四川省自贡市荣县中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题

学年高一年级下学期入学考试数学试卷考试时间：分钟；命题人：邹庆玲；审题人：林正坤一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果.【详解】由题意知，，所以.故选：A.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】若，，则或，反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.已知，则A.B.C.D.【答案】B【解析】第1页/共14页【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.为得到函数的图像，只需把余弦曲线上的所有的点（）A.横坐标伸长到原来倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律确定选项.【详解】因为纵坐标缩短到原来的，横坐标不变,得到故选:.5.下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是A.在上单调递增,在上单调递减B.在上单调递增,在上单调递减C.在及上单调递增,在上单调递减D.在上单调递增,在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的单调区间逐一判断选项即可.【详解】函数在上的单调增区间是，，单调减区间是，故选：C.第2页/共14页【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题.6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为.由图知的定义域为，排除选项A、D，对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：B.7.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用最小正周期为排除选项AC；利用在区间上单调递减排除选项D；选项B以为最第3页/共14页小正周期，且在区间上单调递减，判断正确.【详解】选项A：最小正周期为.判断错误；选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确；选项C：最小正周期为.判断错误；选项D：在区间上单调递增.判断错误.故选：B8.生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.100增长至120消耗了10数由120增长至160消耗的时间大约为（，）A.14B.15C.16D.17【答案】B【解析】【分析】将已知数据代入函数模型，利用对数的运算性质求出即可.【详解】由题意可得，，所以，即，所以，当，时，，即，所以，由给定数据第4页/共14页故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】ABC【解析】【分析】画出在的图像，即可根据图像得出.【详解】画出在的图像如下：则可得当或时，与的交点个数为0；当或时，与的交点个数为1；当时，与的交点个数为2.故选：ABC.10.已知实数满足，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质可判断ABD，作差可判断C.【详解】对于A：因为，所以，故A正确；第5页/共14页对于B：因为，所以，故B错误；对于C：，因为，所以，不确定，所以符号不确定，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以，故D正确.故选：AD.已知函数的定义域为）A.B.时，C.D.在上有677个零点【答案】AB【解析】【分析】根据对数的运算即可判断A；分别求出，进而，即可判断B；利用函数的周期计算即可判断C；由可得，即可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，当时，，即，则，于是，因此，故B正确；对于C，，，第6页/共14页，故C错误；对于D，当时，，此时函数无零点，而，由知，，，即有，显然，因此在上有675个零点，故D错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由可得，以及由推出.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分．把答案填在题中横线上）12.当时，的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为,则，当时，的最小值为5.故答案为：5.13.已知，则________．【答案】##【解析】【分析】根据题意，利用倍角公式，进行化简，即可求解.【详解】因为，则.第7页/共14页故答案为：.14.下列命题中：（1）与互为反函数，其图像关于对称；（2）已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是；（3）已知角的终边经过点，则；（4）被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮．假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度为．上述命题中的所有正确命题的序号是______．【答案】【解析】【分析】根据反函数性质,扇形弧长及面积公式,三角函数的定义等逐项判断即可.【详解】对于:根据反函数性质可知与互为反函数，其图像关于对称,故正确;对于:扇形的周长为,又因为扇形的圆心角,所以,,则扇形的面积,故错误;对于:根据三角函数的定义,角的终边经过点,则,故错误;对于:“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角度是一周的,则转过的角的弧度为,故正确;故答案为:.四、解答题（本大题共5小题，共分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.集合.（1）若，求（2）若是的充分条件，求的取值范围.第8页/共14页【答案】（1）或；（2）【解析】1）解不等式求出集合A，根据集合补集以及并集运算，即可求得答案；（2）根据是的充分条件，可得，列出相应不等式，即可求得答案.【小问1详解】由，解得，则，时，，故或，；【小问2详解】因为，，而是的充分条件，故，故，解得.16.（1）化简：；（2）已知，是第四象限角，求，，的值．【答案】（1）2），，【解析】1）应用诱导公式计算化简求值；（2）先应用同角三角函数关系求出余弦值及正切值，再结合两角和差公式计算求解.1）（2）由，是第四象限角，得，第9页/共14页所以．于是有；17.已知函数，（1）用五点法在平面直角坐标系中画出在上的图像；（2）求函数的值域；（3）求不等式的解集．【答案】（1）答案见解析（2）（3）【解析】1）用五点作图法即可画出在上的图像.（2）根据，即可求得结果.（3）先求出不等式在一个周期内的解集，进而求出整个实数域上的解集.【小问1详解】由函数，可得完成表格如下：01001可得在的大致图象：如下图第10页/共14页【小问2详解】由，可得得值域为．【小问3详解】由，可得，即，当时，由，得．又由函数的最小正周期为，所以原不等式的解集为．18.已知函数，其中且．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并给予证明；（3）求使的取值范围．【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）当时，的取值范围是．当时，的取值范围是．【解析】1）根据对数的定义知真数大于0，即可求定义域；（2）利用奇偶性的定义得知函数为奇函数；（3）由可得，即可求解.【小问1详解】，第11页/共14页，即，解得，故的定义域为．【小问2详解】的定义域关于原点对称，，故函数是奇函数．【小问3详解】当时，由可得，解得，故求使的的取值范围是．当时，由可得，即，解得，故求使的取值范围是．综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．19.已知函数是偶函数.（1）求的值;（2）设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】的值；（2）由题意可得在上的