高考备考资料之数学人教A版全国用课件第十四章4选讲142

§14.2不等式选讲第十四章

系列4选讲基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集知识梳理不等式a>0a＝0a<0|x|<a_________∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔

；②|ax＋b|≥c⇔

.(－a，a)－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则

≤|a±b|≤

，当且仅当______

时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么

，当且仅当

时，等号成立.|a|－|b||a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥03.不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明_______

即可，这种方法称为作差比较法.②作商比较法a－b>0(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(

)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(

)(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立.(

)(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.(

)(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(

)基础自测123456×√××√题组二教材改编2.[P20T7]不等式3≤|5－2x|<9的解集为

A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)答案解析√123456解答解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).1234563.[P20T8]求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.题组三易错自纠4.若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.1234564或－6答案解析解析方法一

①当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|，f(x)min＝0，不符合题意；123456∴f(x)min＝f(a)＝－a－1＝5，∴a＝－6成立；∴f(x)min＝f(a)＝a＋1＝5，∴a＝4成立.综上，a＝4或a＝－6.方法二当a＝－1时，f(x)min＝0，不符合题意；当a≠－1时，f(x)min＝f(a)＝|a＋1|＝5，∴a＝4或a＝－6.1234561234569≥3＋2＋2＋2＝9，答案解析123456答案解析123456解析设y＝|2x－1|＋|x＋2|当x<－2时，y＝－3x－1>5；123456题型分类深度剖析1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；解答题型一绝对值不等式的解法自主演练解当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.解答解当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1].2.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；解答解当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6，求a的取值范围.解答所以a的取值范围为(2，＋∞).解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.思维升华题型二利用绝对值不等式求最值师生共研解答典例

(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；解∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，当且仅当0≤x≤1时等号成立，∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，当且仅当－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.解答(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.解|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法.思维升华解答当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，解答(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2,2].题型三绝对值不等式的综合应用师生共研解答∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤1，又|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，∴实数m的最大值为1.解答(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.思维升华解答跟踪训练

(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2，所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.解答(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.解由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|题型四用综合法与分析法证明不等式师生共研证明证明

因为a，b，c>0，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，所以原不等式成立.证明用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.思维升华证明跟踪训练(2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；证明

(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.证明(2)a＋b≤2.证明

因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.课时作业基础保分练解答123456789101.解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.12345678910解方法一如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2,1]不是不等式的解集.把点A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).12345678910方法二由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).方法三将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则12345678910作出函数的图象，如图所示.由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).解答123456789102.(2017·烟台二模)若不等式log2(|x＋1|＋|x－2|－m)≥2恒成立，求实数m的取值范围.解由题意可知|x＋1|＋|x－2|－m≥4恒成立，即m≤(|x＋1|＋|x－2|－4)min.又因为|x＋1|＋|x－2|－4≥|(x＋1)－(x－2)|－4＝－1，当且仅当－1≤x≤2时等号成立，所以m≤－1.即实数m的取值范围为(－∞，－1].解答12345678910即|4a－3b＋2|的最大值为6，所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.即实数m的取值范围为[6，＋∞).3.对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.解因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，证明1234567891012345678910证明12345678910证明

①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd；因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|，即充分性成立.解答123456789105.(2017·洛阳模拟)已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0).(1)当a＝4时，求不等式的解集；解当a＝4时，不等式为|2x＋1|－|x－1|≤2.解答12345678910(2)若不等式有解，求实数a的取值范围.解答6.(2017·沈阳模拟)设f(x)＝|ax－1|.(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a的值；12345678910解答(2)当a＝2时，若存在x0∈R，使得不等式f(2x0＋1)－f(x0－1)≤7－3m成立，求实数m的取值范围.123456789101234567891012345678910证明证明

∵a＋b＋c＝2，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，∴2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca＝8，∴8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴ab＋bc＋技能提升练12345678910解答(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围.12345678910解由题意可知，a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，∴4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋∵0<a<1，∴a>a2.同理b>b2，c>c2.∴a2＋b2＋c2<a＋b＋c＝2，解答123456789108.已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0,1].(1)求m的值；解由f(x＋1)≥0，得|x|＋|x－1|≤m.∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意；若m＝1，不等式|x|＋|x－1|≤1的解集为[0,1].12345678910②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m,0≤x≤1；12345678910由题意知，原不等式的解集为[0,1].∴m＝1.证明12345678910(