8E折叠，点A落在A处，当△ADE是直角三角形时，OE的长为空

一3

或7.

【分析】当AA'DE是直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①当/EA'。=90°时,

此时A'在8。上，由勾股定理可得3。=13,根据折叠的性质可得E,AB^A'

B=5,A'。=8,设AE=A'E=x,则。E=12-x,最后根据勾股定理即可解答；②当

NA'm=90°时，根据折叠的性质可得以此可推出AABE为等腰直角

三角形，AB=AE=5,再根据AE即可求解.

【解答】解：①当NEA'0=90°时，如图，

•.•四边形A8CD为矩形，

AZA=90°,BC=AD=12,AB=5,

-,-BD=VAB2+AD2=13,

根据折叠的性质可得，AE=A'E,AB=A'B=5,

：.A'D=BD-A'8=8,

设AE=A'E=x,则。E=12-x,

在RtAA'DE中,

根据勾股定理得&炉+4。2=。E2,

.'.X2+82=(12-x)2,

解得:

•・39DE学

②当/A'ED=90°时，如图,

ZAEA=90°,

根据折叠的性质可得，NAEB=NAEB,

'：ZAEB+ZAEB=90°,

/.ZAEB=ZAEB=45°,

.•.△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=5,

：.DE=AD-AE=U-5=7；

综上，空或7.

3

故答案为：空或7.

3

【点评】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、折叠的性质，据折叠和轴对称的性质用含

X的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答

案是解题关键.

14.（2021秋•鼓楼区校级